Tam Sayılarda Çarpma. Korsanın verdiği şiiri, Cemile matematik diline aşağıdaki şekilde çevirmiştir. Acaba nasıl yapmıştır

Transkript

1 Korsanın verdiği şiiri, Cemile matematik diline aşağıdaki şekilde çevirmiştir. Dostumun dostu dostumdur. Dostumun düşmanı düşmanımdır. Düşmanımın dostu düşmanımdır. Düşmanımın düşmanı dostumdur. Acaba nasıl yapmıştır Tam Sayılarda Çarpma

2 Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif bir sayıdır. Ters işaretli iki tam sayının bölümü negatif bir sayıdır. Not: Aynı işaret incelemesi çarpma için de geçerlidir. Tam Sayılarda ölme

3 Sıfırdan büyük olan +1, +2, +3,... gibi sayılara pozitif tam sayılar denir. Sıfırdan küçük olan 1, 2, 3,... gibi sayılara negatif tam sayılar denir. Sıfır pozitif veya negatif değildir. ir sayının sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün, başlangıç noktasına olan uzaklığına, o sayının mutlak değeri denir. Sıfır hariç tüm tam sayıların mutlak değeri pozitiftir. Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. 4 Pozitif tam sayıların tamamı sıfırın sağında olduğundan sıfır, pozitif tam sayıların tamamından küçüktür. 4 Negatif tam sayıların tamamı sıfırın solunda olduğundan sıfır, negatif tam sayıların tamamından büyüktür. 4 Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif, negatif iki tam sayının toplamı negatiftir. 4 Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının toplamı negatif de olabilir, pozitif de olabilir. Tam sayı problemlerinde tam sayılardaki temel bilgileri bilmeniz soruları yapmada size yardımcı olacaktır. Tam Sayılarda Problemler

4 unları Negatif tam sayıların; tek kuvveti alındığında sonucun negatif, çift kuvveti alındığında sonucun pozitif çıktığını 2 (- 2) = (-2) $ (-2) =+ 4 3 (- 2) = (-2) $ (-2) $ (-2) =- 8 Dikkat 2-2 =- 2$ 2 = =- 2$ 2$ 2 =- 8 biliyor muydunuz? Üslü Nicelikler

5 2400 TL maaş alan İsmail, kızına harçlık olarak maaşının % 1 ini vermeyi teklif ediyor. Kızı erra ise bunun yerine babasından harçlık olarak 20 TL istiyor. Acaba bu durumda erra kârlı çıkmış mıdır Yüzde Problemleri

6 2 1 YUKARIDAN AŞAĞI TL, yıllık % 10 dan 12 yılda kaç TL faiz getirir? EclipseCrossword.com SOLDAN SAĞA 2. Günlük faizi % 0,1 olan bir bankanın yıllık fazi yüzde kaçtır? 4. ir banka çekilen nakit krediler için aylk % 2,5 faiz uygulamaktadır. u bankadan bir aylığına 600 TL nakit kredi çeken Halil, kaç TL faiz öder? 5. Ali, 800 TL sini 1 aylığına bir bankaya yatırdığında 32 TL faiz geliri elde etmektedir. una göre, Ali parasını bankaya aylık yüzde kaç faizle yatrmıştır? 8. ir banka, yatırılan paralara yıllık % 24 faiz vermektedir. una göre, bankanın aylık faiz yüzdesi kaçtır? 2. Aylık fazi % 1 olan bir bankanın yıllık fazi yüzde kaçtır? 3. Günlük faizi % 1 olan bir bankanın aylık faizi yüzde kaçtır? TL, yıllık yüzde kaçtan faize verilirse 2 yılda kendisi kadar faiz getirir? TL yıl sonunda faiziyle birlikte 6000 TL oluyorsa, yıllık faiz yüzdesi kaçtır? TL aylık % 5 faizden 2 aylık faizi kaç TL olur? Faiz Problemleri

7 Aşağıda dört farklı mağazada 500 TL ye satılan bir ürüne yapılan indirim oranları verilmiştir. una göre, hangi mağazada yapılan indirim 100 TL ye eşittir? Aslan Mağazası Panda Mağazası Kanguru Mağazası Timsah Mağazası % 15 % 10 % 12 % 20 Cevap: Avustralya deyince aklınıza ne gelir? ir Çokluğun Yüzdesi

