İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Transkript

1 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden kaç tanesinin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğunu bulunuz. I. x x 7 = 0 II. 1 5 x 7x = 0 III. 4x 1 5 = 0 IV. 3y + y 5 = 0 V. x 3 = 0 VI. x 3 4x + 5x = 0 Verilen bir denklemin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olabilmesi için bilinmeyen ifadenin üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, I.. derece bir bilinmeyenli denklem II.. derece bir bilinmeyenli denklem III.. derece bir bilinmeyenli denklem IV.. derece bir bilinmeyenli denklem V. 1. derece bir bilinmeyenli denklem VI. 3. derece bir bilinmeyenli denklem Cevap: 4 3x m 5 4x 8 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m'nin değerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, m 5 = ise m = 7 dir. Cevap: 7 (m ) x 3 + x n 4 3x 1 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m ve n değerlerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, x 3 lü terim olmamalıdır. O halde m = 0 ve n 4 = olmalıdır. m = n = 6 Cevap: m = n = 6 a) (m 5)x 3x 6 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. b) (m 3)x m 7 + 5x = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. a) x 'li terimin katsayısı sıfır olmamalıdır. m 5 ¹ 0 ise m ¹ 5 b) m 3 ¹ 0 ve m 7 = olmalıdır. m ¹ 3 ve m = 9 m = 3 veya m = 3 O halde, m = 3 tür. Cevap: 5 4 Cevap: m = 3

2 soru 1 soru 5 Aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem değildir? (m + )x 3 x 5 n + 3x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m. n çarpımı kaçtır? A) x 5x 13 = 0 A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 1 B) 3x 5 x = 0 C) 3x 1 = 0 D) x + 5x 1 = 0 E) x 3 3x + 4x = 0 soru soru 6 Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 3x = 0 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. (m + 5)x 3 + 3x n 4x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? B) 10x 4x 7 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. C) y 3 5y + 4y = 0 üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. D) x + x 3 1 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. E) m 4m 6 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. soru 3 5x m 6 + 7x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 3x m 14 4x 3 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 5 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 7 (m 7)x 4x 11 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m hangi değeri alamaz? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 8 (m 5)x m 3 + x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 5 B) 4 C) 1 D) 4 E) 5 1 E D 3 E 4 B 5 B 6 A 7 C 8 E

3 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü Çarpanlara ayırma yöntemiyle kümesi bulunur. x 5x 14 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 5x 14 = (x 7)(x + ) x 7 x + x 5x 14 = (x 7). (x + ) = 0 x 7 = 0 veya x + = 0 x = 7 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x 3x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x = (x + 1)(x ) x +1 x x 3x = (x + 1). (x ) = 0 ise x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = { 1, } Cevap: { 1, } 4x 5= 0 denkleminin kümesini bulunuz. a b = (a b)(a + b) olduğunu hatırlayınız. 4x 5 = (x 5)(x + 5) 4x 5 = (x 5)(x + 5) = 0 ise x 5 = 0 veya x + 5 = 0 x = 5 veya x = 5 Çözüm kümesi: Ç.K = { 5, 5 } Cevap: { 5, 5 } x = 7x denkleminin kümesini bulunuz. x = 7x ise x 7x = 0 dır. x 7x ifadesini çarpanlara ayırmak için ortak çarpan x parantezine alınır. x 7x = x(x 7) = 0 ise x = 0 veya x 7 = 0 x = 7 Çözüm kümesi: Ç.K = {0, 7 } Cevap: {0, 7 } 6

4 soru 1 x 8x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 16x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {9} C) { 1,9} D) { 9,1} E) { 9} A) { 4 3, 4 3 } B) { 3 4, 3 4 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 3, 3 } soru x x 30 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 50 x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,5} B) { 6} C) { 5} D) {6} E) { 5,6} A) {ñ5} B) { 5} C) {5} D) { ñ5,ñ5} E) { 5,5} soru 3 3x 5x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, } B) {} 3 C) { 1 3 } D) { 1 3, } soru 4 5x + 11x + = 0 E) {, 1 3 } denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 1 5 } B) { 5, 1} C) { } D) { 1 5 } E) { 1 5, } 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 3x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0} B) {3} C) {0,3} D) { 3,0} E) { 3} soru 8 4x = 5x denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 4, 0} B) {0, 4 5 } C) { 5 4 } D) {0, 5 4 } E) {0} 1 C E 3 D 4 A 5 B 6 E 7 C 8 D

5 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x = x. x x = x. x = 0 ise x = 0 veya x = 0 (Eşit iki kök olduğuna dikkat ediniz.) Çözüm kümesi: Ç.K = {0} Cevap: {0} (3x 4) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (3x 4) = (3x 4)(3x 4) (3x 4) = (3x 4)(3x 4) = 0 3x 4 = 0 ise x = 4 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 4 3 } Cevap: { 4 3 } x + 6x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 6x + 9 = (x + 3). (x + 3) = (x + 3) x +3 x +3 x + 6x + 9 = (x + 3) = 0 x + 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3} Cevap: { 3} 4x 1x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 4x 1x + 9 = (x 3). (x 3) = (x 3) x 3 x 3 4x 1x + 9 = (x 3) = 0 x 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 8

6 soru 1 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 8x + 16 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) { 1 } D) {0} E) Æ 3 A) { 4, 4} B) { 4} C) {4} D) {, 6} E) {8} soru 4x + x 6 = (3 x) denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x(x + 10) = 5 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 } B) {1 } C) { } D) {} E) {0} A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, 1} E) {5} soru 3 ( x + 5) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 } B) { 5 } C) {0} D) { 5 } E) { 5 } soru 4 (3x + 7) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 7 3 } B) { 3 7 } C) {0} D) { 3 7 } E) { 7 3 } 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 9x + 6x + 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 3, 1 3 } B) { 1 3 } C) { 1 3 } D) { 1 3, 3} E) { 1 3, 3} soru 8 16x 4x + 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3 4, 3 4 } B) { 4 3 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 4 3 } 1 D E 3 E 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

7 x + 9 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 9 = 0 ise x = 9 olur. Hiçbir reel sayının karesi 9'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x + 8 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 8 = 0 ise x = 8 x = 4 Hiçbir reel sayının karesi 4'e eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x(x 5) = 5( x ) denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x(x 5) = 5( x ) x 5x = 5x 10 x = 10 Hiçbir reel sayının karesi 10'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ (x + 1)(x + ) = 3x 14 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. (x + 1)(x + ) = 3x 14 x + x + x + = 3x 14 x + 3x + = 3x 14 x = 16 Hiçbir reel sayının karesi 16'ya eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ 10 Cevap: Æ

