Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Transkript

1 OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok uygulanma alanları vard ır. Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK HESABININ TEMEL KAVRAMLARI 1.DENEY : Tanımsızdır. Para atmak, zar atmak gibi. 2.ÇIKTI ÇIKTI: Deneyde karşılaşılabilecek her bir sonuçtur. 3.ÖRNEK UZAY: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların oluşturduğu kümeye, örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Tabloya göre İki zar atma deneyinde üst yüze aynı sayıların gelme olayı A olayı ise A= 5. KESİN OLAY VE İMKANSIZ OLAY : Boş kümeye olanaksız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir. Örnek...1 : Bir madeni para atılması deneyinde çıktılar Yazı(Y) ve Tura (T) ve örnek uzay E ={Y,T}, bir zar atma deneyinde çıktılar 1,2,3,4,5,6 ve örnek uzay E={ 1,2,3,4,5,6} olur. 4.OLAY : Örnek uzayın her bir alt kümesine denir. NOT n para atılmasında s(e)=... n zar atılmasında s(e)=... k para ve m zarın atılması deneyinde s(e)=... Örnek...3 : Farklı üç para atılıyor. a) Örnek uzayı belirtiniz. s(e)=? b) En çok bir paranın tura gelmesi olayını yazınız. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /1010

2 HATIRLATMA n nesneden r tanesinin seçimi C(n,r) ile gösterilir ve C(n,r)= ( n r ) = n! (n r)!.r! olarak hesaplanır. n nesneden r tanesinin sıralaması P(n,r) ile gösterilir ve P(n,r)= n! (n r)! olarak hesaplanır. Örnek...4 : Bir kutudaki 7 lambanın 4 tanesi sağlamdır. Gelişigüzel 2 tane lamba alındığında, a) Örnek uza yın elem an sa yısı nedir? Örnek...5 : Bir zar atıl dığında a) Tek sayı gelmesi b) Asal sayı gelmesi olasılıklarını bulunuz. Örnek...6 : İki zarın birlikte atılması deneyinde a) Toplamlarının 5 gelmesi b) zarların aynı gelmesi b) A olayı 2 lambanın sağlam olması ise, A olayının eleman sayısı nedir? c) B olayı 2 lambanın bozuk olması ise, B olayının eleman sayısı nedir? d) C olayı birinin sağlam birinin bozuk olması ise, C olayının eleman sayısı nedir? c) ikisinin de tek sayı gelmesi olasılıklarını bulunuz. Örnek...7 : Bir kutuda büyüklükleri aynı 5 kırmızı 4 mavi bil ye vardır. a) Torbadan rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı olması b) Torbadan rastgele seçilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı olması EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY E={e 1,e 2,e 3,,e n} ve P(e 1)= P(e 2)= =P(e n ) oluyorsa E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir. Yani bir deneyde her bir çıktının olasılığı birbirine eşitse bu örnek uzaya eş olumlu örnek uzay denir. E eş olumlu örnek uzayının bir olayı A ise A olayının olma olasılığı P(A) ile gösterilir. s( A) P(A)= s(e) =istenendurumlar tümdurumlar olacak şekilde hesaplan ır. c) Rastgele seçilen iki bilyenin farklı renkte olm ası d) Rastgele seçilen 3 bilyenin aynı renkte olm ası e) Rastgele seçilen 3 bilyenin 2 sinin kırmızı ve birinin mavi olması 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