8 Acaba benim boyum, senin boyunun yüzde kaçına eşit? ir çokluğu diğer bir çokluğun yüzdesi olarak hesaplamak için doğru orantıdan faydalanılabilir. 1,5 m 2 m Cevap: % 75 ir Çokluğu Diğer ir Çokluğun Yüzdesi Olarak Hesaplama

9 en, 120 sayısının; % 10 artırılmış hâlini bulmak için, 120 sayısının % 10 unu bulup 120 ile topluyorum. Peki sen ne yapıyorsun? en, 120 sayısını 1,1 ile çarpıyorum. Acaba hangisi doğru yapıyor ir Çokluğu elirli ir Yüzde İle Artırma

10 ir tüccar, sattığı mala % 10 zam yapar. Ancak zamdan sonra satışlar düşmeye başlar. Fiyatı, yeni fiyatın % 10 altına çeker. İlk duruma göre kârda mıdır, zararda mıdır? Cevap: % 1 zarar. (Acaba neden?) ir Çokluğu elirli ir Yüzde İle Artırma ve Azaltma

11 % 45 i 90 olan sayının kaç olduğunu Nihan ile erra yandaki gibi buluyorlar. Acaba hangisi soruyu doğru çözmüştür? % % 100 x D.O. % 45 $ x = % 100$ 90 % 100$ 90 x = % $ 90 x = x = 200 olur. 45 = x = 90 x 2 x = 2$ 100 = 200 olur. elirli ir Yüzdesi Verilen Çokluğu ulma

12 Matematik Diline Çevirme

13 2 kg 1 kg 2,5 kg 1 kg 1 kg Dengedeki bir terazinin iki kefesinden de ayný kütle alýndýðýnda denge bozulmaz. 1 kg 1 kg 2 kg 2,5 kg 1 kg Dengedeki bir terazinin iki kefesine de ayný kütle konulduðunda denge bozulmaz. 2 kg 2,5 1 kg kg Eşitlik

14 Eşitlik

15 5x + 6 = 20 2x denklemini adým adým çözelim: En büyük kat sayýlý bilinmeyen, denklemin sol tarafýnda olduðu için bilinmeyenler eþitliðin sol tarafýnda toplanabilir. 5x, 2x ten üstündür. ( 5 > 2 ) 6 nýn iþareti + olduðundan denklemin diðer tarafýna geçtiðinde olacaktýr. 5x + 6 = 20 2x 2x in iþareti + olduðundan denklemin diðer tarafýna geçtiðinde olacaktýr. 5x + 2x = 20 6 Eþitliðin her iki tarafýnda oluþan iþlemler yapýlýr. Eþitliðin her iki tarafý bilinmeyenin kat sayýsýna bölünür. 7x 7 = 14 7 x = 2 ulunan deðere kök veya denklemin çözümü denir. Denklem Çözme

16 ir açýyý iki eþ parçaya ayýran ýþýna açýortay denir. A O Ölçüsü 120 olam AO açýsýnýn açýortayýný çizelim A C O lik AO açýsýný 60 lik iki açýya bölen [OC ýþýný açýortaydýr Açıortay

17 ir açýyý iki eþ parçaya ayýran ýþýna açýortay denir O Ölçüsü 100 olam AO açýsýnýn açýortayýný çizelim A A O lik AO açýsýný 50 lik iki açýya bölen [OC ýþýný açýortaydýr C Açıortay

18 Ölçüleri birbirine eþit olan açýlara eþ açýlar denir. A AO açýsýnýn ölçüsü 100 dir O E DOE açýsýnýn ölçüsü 100 dir D O Eş Açılar

19 Ölçüleri birbirine eþit olan açýlara eþ açýlar denir. A E AO açýsýnýn ölçüsü 60 dir DOE açýsýnýn ölçüsü 60 dir O D O AO ve DOE açýlarý eþ açýlardýr. Eş Açılar

20 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E L K C A D E A // DE DE yi kesecek þekilde [CL çizilir. LKE ve LA açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LKE açýsýnýn ölçüsü 120 olur. KCD üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. CKD açýsýnýn ölçüsü = = 60 KDC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KCD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur DOĞRUDA AÇILAR

21 ÞEKÝLDE, s u e e // f f AYNI HARFLERLE GÖSTERÝLEN AÇILAR DIÞ-TERS AÇILARDIR. u s DIÞ-TERS ÝRÝRÝNE EÞÝTTÝR. AÇILARIN ÖLÇÜLERÝ DIŞ-TERS AÇILAR

22 a + b a b e e // f f Doğruda Açılar

23 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 C A a b c a + b + c = 360 dir. D E D E A // DE b = 360 DOĞRUDA AÇILAR b = 360 b = b = 100 bulunur.

