ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.1. Eşlik

Transkript

1 Ünite 4 ÜÇGNLR ŞLİK V NZRLİK ölüm 4.1. şlik u ölümde Neler Öğreneceğiz? Üçgenin iç ve dış çılrının ölçüleri toplmını İki üçgenin eşliğini Üçgenin kenrlrı ile çılrı rsındki ilişkiyi Üçgenin kenrlrı rsındki ilişkiyi Neden Öğreneceğiz? iririyle tmmen ynı oln üçgenlere/ şekillere günlük hytt irçok ypıd rstlyilirsiniz. irçok ypının inşsınd destek mçlı üçgensel şekiller kullnılır. Örneğin evlerin çtılrı y d köprülerin ypımınd kullnıln eş üçgen şeklindeki ypı elemnlrı, ğırlığı eşit dğıtrk ypının dh dynıklı olmsını sğlr.

2 ölüm 4.1. şlik HZIR MIYIZ? 1.. r çı. ik çı c. Geniş çı ç. oğru çı d. oğru e. Işın f. oğru prçsı g. şkenr üçgen h. İkizkenr üçgen ı. ik üçgen şğıd verilen şekillerin ltındki oşluklr, o şekli ifde eden doğru kvrmın şıkkını yzınız. 2. şğıdki şekilde d 2 ve d 3 doğrulrı prleldir. un göre oşluklr, //,, doğrusl, {} ve 90 ifdelerini uygun olck şekilde yerleştiriniz. d 1 d 2 d 3 =... d 1 d 2 =... d 2 d 3 d 1... d 2 d 2... d 3 m ( ) =...,, noktlrı... noktlrdır. 3. şğıd verilen denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini ulunuz = < 17 c. 3( 4) = 6 ç > 19 d = + 2 e. 1 < 3 1 < d 1 d 1 // d 2 olduğun göre numrlndırılmış çılrdn eş olnlrı elirleyiniz d Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

3 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmını inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: Kreli kâğıt, klem, cetvel 1 dım 1 Kreli kâğıdınız ir üçgeni çiziniz. 2 3 dım 2 ve kenrlrının ort noktlrını cetvel yrdımıyl ulunuz. u noktlrı sırsıyl ve olrk isimlendiriniz dım 3 üçgenini köşesinden [] oyunc ktlyınız dım 4 noktsının ktlm sonund [] üzerindeki yeri olsun. [] nın ort noktsını G ve [] nın ort noktsını H olrk isimlendiriniz. 2 G 1 3 H dım 5 üçgenini köşesinden [G] oyunc ktlyınız. enzer şekilde, üçgenini köşesinden [H] oyunc ktlyınız. G H Sonuç: Yukrıdki dımlr sonund, üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmı hkkınd ne söyleyeilirsiniz? çıklyınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 635

4 ölüm 4.1 şlik Neler Öğreneceğiz? ir üçgenin iç çılrının ölçülerinin toplmını ir üçgenin dış çılrının ölçülerinin toplmını nhtr Terimler Üçgen Üçgenin köşeleri Üçgenin kenrlrı çıorty Kenrorty Yükseklik İç çı ış çı Semol ve Gösterimler m ( ) [] Üçgende çılr şlrken zı krsu hvzlrı erozyon mruz klmktdır. u durum ir çözüm olrk krsu ytklrın sptırıcılr (deflektörler) konur. u sptırıcılr dik üçgen şeklindedir. İyi ir sptırıcının, kıntı trfındki ir iç çısının ölçüsünün 30 ile 45 rsınd olmsı gerekir. Htırlylım çıorty T Üçgenin ir iç çısını iki eş prçy ölen ışın, o çının iç çıortyı ve dış çısını iki eş prçy ölen ışın ise o çının dış çıortyı denir. Yukrıdki şekilde mn ( ) = mn ( ) ise [N, çısın it çıortydır. yrıc mtk ^ h= mk ^ h ise [K, çısın it dış çıortydır. N K,, doğrusl olmyn üç nokt olsun. u noktlrın elirlediği doğru prçlrının irleştirilmesi ile oluşn geometrik şekle üçgeni denir ve ile gösterilir. nde [], [], [] n üçgenin kenrlrı,,, noktlrın üçgenin köşeleri,, ve n üçgenin iç çılrı vey çılrı denir. Üçgenin iç çılrı genellikle W, V ve W şeklinde gösterilir., ve n üçgenin dış çılrı denir. Kenrorty Üçgenin ir köşesini krşısındki kenrın ort noktsın irleştiren doğru prçsın, o kenr it kenrorty denir. Yukrıdki şekilde [] olmk üzere, = ise [], kenrın it kenrortydır. Yükseklik H Üçgenin ir köşesinden u köşenin krşısındki kenr vey kenrın uzntısın çizilen dik doğru prçsın o kenr it yükseklik denir. Yukrıdki şekilde [H] ^ [] ise [H], [] n it yüksekliktir. 636 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

5 Üçgende çılr h önceki yıllrd ve u ölümün şındki tölye çlışmsınd, üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmının 180 olduğunu öğrenmiştiniz. şğıdki teorem u ilişkiyi göstermekte ve u teoremin isptı ile de ilişkinin niçin doğru olduğu çıklnmktdır. Üçgenin İç çılrının Ölçüleri Toplmı Üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı 180 dir. Yndki üçgeninde m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 Teorem nhtr ilgi oğru y d ynlış kesin hüküm ildiren ifdelere önerme denir. oğruluğu isptlnn (ispt gerektiren) önermelere teorem denir. ir teorem hipotez (verilenler) ve hükümden (istenenler) oluşur. Teoremin hipotezinden yol çıkıp hükmüne ulşmy teoremi isptlmk denir. ir teorem isptlnırken dh önceki tnım ve teoremler kullnılır. İspt: Verilenler: ir üçgen İstenen: m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 noktsındn [] n prlel doğrusunu çizelim. İfde Gerekçe 1 ile çılrı eş çılrdır. İç ters çılr eştir. 2 ile çılrı eş çılrdır. İç ters çılr eştir. 3 m ( ) + m( ) + m( ) = 180 oğru çının ölçüsü 180 dir. 4 m( V ) + m( W ) + m( W ) = 180 ( m ) = m ( V ) ve m ( ) = m( W ) olduğundn nhtr ilgi Mtemtikte ispt sdece ir ifdenin doğru olup olmdığını elirlemek için değil, o ifdenin niçin doğru olduğunu çıklmk için de ypılır. ir ifde isptlnırken isptın yzımı şmsınd frklı yzım içimlerden yrrlnılilir. u yzım içimlerinden iri de iki kolonlu ispt içimidir. İki kolonlu isptlrın yzımınd sütunlrdn irine çıkrımlr, diğerine u çıkrımlrın gerekçeleri yzılır. nhtr ilgi u teorem rstgele seçilen herhngi üç çının her zmn ir üçgenin iç çılrı olmycğını, u üç çının ir üçgenin iç çılrı olilmeleri için ölçüleri toplmının 180 olmsı gerektiğini elirtmektedir. u durumd ölçüleri 30, 45 ve 100 oln çılr ir üçgenin iç çılrı olmzken, ölçüleri 30, 45 ve 105 oln çılr ir üçgenin iç çılrı olilir. Geometride zen ir teoremi isptlyilmek y d ir prolemi çözeilmek için ek çizimler ypılilir. u çizimlere yrdımcı çizim dı verilir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 637

6 ölüm 4.1 şlik nhtr ilgi Üçgenler kenrlrın ve çılrın göre sınıflndırılilir. Üçgenler kenrlrın göre; eşkenr (kenr uzunluklrı eşit), ikizkenr (en z iki kenr uzunluğu eşit) ve çeşitkenr üçgen (kenr uzunluklrı frklı) olrk sınıflndırılır. Üçgenler çılrın göre; dr çılı (tüm iç çılrının ölçüleri 90 den küçük), dik çılı (ir iç çısının ölçüsü 90 ) ve geniş çılı (ir iç çısının ölçüsü 90 den üyük) üçgen olrk sınıflndırılır Yndki üçgeninde verilenlere göre in değerini ullım. üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmı 180 olduğundn m( W ) + m( V) + m( W ) = = 180 ise = 180 eşitliğinden = 25 ulunur. 2 Ynd verilen üçgeninde m( W ) = değerini ullım üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmı 180 olduğundn m( W ) + m( V) + m( W ) = = 180 eşitliğinden = 40 ulunur. 638 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