3 Örnek...8 : Bir kutuda büyükleri aynı 4 mavi, 3 kırmızı, 5 sar ı bil ye vardır. Örnek...10 : Bir odada 8 evli çift vardır. Bu odadan rastgele iki kişi seçildiğinde, bu iki kişinin karı koca olma olas ılığı nedir? a) Rastgele seçilen üç bilyenin üçünün de sarı olma b) Rastgele seçilen üç bilyenin üçünün de farklı renkte olma Örnek...11 : 1,2,3,4,5,6,7,8 rakamlarını kullanarak yazılabilecek iki basamaklı doğal sayılardan rastgele biri seçiliyor. Bu seçilen sayının 45 den büyük bir sayı olma c) Rastgele seçilen üç bilyenin 2 sinin sarı birinin kırmızı olma d) Rastgele seçilen 4 bilyenin 2 sinin mavi,birinin kırmızı ve birinin sarı olma UYARI Eş olası olmayan durumda her bir çıktının olasılığı eşit olmak zorunda değildir. Örnek...12 : Hileli bir zarda bir yüzün gelme olasılığı üzerinde yazan yüzle doğru orantılıysa bu zar atıldığında 4 den büyük gelme olasılığı nedir? e) Rastgele seçilen 4 bilyenin dördününde aynı renkte olması Örnek...9 : A = { 1,2,3,4,5,6,7 } kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp bir kutuya konuyor. Kutudan bir kart çekiliyor. Bu kartta yazılı kümenin 3 elemanlı bir küme olma olasılığı nedir? UYARI Bir olayın tümleyeni, o olayın sonuçları d ışında kalan sonuçlar k ümesidir. A olayının tümleyeni A ise P(A) + P(A ) = P(E) = 1 dir. Örnek...13 : Üç para atıldığında en az bir tura gelme ihtim ali nedir? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

4 Örnek...14 : 7 kız ve 5 erkekten oluşan bir grup içinden rastgele 6 kişilik bir voleybol takım ı seçiliyor. a) Bu takımın tüm oyuncularının kız olması c) P(A B) d) P(A B') b) Takımda en az bir erkeğin bulunması e) P(A' B') AYRIK OLAYLAR Örnek...17 : Üç takımlı bir ligde karşılaşan A,B,C takımlarının şampiyon olma olasılıkları sırası ile x,2x ve 3x tir. Bu ligde A veya C nin şampiyon olma A E ve B E olmak üzere A B= ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. Kısaca aynı anda gerçekleşmeyen olaylara ayrık olaylar deriz. Örnek...15 : Bir zar atıldığında tek sayı gelmesi olayı A ve çift sayı gelme olayı B ise A ve B ayrık ola ylard ır. UYARI Örnek...18 : Bir sınıftaki öğrencilerin 20 tanesi erkek ve 10 tanesi kızdır. Erkeklerin 5 i, kızların 6 sı mavi gözlüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya mavi gözlü olması A ve B olayları ayrık olaylar ise P(A B)=P(A )+P(B) A ve B olayları ayrık olaylar değil ise P(A B)=P(A )+P(B) P(A B) olarak hesaplan ır. Örnek...16 : A, B ve olaylarının olasılıkları P(A)= 1 3, P(B)= 1 4, P(A B)= 1 5 olarak veriliyor. İstenen ola ylar ın olasılık lar ını bulunu z? a) P(A') b) P(B') 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

5 DEĞERLENDİRME 1 1) Hileli bir zarda bir yüzün gelme olasılığı üzerinde yazan yüzle ters orantılıysa bu zar atıldığında 4 den küçük gelme olasılığı kaçtır? 6) A, B ve olaylarının olasılıkları P(A)= 1 3, P(B)= 1 4, P(A B)= 1 5 P(A' B)= 1 5 olasılığı kaçtır? olarak veriliyor olayının 2) Bir kutuda büyükleri aynı 5 mavi, 4 kırmızı, 2 sarı bilye vardır. Rastgele seçilen üç bilyenin de renklerinin aynı olma 7) 34 kişilik bir anadolu lisesi sınıfında, gözlüklü kız öğrenci sayısı 12 dir.gözlüksüz erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katı ve erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısının 2 katından 11 eksik ise sınıftan seçilecek bir öğrencinin gözlüksüz kız öğrenci olma olasılığı kaçtır? 3) A = { 1,2,3,4,5,6,7 } kümesinin elemanları birer karta yazılıp bir kutuya konuyor. Kutudan iki kart çekiliyor. Bu kartlarda yazan sayıların çarpımın asal olma olasığı kaçtır? 8) A = { 1,2,3,4} için AxA kümesinden seçilecek bir ikilide bileşenlerin eşit olma olasığı kaçtır? 9) Özdeş 8 oyuncak 3 çocuğa dağıtılıyor. Her çocuğun en az bir oyuncak almış olma olasılığı kaçtır? 4) A = { 1,2,3,4,5} kümesinde tanımlı fonksiyonlardan biri seçiliyor. Bu fonksiyonun örten bir fonksiyon olma olasılığı kaçtır? 10) sayısının rakamları yerdeğiştirilerek elde edilebilecek tüm sayılardan biri seçildiğinde, seçilen sayının çift olma olasılığı kaçtır? A 5) Şekilde A dan B ye en kısa yoldan gitmek isteyen bir kişinin DC yolundan geçmiş olma olasılığı kaçtır? C D B 11) MATBAZ kelimesinin harfleri yerdeğiştirilerek elde edilen tüm kelimelerden biri seçildiğinde, seçilen kelimede T harfinin iki komşusunun da A olma olasılığı kaçtır? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