24 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E A a 120 C c b = a + c dir. b 140 D E A // DE a = = 60 b = = 40 c = a + b = = 100 bulunur. DOĞRUDA AÇILAR

25 C SORU: A 120? 140 D A // DE E ÇÖZÜM: K A C 40 F 140 D 40 E L A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KA ve KCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. KCF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDE ve LCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur DOĞRUDA AÇILAR

26 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E L K A C D F E A // DE A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KAC ve ACF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. ACF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDC ve DCF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. DCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur DOĞRUDA AÇILAR

27 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E L 140 K C A D F E A // DE A yi kesecek þekilde [CK çizilir. LK ve LDE açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LK açýsýnýn ölçüsü 140 olur. KCA üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. AKC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KAC açýsýnýn ölçüsü = = 60 KCA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur DOĞRUDA AÇILAR

28 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E C A D E A // DE A ve DE ye dik olacak þekilde [E] çizilir. Oluþan ACDE beþgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 540 dir m(ëc) = 540 m(ëc) = 540 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur DOĞRUDA AÇILAR

29 SORU: ÇÖZÜM: C A 120? 140 D E 90 C E A D A // DE A ve DE ye dik olacak þekilde C den geçen [E] çizilir. CA ve CED dik üçgenleri oluþur. Üçgenlerin Ýç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 180 dir. CA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 30 ECD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 50 m(ëc) = 180 ( ) = 100 bulunur. DOĞRUDA AÇILAR

30 ÇÖZÜM - 8 A C D E ÇÖZÜM - 1 K A C 40 F 140 D 40 E L A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KA ve KCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. KCF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDE ve LCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. A ve DE ye dik olacak þekilde [E] çizilir. Oluþan ACDE beþgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 540 dir m(ëc) = 540 m(ëc) = 540 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. A ÇÖZÜM C K L D E 120 DE yi kesecek þekilde [CL çizilir. LKE ve LA açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LKE açýsýnýn ölçüsü 120 olur. KCD üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. CKD açýsýnýn ölçüsü = = 60 KDC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KCD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. C ÇÖZÜM - 2 A a 120 C c c = a + b dir. b 140 D E a = = 60 b = = 40 c = a + b = = 100 bulunur.? D A SORU: ÇÖZÜM - 6 L 140 A K C 100 F 140 D E A yi kesecek þekilde [CK çizilir. A // DE E LK ve LDE açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LK açýsýnýn ölçüsü 140 olur. KCA üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. AKC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KAC açýsýnýn ölçüsü = = 60 KCA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. ÇÖZÜM - 5 K A C L D ÇÖZÜM - 3 A a C c a + b + c = 360 dir. b D E c = c = 360 c = c = 100 bulunur. A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KAC ve ACF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. ACF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDC ve DCF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. DCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. F E ÇÖZÜM - 4 A C E D A ve DE ye dik olacak þekilde C den geçen [E] çizilir. CA ve CED dik üçgenleri oluþur. Üçgenlerin Ýç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 180 dir. CA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 30 ECD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 50 m(ëc) = 180 ( ) = 100 bulunur. DOĞRUDA AÇILAR (MUHAKEME)