8 soru 1 soru 5 x + 1 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x(x + 3) = 3(x 3)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) Æ D) { 3,3} E) { 9} A) { 1, 1} B) { 1} C) {1} D) Æ E) {0} soru soru 6 x 4 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x( x + 6) = 6(x + 6)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 6} C) { 3} D) {6} E) { 6,6} A) {, } B) { } C) { 1} D) {} E) Æ soru 3 3x + 7 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x )(x + 4) = x 9 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 3,3} C) { 3} D) {3} E) { 9} A) { 1} B) {1} C) { 1,1} D) {0,1} E) Æ soru 4 soru 8 x 50 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) Æ C) {5} D) { 5,5} E) {0,5} ( x + 3)(x 1) = 4x + 1 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,} B) { } C) {} D) Æ E) {0,} 1 D E 3 A 4 B 5 C 6 A 7 E 8 D 11

9 Bir denklemin kümesinin her bir elemanına denklemin kökü denir. Yani kök denklemi sağlayan değer demektir. Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. a) (x 3) = 5 b) (x )(x + 3) = x 4 a) (x 3) = 5 ise x 3 = 5 veya x 3 = 5 dir. x = 4 x = 1 Köklerden biri = 4 iken diğeri x = 1 dir. b) (x )(x + 3) = x 4 = (x ) ise (x )(x + 3) (x ) = 0 (x )(x + 3 ) = 0 (x )(x + 1) = 0 x = 0 veya x + 1 = 0 x = x = 1 Köklerden biri = iken diğeri x = 1 dir. Cevap: 1 veya 4 Cevap: 1 veya 3x (m + 3)x + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x (m )x + m 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre, diğer kökü bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere yazarız. 3. (m + 3). + m = 0 1 m 6 + m = 0 4 m = 0 m = 4 Denklemde x gördüğümüz her yere 3 yazarız. 3 (m ). 3 + m 1 = 0 9 3m m 1 = 0 14 m = 0 m = 14 Denklem: x (14 )x = 0 x 1x + 7 = 0 Cevap: 4 x 3 x 9 Diğer kök: x 9 = 0, x = 9 x x 10 = 0 18 denkleminin köklerinden biri a olduğuna göre, a a 4 ifadesinin eşitini bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere a yazarız. a a 10 = 0 ise a a = 10 dur. O halde, = = = 3 a a tür. 10 Cevap: 9 Cevap: 3 1

10 soru 1 (7 x) = 9 denkleminin kökleri ve x dir. hangisidir? x 1 + x aşağıdakilerden soru 5 x + (m 5)x m + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 7 B)5 C) 7 D) 9 E) 49 A) 3 B) C) 1 D) E) 3 soru (x 3)(x + 5) = x + 5 denkleminin köklerinden küçük olanı kaçtır? soru 6 x (m + 3)x m 5 = 0 denkleminin köklerinden biri ( 1) olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 3 E) 4 A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 0 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 4x + mx 7= 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, m kaçtır? x 3x 7 = 0 denkleminin köklerinden biri m olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 10 m 3m A) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 A) B) 1 C) 1 D) E) 5 soru 4 soru 8 x + (m + )x + 18 = 0 denkleminin köklerinden biri ( ) olduğuna göre, m kaçtır? x 5x 1 = 0 denkleminin köklerinden biri k olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 9 4k 10k + 1 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 9 1 D A 3 B 4 E 5 B 6 C 7 D 8 D 13

11 İkinci Dereceden Denklemlerin Genel Çözümü İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulabileceğimizi öğrendik. Fakat her zaman çarpanlarına ayırmak kolay olmayabilir. Bu durumda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri aşağıdaki işlemler yardımıyla bulunur. ax + bx + c = 0 1) Diskriminant (D) bulunur. D (Delta) diye okunur. D = b 4ac ) Kökler b + b x 1 = ve x = formülleriyle bulunur. a a x 5x 1 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. x 5x 1 = 0 a b c a = b = 5 c = 1 Diskriminant: D = b 4ac = ( 5) 4.. ( 1) D = = 33 Cevap: 33 x 1x + 36 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 1x 1x + 36 = 0 a b c a = 1 b = 1 c = 36 Diskriminant: D = b 4ac = ( 1) D = = 0 Cevap: 0 x + 5x 7 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 3x 4x + m 3 = 0 denkleminin diskriminantı 4 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 14 1x + 5x 7 = 0 a b c a = 1 b = 5 c = 7 Diskriminant: D = b 4ac = 5 4. ( 1). ( 7) D = 5 8 = 3 3x 4x + m 3 = 0 a b c a = 3 b = 4 c = m 3 D = b 4ac = ( 4) 4. 3 (m 3) = (m 3) = m + 36 = 4 48 = 1 m 4 = m Cevap: 3 Cevap: 4

12 soru 1 soru 5 3x 7x 4 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 5x + 4x 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 48 C) 49 D) 87 E) 97 A) 104 B) 94 C) 84 D) 104 E) 136 soru soru 6 x 5x + 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 4x x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 9 C) 16 D) 4 E) 49 A) 49 B) 48 C) 47 D) 47 E) 48 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + 6x 9 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 6x m + 1 = 0 denkleminin diskriminantı 76 olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 8 C) 0 D) 8 E) 3 A) 5 B) 4 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 4x + 0x + 5 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 8x m = 0 denkleminin diskriminantı ( 4) olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) 50 C) 100 D) 00 E) 300 A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 0 1 E A 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 D 15

13 ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri b + b x 1 = ve x = dır. a a x 8x + 4 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 8x + 4 = 0 ise a = 1 b = 8 a b c c = 4 D = b 4ac = ( 8) = = 48 ) Kökler b + ( 8) x1 = = = = 4+ 3 a.1 b ( 8) x = = = = 4 3 a.1 Cevap: {4 ñ3, 4 + ñ3} x + 6x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x + 6x = 0 ise a = 1 b = 6 a b c c = D = b 4ac = 6 4. ( 1). ( ) = 36 8 = 8 ) Kökler b x1 = = = = 3 7 a ( 1) b x = = = = 3+ 7 a ( 1) Cevap: {3 ñ7, 3 + ñ7} Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebildiğimiz ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri de genel yöntemle çözebiliriz. 3x + 7x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 7x = 0 ise a = 3 b = 7 a b c c = D = b 4ac = 7 4. ( 3). ( ) = 49 4 = 5 ) Kökler b x1 = = = = = a ( 3) b x = = = = = a Çarpanlara ayırma yöntemiyle de çözelim. 3x + 7x = ( 3x + 1). (x ) = 0 ise 3x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 3 x = Cevap: { 1 3, } 16