6 KOŞULLU OLASILIK: Bir E örnek uzayının herhangi iki olayı A ile B olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve bu olas ılık P( A\ B) ile gösterilir. P(A B)= P(A B) P(B) Örnek...22 : Bir sınıfta 10 erkek 5 kız öğrenci vardır. Kızlardan birinin adı Seda dır. Sınıftan rastgele bir öğrenci seçildiği zaman kız olduğu bilindiğine göre bunun Seda olma yüzde kaçtır? E uzayı eş olumlu ise P(A B)= s(a B) s(b) Örnek...19 : A ve B aynı örnek uzayın olayları olmak üzere, P(A)= 1 3, P(B)= 1 4 ve P(A B)=1 2 ise P(A B)=? Örnek...20 : Düzgün bir zarın havaya atılması deneyinde tek sayı geldiği bilindiğine göre, bu sayının asal sayı olması olasılığı kaçtır? Örnek...23 : A = (1,2,3,4,5,6,7,8 } kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp, bir kutuya konuyor. Bu kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartta kümenin 3 elemanlı bir küme olduğu bilindiğine göre, bu kümede 4 ün bulunma Örnek...21 : Bir çift zarın atılması deneyinde zarlardaki sayılar toplamının 8 olduğu bilindiğine göre bu sayıların ikisinin de çift sayı olması olasılığı? Örnek...24 : 35 kişilik bir sınıfta, matematikten geçenlerin sayısı 21, fizikten geçenlerin sayısı 18 ve her iki dersten de geçenlerin sayısı 8 dir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten kalan bir öğrenci olduğu bilindiğine göre fizikten geçen bir öğrenci olm a 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

7 ÇARPMA KURALI E bir eş olumlu örnek uzay ve A ve B bu örnek uzayın iki olayı olmak üzere, P(A B)= P(A B) koşullu ifadesi tekrar P(B) düzenlenerek P(A B)=P(A B). P(B) ya zılar ak çarp ım k ural ı elde edilir. Örnek...28 : 5 kız, 5 erkek öğrenci arasından rastgele 2 öğrenci seçilirse, a) öğrencilerden birinin kız, diğerinin erkek olm a Örnek...25 : Bir sınıfta 10 kız, 6 erkek öğrenci vardır. Sınıftan ard arda iki öğrenci seçiliyor. Birincinin kız ve ikincinin erkek olma olasılığı nedir? (İkinci kişi kalan kişiler arasından seçili yor) b) öğrencilerden birincinin kız, ikincinin erkek olma Örnek...26 : 6 yüzücü, 4 koşucu arasından 2 kişi seçilecektir. Bu iki kişinin de yüzücü olması Örnek...29 : Bir kutuda 4 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Bu torbadan ard arda ve seçilen tekrar geri konmamak koşuluyla 4 bilye alınıyor. Bunlardan ilk ikisinin kırmızı, diğerlerinin mavi Örnek...27 : Bir grupta 5 kız ve 3 erkek öğrenci vardır. Gruptan seçilecek 3 kişinin de kız olma Örnek...30 : Her birinde 2 yeşil, 4 sarı top bulunan iki torbanın birincisinden bir top alınıp ikincisine ve sonra ikincisinden bir top alınıp birincisine konulduğu zaman, renk bakımından ilk durumu elde etme 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