7 Üçgende çılr 3 nhtr ilgi G [G] [] = {} [G] [] = {} olmk üzere verilen çı ölçülerine göre nın kç derece olduğunu hesplylım. Ölçüleri toplmı 180 oln iki çıy ütünler, 90 oln iki çıy ise tümler çılr denir. ğer u çılr komşu çılr ise, sırsıyl komşu ütünler ve komşu tümler olrk isimlendirilir. G üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmındn; m( ) + m( ) + m( ) = 180 ise m ( ) = 180 eşitliğinden Komşu ütünler çılr m ( ) = 60 ulunur. m ( ) = m ( ) = 60 olup (ters çılr) üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmındn m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180 ise m( ) = 180 eşitliğinden L N m ( ) = 70 ulunur. m ( ) = m ( G ) = 70 olup (ters çılr) G üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmındn mg ( ) + mg ( ) + mg ( ) = 180 ise = 180 eşitliğinden M K Komşu Tümler çılr = 70 olrk ulunur. Teorem Üçgenin ir dış çısının ölçüsü, diğer iki iç çısının ölçüleri toplmın eşittir. m( W ) + m( V ) = m ( ) İspt: Verilenler: ir üçgen İstenen: m( W ) + m( V ) = m ( ) Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 639

8 ölüm 4.1 şlik nhtr ilgi Teoremleri isptlrken kullnmış olduğumuz ispt yzm içimlerinden iri de kış diygrmı ile ispt içimidir. kış diygrmınd ifdeler mntıksl ir sır içerisinde, u ifdelerin gerekçeleri ise hemen ltlrındki kutulr yzılır. Oklr ifdeler rsındki ilişkileri göstermektedir. m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 nin iç çılrının ölçüleri toplmı m( W ) + m( V) + m( W) = m( W ) + m( ) m( W ) + m( ) = 180 Komşu ütünler çılrın ölçüleri toplmı ynı ifdeye eşit oln iki ifde iririne eşittir. m( W ) + m( V ) = m ( ) Sdeleştirme Ynd verilen nde m ( ) = m ( ) = ve m ( ) = 120 olduğun göre nın kç derece olduğunu ullım. Üçgenin ir dış çısının ölçüsü, diğer iki iç çısının ölçüleri toplmın eşit olduğundn = = 120 = 40 ulunur. 640 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

9 Üçgende çılr Ynd verilen uçurtm resminde m ( ) = 20 m ( ) = 20 ve m ( ) = 100 olduğun göre m ( ) llım. kç derece olduğunu u- Mtemtik Trihi UKLİS (Öklid) β nde m( W ) + m ( ) = m ( ) olduğundn q = q = q = 85 olrk ulunur. 30 θ [] nı uztrk üçgenini oluşturlım. m( ) = m ( ) + m ( ) eşitliğinden, m( ) = ise m ( ) = 120 m ( ) = m ( ) + m( ) eşitliğinden, m ( ) = ise m ( ) = 140 olrk ulunur. m( ) = θ m ( ) = β m ( ) = 30 ve m ( ) = 115 olduğun göre β + θ değerini ullım. Öklid (MÖ yklşık 300), ntik Yunn d en ünlü mtemtik ve geometri ilginlerinden iridir. Yşmın ilişkin ilinenler onun ylnızc Mısır d yşmış olduğu ve dünynın en önemli öğrenim merkezi oln İskenderiye kentinde ir okul kurduğudur. Öklid, mtemtikle ilgilenen hemen herkesin çğlr oyunc gözdesi olmuştur. Öklid e gelene kdr geometri ilgisi oldukç ilerlemişti m u ilgi üyük ölçüde iririyle ğıntısız kurllrdn oluşuyordu. Öklid kendinden önceki geometricilerin çlışmlrını ir ry toplyrk unlrın rlrındki ğlntılrı kurdu. u yoll geometriyi sistemtik ir hle getirdi. ütün u çlışmlrını 13 ciltten oluşn lementler dlı ypıtınd topldı. u ypıt dh sonr şk dillere de çevrildi ve 2000 yılı şkın ir süre geometri öğretiminde kullnıldı. Göker, L., (1997). Mtemtik Trihi ve Türk İslm Mtemtikçilerinin Yeri, M... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 641

10 ölüm 4.1 şlik ikkt Üçgenin ış çılrının Ölçüleri Toplmı Teorem Herhngi ir üçgeninin dış çılrı genellikle X ', X ' ve X ' ile gösterilir. ir üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı 360 dir. m( ) + m( ) + m( ) = 360 İspt nhtr ilgi Geometride teoremlerin isptlnmsınd kullnıln yzım içimlerden iri prgrf ispt içimidir. Prgrf ispt içiminde ispt prgrf şeklinde detylı çıklmlrıyl irlikte verilir., ve nı sırsıyl X ', X ' ve X ' ile gösterelim. Verilenler: ir üçgen;,, üçgenin dış çılrı İstenen: m( X ') + m( X ') + m( X ') = 360 nde ikişer ikişer ile, ile ve ile komşu ütünler çılr olduklrındn ölçüleri toplmı 180 dir. u durumd, m( W ) + m( X _ ') = 180 m( V) + m( X ') = 180 ` eşitlikleri yzılilir. m( W ) + m( X ') = 180 u eşitlikler trf trf toplnırs; m( W ) + m( X ') + m( V) + m( X') + m( W) + m( X ') = eşitliğinden m( W ) + m( V ) + m( W ) + m( X ') + m( X ') + m( X ') = 540 elde edilir. Üçgenin iç çılrı ölçüleri toplmı 180 olduğundn m( W ) + m( V) + m( W ) ifdesi yerine 180 yzılırs m( X ') + m( X ') + m( X ') = 540 eşitliği elde edilir. u eşitlikten üçgeninin dış çılrı ölçüleri toplmının m( X ') + m( X ') + m( X ') = 360 olduğu sonucun vrılır. 642 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

11 Üçgende çılr 7 Şekildeki üçgeninde verilen çı ölçülerine göre nın değerini hesplylım üçgeninin dış çılrının ölçüleri toplmı 360 olduğundn m( X ') + m( X ') + m( X ') = = 360 eşitliğinden = 90 olrk ulunur Şekildeki üçgeninde verilen çı ölçülerine göre m ( ) değerini hesplylım m( W ) + m( X ') = 180 olduğundn m ( X ') = 120 dir. Üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı 360 olduğundn = = 360 eşitliğinden = 70 ulunur. m ^ h= 180 ^ + 10 h= 180 ^ h = 100 olrk ulunur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 643

12 Üçgende çılr KNİMİZİ SINYLIM Kvrm ve Muhkeme 1. çıorty kenr yükseklik doğru prçsı köşe kenrorty Yukrıd verilen kvrmlrı şğıdki oşluklr uygun şekilde yerleştiriniz. d. (...) [], üçgeninin [] kenrın it yüksekliktir. e. (...) mg ( ) = m ( ) f. (...) mg ( ) = m ( ) + m ( ) dir. g. (...) çısı geniş çıdır. h. (...) çısı dr çıdır.. ir çıyı iki eşit prçy ölen ışın o çının... denir.. Üçgende, ir köşeyi krşısındki kenrın ort noktsıyl irleştiren doğru prçsın... denir. 3. c. Üçgenin ir köşesinden krşısındki kenrı tşıyn doğruy indirilen dik doğru prçsın o kenrın... denir G 2. G 70 üçgeninde mg ( ) = 10 mg ( ) = 10 m( ) = 15 m( ) = 25 m ( ) = 10 ve Yukrıd G doğru prçsı, uzunluklrı sırsıyl 1, 2, 3, 3 ve 6 irim şeklinde eş prçy ölünmüştür. un göre şğıdki ifdelerin doğruluğunu elirleyerek ynlrındki oşluğ doğru olnlr için, ynlış olnlr için Y yzınız.. (...) [], üçgeninde kenrortydır.. (...) [], üçgeninde kenrortydır. m ( ) = 70 dir. c. (...) [], üçgeninde kenrortydır. u verilere göre şğıdki ifdelerin doğruluğunu elirleyerek ynlrındki oşluğ doğru olnlr için, ynlış olnlr için Y yzınız. ç. (...) [], G üçgeninde kenrortydır. d. (...) [], G üçgeninde kenrortydır.. (...) [G], üçgeninde çısının çıortyıdır.. (...) [], üçgeninde çısının çıortydır. c. (...) [], üçgeninde çısının çıortydır. ç. (...) [], G üçgeninde çısının çıortydır. 644 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

13 KNİMİZİ SINYLIM Üçgende çılr 4. şğıd verilen şekillere göre istenenleri ynlrındki oşluklr yzınız.. + β =.... (...) + q = z (...) + + q = 180 (...) + y + z = 180 β y θ β z. y [] [] + y =... c. y z θ 5. şğıd verilen şekillerde,, y, z,, β, θ sıfırdn üyük çı değerleri olmk üzere; eşitliklerde verilen ifdelerin doğruluğunu elirleyiniz ve ynlrındki oşluğ doğru olnlr için, ynlış olnlr için Y yzınız. (...) > (...) y + z = + q (...) > y (...) y + z + q =. y (...) + = 90 (...) = y (...) + + y = z y verilen, y, z çı ölçülerini üyükten küçüğe doğru sırlyınız. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 645