31 ÇÖZÜM - 8 A C D E ÇÖZÜM - 1 K A C 40 F 140 D 40 E L A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KA ve KCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. KCF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDE ve LCF açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. A ve DE ye dik olacak þekilde [E] çizilir. Oluþan ACDE beþgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 540 dir m(ëc) = 540 m(ëc) = 540 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. A ÇÖZÜM C K L D E 120 DE yi kesecek þekilde [CL çizilir. LKE ve LA açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LKE açýsýnýn ölçüsü 120 olur. KCD üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. CKD açýsýnýn ölçüsü = = 60 KDC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KCD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. C ÇÖZÜM - 2 A a 120 C c c = a + b dir. b 140 D E a = = 60 b = = 40 c = a + b = = 100 bulunur.? D A SORU: ÇÖZÜM - 6 L 140 A K C 100 F 140 D E A yi kesecek þekilde [CK çizilir. A // DE E LK ve LDE açýlarý yöndeþ açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. LK açýsýnýn ölçüsü 140 olur. KCA üçgeninde iç açýlar toplamý 180 dir. AKC açýsýnýn ölçüsü = = 40 KAC açýsýnýn ölçüsü = = 60 KCA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 80 C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. ÇÖZÜM - 5 K A C L D ÇÖZÜM - 3 A a C c a + b + c = 360 dir. b D E c = c = 360 c = c = 100 bulunur. A ve DE ye paralel olacak þekilde CF çizilir. KAC ve ACF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. ACF açýsýnýn ölçüsü 60 olur. LDC ve DCF açýlarý iç - ters açýlar olduðundan ölçüleri birbirine eþittir. DCF açýsýnýn ölçüsü 40 olur. C açýsýnýn ölçüsü = = 100 bulunur. F E ÇÖZÜM - 4 A C E D A ve DE ye dik olacak þekilde C den geçen [E] çizilir. CA ve CED dik üçgenleri oluþur. Üçgenlerin Ýç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 180 dir. CA açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 30 ECD açýsýnýn ölçüsü = 180 ( ) = 50 m(ëc) = 180 ( ) = 100 bulunur. DOĞRUDA AÇILAR (MUHAKEME)

32 ÞEKÝLDE, AYNI HARFLERLE GÖSTERÝLEN b AÇILAR ÝÇ-TERS AÇILARDIR. ÝÇ-TERS e a b a f e // f AÇILARIN ÖLÇÜLERÝ ÝRÝRÝNE EÞÝTTÝR. İÇ-TERS AÇILAR

33 ÞEKÝLDE, AYNI HARFLERLE GÖSTERÝLEN AÇILAR YÖNDEÞ AÇILARDIR. c a m b d m // n c a n b d YÖNDEÞ AÇILARIN ÖLÇÜLERÝ ÝRÝRÝNE EÞÝTTÝR. YÖNDEŞ AÇILAR

34 AO merkez açýsýnýn ölçüsü gördüðü yay olan A yayýnýn ölçüsüne, yani 70 ye eþittir. AO merkez açýsýnýn ölçüsü gördüðü yay olan A yayýnýn ölçüsüne, yani 70 ye eþittir. A O Merkez Açılar

35 Soru: Çözüm: A A C O 75 C O Yukarýda verilmiþ O merkezli çemberde AO merkez açýsýnýn ölçüsü 75 olduðuna göre, CA yayýnýn ölçüsü kaç derecedir? AO merkez açýsýnýn ölçüsü gördüðü yayýn ölçüsüne eþit olduðundan A yayýnýn ölçüsü 75 dir. Çemberin tümü 360 olduðundan, CA yayýnýn ölçüsü = = 285 bulunur. Merkez Açı

36 m(eïf) = F A m(aï) = 40 E A yayýnýn ölçüsü 50 dir O D C 140 m(dïc) = 140 Çemberde Açılar

37 A yayýnýn ölçüsü 50 dir. A A O m(aï) = 100 Çemberde Açılar

38 A A yayý Minör Yay O C AC yayý Majör Yay Merkez Açılar

39 Soru: Çözüm: A A C O? C O Yukarýda verilmiþ O merkezli çemberde CA majör yayýnýn ölçüsü 250 olduðuna göre, AO merkez açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? Çemberin tümü 360 olduðundan, A minör yayýnýn ölçüsü = = 110 bulunur. AO merkez açýsýnýn ölçüsü gördüðü yayýn ölçüsüne eþit olduðundan ölçüsü 110 dir. Merkez Açı

40 Yarým çember yayýnýn ölçüsü 180 dir O O Yarým çember yayýnýn ölçüsü 180 dir O O Çemberin tamamý 360 dir. Çemberin tamamý 360 dir. Çemberde Açılar

41 A O A yayýnýn ölçüsü 50 dir Çemberde Açılar

42 Soru: Çözüm: A G? F A 360 ( ) G F D E D E C Yukarýda verilmiþ olan ACDE ve DEFG çokgenleri düzgün çokgen olduðuna göre, AGF açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? C ACDG düzgün beþgen olduðundan bir iç açýsý 108 dir. DEFG kare olduðundan bir iç açýsý 90 dir. DGA, FGD ve FGA açýlarýnýn ölçüleri toðlamý 360 dir. DGA ve FGD açýlarýnýn ölçüleri topamý: = 198 FGA açýsýnýn ölçüsü = = 162 bulunur. Üçgende Açılar