14 soru 1 x 4x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 4x 16 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) { ñ6, + ñ6} B) { ñ, + ñ} C) {ñ6, ñ6 + } D) {ñ, ñ + } E) { ñ3, + ñ3} A) +ñ5 B) +ñ5 C) +ñ5 D) ñ5 E) 1+ñ5 soru x x 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x 6x + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) {1 ñ7, 1 + ñ7} B) {ñ7 1, ñ7 + 1} A) B) C), D), C) D) soru 3 x x 1 = 0 E) { ñ7, + ñ7} KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5x 9x = 0 E) 3 11 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kökleri ve x dir. x kaçtır? { + } { + } A) 1 3, 1 3 B) 3 1, 3 1 A) 11 5 B) 9 5 C) 8 5 D) 7 5 E) C), D), E), soru 4 soru 8 x + 6x + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? 4x 3x 1 = 0 x1 denkleminin kökleri ve x dir. x hangisi olabilir? oranı aşağıdakilerden A) 3 ñ3 B) 3+ñ3 C) ò15 3 D) 3 ò15 E) 3 ò15 A) 16 B) 8 C) 4 D) 1 4 E) 4 1 A C 3 E 4 D 5 B 6 E 7 A 8 C 17

15 x x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 1x = 0 ise a = 1 b = 1 a b c c = 1 4 D = b 4ac = ( 1) = 1 1 = 0 ) Kökler b + ( 1) x1 = = = = a.1 b ( 1) x = = = = a.1 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 4x + 4x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 4x + 4x + 1= 0 ise a = 4 b = 4 a b c c = 1 D = b 4ac = = = 0 ) Kökler b x1 = = = = a.4 8 b x = = = = a.4 8 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 3x + 4x 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 4x 6= 0 ise a = 3 b = 4 a b c c = 6 D = b 4ac = 4 4. ( 3). ( 6) = 16 7 D = 56 ) Kökleri bulmak için ñd nin reel sayı olması gerekir. ó 56 reel sayı olmadığı için reel kök yoktur. Cevap: Æ 18

16 soru 1 soru 5 x 3x = 0 5x 10x + 1 = 0 denkleminin kökü kaçtır? denkleminin kökü kaçtır? A) B) 3 C) 1 D) 3 E) A) 5 B) 1 5 C) 1 5 D) 1 E) 5 soru soru 6 x + x = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 5x 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 1 C) 1 D) 1 E) A) B), C), D), 4 4 soru 3 x + 5x 5 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI E), 4 4 soru 7 x x + 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) 5 D) 1 E) 5 { } { } A) 1 7, 1+ 7 B) 1 7, 1+ 7 { } { } C) 1 5, 1+ 5 D) 1 5, 1+ 5 E) soru 4 soru 8 9x + 1x + 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 4x 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 3 C) 9 D) 3 E) 3 { } { } A), + B), + { } C) D) 10, 10 { } E) 10, D C 3 E 4 B 5 C 6 A 7 E 8 C 19

17 Köklerin Varlığının İncelenmesi İkinci dereceden bir bilinmeyenli ax + bx + c = 0 denkleminin 1) İki farklı reel kökü olması için D = b 4ac > 0 olmalıdır. ) Eşit iki reel kökünün olması için D = b 4ac = 0 olmalıdır. (Çakışık iki kök, çift katlı kök, tam kare ifadeleri eşit iki kök demektir.) 3) Reel kökünün olmaması için D = b 4ac < 0 olmalıdır. x 6x m + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac >0 olmalıdır. ( 6) ( m + 3) > ( m + 3) > m 1 > 0 4m > 4 ise m > 6 x (m 6)x + 16 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerleri bulunuz. D = b 4ac = 0 olmalıdır. ( m + 6) = 0 ( m + 6) = 64 ise m + 6 = 8 veya m + 6 = 8 m = m = 14 Cevap: ( 6, ) Cevap: {, 14} x 8x + m + = 0 denkleminin reel kökü yoktur. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. ( 8) 4. ( ). (m + ) < (m + ) < m + 16 < 0 8 m < 80 ise m < 10 Cevap: (, 10) mx mx + m = 0 ikinci dereceden denklemi için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur, bulunuz. I. m > 0 ise iki farklı reel kök vardır. II. m = 0 ise eşit iki kök vardır. III. m < 0 ise reel kök yoktur. IV. m = 5 için kümesi elemanlıdır. V. m = için kümesi boş kümedir. Köklerin varlığını incelemek için D = b 4ac yi bulalım. D = ( m) 4m(m ) D = 4m 4m + 8m D = 8m I. 8m > 0 ve m > 0 olduğu için iki farklı reel kök vardır. II. 8m = 0 ve m = 0 fakat m = 0 için denklem = 0 olduğundan reel kök yoktur. III. 8m < 0 ve m < 0 olduğu için reel kök yoktur. IV. m > 0 için iki farklı reel kök var. m = 5 > 0 olduğu için kümesi elemanlıdır. V. m < 0 için reel kök yoktur. < 0 olduğu için kümesi boş kümedir. 0 Cevap: 4

18 soru 1 soru 5 x + x m + 5 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? 4x 4x + m + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m<4 B) m<5 C) m>5 D) m 4 E) m>4 A) m< 3 B) m<0 C) m> 3 D) m>0 E) m>3 soru x + 3x + m + 1 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? soru 6 1 x x m + 3 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m < 9 4 B) m > 11 4 A) m<0 B) m<1 C) m<4 D) m>1 E) m>0 C) m > 3 D) m > 13 4 E) m > 4 soru 3 x + (m 3)x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 m 0 olmak üzere mx (m 1)x + m 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Reel kökü yoktur. B) Eşit iki kök vardır. C) m = 3 için kümesi 1 elemanlıdır. D) İki farklı reel kökü vardır. E) m > 0 için iki farklı reel kökü vardır. soru 4 soru 8 x + (m 1)x = 0 denkleminin çift katlı kök (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? x x + m + 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. m < 0 için reel kök yoktur. A) 15 B) 10 C) 5 D) 10 E) 15 II. m > 0 için iki farklı reel kök vardır. III. m = 0 için eşit iki kök vardır. A) I, II ve III B) I ve III C) II ve III D) I ve II E) Yalnız III 1 E D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D 8 E 1

19 (m + )x + 4x = 0 ikinci derece denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en küçük iki tamsayı değerinin toplamını bulunuz. D = b 4ac > 0 olmalıdır. 4 4(m + ). ( ) > m + 16 > 0 ise 8m > 3 ve m > 4 tür. x nin katsayısı 0 olmamalıdır. O halde m + 0, m dir. m > 4 ve m ise m'nin alabileceği en küçük iki tamsayı değeri m = 3 ve m = 1 dir. O halde, m'nin alabileceği değerler toplamı ( 3) + ( 1) = 4 Cevap: ( 4) x + (m 4)x 9 = 0 denkleminin çakışık iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerleri bulunuz. Çakışık iki kök eşit iki kök demektir. Dolayısıyla D = b 4ac = 0 olmalıdır. (m 4) 4. ( 1). ( 9) = 0 (m 4) 36 = 0 (m 4) = 36 m 4 = 6 veya m 4 = 6 m = 10 m = Cevap: {, 10} 3x + x m + = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değerini bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. 4. ( 3). ( m + ) < ( m + ) < 0 4 1m + 4 < 0 8 < 1m 8 1 < m ve 7 < m olduğuna göre, m'nin alacağı en küçük 3 tamsayı değeri 3'tür. Cevap: 3 3x + 6x + m 4 = 0 denkleminin reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. İkinci dereceden bir denklemin reel kökünün olması için iki farklı reel kökü (D > 0) veya eşit iki reel kökü (D = 0) olmalıdır. O halde, D = b 4ac 0 dır ( 3). (m 4) (m 4) m m 1 ise m 1 Cevap: [1, )