14 Üçgende çılr KNİMİZİ SINYLIM 7. y z verilenlere göre + y + z = olduğu şğıd isptlnmktdır c [] [] [] [] dir. Verilenlere göre,, c değerlerini ulunuz. y İfdeler z Yndki şekli dikkte lrk ispt şmsındki gerekçeler kısmını doldurunuz. Gerekçeler e d 48 [], nın çıortyıdır. Verilenlere göre e, d değerlerini ulunuz. 1 m( ) = m( W ) + m( V)... 2 m ( ) = m ( ) + m ( ) 3 = + y + z lıştırmlr y [] [] dir. Verilenlere göre, y değerlerini ulunuz. 1. e c d [] [] [] [] dir. Verilenlere göre,, c, d, e değerlerini ulunuz. 5. y 50 d y + 40 d // [] dir. Verilenlere göre, y değerlerini ulunuz. 646 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

15 KNİMİZİ SINYLIM Üçgende çılr y Yndki O nde,,, doğrusl noktlrdır. Verilenlere göre, y değerlerini ulunuz m m + 52 m ^ h= m ^ h dir. Verilenlere göre m değerini ulunuz. 11. Yukrıd verilen şekilde [], nın, [], nın çıortyı olduğun göre m ( ) kç derecedir? d 1 40 d c d m ^ h= 100 m^ h = 140 olduğun göre,, c, d değerlerini ulunuz. Yukrıd verilen şekilde d 1 // d 2, [] d 1 m ( ) = m ( ), m ( ) = 40 olduğun göre kç derecedir? Şekildeki ve 2 50 üçgenlerinde m ^ h= m ^ h m^ h= m^ h dir. Verilen çı ölçülerine göre kç derecedir? Yukrıdki şekilde [], nın çıortyıdır. Verilenlere göre m^h= kç derecedir? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 647

16 Üçgende çılr KNİMİZİ SINYLIM 13. e [] // [G] dir. Uygulm ve Prolem Çözme c d G Verilen çı ölçülerine göre,, c, d, e ölçülerini ulunuz. [] ^ [] m ( ) = m ( ) olduğun göre nın ölçüsü kç derecedir? 14. θ β G [] // [G] [] // [G] [] // [] dir. Verilenlere göre + + q kç derecedir? 2. [] [] ve köşelerinden geçen çıortylr noktsınd kesişmektedir. un göre m ( ) kç derecedir? c 5 45 Şekilde üçgeninin iç ve dış çılrı gösterilmektedir. Verilenlere göre,, c çı ölçülerini ulunuz Yndki üçgeninde [] V nın çıortyı ve [] ^ [] dir. Verilenlere göre m( ) = kç derecedir? 648 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

17 KNİMİZİ SINYLIM Üçgende çılr [] [] [] [] β [], nın çıortyıdır. θ 50 Verilenlere göre, q, değerlerini ulunuz. β θ ve dik üçgenlerinde [] [] [] [] [], çısının çıortyı ve q + = 100 olduğun göre 5. Yndki üçgeninde m ( ) kçtır? 40 [] ve [] sırsıyl W çısının iç ve dış çıortylrıdır Verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 6. Yukrıdki şekilde [] [] = {}, [] ve [] sırsıyl ve çılrının çıortylrı olduğun göre çısının ölçüsü kç derecedir? c G H L d K Yukrıdki şekle göre + + c + d + e değerini ulunuz. e β 130 Şekildeki üçgeninde çısı üç eş prçy ölünmüştür. Verilen çı ölçülerine göre ve β değerlerini ulunuz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 649

18 Üçgende çılr KNİMİZİ SINYLIM 10. Şekilde [] [] 13. Nehir ytğı [] [] [] ^ [] dir. Verilenlere göre Sptırıcı (eflektör) m ( ) kç derecedir? Şekildeki üçgeninde m ^ h= m ^ h dir. Verilenlere göre ve değerlerini ulunuz. zı krsu hvzlrı erozyon mruz klmktdır. u durum ir çözüm olrk krsu ytklrın sptırıcılr (deflektörler) konur. u sptırıcılr dik üçgen şeklindedir. u dik üçgenin dik olmyn çılrındn irinin ölçüsü 30 ile 45 rsınd olmlıdır. un göre dik üçgenin diğer iç çısının ölçüsü hngi dereceler rsınd olur? 14. Şekildeki üçgeninde [] W nın ve [] W nın çıortyıdır Şekildeki üçgeninde Verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 40 Verilenlere göre kç derecedir? [] ve [] sırsıyl ve çılrının çıortylrıdır Şekildeki üçgeninde m ( ) = m ( ) m ( ) = m ( ) dır. Verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 650 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

19 KNİMİZİ SINYLIM Üçgende çılr 16. β un göre ile rsındki ilişki nedir? Şekildeki üçgeninde m ( ) = m ( ) ve [], çısının çıortydır y 45 Şekilde görüldüğü gii üçgeninin ir kısmı [] oyunc ktlnmıştır. un göre + y kç derece olur? Şekildeki üçgeninde [] [] [] [] dir. 20 Verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 18. y Şekildeki üçgeninde çısı üç eş prçy yrılmıştır. [], çısının çıortyıdır. Verilenlere göre + y kç derecedir? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 651

20 ölüm 4.1 şlik Neler Öğreneceğiz? İki üçgenin eşliğini Üçgenlerin eş olmsı için gerekli oln sgri koşullrı nhtr Terimler Kenr çı Kenr (K.. K.) çı Kenr çı (. K..) Kenr Kenr Kenr (K. K. K.) Üçgenlerin şliği şlrken Mühendisler ve mimrlr, ypılrın tsrımınd ğırlıktn kynklnn sıncın dğıtılmsı için destek elemnlrını eş üçgenler oluşturck şekilde yerleştirmektedirler. öylece dh güvenli ve estetik ypılr inş edileilmektedir. ş Üçgenler Ölçüleri eşit oln çılr eş çı, uzunluklrı eşit oln doğru prçlrın d eş doğru prçlrı denir. Semol ve Gösterimler, 6@, 6@, ş doğru prçlrı ş çılr 6@, 6@, İki üçgenin köşeleri rsınd kuruln ire ir eşlemede, krşılıklı çılr ve kenrlr eş ise u iki üçgene, eş üçgenler dı verilir. ğer ve eş ise, u durum, şeklinde gösterilir. Krşılıklı ş çılr Krşılıklı ş Kenrlr W, W V, V W, V 6@, 6@ 6@, 6@ 6@, 6@ 652 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

21 Üçgenlerin şliği 1 nhtr ilgi K M R KLM ve PRS üçgenlerinin eş çı ve kenrlrı gösterilmiştir. un göre, u üçgenler rsındki eşlik ifdesini yzlım. ş üçgenler ynsım, öteleme ve dönme dönüşümleri yrdımıyl üst üste getirileilir. Ynsım d P S L Şekilde de görüldüğü gii KLM ve PRS üçgenlerinde ş çılr: V K, V P, U L, V S, X M, V R Öteleme ş kenrlr: 6KL@, 6PS@, 6LM@, 6SR@, 6MK@, 6RP@ olduğundn iki üçgenin eşlik ifdesinde eş oln elemnlr ynı sırd yzılırs KLM, PSR olur. 2 önme, ise u üçgenlerin eş çı ve kenrlrını elirleyerek şekil üzerinde gösterelim., eşlik ifdesinde krşılıklı çılr ve kenrlr iririne eş olcğındn W, W, V, V ve W, V ve 6@, 6@, 6@, 6@, 6@, 6@ olur. ikkt ş iki üçgen rsındki eşlik ifdesi yzılırken üçgenlerin köşelerinin yzım sırsı önemlidir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 653