43 Soru: A Çözüm: A? E 36 E 108 C D Yukarýda verilmiþ olan ACDE düzgün çokgen olduðuna göre, DC açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? C D ACDG düzgün beþgen olduðundan bir iç açýsý 108 dir. CD açýsý 108 dir. C = CD olduðundan CD ikizkenar üçgendir. DC ve CD açýlarýnýn ölçüleri birbirine eþittir. DC ve CD açýlarýnýn ölçüleri toplamý; = 72 dir. DC açýsýnýn ölçüsü = 36 bulunur. Üçgende Açılar

44 Soru: Çözüm: x y Yukarýdaki þekilde verilen düzgün onikigenin dýþ açýlarýndan biri y ve iç açýlarýndan biri x in ölçüsü kaç derecedir? Tüm çokgenlerde olduðu gibi düzgün onikigenin de dýþ açýlarýnýn ölçüleri toplamý 360 dir. Düzgün onikigenin ölçüleri birbirine eþit oniki tane dýþ açýsý vardýr. ir dýþ açýsýnýn ölçüsü y = 360 _: 12 = 30 dir. Dýþ açý y ile iç açý x in toplamý: y + x = 180 olduðundan; bir iç açýsý x = = 150 bulunur. Düzgün Çokgenlerde Açılar

45 Düzgün Altıgen

46 Düzgün eşgen

47 Düzgün Sekizgen

48 Dikdörtgen Paralelkenar Kare b a a b 180 a b Eşkenar Dörtgen b a b 180 a Yamuk a b d c a d 180 a b c 180 b DÖRTGENLERDE AÇILAR

49 A D N K İki çokgenin karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ise, bu iki çokgen eştir denir. eşlik sembolüdür. C M L Yukarıdaki şekilde; m(ëa) = m(ëk), m(ë) = m(ël), m(ëc) = m(ëm), m(ëd) = m(ën) ve A = KL, C = LM, CD = MN, DA = NK olduğundan, ACD dörtgeni ile KLMN dörtgeni eştir. ACD KLMN şeklinde gösterilir. A, ve C seçeneklerinde çokgenler 4 eş parçaya ayrılmıştır. D seçeneğinde verilen şekil 4 eş parçaya ayrılabilir mi? A) ) C) D) EŞ ŞEKİLLER

50 Kedi, süte ulaşmak için 6 birim sağa ötelenmiştir. ir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yöndeki hareketine öteleme denir. Yandaki kareli zeminde kedi 6 birim sağa ötelenmiştir. Yandaki kareli zeminde ayı 8 birim sağa, 3 birim yukarıya ötelenmiştir. Ötelemede bir şeklin duruşu, biçimi ve boyutları değişmez Ayı, bal peteklerine ulaşmak için 8 birim sağa, birim yukarıya ötelenmiştir. ÖTELEME

51 y 8 y = 8 doðrusu x = 5 doðrusu O 5 x Eksenlere Paralel Doğrular

52 y x = 2 doðrusu 2 O x y = 3 doðrusu 3 Eksenlere Paralel Doğrular

53 y O x y = 4x doðrusu Orijinden Geçen Doğrular

54 y ekseni, ordinat y orijin O x x ekseni, apsis Koordinat Sistemi

55 C( 4, 3) y A(1, 5) (3, 2) O x 2 E(5, 4) D(2, 4) Koordinat Sistemi

56 orijin y ekseni, ordinat y Koordinat sisteminde bir nokta; büyük harfle gösterilir, koordinatlar mutlaka parantez içine yazýlýr, önce x koordinatý, sonya y koordinatý yazýlýr, araya virgül konulur. noktanýn x eksenindeki yerini belirtir A(5, 4) noktanýn y eksenindeki yerini belirtir O x x ekseni, apsis y x koordinatý y koordinatý A(5, 4) y b i r i m 2. bölge 3. bölge O 1. bölge 4. bölge x O b i r i m x 5 6 Koordinat Sistemi