20 soru x + x m + 1 = 0 soru 5 1 x + 4x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değeri kaçtır? denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en büyük tamsayı değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru soru 6 m 3 olmak üzere, x x + m 4 = 0 (m + 3)x 6x + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en büyük üç tamsayının toplamı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru 3 x + (m 5)x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin kümesi boş küme olduğuna göre, m aşağıdaki değerlerden hangisi olamaz? A) 3 soru 7 x 8x + m + 4 = 0 B) 11 C) 1 D) 10 E) 9 denkleminin çakışık iki kökünün (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) 6 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 A) m 1 B) m<1 C) m 1 D) m>1 E) m 16 soru 4 soru 8 x (m + 3)x + m + m = 0 x + ñx + m = 0 denkleminin tam kare (eşit iki kökünün) olması için m kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m aşağıdaki değerler- A) 3 B) 9 4 C) D) 7 4 E) 9 den hangisi olamaz? A) 5 B) C) 3 D) 1 E) 1 1 D D 3 C 4 B 5 C 6 E 7 A 8 A 3

21 Kök ve Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. Kökler Toplamı: + x = b a Kökler Çarpımı:. x = c a Kökler Farkı: x = ñd a bağıntılarıyla bulunur. x 3x 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. x 3x 7 = 0 ise a =, b = 3 ve c = 7 dir. a) + x = b a = 3 = 3 a) + x b). x c) x b). x = c a = 7 = 7 ( 3) 4..( 7) 65 c) x1 x = = = a 3x (m + 3)x + = 0 denkleminin kökler toplamı olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. (m 1)x + 4x + m = 0 denkleminin kökler çarpımı 1 olduğuna göre, m'nin değerini 3 bulunuz. 3x (m + 3)x + = 0 ise a = 3, b = m 3 Kökler toplamı: b a = m 3 3 m 3 = ise m 3 = 6 3 m = 9 = m 3 3 (m 1)x + 4x + m = 0 ise a = m 1, c = m Kökler çarpımı: c a = m m 1 Cevap: 9 m m 1 = 1 3 ise 3m = m 1 m = 1 Cevap: 1 x + 4x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x + 4x + m + = 0 ise a = 1, b = 4 ve c = m + dir. + x = b a = 4 1 = 4. x = c a = m + 1 = m + + x = x 4 = (m + ) 4 = m = m 4 Cevap: 4

22 soru 1 soru 5 3x 6x 5 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x +. x ifadesinin değeri kaçtır? (3m )x + x m + 1 = 0 1 denkleminin kökler çarpımı 4 olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 3 B) 1 3 C) 1 3 D) 5 3 E) 11 3 A) B) 1 C) 0 D)1 E) soru soru 6 x 6x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = 4 olduğuna göre, m kaçtır? x + 5x m + 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı ( 5) olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 A) 13 B) 7 C) 7 D)13 E) 16 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 mx (m + 3)x 1 = 0 denkleminin kökler toplamı 3 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x (m + 3)x + 3m 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x + (m )x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? x (m + 3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. x = 4 + 4x olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 C C 3 B 4 A 5 E 6 D 7 E 8 D 5

23 x 5x = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değerini bulunuz. x x 1 x 5x = 0 ise a = 1, b = 5 ve c = dir. b 5 x1+ x = = = 5 a 1 c x 1. x = = = olduğuna göre, a x1+ x = = = dir. x x x.x 1 (x ) ( x ) 1 1 Cevap: 5 3x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x ifadesinin değerini bulunuz. 1 3x x 4 = 0 ise a = 3, b = ve c = 4 dür. b c 4 x1+ x = = = ve x 1. x = = için a 3 3 a x 1.x + x.x1 = x1x (x1+ x ) =. = dur Cevap: 8 9 x x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ( 3).(x 3) ifadesinin değerini bulunuz. x x 6 = 0 ise a = 1, + x = b a = 1 =. x = c a = 6 1 = 6 b = ve c = 6 dır. ( 3)(x 3) = 4 x 6 6x + 9 = 4 x 6( + x )+ 9 = 4.( 6) = = 7 Cevap: 7 x 6x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò10 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 3 = 0 ise a = 1, b = 6 ve c = m x = b a = 6 1 = 6. x = c a = m+3 1 = m + 3 ò + òx = ò10 (Her iki tarafın karesini alalım) (ò + òx ) = ò10 x + x. x + x = x + x + x. x = m + 3 = 10 m + 3 = 4 m + 3 = m 3 ise m=1 dir. + = 6 Cevap: 1

24 soru 1 soru 5 x 6x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 x 4x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (x + 3) + x ( + 3) ifadesinin değeri kaçtır? A) 3 B) C) 1 D) E) 3 A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 soru soru 6 x + (m 5)x m + 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir = olduğuna göre, m kaçtır? x x 1 x + 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (3 + )(3x + ) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 4 B) 0 C) 1 D) 8 E) 4 soru 3 4x + 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x 1 ifadesinin değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 9x + m = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò13 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 5 C) 15 8 D) 15 8 E) A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x x 10 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. > x olduğuna göre, x. x kaçtır? x. x 1 1 ifadesinin değeri x 8x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ò + òx ifadesinin değeri kaçtır? A) 0ò11 B) 10ò11 C) ò11 D) 10ò11 E) 0ò11 A) 3ñ B) ñ3 C) 3 D) ñ E) ñ3 1 B D 3 A 4 A 5 C 6 E 7 D 8 B 7

25 x 6x + m + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 7 = 0 ise a = 1, b = 6 dır. + x = b a = 6 = 6 olduğuna göre, 1 + x = 6 Yok etme metodu ile 3 x = kökleri buluruz. + 4 = 8 ise = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x 6x + m + 7 = 0 denkleminde x yerine yazalım m + 7 = 0 ise m 1 = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + 3)x 16 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 Uyarı x (m + 3)x 16 = 0 ise a = 1,. x = c a = 16 = 16 olduğuna göre, 1 c = 16 dır. x x = x. x = x = 16 ise x = 8 ve x = dir x = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x (m + 3)x 16 = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) (m + 3). ( ) 16 = m = 0 ise m 6 = 0 ve m = 3 dür. Cevap: 3 x + x = (x + x ) x x ve x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) x 8x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değerini bulunuz. 1 x 8x 4 = 0 ise a = 1, + x = b a = 8 1 = 8 ve b = 8 ve c = 4 dür.. x = c a = 4 1 = 4 olduğuna göre, x + x = ( + x ) x 1 = 8. ( 4) = = 7 dir. Cevap: 7 x + 6x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 3 x + x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 x + 6x = 0 ise a = 1, b = 6, c = dir. + x = b a = 6 1 = 6. x = c a = = olduğuna göre, x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) = = = 180 dir. Cevap: 180