8 BAĞIMSIZ OLAYLAR A ve B aynı örnek uzayın olayları olmak üzere P(A B)=P(A). P(B) ise A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Örnek...34 : Düzgün bir para 4 defa atıldığında en az bir tura gelme Örnek...31 : Düzgün bir para ile düzgün bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın çift sayı gelme Örnek...32 : Bir kutuda 2 si bozuk 5 kalem, ikinci bir kutuda 3 ü bozuk 7 kalem vardır. Kutulardan birer kalem alınıyor. İki kaleminde sağlam olması Örnek...33 : 2 yüzü mavi, 3 yüzü kırmızı ve diğer yüzü sarı olan bir zar ard arda 3 kez atılıyor. Üst yüze gelen rengin üç defa mavi gelme Örnek...35 : İki torbadan birinde 3 kırmızı, 3 mavi ve diğerinde 5 kırmızı 3 mavi bilye vardır. Rastgele seçilen bir torbadan yine rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı olması olasılığı nedir? Örnek...36 : Bir hedefe atış yapan Ali nin hedefi vurma olasılığı 4/5, Ayşe nin hedefi vurma olasılığı 2/3 olduğuna göre, yapılan birer atış sonunda a) sadece Ali nin hedefi vurma olasılığı nedir? b) hedefin vurulmuş olma 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

9 SONSUZ (SAYILAMAYAN) ÖRNEK UZAY E örnek uzayı sayılamayacak çoklukta noktalardan (uzunluk, alan, hacim) meydana geliyorsa sonsuz örnek uzay olarak adland ırılır. Buna göre bir A olayının olasılığı şeklin boyutuna göre A 'nın uzunluğu A 'nın alanı A 'nın hacmi P(A i)= = = E' nin uzunluğu E'nin alanı E'nin hacmi if adelerinden biri ile bulunur Örnek...39 : Bir kenar uzunluğu 8 birim olan bir karenin içinden seçilen herhangi bir noktanın karenin köşelerinden herhangi birine olan uzaklığının en fazla 2 birim olma olasılığı kaçtır? Örnek...37 : A={ x : 4 x<5, x R } kümesinden seçilen bir reel sayının karesinin kendisinden küçük olma Örnek...40 : Örnek...38 : D C 4 20 A ABCD kare ve AEB eşkenar üçgendir. Kare içinde alınan bir noktanın eşkenar üçgen içinde de olma olasılığı kaçtır? E B Yarıçapı 20cm olan dairesel bir levha üzerine, merkezleri çakışık olacak şekilde 4 cm yarıçaplı bir daire (hedef) çizilerek bir atış panosu elde ediliyor. (Şekildeki gibi) Bir atıcının panonun her noktasını vurması olasılığı birbirine eşit ise bu atıcının bir atış sonunda hedefi vurma olasılığı kaçtır? (Atıcı her atışında pano ya isabet ettirebilm ektedir.) 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10

10 DEĞERLENDİRME 2 1) ( ) 9 açılımındaki seçilen terimlerden birinin katsayısının rasyonel olmadığı bilindiğine göre bu terimde 2 nin kuvvetinin 4 den büyük olma olasılığı kaçtır? 5) Aynı türün kitapları birbirinden farklı olmak koşuluyla 5 matematik, 6 fizik, 3 biyoloji kitabı bir rafa dizilecektir. Fizik kitaplarının bir arada bulunduğu bilindiğine biyoloji kitaplarının da yanyana gelmiş olma olasılığı kaçtır? 2) A = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp, bir kutuya konuyor. Bu kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartta kümenin 4 elemanlı bir küme olduğu bilindiğine göre, bu kümede 4 ün bulunmama 6) İki zar ve bir para atıldığında zarların toplamın 7 den daha büyük veya paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? 3) Bir torbadaki yeşil bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayının 2 katıdır. Art arda seçilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı %10 ise ilk durumda toplam bilye sayısı kaçtır? 7) 180 sayısının pozitif bölenlerinden biri seçildiğinde seçilen sayının çift olduğu bilindiğine göre seçilen sayının 4ün katı olma olasılığı kaçtır? 4) Bir kutuda büyükleri aynı 4 mavi, 3 kırmızı, 4 sarı bilye vardır. Art arda seçilen üç bilyenin farklı renklerde gelme olasılığı hangisidir? 8) 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarıyla 3 basamaklı sayılar yazılıyor. Seçilen bir sayının en az iki basamağının aynı olduğu bilindiğine göre sayının 400 den büyük olma olasılığı kaçtır? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /10