9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

Transkript

1 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik, ( ) ise S kümesi V yi gerer denir, veya V, S tarafından gerilir denir ve SpS=V ile gösterilir. 1.Ö.: [ ] [ ] [ ] olsun. reel sayılar olmak üzere vektörlerinin V yi gerip germediğini görmek için V den herhangi bir [ ] vektörü alnır ve eşitliği sağlayan, reel sayılar hesaplanır. Bunun için lineer sistemin çözülmesi gerekmektedir. Sistemin çözümü, olarak elde edilir. Böylece, vektörleri V yi germiş olurlar. { } 2.Ö.:, olsun. { } kümesi V yi gerer mi? Ç.: V de herhangi bir vektör olsun. ( ) ( ). Böylece, ( ) ( ) ( ). şit dereceli terimlerin katsayıları eşit olacağından lineer sistem elde edilir. Lineer sistemin ilaveli matrisi kullanarak [ ] elde edilir. Eğer ise sistemin bir çözümü yoktur. Böylece, { } kümesi V yi germez. 1

2 9.2. Lineer bağımsızlık 9.2.Tanım: olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan, sabitleri bulunabilirse V vektör uzayındaki, vektörleri aralarında lineer bağımlıdır denir. Aksi halde, vektörleri aralarında lineer bağımsızdır denir. Yani,, vektörleri aralarında lineer bağımsız ise eşitliğinin sağlanması olması ile mümkündür. ( ) olsun,, vektörleri lineer bağımlı ise S kümesine lineer bağımlı, vektörler lineer bağımsız ise S kümesine lineer bağımsızdır denir. 3.Ö.: de [ ] [ ] ve [ ] vektörleri lineer bağımsız mı? Ç.: Bu sistemin tek çözümü bağımsızdır. olduğundan verilen vektörler lineer 4.Ö.: de [ ] [ ] [ ] ve [ ] vektörleri verilsin. Ç.: ( )kümesi lineer bağımsız mı? Bu sistemin aşikar olmadık iki çözümüne bakalım. Buna göre S lineer bağımlıdır. 5.Ö.: de [ ] [ ] [ ] vektörler lineer bağımsızdır. 6.Ö.: de vektörleri lineer bağımlı mıdır? Ç.: Ç.: 2

3 Bu homojen sistemin aşikar olmadık çözümü vardır. çözüm olduğuna göre vektörler lineer bağımlıdır Teorem: ve bir vektör uzayının iki sonlu alt kümesi ve olsun. O zaman i. lineer bağımlı ise de lineer bağımlıdır. ii. lineer bağımsız ise de lineer bağımsızdır. { } ve { } olsun. i. lineer bağımlı olduğundan denklemi sağlayan ve hepsi birden sıfır olmayan, skalarları vardır. Buna göre şeklinde yazılabilir. Bu denklemdeki katsayıların hepsi birden sıfır olmadığından de lineer bağımlıdır. ii. lineer bağımsız olsun ve lineer bağımlı olduğunu varsalayalım. Bundan lineer bağımlı olmak zorundadığı elde edilir.çelişme Teorem: Bir V vektör uzayında sıfırdan farklı vektörlerin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart için vektörlerinden en azından biri indisçe kendisinden önce gelen vektörlerinin bir lineer birleşimi olarak ifade edilmesidir. vektörlerinin lineer birleşimi ise, yani, ise o zaman ( ) eşitliğinden ve en az katsayılarından birinin -1 olmasından dolayı vektörleri lineer bağımlıdır. Tersine vektörleri lineer bağımlı olsun. Bu durumda olacak şekilde, hepsi birden sıfır olmayan skalarları vardır. şartını sağlayan en büyük indis ve ise ( ) ( ) ( ) olur. j=1 ise dan elde edilir ki bu hipotezle çelişir. 7.Ö.: de [ ] [ ], [ ] [ ] olsun. eşitliği sağladığından bu vektörler de lineer bağımlıdır. Buradan da elde edilir Baz 3

4 9.3.Tanım: Bir V vektör uzayının bir { } altkümesi aşağıdaki iki özelliğe sahipse V nin bir bazı veya tabanı adını alır. i. S,V yi gerer ii. S lineer bağımsızdır. Uyari: Eğer { } kümesi bir V vektör uzayının bazı ise, bu kümedeki her bir vektör birbirinden ve sıfırdan farklıdır. 8.Ö.: de [ ] [ ] [ ] kümesi için bir baz olup, bu baza nin doğal veya standart bazı adı verilir. 9.4.Tanım: nin doğal bazı { } biçiminde gösterilir. Burada i yinci satır. [ ] Yani, i yinci satırı 1 ve diğer satırları sıfır olan nx1 tipinde bir matristir. için doğal bazı ile gösterilir. Şekilini göstermeli. 9.Ö.: { } kümesinin de vektör uzayı için bir baz olduğunu gösteriniz. Ç.: ( ) ( ) ( ) Bu denklem sistemi çözülürse olur. Böylece, S, yi gerer. 9.5.Tanım: { } vektör kümesi için baz olup, bu baza nin doğal veya standart bazı denir Teorem: { } bir V vektör uzayının bir bazı ise, bu halde V nin her vektörü S nin elemanlarının bir lineer birleşimi olarak tek türlü yazılabilir. olsun. ( ) ( ) ( ) S lineer bağımsız olduğundan elde edilir. 4