57 6 y K(4, 6) O 4 x Koordinat Sistemi

58 y 2. ölge 1. ölge O x 3. ölge 4. ölge Koordinat Sistemi

59 6 5 4 y A(0, 5) 3 2 C( 4, 0) 1 (3, 0) O D(0, 2) x Koordinat Sistemi

60 Koordinat sisteminde bir nokta; büyük harfle gösterilir, koordinatlar mutlaka parantez içine yazýlýr, önce x koordinatý, sonya y koordinatý yazýlýr, araya virgül konulur. noktanýn x eksenindeki yerini belirtir A(5, 4) noktanýn y eksenindeki yerini belirtir y x koordinatý y koordinatý A(5, 4) 4 b i r i m O b i r i m x Koordinat Sistemi

61 y 2. bölge 1. bölge O x 3. bölge 4. bölge Koordinat Sistemi

62 Aþaðýdaki grafikte x ile y deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. y x =2y x Doğrusal İlişkiler

63 x y Yukarýdaki tabloda x ile y deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. y = 4x Doğrusal İlişkiler

64 a b Yukarýdaki tabloda a ile b deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. m n Yukarýdaki tabloda m ile n deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. x y Yukarýdaki tabloda x ile y deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. p s Yukarýdaki tabloda p ile s deðerleri arasýnda doðrusal bir iliþki vardýr. Doğrusal İlişkiler

65 y x y y = 4x doðrusu O 1 x Orijinden GeçenDoğrular

66 2x 3y = 12 doðrusu x y y 6 4 O x Eksenleri Kesen Doğrular

67 y x y x + 3y = 18 doðrusu O 9 x Eksenleri Kesen Doğrular

68 DÝKEY SÝMETRÝ DÝKEY SÝMETRÝ Dikey Simetri

69 a b A A Simetri

70 yatay ve dikey simetri x yatay ve dikey simetri y yatay ve dikey simetri yatay ve dikey simetri Yatay ve Dikey Simetri

71 YATAY SÝMETRÝ YATAY SÝMETRÝ Yatay Simetri

72 1 2 Düzgün Altýgenin Simetri Eksenleri Simetri

73 YANSIMA YANSIMA ve ve SÝMETRÝ doðrusu

74 A y Yandaki koordinat düzleminde verilen A dörtgeni 2 birim sola ötelenip, y eksenine göre yansıması alınıyor. üçgeni ise 4 birim yukarıya öteleniyor. O x una göre, iki çokgenin kesiştikleri bölgenin alanını bulalım: 1. adım A dörtgenini 2 birim sola öteleyelim. y 2 birim O x 2. adım Ötelediğimiz A dörtgeninin y eksenine göre yansımasını alıp, üçgenini 4 birim yukarıya öteleyelim. O y 4 birim x Son olarak; İki çokgenin kesiştikleri bölge bir dik üçgendir. una göre, sarı renkli üçgenin alanı; 1 2$ 2 = 2 1 = 2 birimkarebulunur. ÖTELEMELİ YANSIMA

75 ir şeklin sağa - sola, yukarı - aşağı ötelenmesi ile elde edilen süslemelere öteleme ile süsleme denir. SÜSLEME

76 Soru: Çözüm: Yukarýdaki þekilde verilmiþ olan cismin üstten görünümünü çiziniz. Cisme üstten bakýldýðýnda görünen yüzeyler yukarýda mavi renk ile gösterilmiþtir. u yüzeylerin görünümü aþaðýdaki gibi olur Cisimlerin Görünümü

77 Soru: Çözüm: Sað Yukarýdaki þekilde verilmiþ olan cismin soldan görünümünü çiziniz. Cisme saðdan bakýldýðýnda görünen yüzeyler yukarýda mavi renk ile gösterilmiþtir. u yüzeylerin görünümü aþaðýdaki gibi olur Cisimlerin Görünümü

78 Soru: Çözüm: Sol Sað Yukarýdaki þekilde verilmiþ olan cismin önden görünümünü çiziniz. Cisme önden bakýldýðýnda görünen yüzeyler yukarýda mavi renk ile gösterilmiþtir. u yüzeylerin görünümü aþaðýdaki gibi olur Cisimlerin Görünümü

79 Aþaðýda eþ küplerden oluþan cismin üç farklý yönden görünümünü çizelim. Üst Ön Sað Üstten Görünüm Önden Görünüm Saðdan Görünüm Önden Görünüm Saðdan Görünüm Üstten Görünüm CİSİMLERİN GÖRÜNÜMÜ