22 ölüm 4.1 şlik 3 2y R P 3 40 S 3y 20 ve PRS üçgenleri için PSR, mrps ( ) = 3-40 m ( ) = 2-10 msrp ( ) = 3y -20 ve m ( ) = 2y + 20 olduğun göre nın kç derece olduğunu ullım. İnceleyelim İki üçgenin eş olup olmdığın krr vermede üçgenlerin krşılıklı 6 elemnının (krşılıklı üçer çı ve kenr) eş olmsı gerektiğini öğrendik. Üçgenlerin dh z syıd elemnı kullnılrk iki üçgenin eş olduğu gösterileilir mi? u sgri elemnlr hngileri olmlıdır? Örneğin iki üçgen rsınd kuruln ire ir eşlemede, krşılıklı ikişer kenr ve u kenrlrın oluşturduğu çılrın eş olmsı u iki üçgenin eş olmsı için yeterli midir? Y d krşılıklı çılrı eş oln iki üçgen eş midir?, PSR eşlik ifdesinden, mrps ( ) = m ( ) olduğundn 3 40 = 2y + 20 ve msrp ( ) = m ( ) olduğundn 3y 20 = 2 10 olur. u denklemler lt lt yzılıp düzenlenirse 3 40 = 2y + 20 ise 3 2y = 60 3y 20 = 2 10 ise 3y 2 = denklem sistemi çözülürse 2/ 3-2y = y = / 3y- 2 = 10 9y- 6 = y = 150 ise y = 30 ve y değeri denklemlerin irinde yerine yzılırs = 40 ulunur. u durumd, m ( ) = 2-10 = = 70, m ( ) = 2y + 20 = = 80 ve üçgeninin iç çılrı toplmı 180 olduğundn m ( ) = 180 ise m ( ) = 30 ulunur. 4 Köşeleri,, ve,, oln iki eş üçgenin krşılıklı eşlenen köşeleri şğıd verilmiştir: köşesi ile, köşesi ile, köşesi ile un göre şğıdki üçgenlerin eşlerini yzlım.,...,...,...,...,...,..., ;, ;, ;, ;, ;, dir. 654 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

23 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd krşılıklı ikişer kenrı ve u kenrlrın oluşturduğu çılrı eş oln iki üçgenin eş olup olmdığını inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: Kreli kâğıt, klem, cetvel, çıölçer dım 1 Kreli kâğıt üzerinde ir üçgeni çiziniz. dım 6 etvel yrdımıyl ve KTS üçgenlerinin her ir kenr uzunluğunu ve u üçgenlerin tüm iç çılrını çıölçer yrdımıyl ölçerek şğıy not ediniz. KTS dım 2 Çizdiğiniz üçgeninin [] ve [] nın uzunluklrını ve nın ölçüsünü cetvel ve çıölçer yrdımıyl ölçerek şğıy not ediniz. =... =... m ( ) =... =.... KT =.... =.... TS =.... =.... KS =.... m( W = )... m( K= ) m( V = )... mt ( ) = V.... V.... m( W = )... m( S= ) V.... dım 3 Kreli kâğıtt ir T noktsı elirleyerek u noktdn [] n eşit uzunlukt [TS] nı oluşturunuz. dım 4 çıölçer yrdımıyl köşesi T noktsı oln n eş olck şekilde TR ışınını çizerek RTS nı oluşturunuz. dım 5 TR ışını üzerinde = TK olck şekilde K noktsını elirleyerek KTS üçgenini oluşturunuz. dım 7 ve KTS üçgenlerinin çı ve kenrlrı rsınd nsıl ir ilişki vrdır? u ilişkiye göre ve KTS üçgenlerin eşliği hkkınd ne söyleyeilirsiniz? Sonuç: Ypmış olduğunuz çlışm sonucund krşılıklı olrk ikişer kenrlrı ve u kenrlr rsındki çılrı eş oln üçgenlerin eşliği hkkınd ne söyleyeilirsiniz? çıklyınız Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 655

24 ölüm 4.1 şlik ikkt K.. K. yzımınd sırlm önemlidir. Kenr çı Kenr (K.. K.) şlik Kurlı Üçgenlerin eşliği ile ilgili tnım incelendiğinde, iki üçgenin eş olilmesi için krşılıklı olrk üçer çı ve kenrlrının eş olmsı gerektiği görülmektedir. nck üçgenin tüm kenrlrını ve çılrını incelemeden zı kenr ve çılrının incelenmesi ile de iki üçgenin eş olup olmdığın krr verileilir. İki üçgenin eş olmsı için sgri durumlr olrk dlndırileceğimiz u durumlr, dikkte lınmyn kenr y d çılrın d eş olmsını grnti ltın lmktdır. u kısımd, u sgri durumlrdn iri oln Kenr-çı-Kenr durumu incelenmiştir. Kenr çı Kenr şlik Kurlı İki üçgen rsınd kuruln ireir eşlemede, krşılıklı ikişer kenr ve u kenrlrın oluşturduğu çılr eş ise u iki üçgen eştir. u eşliğe, Kenr-çı-Kenr (K.. K.) eşlik kurlı denir. R P S 6@, 6PR@ _, PRS ` ise 6@, 6RS@, PRS dir. 1 M R Yndki üçgenlerde verilenlere göre üçgenlerin eş olup olmdığını elirleyip, eş iseler rlrındki eşlik ifdesini yzlım. Y N T Z İki üçgenin Kenr-çı-Kenr eşlik kurlın göre eş olilmesi için krşılıklı ikişer kenrı ve u kenrlrın oluşturduğu çılrın eş olmsı gerekmektedir. Verilen üçgenlerde NT = YZ, mntm ( ) = myzr ( ) ve MT = RZ olduğundn u iki üçgen K.. K. eşlik kurlın göre eştir. İki üçgen rsındki eşlik ifdesi yzılırken krşılıklı kenr ve çılr eş olcğındn u eşlik ifdesi NTM, YZR şeklinde yzılır. 656 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

25 Üçgenlerin şliği 2 N K P M ir köprünün zı destek elemnlrı gösterilmiştir. P noktsı hem [MN] hem de [KL] nin ort noktsı ise 6KN@, 6ML@ olduğunu gösterelim. L P noktsı [MN] ve [KL] nın ort noktsı olduğu için KP = PL ve NP = PM dir. KPN ve LPM çılrı ters çılr olduğundn KPN, LPM dir. 6KP@, 6PL@ _ KPN, LPM ` şrtlrı sğlndığındn K.. K. eşlik kurlın göre KPN, LPM dir. 6NP@, 6PM@ ş üçgenlerin krşılıklı elemnlrı eş olduğundn 6KN@, 6ML@ dir. 3 2 Ynd verilen şekilde = = 8 cm = 7 cm = 10 cm = 2 cm ve m ( ) = m ( ) olduğun göre = in kç cm olduğunu ullım. = _ m ( ) = m( ) ` olduğundn K.. K. eşlik kurlın göre, dir. = ş üçgenlerde krşılıklı çı ve kenrlr iririne eş olduklrındn 6@, 6@ olup = 7 cm olrk ulunur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 657

26 ölüm 4.1 şlik 4 + y Ynd yer ln şekilde [] // [] θ 70 y = = = y = + y ve m( ) = 70 olduğun göre nın kç derece olduğunu ullım. [] // [] olduğundn ve iç ters çılr olup m ( ) = m ( ) dir. =, m ( ) = m ( ) ve = olduğundn K.. K. eşlik kurlın göre, dir. m ( ) + 70 = 180 olduğundn m ( ) = 110 ve m ( ) = m ( ) = 110 den m ( ) = 110 elde edilir. Mtemtik Trihi Thles (Tles) 5 ir üçgenin iki kenrı eş ise u kenrlrın krşısındki çılrın d eş olduğunu gösterelim. Tles (M.Ö ), Sokrtes öncesi dönemde ndolu d yşmış ir filozoftur. Geometride ikizkenr üçgenin tn çılrının eş olduğunu göstermiştir. Verm, S. (2008). The Little ook Of Mths Theorems 8 Things. New Hollnd Pulishers. üçgeninde W nın çıortyını çizelim. çıortyın [] nı kestiği noktyı olrk isimlendirelim. [], çıorty olduğu için, dır. =, m ( ) = m ( ) ve = olduğundn K.. K. eşlik kurlın göre, dir. u durumd V, W olur. 658 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

27 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd krşılıklı ikişer çısı ve u çılr rsındki kenrlrı eş oln üçgenlerin kendilerinin de eş olup olmdığını inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: Kreli kâğıt, klem, cetvel, çıölçer, mks dım 1 Kreli kâğıt üzerinde ir O çizerek [] nın uzunluğunu ve ile çılrının ölçülerini cetvel ve çıölçer yrdımıyl ölçerek şğıy not ediniz. =... m( V = )... m( = ) dım 2 W... Kâğıt üzerinde [] n eş olck şekilde [LM] çiziniz. L M dım 3 çıölçer yrdımıyl köşesi L oln ve ölçüsü çısının ölçüsüne eşit oln MLS çısını oluşturrk LS ışınını çiziniz. L S M dım 4 S R çıölçer yrdımıyl köşesi M oln ve ölçüsü çısının ölçüsüne eşit oln LMR çısını oluşturrk MR ışınını çiziniz. dım 5 L M LS ve MR ışınlrını uztrk kesiştikleri noktyı K olrk dlndırıp ve KLM üçgenlerini keserek üst üste yerleştiriniz. u iki üçgen rsınd nsıl ir ilişki ulunmktdır?... Sonuç Yukrıd ulşmış olduğunuz sonuçlrı göz önüne ldığınızd krşılıklı ikişer çılrı ve u çılr rsındki kenrlrı eş oln üçgenlerin eşliği hkkınd ne söyleyeilirsiniz? çıklyınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 659

