AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

Transkript

1 AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

2 2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler 2.3. Fonksiyonlar Giriş Bir çok durumda bir kümenin her elemanını ikinci bir kümenin (ilk kümeyle aynı da olabilen belirli bir elemanına atarız. Örneğin, bir ayrık matematik dersindeki her öğrenciye {A, B, C, D, F} kümesinden bir harf notu verildiğini kabul delim. Harf notları şöyle olsun: Hasan A, Burcu C, Ezgi B, Erman A ve Mesut F. Bu atama aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Bir Ayrık Matematik Sınıfının Notlarının Atanması Bu atama bir fonksiyon için örnektir. Fonksiyon konusu matematik ve bilgisayar bilimlerinde oldukça önemlidir. Örneğin; ayrık matematikte diziler ve dizgiler gibi ayrık yapıların tanımlarında fonksiyonlar kullanılır. Ayrıca fonksiyonlar, bir bilgisayarın verilen bir büyüklükteki problemleri çözmesi için geçen zamanı göstermek için de kullanılır.

3 2.3. Fonksiyonlar Giriş TANIM 1: A ve B boş olmayan kümeler olsun. A dan B ye bir f fonksiyonu,a nın her elemanının B nin tam olarak bir elemanına atandığı bir atamadır. A nın bir a elemanı f fonksiyonu ile B nin tek elemanı b ye gönderildiğinde f(a)=b yazarız. f, A dan B ye bir fonksiyonsa f:a B yazarız. UYARI: Fonksiyonlara bazen gönderimler veya dönüşümler de denir. TANIM 2: f, A dan B ye bir fonksiyon ise, A ya f nin tanım kümesi ve B ye f nin değer kümesi denir. f(a)=b ise b ye a nın görüntüsü ve a ya da b nin öngörüntüsü denir. A nın elemanlarının görüntülerinin kümesine f nin görüntü kümesi (Menzili) denir. f, A dan B ye bir fonksiyon ise, ayrıca f, A ile B yi eşleştiriyor deriz.

4 2.3. Fonksiyonlar Giriş Bir fonksiyon tanımladığımızda, fonksiyonun tanım kümesini, değer kümesini ve tanım kümesindeki elemanlarla değer kümesindeki elemanların eşleşmesini belirtiriz. İki fonksiyon, aynı tanım kümesine, aynı değer kümesine sahip olduklarında ve ortak tanım kümesindeki her eleman ortak değer kümesindeki aynı elemana gittiğinde eşit olurlar. Tanım kümesini veya değer kümesini değiştirdiğimizde farklı bir fonksiyon elde ettiğimize dikkat ediniz. Elemanların eşleştirmesini değiştirirsek yine farklı bir fonksiyon elde ederiz. A dan B ye giden f fonksiyonu

5 2.3. Fonksiyonlar Giriş ÖRNEK: R ilişkisi, (Adem, 22), (Berna, 24), (Dilek, 21), (Buğra, 22), (Emine, 24) ve (Fatma, 22) sıralı ikilileri olsun. Buradaki her ikili bir yüksek lisans öğrencisi ve öğrencinin yaşından oluşmaktadır. Bu ilişki ile belirtilen bir fonksiyon bulunuz. ÇÖZÜM: f, R ile belirtilen fonksiyon ise f(adem)= 22, f(berna)= 24, f(dilek)= 21, f(buğra)= 22, f(emine)= 24 ve f(fatma)= 22 dir. (Burada x bir öğrenci olmak üzere, f(x), x in yaşıdır.) Tanım kümesi {Adem, Berna, Dilek, Buğra, Emine, Fatma} dır. Ayrıca bütün öğrencilerin yaşlarını kapsayan değer kümesini belirtmeliyiz. Bütün öğrenciler büyük ihtimalle 100 yaşından daha küçük olacakları için, 100 den küçük pozitif tam sayılar kümesini değer kümesi olarak alabiliriz. Bu öğrencilerin farklı yaşlarının kümesi olarak belirtilen görüntü kümesi {21, 22, 24} dür.