80 Aþaðýda üç farklý yönden görünümü verilen cismi çizelim. Üstten görünüm Önden görünüm Saðdan görünüm 1. adým: Ýlk önce, üstten görünüme uygun olacak þekilde cismin zeminini oluþturan küpler çizelim. 2. adým: Daha sonra, önden görünüme uygun olacak þekilde yeni küpler çizelim. 3. adým: Son olarak, saðdan görünüme uygun olacak þekilde, fazla küpler varsa, onlarý silelim. Son: Cisim aþaðýdaki gibi elde edilir. Üst Üst Üst Ön Sað Ön Sað Ön Sað GÖRÜNÜMÜ VERİLEN CİSMİ ÇİZME

81 azı şekillerin alanı bulunurken, şekil üzerinde köşegen veya bir doğru parçası çizilerek, şekil üçgen, paralelkenar, kare, dikdörtgen gibi çokgenlere ayrılarak, çokgenlerin alanları ayrı ayrı bulunur. Daha sonra bulunan alanlar toplanarak veya çıkarılarak şeklin alanı bulunur. Soldaki şekil sağdaki gibi parçalara ayrılarak alanı bulunabilir. Kenar uzunlukları 8 birim olan yandaki kare (alanı = 8 8 = 64 br 2 ), şekildeki gibi iki eş dik üçgen ve iki eş yamuk şeklinde dört parçaya ayrılıyor. Hata nerede u parçalar yandaki gibi birleştirilerek kenar uzunlukları 13 birim ve 5 birim olan dikdörtgen (alanı = 13 5 = 65 br 2 ) elde ediliyor. 64 = 65 ÇOKGENLERİN ALANI

82 Soru: Çözüm: 7 cm 4 cm 7 cm 4 cm Eþkenar dörtgenin alaný bulunurken; köþegen uzunluklarý çarpýmý 2 ye bölünür. Köþegen Uzunluklarý Çarpýmý = 56 cm 2 2 bulunur. Yukarýdaki þekilde verilen eþkenar dörtgenin köþegen uzunluklarý 8 cm ve 14 cm olduðuna göre, alanýný bulunuz. Eşkenar Dörtgenin Alanı

83 Soru: A Çözüm: A 5 cm2 E D 5 cm2 5 cm2 E 5 cm2 5 cm2 D C Yukarýdaki þekilde verilen ACD eþkenar dörtgeninde AE üçgeninin alaný 5 cm 2 olduðuna göre, ACD eþkenar dörtgeninin alanýný bulunuz. C Köþegenler eþkenar dörtgeni birbirine eþ 4 adet eþ dik üçgene ayýrýr. Eþ üçgenlerin alanlarý birbirine eþittir. Eþkenar dörtgenin alaný; 5 cm cm cm cm 2 = 20 cm 2 bulunur. Eşkenar Dörtgenin Alanı

84 y A D O C x Koordinat düzleminde verilen ACD eşkenar dörtgeninde, A D C Eþkenar dörgenin A(ACD) = yarýsýna eþittir. uzunluklarý çarpýmýnýn alaný, köþegen AC $ D 2 AC = 6 birim ve D = 10 birim olduğundan, eşkenar dörtgenin alanı; 5 6$ 10 = 2 1 = 30 birimkaredir. EŞKENAR DÖRTGENİN ALANI

85 Soru: 8 cm Çözüm: Yamuðun alaný bulunurken; alt taban ile üst taban uzunluðu toplanýr, bulunan sonuç yükseklik uzunluðu ile çarpýlarak 10 cm 12 cm Yukarýdaki þekilde verilen yamuðun alt tabaný 12 cm, üst tabaný 8 cm ve yüksekliði 10 cm olduðuna göre, 2 ye bölünür. (alt taban + üst taban) h 2 (12 + 8) = 100 cm 2 bulunur. alanýný bulunuz. Yamuğun Alanı

86 80 cm Yamuðun alaný, paralel kenarlarýn 20 cm yükseklik ile çarpýmýnýn yarýsýna eþittir. 50 cm uzunluklarý toplamýnýn D c C Yukarıda üst yüzeyi yamuk şeklinde olan masanın üst yüzeyinin alanı; A h a 10 ^ h$ 20 = = 1300 cm dir. A(ACD) = _ A + DC i $ h 2 YAMUĞUN ALANI

87 6 cm 4 cm 24 cm 1 cm 12 cm 2 cm 8 cm 3 cm Þekilde verilmiþ olan dikdörtgenlerin alanlarý birbirine eþittir. Kenar- Alan İlişkisi