28 ölüm 4.1 şlik çı Kenr çı (. K. ) şlik Kurlı İki üçgenin köşeleri rsınd kuruln ire ir eşlemede, krşılıklı ikişer çı ve u çılrın rsınd kln kenrlr eş ise u iki üçgen eştir. u eşliğe, çı Kenr çı (. K. ) eşlik kurlı denir. 6@, 6@ _`,, ise O O dir. 1 şğıd verilen üçgenlerden hngilerinin eş olduğunu elirleyip eşlik ifdesini yzlım. P Z 35 5 cm 60 S cm R V 60 5 cm 35 Y V, VY, 6@, 6YZ@ ve W, V Z olduğundn, VYZ olur. 2 8 = m ( ) = m ( ) = 8 cm ve [] // [] dir. un göre nun kç cm olduğunu hesplylım. 660 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

29 Üçgenlerin şliği [] // [] olduğundn m ( ) = m ( ) (iç ters çılr) dir. = + = + ve = olduğundn = olur. m ( ) = m ( ) = ve m ( ) = m ( ) olduğundn. K. eşlik kurlı gereği, dir. ile nin eşliğinden = olup = 8 cm elde edilir. 3 m( V) = m( W ) = 90 = olduğun göre verilen üçgenler için eşlik ifdesini yzlım. ve ters çılr olduğundn ölçüleri eşittir. m( V) = m( W ) ve = olduğundn. K.. eşlik kurlı gereği, dir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 661

30 ölüm 4.1 şlik 4 Thles, gemilerin kıyıy oln uzklığının şğıdki yöntemle hesplnileceğini iddi etmiştir: Şekildeki gii, geminin yeri noktsı ve izim kıyıdki yerimiz ise noktsı olsun. noktsındn shil oyunc elli ir mesfe yürüyerek noktsın gidilir. ile uç noktlrının ort noktsı olrk işretlenir. noktsındn kıyıy ([] n) dik olck şekilde yürüyen kişinin konumu ve noktlrıyl ynı hizd oluncy kdr yürünür. oğrusllık sğlnınc ulunn yer olrk işretlenir. öylece [] ^ [] ve [] ^ [] olur. ölçülür. Geminin kıyıy oln uzklığı kdrdır. Thles in yönteminin gerçekten geminin kıyıy oln uzklığını hesplmd geçerli olup olmdığını inceleyelim. İfdeler Gerekçeler 1 6@, 6@ Verilen Ynd verilen ispt göre, (. K.. eşlik kurlı) olur. 2, Ters çılr 3 V, W Verilen 4,. K.. eşlik kurlı Geminin kıyıy oln uzklığı olduğundn u uzklığı ulmk için nu ilmek yeterlidir. 662 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

31 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd krşılıklı kenrlrı eş oln üçgenlerin kendilerinin de eş olup olmdığını inceleyeceğiz. şğıd kenrlrı ir üçgeninin kenrlrın eş oln üçgeninin nsıl oluşturulildiği çıklnmıştır. rç ve Gereçler: Kreli kâğıt, klem, cetvel, pergel, mks dım 4 P M dım 1 K R Kreli kâğıt üzerinde ir çiziniz. de pergeli [] kdr çrk merkezi oln KM nı çiziniz. dım 5 P M dım 2 K R $ PR ve KM nın kesim noktsını olrk dlndırıp ni oluşturunuz. Pergelinizin sivri ucunu noktsın yerleştirerek pergeli [] kdr çıp kreli kâğıt üzerinde [] n eş ir [] oluşturunuz. dım 6 P K R M dım 3 P R ile ni mks ile keserek üst üste yerleştiriniz. u iki üçgen rsınd nsıl ir ilişki ulunmktdır?... $ de pergeli [] kdr çrk merkezi oln PR nı çiziniz. Sonuç Yukrıd ulşmış olduğunuz sonuçlrı göz önüne ldığınızd, krşılıklı kenrlrı eş oln üçgenlerin eşliği hkkınd ne söyleyeilirsiniz?... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 663

32 ölüm 4.1 şlik İnceleyelim Kenr Kenr Kenr (K. K. K.) şlik Teoremi İki üçgenin eş olilmesi için sgri koşullrdn ikisinin K.. K. ve. K.. olduğunu öğrenmiştik. u kısımd, u sgri koşullrdn ir diğeri oln Kenr Kenr Kenr durumu incelenmiştir. Kenr Kenr Kenr şlik Teoremi Teorem İki üçgenin köşeleri rsınd kuruln ireir eşlemede, krşılıklı kenrlr eş ise u iki üçgen eştir. u eşliğe, Kenr Kenr Kenr (K. K. K.) eşlik teoremi denir. Prkt gezintiye çıkn iki rkdş ir süre sonr susuzluklrını gidermek için limont içmeye krr verirler. kt limont lmy gittiklerinde ylnızc ir rdk lck kdr prlrının olduğunu frk ederler. unun üzerine iki rkdş ir rdk limont lıp yrı yrıy ölüşmeye krr verirler. İçlerinden iri limontyı içerken diğeri tmm, yrısını itirdin, sır ende der. Sizce u kişi limontnın yrılndığını nsıl elirlemiştir? u teoremin isptı için 669. syfdki 4. soruyu çözünüz. 1 6@, 6@ _ 6@, 6@ ` ise 6@, 6@, dir. şğıd verilen üçgenlerden hngilerinin eş olduğunu elirleyip eşlik ifdesini yzlım R 7 S 8 Y Z 7 4 V = S, = R ve = SR olduğundn K. K. K. eşlik teoremine göre, SR olur. 664 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

33 Üçgenlerin şliği 2 Ynd verilen şekilde 7 7 = = 7 cm = 7 cm = 5 cm = 3 cm = 2 cm dir. ise nın ölçü- un göre m ( ) = 120 sünü ulunuz. = olduğundn nhtr ilgi = = 5 2 = 3 cm olur. un göre =, = ve = olduğundn K. K. K. eşlik teoremine göre, dır. Üçgenlerin eş olduğu ilinirse herhngi iri üzerinde ulşıln sonucun diğerleri için de geçerli olduğu tespit edilmiş olur. un göre m( ) = m( ) olup m ( ) = 120 elde edilir ,, noktlrı doğrusl m ( ) = 80 m ( ) = 40 m ( ) = olmk üzere, ynd verilen ve üçgenlerinin krşılıklı eş kenrlrı işretlenmiştir. un göre m ( ) = nın kç derece olduğunu ullım. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 665

34 ölüm 4.1 şlik =, =, = olduğundn K. K. K. eşlik teoremi gereği, dir nde iç çı ölçüleri toplmı yzılırs m ( ) = 180 ise m ( ) = 60 olur. doğru çı olduğundn = 180 ve urdn = 40 ulunur. ş üçgenlerde krşılıklı elemnlr eş olcğındn, m ( ) = m ( ) = 40 ve m ( ) = m ( ) = 80 olur. ş Üçgenlerin Yrdımcı lemnlrı rsındki İlişki K G ş üçgenler frklı dönüşümler kullnılrk (ynsım, öteleme ve dönme) üst üste çkıştırılilirler. u nedenle eş üçgenlerin krşılıklı yrdımcı elemnlrı d (çıorty, kenrorty ve yükseklik) eş olmk zorunddır. şğıd ve eş üçgenlerinin (, ) eş çılrının çıortylrının niçin eş olduğu gösterilmiştir., olduğundn, dir. [K] ile [G] çıorty olduğundn K, G olur. ile eş üçgenler olduğundn 6@, 6@ ve, dir. K veg üçgenlerinde 6@, 6@, K, G ve K, G olduğundn. K.. eşlik kurlı gereği K, G olur. urdn 6K@, 6G@ elde edilir. enzer şekilde eş üçgenlerin krşılıklı kenrortylrının ve yüksekliklerinin de eş olduğu gösterileilir. İspt için 670. syfdki 5. soruyu çözünüz. 666 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

35 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd krşılıklı ikişer kenrlrı ve u kenrlr rsınd olmyn çılrı eş oln iki üçgenin eş olup olmdığını inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: Kreli kâğıt, cetvel, çıölçer, pergel şğıd zı ölçümleri verilen üçgenini oluşturlım. = 4 cm = 11 cm m ( ) = 20 dım 1 etvelinizi kullnrk 11 cm uzunluğund olck şekilde [] nı oluşturunuz. 11 dım 2 İletkinizi kullnrk köşesinde 20 lik ir çı oluşturunuz. dım 3 Pergelinizi 4 cm çıp merkezi oln ve çısının ir kolunu, yndki şekilde olduğu gii ve noktlrınd kesen ir yy çiziniz. dım 4 noktsı ile ve noktlrını irleştiriniz. dım 5 ve üçgenlerinin eş olup olmdığı hkkınd ne söyleneilir? Sonuç Yukrıd ulşmış olduğunuz sonuçlrı göz önüne ldığınızd, krşılıklı ikişer kenrı ve u kenrlr rsınd olmyn ir çısı eş oln üçgenlerin eşliği hkkınd ne söyleyeilirsiniz? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 667