26 soru 1 x 4x + m 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 4 x = 1 olduğuna göre, m kaçtır? soru 5 x 6x 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? 1 A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 1 A) 30 B) 3 C) 34 D) 36 E) 38 soru x + x + m 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = 6 olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 6 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 A) 7 9 B) 3 C) 5 9 D) 4 9 E) 1 9 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + (5m+3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m kaçtır? 1 x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. ( x ) + x. (x + 4 ) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 1 C) 1 5 D) 1 E) A) 1 B) C) 4 D) 9 E) 16 soru 4 soru 8 x + mx + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. = 3x olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? x + x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? A) 13 B) 11 C) 11 D) 1 E) 13 A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) 15 1 B C 3 B 4 D 5 E 6 A 7 C 8 A 9

27 x + (m 5)x + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x (m )x + k = 0 denkleminin bir kökü 7 dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. Eşit kök olsun. x + (m 5)x + n = 0 denkleminin kökleri 3 ve dir. 3 + = m + 5 (Kökler toplamı) x (m )x + k = 0 denkleminin kökleri 7 ve dir. 7 + = m (Kökler toplamı) 3 + = m + 5 'i yok edelim. 7 + = m 10 = 3m + 7 m = 1 Cevap: 1 m 1 olmak üzere, x + (m + 3)x + 4m = 0 x (m 1)x 4 = 0 denkleminin birer kökü eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri x (m + )x + n = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m ve n değerlerini bulunuz. Eşit kök olsun. Denklemlerde x yerine yazalım. x 1 + (m + 3)x1+ 4m = 0 x x 1 (m 1) 4 = 0 1 li terimi yok edelim. (m m 1) + 4m + 4 = 0 (m + ) = 4m 4 (m + ) = (m + ) = dir. ( ) eşit kök olduğu için denklemleri sağlar. x + (m + 3)x + 4m = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) + (m + 3). ( ) + 4m = 0 4 m 6 + 4m = 0 ise m = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + )x + n = 0 denkleminin kökleri ve x ise x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri ve x olur. x (m + )x + n = 0 denkleminin Kökler toplamı: + x = m + ve Kökler çarpımı: x = n dir. x mx + n 6 = denkleminin Kökler toplamı: + x = m ve Kökler çarpımı:. x = 4 x = n 6 dır. + x = m ise ( + x ) = m (m + ) = m ve m = 4 4. x = n 6 ise 4n = n 6 3n = 6 ve n = Cevap: m = 4 n = 30

28 soru 1 soru 5 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 5, x kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 3) dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m + k toplamı kaçtır? A) 8 B) 5 C) D) 6 E) 8 m olmak üzere, x + mx + = 0 x x m = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x 3kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 1) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, 6k + m toplamı kaçtır? m 3 olmak üzere, x + mx m = 0 x + 3x + m 1 = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) E) 4 soru 3 x + mx + n = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 8 B) 4 C) 4 D) 8 E) 10 soru 7 x + (m )x + n = 0 denkleminin kökleri denkleminin bir kökü, x + kx + b = 0 x (m 4)x + k = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m kaçtır? denkleminin bir kökü 4 dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, n+b n b kaçtır? A) 4 B) 10 3 C) 3 D) 8 3 E) A) 3 B) C) 1 D) 1 E) 3 soru 4 soru 8 x + (m )x + n = 0 denkleminin bir kökü 4, x + ( m + 1)x + k = 0 x + mx + 8n = 0 denkleminin kökleri x + kx + n + 1 = 0 denkleminin köklerinin 3'er katına eşittir. n kaçtır? denkleminin bir kökü ( ) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 B) 1 C) D) 1 E) 11 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1 A A 3 E 4 C 5 B 6 D 7 B 8 A 31

29 Simetrik İki Kök ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. ve x 'nin simetrik iki kök olması için = x şartını sağlamalı dolayısıyla, + x = b a = 0 ve. x = c a < 0 olmalıdır. Aşağıdaki denklemlerde simetrik iki kök olup olmadığını inceleyiniz. a) x 9 = 0 b) x + 16 = 0 c) x + x 14 = 0 ve x simetrik iki kök ise + x = b a = 0 ve x. x = c 1 a < 0 olmalıdır. a) + x = 0 ve. x = 9 < 0 olduğu için simetrik iki kökü vardır. b) + x = 0 fakat. x = 16 > 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. c). x = 14 < 0 fakat + x = 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. x (m + 6)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m 6 m = 0 ve < 0 m + 6 = 0 ve m < 0 m = 6 ve m < dir. O halde m = 6 dır. Cevap: 6 x (m 5)x + n = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m ve n değerlerini bulunuz. Simetrik iki kök için + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m+5 1 = 0 ve n 1 > 0 m 5 = 0 ve n > 0 m = 5 ve n > dir. Cevap: m = 5 ve n > x + (m 9)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m +9 1 = 0 ve m 1 < 0 m = 9 ve m < 0 3 m = 3 veya m = 3 ve m < 0 dır. O halde m = 3 olmalıdır. Cevap: 3

30 soru 1 soru 5 ax + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? x (m 4m 14)x 9 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) b = 0 A) 14 B) 4 C) 0 D) 4 E) 14 B) c a < 0 C) b = 0 ve c a > 0 D) b = 0 ve c = 0 E) b = 0 ve c a < 0 soru soru 6 Aşağıdaki denklemlerin hangisinde simetrik iki kök vardır? 3x + (m 5)x + m 7 = 0 A) x + 1 = 0 B) x 4 = 0 C) x + x 6 = 0 D) x + 18 = 0 E) x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) soru 3 soru 7 x + (m 4)x + n 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m + n toplamının alacağı en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 x (m 16)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 soru 4 soru 8 x (m 4)x 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 x (m m 3)x m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 4 1 E D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 D 33