88 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 10 cm 9 cm 8 cm 7 cm Þekilde verilmiþ olan dikdörtgenlerin 5 cm çevre uzunluklarý birbirine eþittir. 6 cm Kenar- Çevre İlişkisi

89 Çevre uzunluðu 40 cm olan dikdörtgenin alaný farklý deðerler alabilir. 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 19 cm 18 cm 17 cm 16 cm Alan = 19 cm² Alan = 36 cm² Alan = 51 cm² Alan = 64 cm² 1 cm Alaný 72 cm² olan dikdörtgenin çevre uzunluðu farklý deðerler alabilir. 60 cm Çevre = 122 cm 5 cm 15 cm Alan = 75 cm² 2 cm 30 cm Çevre = 64 cm 6 cm 14 cm Alan = 84 cm² 3 cm 20 cm Çevre = 46 cm 7 cm 13 cm Alan = 91 cm² 4 cm 15 cm Çevre = 38 cm 8 cm 12 cm Alan = 96 cm² 5 cm 12 cm Çevre = 34 cm Çevre uzunluklarý eþit olan dikdörtgenlerden hangisinin alaný en fazladýr? 9 cm 10 cm 11 cm 10 cm Alan = 99 cm² Alan = 100 cm² 6 cm 10 cm Çevre = 32 cm Alanlarý eþit olan dikdörtgenlerden hangisinin çevre uzunluðu en kýsadýr? ÇEVRE ALAN İLİŞKİSİ

90 p r A r r O A yayý, yarým çember olduðundan uzunluðu; 2 p r = p r 2 Yarým dairenin çevre uzunluðu A yayý ile [A] nin toplamýna eþittir. (p r) + (2 r) Yarım Çemberin Çevre Uzunluğu r

91 2, Çemberin çevre uzunluðu; p ve yarýçap uzunluðunun çarpýmýna eþittir. Çevre = 2 p r O r Çemberin Çevre Uzunluğu

92 O Dairenin Alaný p r 2 formülü ile hesaplanýr. r p rrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr Dairenin alanı

93 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 p r 2 Dairenin alanı

94 daire yarým daire p r 2 2 p r 2 p r 4 2 çeyrek daire Daire ve Dilimlerinin Alanı

95 daire p r 2 yarým daireler p r 2 2 p r 2 2 yarým daire p r 2 2 p r 2 2 yarým daire Yarım Dairenin Alanı

96 Daire Çeyrek Daireler p r 2 p r 4 2 p r 4 2 p r 4 2 p r 4 2 Çeyrek Daire Çeyrek Daire p r 2 4 p r 2 4 p r 2 4 p r 2 4 Çeyrek Daire Çeyrek Daire Çeyrek Dairenin Alanı

97 Daire p r 2 Yarým Daireler p r 2 2 p r 4 2 p r 2 2 Yarým Daire Yarým Daire Çeyrek Daire Çeyrek Daire Çeyrek Daireler p r 2 4 p r 2 4 p r 2 4 p r 2 4 Çeyrek Daire Çeyrek Daire Daire, Yarım ve Çeyrek Daire Alanı

98 Problem çözerken... ir sayının; 2 fazlası : x eksiği : x 7 4 katı : 4 x 5 te 2 si : 2 x 5 3 katının 8 fazlası : 3 x eksiğinin 9 katı : 9 (x 1) alınır. Matematik Diline Çevirme

99 Cin Ali, ok yönünde ilerleyen yürüyen merdivenleri sabit hızla 10 saniyede çıkıyor. Aynı merdivenleri aynı hızla bir de ok yönünün tersine inmek için kullandığında ise 30 saniyede aşağı iniyor. Cin Ali, yürüyen merdivende hiç hareket etmeden yukarı çıksaydı kaç saniyede üst kata ulaşırdı? (cevap, tabii ki 20 sn değil!) Problemler

100 zeytin 3 zeytin 14 5 portakal portakal yeşil 5 te 1 i denildiði dikey 5 parça Kalan Para 3 te 1 i denildiði yatay 3 parça 7 parça 14 olduğundan, 1 parça: 14 7 = 2 bulunur. 5 parça 5 kg olduğundan, 1 parça 1 kg dır. 1 kg portakal 2 bulunur. Portakal Yeþil Zeytin 3 parça 300 g olduğundan, 1 parça 100 g dır. 100 g zeytin 2 ise; 1 kg zeytin: 10 2 = 20 bulunur. Rasyonel Sayı Problemleri