5 9.4. Teorem: Bir V vektör uzayının sıfırdan farklı vektörlerinin bir kümesi { } ve W=SpS olsun. Bu halde S nin bir altkümesi V için bazdır. 1.Hal. S lineer bağımsız ise, bu halde W yi gerdiğinden W için bir bazdır. 2.Hal. S lineer bağımlı ise, bu halde. Burada katsayıların tamamı sıfır değildir. Böylece, vektörü, S de kendisinden önce gelen vektörlerin bir lineer birleşimidir. Şimdi, S den vektörü atıldığında elde edilen kümeyi ile gösterelim. Bu halde kümesinden de W yi gerdiği sonucuna varılır. lineer bağımsız ise, bu halde bir bazdır. lineer bağımlı ise, kendisinden önce gelen vektörlerin bir lineer birleşimi olan bir vektörü den çıkararak W yi geren yeni bir kümesi elde edilir. Bu şekilde devam edersek, S sonlu bir küme olduğundan lineer bağımsız olan ve W yi geren S nin bir T altkümesi bulunur. T,W için bir bazdır Teorem: Bir V vektör uzayının bir bazı { } ve V nin lineer bağımsız vektörlerinin bir kümesi { } ise, o zaman dir. { } olsun. S, V yi gerdiğinden de V yi gerer. lineer bağımlıdır. Bu halde en az bir vektörü kendisinden önce gelen vektörlerin bir birleşimidir. Bu vektörü den atalım. { } olsun. V yi gerer. { } olsun. Bu halde lineer bağımlıdır, nin bir vektörü önce gelen vektörlerin bir birleşimidir. T lineer bağımsız olduğundan bu vektör olamayacağına göre, için dir.bu işlem tekrar edilerek, her seferinde T kümesinden bir v vektörü atmak mümkündür. Böylece, w vektörleri sayısı olan r, v vektörlerin sayısı olan n den daha büyük olamaz Sonuç: { } ve { } bir V vektör uzayının bazları ise, bu halde r=n dir Boyut 9.6.Tanım:Sıfırdan farklı bir V vektör uzayının bir bazındaki vektörlerin sayısına, V nin boyutu denir. V nin boyutu genellikte boy V biçiminde gösterilir. { } aşikar vektör uzayının boyutu sıfır olarak tanımlanır. 10.Ö.: { } kümesi için bir baz olduğundan boy = Tanım:Bir V vektör uzayının bir altkümesi S olsun. S nin lineer bağımsız bir T altkümesini, S nin lineer bağımsız başka hiçbir altkümesi kapsamayorsa, T ye S nin bir maksimal bağımsız altkümesi denir. 11.Ö.: ve [ ] [ ] [ ] [ ] olmak üzere, { } kümesini gözönüne alalım. 5

6 { } { } { } { } kümeleri S nin maksimal bağımsız altkümeleridir. 9.2.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, V nin maksimal bağımsız bir altkümesinde n vektör vardır. 9.3.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, V yi geren bir minimal kümede n vektör vardır. 9.4.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, bu halde m>n olmak üzere,v nin m vektör bulunduran herhangi bir altkümesi lineer bağımlıdır. 9.5.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, bu halde m<n olmak üzere,v nin m vektör bulunduran herhangi bir altkümesi V yi geremez Teorem: V sonlu bir vektör uzayı ve V nin lineer bağımsız bir altkümesi S ise, bu halde V nin S yi kapsayan bir T bazı vardır Teorem: V, n boyutlu sonlu bir vektör uzayı olsun. i. { } V nin lineer bağımsız bir altkümesi ise, bu halde S, V nin bir bazıdır. ii. { } V yi gererse, bu halde S, V nin bir bazıdır Teorem: V vektör uzayını geren solu bir altkümesi S olsun. S nin maksimal bağımsız bir altkümesi V nin bir bazıdır. 6

7 9.KONU: Ödevler 1. Aşagıdaki polinom kümelerinden hangileri yi gerer? i) { } ii) { } 2. Aşagıdaki vektörlerin hangileri yi gerer? i) [ ] [ ] ii) [ ] [ ] [ ] iii) [ ] [ ] 3. Aşagıdaki vektörlerin hangileri yi gerer? i) [ ] [ ] [ ] ii) [ ] [ ] [ ] [ ] iii) [ ] [ ] [ ] 4. Aşağıdaki verilen vektörlerin deki vektörlerin hangileri lineer bağımsızdır? i) [ ] [ ] [ ] [ ] ii) [ ] [ ] 5. Aşagıdaki deki polinom kümelerinden hangileri lineer bağımsızdır? i) { } ii) { } 6. Aşagıdaki vektör kümelerinden hangileri için bazdır? i) [ ] [ ] [ ] ii) [ ] [ ] iii) [ ] [ ] [ ] [ ] 7. de verilen atuzaylar için bir baz bulunuz i) olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler. ii) olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler. iii) olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler. 8. için bir baz bulunuz. nin boyutu nedir? 9. nin, olmak üzere biçimindeki bütün vektörlerinin altuzayının boyutunu bulunuz. 10. [ ] [ ] [ ] kümesi için bir baz olacak biçimdeki bütün değerlerini bulunuz. 7