31 Kökleri Verilen ikinci Derece Denklemi Yazma Kökleri verilen ikinci derece denklemi yazmak için x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısı kullanılır. Aşağıda kökleri verilen ikinci dereceden denklemleri yazınız. a) = 5 ve x = 3 b) = 1 ve x = 1 3 c) = 3 ñ ve x = 3 + ñ a) Kökler toplamı: ( 5) + ( 3) = 8 Kökler çarpımı: ( 5). ( 3) = +15 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x + 8x + 15 = 0 Cevap: x + 8x + 15 = 0 1 b) Kökler toplamı: = 5 6 Kökler çarpımı: = 1 6 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 5 6 x = 6x 5x + 1 = 0 c) Kökler toplamı: 3 ñ ñ = 6 Cevap: 6x 5x + 1 = 0 Kökler çarpımı: (3 ñ). (3 + ñ) = 3 (ñ) = 7 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + 7 = 0 Cevap: x 6x + 7 = 0 x 6x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ikinci derece denklemi yazınız. 1 ve 1 x olan x 6x + = 0 denkleminde + x = b a = 6 ve x. x = c 1 a = dir. İstenilen denklemin kökleri Kökler toplamı: 1 ve 1 1 x + x 6 x x x.x 1 x 1 + = = = 1 1 (x ) (x ) 1 3 Kökler çarpımı: = = x x x.x 1 1 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 3x + 1 = x 6x + 1 = 0 Cevap: x 6x + 1 = 0 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ( 3) ve (x 3) olan ikinci derece denklemi yazınız. x 4x 6 = 0 denkleminde + x = b a = 4 ve x. x = c 1 = 6 dır. a 34 İstenilen denklemin kökleri ( 3) ve (x 3) Kökler toplamı: ( 3) + (x 3) = ( + x ) 6 =. 4 6 = Kökler çarpımı: ( 3). (x 3) = 4. x 6 6x + 9 = 4.( 6) = 39 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x x 39 = 0 Cevap: x x 39 = 0

32 soru 1 soru 5 Kökleri ( 7) ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + x + 35 = 0 B) x x + 35 = 0 C) x x 35 = 0 D) x + x 35 = 0 E) x 35x = 0 x + 5x 3 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 5x + 1 = 0 B) x 5x 3 = 0 C) 3x + 5x + 1 = 0 D) 3x + 5x 1 = 0 E) 3x 5x 1 = 0 soru soru 6 Kökleri 1 3 ve 1 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden 4 hangisidir? x 7x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ve x olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 1x x 1 = 0 B) 1x + x + 1 = 0 C) 1x x + 1 = 0 D) 1x + 1x 1 = 0 E) 1x + x 1 = 0 A) x 14x + 8 = 0 B) x 14x + = 0 C) x 14x + 4 = 0 D) x + 14x + 8 = 0 E) x 14x + 16 = 0 soru 3 Kökleri (ñ5 3) ve (ñ5 + 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x ñ5x + 4 = 0 B) x ñ5x 4 = 0 C) x + ñ5x 4 = 0 D) x + 6x 4 = 0 E) x 6x 4 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (3 +1) ve (3x +1) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 16x 53 = 0 B) x 16x 53 = 0 C) x + 16x + 53 = 0 D) x 16x + 53 = 0 E) x + 16x 19 = 0 soru 4 soru 8 x + 8x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri 1 ve dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? 1 x olan ikinci x 4x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (4 3) ve (4x 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8x + 1 = 0 B) x + 8x 1 = 0 C) x + 8x + 1 = 0 D) x 8x 1 = 0 E) x + 4x + 1 = 0 A) x x + 39 = 0 B) x + x 39 = 0 C) x + x + 39 = 0 D) x x 39 = 0 E) x x 37 = 0 1 D A 3 B 4 C 5 E 6 A 7 A 8 D 35

33 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü m + ñn ise diğeri m ñn dir. Aşağıda rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin bir kökü verilmiştir. Diğer kökünü bulunuz. Köklü sayının önündeki sayının işareti değiştirilerek diğer kökü buluruz. a) 3 ñ5 b) + ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 a) 3 + ñ5 b) ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 Köklerinden biri 3 ñ7 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = 3 ñ7 ise x = 3 + ñ7 dir. Kökler toplamı: (3 ñ7) + (3 + ñ7) = 6 Kökler çarpımı: (3 ñ7). (3 + ñ7) = 3 (ñ7) = x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + = 0 Cevap: x 6x + = 0 Köklerinden biri ñ3 + 4 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = ñ3 + 4 ise x = ñ3 + 4 dür. Kökler toplamı: (ñ3 + 4) + ( ñ3 + 4 ) = 8 Kökler çarpımı: (4 + ñ3). (4 ñ3) = 4 (ñ3) = 13 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 8x + 13 = 0 Cevap: x 8x + 13 = 0 Rasyonel katsayılı x +bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri 3 ñ olduğuna göre b + c toplamını bulunuz. = 3 ñ ise x = 3 + ñ dir. Kökler toplamı: + x = b (3 ñ) + (3 + ñ) = b 6 = b 1 = b Kökler çarpımı:. x = c (3 ñ). (3 + ñ) = c 3 (ñ) = c 9 8 = c O halde, b + c = 1 + = 10 = c 36 Cevap: 10

34 soru 1 soru 5 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri (5 + ñ6 ) olduğuna göre, diğeri kaçtır? Köklerinden biri (ñ7 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 + ñ6 B) ñ5 6 C) 5 ñ6 D) 5 + ñ6 E) 5 ñ6 A) x 4x 3 = 0 B) x + 4x 3 = 0 C) x + 4x 7 = 0 D) x + 4x 6 = 0 E) x + 4x 1 = 0 soru soru 6 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklem için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? Köklerinden biri ( ñ3 + 1) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? I. = 3 + ñ ise x = 3 ñ A) x + x 11 = 0 B) x + x + 11 = 0 II. = 1 ñ3 ise x = 1 + ñ3 C) x x 13 = 0 D) x x + 13 = 0 III. = ñ5 ise x = ñ5 E) x x 11 = 0 IV. = ñ7 + 3 ise x = ñ7 3 V. = ñ6 ise x = + ñ6 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Köklerinden biri (1 ñ ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı 3x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri ( + ñ ) olduğuna göre, b c kaçtır? A) x x 1 = 0 B) x x = 0 A) 18 B) 1 C) 6 D) 6 E) 18 C) x + x 1 = 0 D) x + x = 0 E) x x + 1 = 0 soru 4 soru 8 Köklerinden biri (3 ñ5 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri (1 ñ5 ) olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır? A) x 6x + 11 = 0 B) x + 6x 11 = 0 A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 18 C) x 6x 11 = 0 D) x 6x + 4 = 0 E) x 6x 17 = 0 1 E D 3 A 4 C 5 B 6 E 7 A 8 D 37