36 Üçgenlerin şliği KNİMİZİ SINYLIM Kvrm ve Muhkeme 1. şğıdki üçgenlerde krşılıklı eş elemnlrı elirterek iki üçgen rsındki eşliği şekillerin ltındki oşluğ yzınız.. 2. şğıdki ifdelerin ynlrın doğru olnlr için, ynlış olnlr için Y yzınız.. (...) İki üçgen eş ise krşılıklı çı ölçüleri ve kenr uzunluklrı eşittir.. (...) İki üçgen eş ise eş kenrlr it yükseklikler de eştir. c. (...) İki üçgenin eşliği yzılırken kenr ve çı sırsının önemi yoktur. ç. (...) İki üçgenin krşılıklı çılrı eş ise u iki üçgen dim eştir.....,... P 3. şğıd verilen üçgenlerde eş oln çı ve kenrlr gösterilmiştir. un göre, u üçgenler rsındki eşlik kurlını gerekçesiyle irlikte ltlrındki oşluğ yzınız. X R.. + Y Z S...,......,......,... Gerekçesi:... Gerekçesi:... c. H P L c. ç. J K R...,......,......,... Gerekçesi:... Gerekçesi: Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

37 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin şliği d. e. unun için V n eş üçgeninin kenrın şekildeki gii ir G çizelim. G kenrı üzerinde = H olck şekilde ir H noktsı lıp u H noktsını ve noktlrı ile irleştirelim. ([] // [] ve [] // [])...,......,... Gerekçesi:... Gerekçesi: şğıd K. K. K. eşlik teoreminin isptı iki kolonlu ispt içiminde verilmektedir. un göre gerekçeler kısmınd oş ırkıln yerleri uygun şekilde doldurunuz. İfdeler Gerekçeler 1. = Verilen 2. mh ( ) = m ( ) H = Çizimden 4. H, = H Verilen ve 4. dımdn 6. m( H ) = m( H ) 5. dımdn 7. = H m( H ) = m( H ) 7. dımdn 9. m( ) = m( H ) 6. ve 8. dımdn 10., H , 4. ve 10. dımın sonucu olrk H G Yukrıdki ve üçgenlerinde 6@, 6@ _ 6@, 6@ ` ise, 6@, 6@ olduğunu göstereceğiz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 669

38 Üçgenlerin şliği KNİMİZİ SINYLIM 5. ş üçgenlerin eş kenrlrın it kenrortylrının ve yüksekliklerinin de eş olduğunun isptı şğıd kış diygrmı içiminde verilmiştir. un göre diygrmlrdki oşluklrı uygun şekilde doldurunuz.., olsun. K P =... m( V) = m( V) Üçgenlerin eşliğinden =... K, P K.. K. eşlik teoreminden K = P... 6K@, 6P@...., olsun. R H m( W) = m( V) Üçgenlerin eşliğinden m ( R ) = m( H )... = Üçgenlerin eşliğinden m( R ) = m( H )... R, H. K.. eşlik teoreminden 6H@ Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

39 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin şliği lıştırmlr 5. 1.,,, doğrusl = = = + 4 = 2 3 ise kçtır? Yukrıdki şekilde,,, doğrusl [] // [], [] // [], = dir. un göre, olduğunu gösteriniz. 2. Şekildeki =,, doğrusl m ^ h = m_ i 6., X, Y doğrusl ve verilenler göre XY, XY olduğunu gösteriniz. olduğun göre kçtır? X 3. 8 Şekilde m ^ h= m ^ h = Y = 8 irim ise kç r dir? Şekilde [] [] dir. m ( ) = m ( ) olduğun göre kç r dir? Yukrıdki şekilde,, doğrusl, =, = olduğun göre = in ve türünden değerini ulunuz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 671

40 Üçgenlerin şliği KNİMİZİ SINYLIM Uygulm ve Prolem Çözme 1. ikizkenr üçgen 4. = = olduğun göre = olduğunu gösteriniz. Şekilde origmi ile kâğıttn ir kuşun ypım şmsı görülmektedir. Verilenlere göre [] ^ [], [], [], m ( ) = m ( ) m ^ h= m ^ h olduğun göre 2.. m ( ) = m ( ) olduğunu gösteriniz. [] // []. [], [] olduğunu gösteriniz. [] ^ [] [] ^ [] = olduğun göre şğıdki eşitlikleri gösteriniz.. =. = c. m ( ) = m ( ) 3. dörtgeninde 5. ir derenin genişliğini hesplmk için Thles in gemilerin kıyıy oln uzklığını hesplmd kullndığı yöntemi kullnlım. Şekle göre =, [] [] ve [] [] ise [] // [] ve [] // [] olduğun göre = ve = olduğunu gösteriniz.. ile üçgenleri eş midir? ğer eş ise eş olduklrını gösterirken hngi eşlik kurlı kullnılmktdır?. erenin genişliğini ulmk için hngi doğru prçsının uzunluğunu ulmlıyız? çıklyınız. 672 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

41 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd ikizkenr üçgenin ship olduğu zı özellikleri inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: inmik geometri yzılımı dım 3 dım 1 Yzılımın çıorty özelliğini kullnrk üçgeninin çısın it çıortyını çiziniz. dım 4 Çizdiğiniz şekildeki V, W ve nın ölçülerini;, nu hesplyınız. u değerleri not ediniz. inmik geometri yzılımı yrdımıyl merkezi oln ir çemer çiziniz. dım 5 tkinlikteki ilk dört dımı frklı ikizkenr üçgenler için uygulyıp oluşturduğunuz ypılr üzerinde ilgili ölçümler yprk şğıdki tloyu doldurunuz. dım 2 m( V ) m( W ) m ( ) dım 6 Tloy göre m( V), m( W ), m( ),, rsınd elirlemiş olduğunuz ilişkileri şğıy yzınız. ir köşesi oln, diğer iki köşesi çemerin üzerinde oln üçgenini oluşturunuz ve rdındn çemeri gizleyiniz. Oluşturmuş olduğunuz üçgeninin ikizkenr üçgen olup olmdığını gerekçeleri ile irlikte çıklyınız Sonuç Yptığınız u çlışm sonucund ikizkenr üçgen için elirlemiş olduğunuz özellikleri şğıy yzınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 673

42 ölüm 4.1 şlik Neler Öğreneceğiz? İkizkenr üçgen ve özelliklerini şkenr üçgen ve özelliklerini İkizkenr ve şkenr Üçgen şlrken nhtr Terimler İkizkenr üçgen şkenr üçgen de görüldüğü gii özellikle pirmit şeklindeki üyük ypılr tsrlnırken ypının dengeli olilmesi için ikizkenr ve eşkenr üçgenlerden sıklıkl yrrlnılır. h önceki yıllrd ikizkenr ve eşkenr üçgeni tnımış ve u üçgenlerin ship olduğu zı özellikleri incelemiştik. u ölümde önce eşkenr ve ikizkenr üçgenle ilgili ilgilerimizi gözden geçirip rdındn özelliklerini gerekçeleri ile irlikte inceleyeceğiz. İkizkenr Üçgen İnceleyelim Yüzey Şkülü Tn çısı Tepe çısı İki kenrı eş oln üçgene ikizkenr üçgen denir. İkizkenr üçgende eş kenrlrın oluşturduğu çı tepe çısı, diğer çılr tn çılrı ve eş olmyn kenr d tn olrk isimlendirilir. Özellikle ski Mısır d yüzeylerin düz olup olmdığını elirlemek için yukrıdki resimde görülen yüzey şkülleri kullnılırdı. u yüzey şküllerinde slınd ikizkenr üçgenin özellikleri kullnılmktdır. u rcın yüzeyin eğimli olup olmdığını elirlemede nsıl yrdımcı olileceğini düşününüz. Tn çısı İkizkenr üçgen ir çok özelliğe de shiptir. şğıd u özelliklerden zılrı incelenmiştir. Özellik I İkizkenr üçgenin tn çılrının ölçüleri iririne eşittir. u özellik K.. K. eşlik kurlının ir uygulmsı olrk isptlnmıştır. Şimdi u kurlı kullnrk şğıdki örneği yplım. 674 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