35 Polinomların Çarpımı Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x). Q(x) = 0 ise P(x) = 0 veya Q(x) = 0 dır. (x ).(x + 5) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (x ).(x + 5) = 0 ise x = 0 veya x + 5 = 0 x = x = 5 Ç.K = { 5, } Cevap: { 5, } (x + 3).(x + x 15) = 0 x + x 15 = (x + 5).(x 3) denkleminin kümesini bulunuz. x +5 x 3 (x + 3).(x + x 15) = (x + 3).(x + 5).(x 3) = 0 x + 3 = 0 veya x + 5 = 0 veya x 3 = 0 x = 3 x = 5 x = 3 Ç.K = { 5, 3, 3} Cevap: { 5, 3, 3} (x + 5).(x + 3x 10) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamını bulunuz. (x + 5) = (x + 5).(x + 5) x + 3x 10 = (x + 5).(x ) x +5 x (x + 5).(x + 3x 10) = (x + 5).(x + 5).(x + 5).(x ) = 0 x + 5 = 0 veya x = 0 x = 5 x = x değerlerinin toplamı 5 + = 3 Cevap: 3 (x 4).(x + 1) = 5x 0 denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. (x 4).(x + 1) = 5x 0 = 5(x 4) (x 4).(x + 1) 5(x 4) = 0 (x 4).(x + 1 5) = 0 (x 4).(x 4 ) = 0 (x 4).(x ).(x + ) = 0 x 4 = 0 veya x = 0 veya x + = 0 x = 4 x = x = Ç.K = {,, 4} 38 Cevap: {,, 4}

36 soru 1 soru 5 (x 4). (x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x + 3). (x + 4x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {4} B) { 3} C) { 3,4} D) { 4,3} E) { 4} A) { 3, 1, 3} B) { 3} C) { 1} D) { 3, 1} E) { 3, 3} soru soru 6 (x 5). (x + 4) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? ( x + 5). (x 6x + 5) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 10 C) 5 D) 10 E) 0 A) 1 B) 5 C) 6 D) 10 E) 11 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 ( x ). (x + 7x + 6) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x 4). (x + 1) = 3x 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,, 1} B) {, 1, 6} C) { 6,, 1} D) {, 1} E) { 6, 1} A) { 4, 1} B) {1, 7} C) {1} D) {4} E) {1, 4} soru 4 soru 8 (x 4). (x + 3) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? (x ). (x + 3) = 5x 10 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 1 B) 6 C) 4 D) 6 E) 1 A) 16 B) 8 C) 4 D) E) 1 1 C B 3 A 4 E 5 D 6 C 7 E 8 C 39

37 Polinomların Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) = 0 ise P(x) = 0 ve Q(x) 0 dır. Q(x) 3x+6 x 3 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3x + 6 = 0 ve x 3 0 olmalıdır. 3x = 6 x 3 x = O halde x = dir. Ç.K = { } Cevap: { } + x 1 x 6x 5 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6x + 5 = 0 ve x 1 0 olmalıdır. x 6x + 5 = (x 5).(x 1) = 0 ise x = 5 veya x = 1 dir. x 1 0 ise x 1 dir. x = 5 veya x = 1 ve x 1 ise x = 5 dir. O halde, Ç.K = {5} Cevap: {5} + x 5x + 6 (x 4x 3)(x ) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4x + 3 =0 veya x = 0 ve x 5x olmalıdır. x 4x + 3 = (x 1)(x 3) = 0 ise x = 1 veya x = 3 dür. x = 0 ise x = dir. x 5x + 6 (x )(x 3) 0 ise x veya x 3 dür. x = 1 veya x = 3 veya x = ve x, x 3 ise x = 1 dir. O halde, Ç.K = {1} Cevap: {1} x 3x = x x denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. x 3x x 3x = x x ise x x = 0 x 3x + = 0 x x 3x + =0 ve x 0 x 3x + = (x )(x 1) = 0 ise x = veya x = 1 dir. x 0 ise x dir. x = veya x = 1 ve x ise x = 1 dir. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} 40

38 soru 1 x 5 x+ = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x x 1 (x 5x 4).(x 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, } E) {, 5} A) { 3, 1} B) {1} C) { 3, 4} D) { 4, 1, 3} E) { 3, 1, 4} soru soru 6 3x+m x 4 = 0 (x x ).(x + 5) denkleminin kökü {, 4} kümesinin elemanı olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 3 C) 1 D) 3 E) 6 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) { 5,, 1} C) {, 5} D) { 5, 1, } E) { 5, } soru 3 8 x x 7x 8 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x + 3 = x + 1 x + 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {1} C) { 1, 8} D) {1, 8} E) { 1, 1, 8} A) { 3} B) { 1, 3} C) {3} D) {1, 3} E) {, 3} soru 4 soru 8 + = x 1 x 3 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4x 3 = x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 1 } B) { 1 } C) { 1, 1} D) {1 } A) {1} B) {1, 3} C) {3} D) { 1, 3} E) {, 1, 3} E) { 1, 1 } 1 C D 3 A 4 D 5 B 6 E 7 C 8 B 41

39 1 5 x 14 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz = 0 ise 1 x x ( x )() x (1) x x 54 = 0 dır. x 5x 14 = 0 ve x 0 olmalıdır. x 7 x + x 0 x 5x 14 = (x 7).(x + ) = 0 ise x = 7 veya x = dir. x = 7 veya x = ve x 0 ise x = 7 veya x = dir. O halde Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x x 1 + x + 3 x + 1 = 0 x x = 0 x 1 x + 1 (x + 1) (x 1) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz. x(x + 1) + (x 1)(x + 3) x + x + x + 3x x 3 = ( x 1)( x + 1) ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ve x 1 0, x x 1 x 1 x'lerin toplamı = b a = 3 Cevap: 3 x + 1 x 3 = 1 x denkleminin kümesini bulunuz. 4 x + 1 x 3 = 1 x ise x = 9 ve x 3 0 olmalıdır. x 9 = 0 x 3 x 9 = (x 3).(x + 3) = 0 ise x = 3 veya x = 3 tür. x = 3 veya x = 3 ve x 3 ise x = 3 tür. Ç.K = { 3} Cevap: { 3}

40 soru 1 1 a 4 a = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x + = + 16 x + 4 x + 4 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 4,, 6} B) {6} C) { 4} D) { 6, 4} E) { 4, 6} A) { 4, 4} B) {4} C) {3, 4} D) { 4,, 4} E) { 3, 4} soru 3 x 1 x = 0 x soru 6 5 x + = mx x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? A) { 1, 1 3 } B) { 1 3 } A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 C) {1} D) { 1 3, 1} soru 3 E) {1, 1 3 } KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x x 5 x + = 0 x x x + 1 = x + 8 x + 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 A) { 1, 3} B) { 3, 1} C) {3} D) {, 3} E) {, 3} soru 4 x + 3 x + x + 4 x 1 = 0 soru 8 x x x + = x 1 x + denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 B) 5 C) 9 D) 4 E) 7 A) {, 3} B) { 3, } C) {, 3} D) {3} E) {1, 3} 1 E D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 43

41 Değişken Değiştirme Yöntemi Verilen denklemlerde, benzer ifadeler yardımcı bilinmeyenle tekrar düzenlenip ikinci dereceden denkleme dönüştürülebilir. Bu yönteme değişken değiştirme yöntemi denir. İkinci dereceden denkleme dönüşen denklem çözülerek verilen denklemin kümesi bulunur. x 4 10x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4 = (x ) dir. x = t dönüşümü yaparsak x = (x ) = t olur. Buna göre x = 0 denklemi t 10t + 9 = 0 denklemine dönüşür. t 10t + 9 = (t 9).(t 1) = 0 ise t = 9 veya t = 1 x = 9 veya x = 1 x = 3, x = 3 x = 1, x = 1 O halde Ç.K = { 3, 1, 1, 3 } Cevap: { 3, 1, 1, 3 } x 6 + 7x 3 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 8 15x 4 16 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x 1 + = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6 = (x 3 ) dir. x 3 = t dönüşümü yaparsak x 6 = (x 3 ) = t olur. Buna göre x 6 + 7x 3 8 = 0 denklemi t + 7t 8 = 0 denklemine dönüşür. t + 7t 8 = (t + 8).(t 1) = 0 ise t = 8 veya t = 1 x 3 = 8 x 3 = 1 x = x = 1 O halde Ç.K = {, 1} Cevap: {, 1} x 8 = (x 4 ) dir. x 4 = t dönüşümü yaparsak x 8 = (x 4 ) = t olur. Buna göre x 8 15x 4 16 = 0 denklemi t 15t 16 = 0 denklemine dönüşür. t 15t 16 = (t 16).(t + 1) = 0 ise t = 16 veya t = 1 x 4 = 16 x 4 = 1 eşitliğini sağlayan x =, x = reel sayı yoktur. O halde, Ç.K = {, } Cevap: {, } x = (x 1 ) dir. x 1 = t dönüşümü yaparsak x = (x 1 ) = t olur. Buna göre x 3x 1 + = 0 denklemi t 3t + = 0 denklemine dönüşür. t 3t + = (t )(t 1) = 0 ise t = veya t = 1 x 1 = x 1 = 1 x = 1 x = 1 O halde, Ç.K = { 1, 1} Cevap: { 1, 1} 44

42 soru 1 soru 5 x 4 5x + 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 17x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 4} B) {1, } C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) {, 1, 1, } B) {1, 16} C) {, } D) { 1, 1} E) {1, } soru soru 6 x 4 3x 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 + x 4 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 4} B) {} C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) { 1, 1} B) { 3, 1} 4 4 C) {1} D) { 3, 3} E) 4 4 { 3, 1, 1, 3} soru 3 x 6 6x 3 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 7} B) { 1} C) {3} D) { 1, 3} E) { 3, 1} A) { 1, } B) { 1, 1 } C) { 1, 1} D) {, 1} E) { 1, 1} soru 4 soru 8 x 6 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4 x 8 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) {1, 8} B) {1, } C) { 1, } D) {, 1} E) {, 1} A) 4 B) C) 1 D) 1 E) E C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 8 E 45

43 4 X 6. X + 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3 X 6. 3 X = 1 denkleminin kümesini bulunuz. 4 X = ( ) X = x = ( x ) x = t dönüşümü yaparsak 4 x = ( x ) = t olur. Buna göre 4 x 6. x + 8 = 0 denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4).(t ) = 0 ise t = 4 veya t = x = 4 x = x = x = 1 O halde Ç.K = {1, } Cevap: {1, } 1 3 X = 3 ve x 3x = t dönüşümü yaparsak 3 X = 1 3 = 1 x t olur. Buna göre 3 X 6. 3 X = 1 denklemi t 6 = 1 denklemine dönüşür. t t 1 6 t = 1 1 ise t 6 = t (t) (1) t t t 6 = 0 ise (t 3)(t + ) = 0 t = 3 veya t = 3 X = 3 3 X = eşitliğini sağlayan x = 1 reel sayı yoktur. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} (x + 3) 8. (x + 3) + 15 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 3 = t dönüşümü yaparsak (x + 3) = t olur. Buna göre (x + 3) 8(x + 3) + 15 = 0 denklemi t 8t + 15 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 15 = (t 3). (t 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 x + 3 = 3 x + 3 = 5 x = 0 x = 1 O halde Ç.K = {0, 1} Cevap: {0, 1} x 6x 8 0 x + = x denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak x 6x x = t olur. x 6x Buna göre, 8 0 x + = x denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4)(t ) = 0 ise x t = 4 veya x t = x = 4 x = x = 4x 8 x = x 4 x = 8 x = 4 3 O halde Ç.K = { 8 3, 4} Cevap: { 8 3, 4} 46

44 soru 1 4 x 9. x + 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 (x 5) 4(x 5) + 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 8} B) {1, 3} C) {0, 3} D) {3} E) {0, 8} A) {1, 3} B) {3, 4} C) {3} D) {1, 4} E) {1, 3, 4} soru 9 x 6. 3 x 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 (3x ) 3(3x ) 10 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) {} B) { 1, } C) {1, } D) {1} E) { 3, 9} soru 3 5 x x = denklemini sağlayan x değeri için óx+3 kaçtır? A) ñ3 B) C) ñ5 D) ñ6 E) ñ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 4 B) 10 3 soru 7 x + 1 x = 0 x 3 x 3 C) 3 D) 7 3 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 3} B) {5} C) {7} D) {5, 7} E) {, 3, 5, 7} E) soru 4 3. x+ x = 1 denklemini sağlayan x değeri x + mx 6 = 0 denkleminin bir köküdür. m kaçtır? soru 8 3x 1 3x = 0 x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) {3, 4} B) {0, 9} C) { 9} D) {0, 9} E) Æ 1 C A 3 B 4 E 5 B 6 D 7 D 8 C 47

45 (x x) 8. (x x) + 1 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak (x x) = t olur. Buna göre (x x) 8(x x) + 1 = 0 denklemi t 8t + 1 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 1 = (t 6). (t ) = 0 ise t = 6 veya t = x x = 6 x x = x x 6 = 0 x x = 0 (x 3). (x + ) = 0 (x ). (x + 1) = 0 x = 3, x = x =, x = 1 O halde Ç.K = {, 1,, 3} Cevap: {, 1,, 3} 15 x x x x = denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yapalım. 15 Buna göre x x = denklemi x x t 15 = denklemine dönüşür. t t 1 15 = ise t 15 = t t (t) (1) (t) t + t 15 = (t 3).(t + 5) = 0 (t 3). ( t + 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 t = 3 için x x = 3 ve x x 3 = 0 dır. (x 3)(x +1) = 0 ise x = 3 veya x = 1 t = 5 için x x = 5 ve x x + 5 = 0 dır. D = b 4ac D = ( ) = 16 < 0 D < 0 reel kök yok O halde Ç.K = { 1, 3} Cevap: { 1, 3} x 3x = 3x + 1 x denkleminin kümesini bulunuz. x 3x+1 = t dönüşümü yaparsak 3x+1 x 1 = 1 t Buna göre, x 3x+1 + 3x+1 x 1 = denklemi olur. t + 1 t = denklemine dönüşür. t = ise t + 1 = t t 1 (t) (1) (t) t t + 1 = 0 t t + 1 = (t 1) = 0 ise t = 1 x 3x+1 = 1 x = 3x + 1 x = 3 O halde Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 48