43 İkizkenr ve şkenr Üçgen 1 50 Yndki üçgeninde = ve m( W ) = 50 dir. un göre m( V ) nün değerini ullım. nhtr ilgi İki kenrı eş oln üçgenlerin eş kenrlrının krşısındki çılr d eş olduğu gii iki çısı eş oln üçgenlerin de krşılrındki kenrlr eştir. = olduğundn ir ikizkenr üçgendir. İkizkenr üçgenin tn çılrının ölçüleri iririne eşit oludğundn m( V ) = m( W ) dir. Üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı 180 olduğundn m( W ) + m( V ) + m( W ) = 180 ise 2m ( V ) = 130 olduğundn m ( V ) = 65 dir. Özellik II İkizkenr üçgende tepe çısın it çıorty hem kenrorty hem de yüksekliktir. n de görüldüğü gii. K.. eşlik kurlın göre, olduğundn = ve, dır. m ( ) + m ( ) = 180 olduğundn m ( ) = m ( ) = 90 olur. Yukrıd incelenen özelliklerin krşıtlrı d doğrudur. Özellik III ir üçgenin iki çısı eş ise u çılrın krşısındki kenrlr d eştir. (İki çısı eş oln üçgen ikizkenr üçgendir.) İkizkenr üçgende tn çizilen yükseklik hem kenrorty hem de çıortydır. İkizkenr üçgende tn çizilen kenrorty hem yükseklik hem de çıortydır. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 675

44 ölüm 4.1 şlik ikizkenr ir üçgen = ve m ( ) = 110 olduğun göre nın ölçüsünün kç derece olduğunu ullım. ve komşu ütünler çılr olduğundn m ( ) + m ( ) = 180 ise m ( ) = 180 İkizkenr üçgende tn çılrının ölçüleri eşit olduğundn m ( ) = m ( ) = 70 olup de iç çılr toplmındn m ( ) = 180 ise m ( ) = 40 elde edilir. eşitliğinden m ( ) = 70 olur. 3 köşeleri, ve G oln ikizkenr üçgen şeklinde ir kitplık görülmektedir. u kitplıkt = G, R = GR ve mgr ( ) = 36 ise R çısının ölçüsünün kç derece olduğunu ullım. R G G üçgeni ikizkenr üçgen ve R = GR olduğundn [R] kenrortyı ynı zmnd çıorty ve yüksekliktir. un göre [R] [G], yni mr ( ) = 90 ve [R] çıorty olduğundn mgr ( ) = mr ( ) = 36 olur. R üçgeninin iç çılrının ölçüleri toplmı 180 olduğundn mr ( ) + mr ( ) + 90 = 180 dir. mr ( ) = 36 olduğundn mr ( ) = = 54 olrk ulunur. 676 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

45 İkizkenr ve şkenr Üçgen 4 70 üçgeninde [], çısının çıortyı [] [] m ( ) = 70 ve = olduğun göre nın ölçüsünün kç derece olduğunu ullım. unu iliyor muydunuz üçgeninde [] hem yükseklik hem de çıorty olduğundn üçgeni ikizkenr üçgen olup [] ynı zmnd kenrortydır. Yni = ve m ( ) = m ( ) = 70 dir. = olduğundn m ( ) = m ( ) dir. ynıklı ve estetik ypılrın tsrımınd eşkenr üçgenlerden sıklıkl yrrlnılmktdır. m ( ) + m ( ) = 70 ise 2m ( ) = 70 eşitliğinden m ( ) = 35 elde edilir. 5 Ynd verilen şekilde 108 = = = ve m ( ) = 108 olduğun göre nın ölçüsünün kç derece olduğunu hesplylım m ^ h+ 2 = 180 = ve = olduğundn ve üçgenleri ikizkenr üçgenlerdir. m ( ) = m ( ) = olsun. m ( ) = m ( ) + m( ) olduğundn m ( ) = 2 ve üçgeni ikizkenr olduğundn m ( ) = 2 olur. üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmındn; = 180 ise 3 = 72 eşitliğinden = 24 olur. üçgeninin iç çılrı toplmındn ise m ^ h= = = 84 elde edilir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 677

46 ölüm 4.1 şlik şkenr Üçgen Üç kenrının uzunluklrı iririne eşit oln üçgene eşkenr üçgen denir. Yndki eşkenr üçgeninde = = dır. İkizkenr üçgende olduğu gii eşkenr üçgenin de ship olduğu zı temel özellikler vrdır. şğıd u özellikler sunulmuştur. Özellik I şkenr üçgenin iç çılrının ölçüleri iririne eşit ve her iri 60 dir. İlköğretim yıllrındn eri ildiğimiz u özelliğin niçin doğru olduğunu inceleyelim. ve üçgenlerini düşünüldüğünde 6@, 6@ _ 6@, 6@ ` olduğundn K. K. K. eşlik kurlın göre, 6@, 6@ ş üçgenlerin krşılıklı çılrı eş olduğundn W, V, W dir. olur. u özellik ikizkenr üçgenin özellikleri kullnılrk d rhtç gösterileilirdi. Her eşkenr üçgen ynı zmnd ir ikizkenr üçgen olduğundn ikizkenr üçgenin ship olduğu özelliklere eşkenr üçgenler de shiptir. Yukrıdki üçgeninde [], [] olduğundn V, W olur. yrıc [], [] olduğundn W, V ve öylece W, V, W olur. Üçgenin iç çılrı 180 ve çılr eş olduğundn eşkenr üçgenin her ir iç çısı 60 olur. 678 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

47 İkizkenr ve şkenr Üçgen Özellik II nhtr ilgi Her eşkenr üçgen ir ikizkenr üçgendir ir eşkenr üçgende ir çının çıortyı, krşı kenr it hem kenrorty hem de yüksekliktir. şkenr üçgen de ir ikizkenr üçgen olduğu için ikizkenr üçgen için geçerli oln u özelliğin, eşkenr üçgen için de geçerli olduğu rhtlıkl görüleilir. 6 eşkenr üçgeninde = ve m ( ) = 23 olduğun göre nın ölçüsünü ullım. 23 eşkenr üçgeninde = olduğundn [] kenrortydır ve ynı zmnd çıortydır. u durumd m ( ) = m( ) = 30 olur. ir üçgende iki iç çının ölçüsünün toplmı u çılr komşu olmyn üçüncü çının dış çısının ölçüsüne eşit olduğundn üçgeninde m( ) = m( ) + m( ) = = 53 olrk ulunur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 679

48 ölüm 4.1 şlik 7 ve eşkenr üçgenler m ( ) = 20 olduğun göre nın ölçüsünün kç derece olduğunu hesplylım. 20 ve üçgenleri eşkenr üçgenler olduğun- dn m ( ) = m ( ) = 60 olup üçgeninde iç çılr toplmındn = = 180 = 40 olur. 8 Yndki eşkenr üçgeninde = ise ölçüsünü ullım. şkenr üçgenin tüm iç çılrının ölçüleri 60 ve tüm kenr β uzunluklrı eşit olduğundn =, m( ) = m ( ) = 60 ve = 60 θ olduğundn K.. K. eşlik kurlın göre, dır. un göre m ( ) = m ( ) β m ( ) = m ( ) = β ve m ( ) = θ un göre + q = 60 olur., üçgeninin dış çısı olduğundn m( ) = β+ θ dır. olyısıyl, m( ) = 60 elde edilir. 680 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

49 KNİMİZİ SINYLIM İkizkenr ve şkenr Üçgen Kvrm ve Muhkeme 1. şğıdki ifdelerin ynlrın doğru olnlr için, ynlış olnlr için Y yzınız. lıştırmlr 1. şğıdki şekillerde verilen çı ölçüleri ve eş kenrlr göre değerlerini ulunuz.. (...) İkizkenr üçgende tn çı ölçüleri eştir.. (...) şkenr üçgenin tüm iç çı ölçüleri eşit ve 60 dir. c. (...) Her ikizkenr üçgen ynı zmnd eşkenr üçgendir ç. (...) İkizkenr üçgenin tn çılrı dr çı olmk zorunddır. 4 d. (...) İkizkenr üçgenin tnın it yükseklik ynı zmnd kenrorty ve çıortydır. e. (...) İkizkenr üçgenin tüm kenrlrın it yükseklikler her zmn eştir. f. (...) ir ikizkenr üçgen geniş çılı üçgen ise geniş çı tepe çısı olmk zorunddır. c. 100 ç. H 50 K d. 2. β θ θ θ θ verilenlerle ilgili şğıdki ifdelerin doğruluğunu gösterin. i. > ii q < 45 iii. = iv. > [], W nın çıortyı = dir. β Verilenlere göre ile rsındki ğıntıyı ulunuz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 681

50 İkizkenr ve şkenr Üçgen KNİMİZİ SINYLIM 3. [], çısının çıortyı [] ^ [ [] ^ [] Uygulmlr ve Prolem Çözme 1. dr çılı ir üçgendir. [] [] olmk üzere m ( ) = kç derecedir? [] [] 4. şğıdki üçgenlerde verilenlere göre değerlerini ulunuz... m ^ h= m ^ h= m ^ h Verilenlere göre ornı kç eşittir? eşkenr üçgen H 40 H = = c. ç olduğun göre m ( ) = kç derecedir? H 30 H 3. d. ikizkenr üçgen 48 y = = H z = 70 m ( ) = 70 Verilenlere göre, y, z değerlerini ulunuz. 682 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

51 KNİMİZİ SINYLIM İkizkenr ve şkenr Üçgen Yndki üçgeninde 120 ise m ( ) = kç derecedir? = = = ve m( ) = Yukrıdki şekilde eşkenr üçgen m ( ) = m( ) = m( ), =, = ise = uzunluğunun ve cinsinden ifdesini ulunuz. 110 eşkenr üçgendir. 8. un göre m( ) = kç derecedir? ve eşkenr üçgenler,, doğrusl noktlrdır. Şekilde verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 6. Yndki üçgeninde m ^ h= [] [] 2 m ^ h= m ^ h m ^ h= 2 m ^ h olmk üzere verilenlere göre ile rsındki ilişkiyi ulunuz. 9. ve eşkenr üçgenler ve θ,,, doğrusl noktlrdır. un göre m( ) = θ kç derecedir? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 683

52 İkizkenr ve şkenr Üçgen KNİMİZİ SINYLIM 10. Yndki 13. eşkenr üçgen ve içinde ir nokt olsun. üçgeninde üçgeni için m ( ) = θ ve m ( ) = dır. [], çısının çıortyı ve üçgeninin dışınd [] üzerine kuruln üçgeni için de m ( ) = θ ve m ( ) = oldu [] ^ [] dır. ğun göre m ( ) = kç derecedir? Yukrıdki verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? Ynd verilen şekilde 80 = = m ( ) = 80 m ( ) = m ( ) m ( ) = y ve eşkenr üçgenler ise = y olduğunu gösteriniz. Yukrıd verilenlere göre m ( ) = kç derecedir? 12. H y Ynd verilen şekilde ve H irer eşkenr üçgendir Ynd verilen üçgeninde = olduğun göre m ( ) = kç derecedir? un göre = y olduğunu gösteriniz Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

53 MTMTİK TÖLYSİ u tölye çlışmsınd üçgenin kenr uzunluklrı ile çı ölçüleri rsınd ir ilişki olup olmdığını inceleyeceğiz. rç ve Gereçler: Kâğıt, klem, cetvel, çıölçer dım 1 Kâğıt üzerine ir üçgeni çiziniz. dım 2 çıölçer ve cetvel yrdımıyl çizdiğimiz üçgenin çı ve kenr ölçülerini elirleyerek şğıdki tloyu doldurunuz. çı Ölçüleri Kenr Uzunluklrı m ( ) = = m ( ) = = m ( ) = = Sonuç lde ettiğiniz verilere göre üçgenin kenr uzunluklrı ile çılrının ölçüleri rsınd üyüklük küçüklük kımındn nsıl ir ilişki vrdır? Ulştığınız u sonucu şğıy yzınız ve frklı üçgenler için test ediniz.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 685

54 ölüm 4.1 şlik Neler Öğreneceğiz? Üçgen kenrlrı ile üçgenin çılrı rsındki ilişkileri nhtr Terimler Üçgen eşitsizliği Üçgenin Kenrlrı ile çılrı rsındki İlişkiler şlrken Kr ve deniz ulşımının ynı nd gerçekleştirileilmesi için zı köprüler yrılilir şekilde inş edilmiştir. öylece yüksek deniz tşıtlrının ir köprünün ltındn geçeilmesi mümkün olmktdır. Yndki resimde u mçl tsrlnn İstnul dki Glt Köprüsü görülmektedir. Sizce köprünün hvd oln kntlrının uzunluklrı toplmı, kntlr indirildiğinde ir köprü oluşturilmesi için ne kdr olmlıdır? Semol ve Gösterimler > < y şğıd verilen üçgenlerin iç çılrının ölçülerini üyükten küçüğe doğru sırlylım Yukrıdki şekildeki nde tüm çı ölçüleri verildiğinden u üçgenin çı ölçülerinin üyüklük sırlmsını m( W ) > m( V) > m( W ) şeklinde elirleyeiliriz. ununl irlikte nde ise sdece kenr uzunluklrı elirtilmiştir. c ir üçgenin sdece kenr uzunluklrı verilirse hngi çının ölçüsünün dh üyük olduğun, kenr uzunluklrın krk krr vereilir miyiz? şğıdki teorem, ir üçgenin kenr uzunluklrı ile çılrının ölçüleri rsındki ilişkiyi elirlememize yrdımcı olmktdır. Teorem c ir üçgende iki kenr eş değilse u kenrlrdn uzun olnın krşısındki çının ölçüsü, kıs olnın krşısındki çının ölçüsünden üyüktür. > c ise m( V) > m( W ) dir. 686 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

55 Üçgenin Kenrlrı ile çılrı rsındki İlişkiler İspt Verilenler:, > c İstenen: m( V) > m( W ) c c nde > olduğundn [] kenrı üzerinde = olck şekilde ir noktsı lınilir. lınn u noktyı köşesi ile irleştirelim. u durumd ikizkenr üçgen olcğındn m ( ) = m ( ) dır. ir üçgende, ir dış çının ölçüsü kendisine komşu olmyn iki iç çının ölçüleri toplmın eşit olduğundn de m ( ) > m ( ) ve m ( ) = m ( ) den m ( ) > m ( ) dir. ikizkenr üçgen ve de m ( ) = m ( ) + m ( ) olduğundn m ( ) > m ( ) dir. u teoreme göre yukrıd kenr uzunluklrı 9, 12 ve 14 irim olrk verilen nin çı ölçülerinin üyüklük sırlmsı m( W ) > m( V) > m( V ) şeklindedir. 1 de c = 12 cm = 9 cm ve c = 11 cm olduğun göre m( W ), m( W ) ve m( V ) değerlerini sırlylım. de > c > dir. ir üçgende üyük kenr krşısınd ölçüsü üyük çı olduğundn ve W, V ve W nın ölçülerinin sırlmsı m ( W ) > m ( W ) > m ( V ) şeklinde olur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 687

56 ölüm 4.1 şlik unu iliyor muydunuz 2,, ve,, noktlrı doğrusldır. > > ve > > Glt Köprüsü 490 metre uzunluğund ve 80 metrelik kısmı çılilen ir köprüdür. Üzerinden iki şerit trmvy yolu geçen Glt Köprüsü İngiltere ve deki irkç köprünün ynı sır, dünyd üzerinden trmvy geçen ender köprülerden iridir. sırlmlrı olduğun göre en üyük ölçülü çıyı ullım. nin kenr uzunluklrı rsındki sırlm > > şeklindedir. n uzun kenr krşısınd, ölçüsü en üyük çı olduğundn nin iç çı ölçüleri rsındki sırlm m( V) > m( W ) > m( W ) içimindedir. iğer trftn nin kenr uzunluklrı rsındki sırlm > > şeklinde olduğundn nin iç çı ölçüleri rsındki sırlm m( V) > m( V) > m( W ) içimindedir. ile nin iç çı ölçüleri rsındki sırlmlr irlikte düşünülürse ölçüsü en üyük çı V olur. Sonuç ir üçgende uzun kenr krşısınd ölçüsü üyük çı olduğu gii u ifdenin krşıtı d doğrudur. ir üçgende iki çı eş değilse ölçüsü dh üyük oln çının krşısınd dh uzun kenr ulunur. nde m( W ) > m( V ) şeklinde ise > dir. 688 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

57 Üçgenin Kenrlrı ile çılrı rsındki İlişkiler 3 c 84 Ynd de verilen çı ölçülerine göre, ve c kenr uzunluklrını sırlylım. 42 nde m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 olduğundn 84 + m( V ) + 42 = 180 ve m ( V ) = 54 olrk ulunur. dem ( W) > m( V) > m( W ) olduğundn > > c dir e c 60 d Şekilde verilen çı ölçülerine göre en kıs kenrı ullım. ikkt e d c ve nin iç çılrı ölçüleri toplmındn m ( ) = 50 ve m ( ) = 80 ulunur. nin çı ölçülerine göre kenr uzunluklrının sırlmsı c > > e ve nin kenr uzunluklrının sırlmsı ise e > > d şeklinde olur. O hâlde tüm şekilde kenr uzunluklrının sırlmsı c > > e > > d şeklinde olcğındn en kıs kenr kenrıdır. rklı üçgenlerin kenr uzunluklrı rsındki ilişki incelenirken u kenrlrın krşılrındki çılrın ölçülerinden yrrlnmk, doğru olmyn sonuçlr ulşmmız neden olilir. Örneğin yndki örnekte ölçüsü en küçük çı çısı olmsın rğmen, şekildeki en kıs kenr u çının krşısındki kenr değildir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 689