6 2.3. Fonksiyonlar Giriş ÖRNEK: f: Z Z fonksiyonu bir tam sayıyı karesine götüren fonksiyon olsun. Dolayısıyla f(x)=x 2 dir ve f nin tanım kümesi tüm tam sayılar, değer kümesi tüm tam sayılar ve görüntü kümesi ise tam karelerdir, yani {0, 1, 4, 9,...} dir.. Bir fonksiyonun değer kümesi reel sayılar kümesi ise reel-değerli ve değer kümesi tam sayılar kümesi ise tam sayı değerli denir.

7 2.3. Fonksiyonlar Giriş TANIM 3: f 1 ve f 2 A dan R ye fonksiyonlar olsun. f 1 +f 2 ve f 1 f 2 de A dan R ye her xϵa için (f 1 +f 2 )(x)=f 1 (x)+f 2 (x), (f 1 f 2 )(x)=f 1 (x)f 2 (x) şeklinde tanımlanan fonksiyonlardır. ÖRNEK: f 1 ve f 2, R den R ye f 1 (x) = x 2 ve f 2 (x) = x-x 2 şeklinde verilen iki fonksiyon olsun. f 1 +f 2 ve f 1 f 2 fonksiyonları nelerdir? ÇÖZÜM: Fonksiyonların toplam ve çarpım tanımlarından (f 1 +f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) = x 2 +(x-x 2 ) = x ve (f 1 f 2 )(x)= x 2 (x-x 2 ) = x 3 -x 4 olduğunu buluruz.

8 2.3. Fonksiyonlar Giriş TANIM 4: f, A dan B ye bir fonksiyon ve S, A nın bir altkümesi olsun. S nin f altındaki görüntüsü, S nin elemanlarının görüntülerinden oluşan B nin altkümesidir. S nin görüntüsünü f(s) ile gösteririz, yani f(s)= {t s ϵs (t= f(s))} dir. Bu kümeyi kısaca {f(s) sϵs} ile de gösteririz ÖRNEK: A={a, b, c, d, e}, B={1, 2, 3, 4} ve f(a)= 2, f(b) =1, f(c)= 4, f(d)= 1, f(e)= 1 olsun. S={b, c, d} altkümelerinin görüntüsü f(s)= {1, 4} kümesidir.

9 Bire- Bir ve Örten Fonksiyonlar Bazı fonksiyonlar tanım kümesinin iki farklı elemanını aynı değere götürmezler. Bu fonksiyonlara bire-birdir denir. TANIM 5: Bir f fonksiyonu ancak ve ancak her a ve b, f nin tanım kümesi elemanı için f(a) = f(b) eşitliği a=b olmasını gerektiriyorsa bire-bir denir. Bir fonksiyon bire-bir ise içine denir. Bire-bir fonksiyon Bir f fonksiyonunun ancak ve ancak a b ise f(a) f(b) olmasını gerektirmesi bire-bir olduğunu gösterir. UYARI: f nin bire-bir olduğunu a b (f(a)=f(b) a=b) veya eşdeğer olarak a b (a b f(a) f(b)) niceleyicileri ile ifade edebiliriz. Buradaki söylem evreni, fonksiyonun tanım kümesidir.

10 Bire- Bir ve Örten Fonksiyonlar ÖRNEK: Reel sayılar kümesinden kendisine tanımlanan f(x) = x+1 fonksiyonunun bire-bir olup olmadığını belirleyiniz. ÇÖZÜM: f(x) = x+1 fonksiyonu bire-birdir. Bunu görmek için, x y ise x+1 y+1 olduğuna dikkat ediniz. TANIM 6: Tanım kümesi ve değer kümesi reel sayılar kümesinin altkümeleri olan bir f fonksiyonuna, x ve y, f nin tanım kümesinde ve x<y olmak üzere, f(x) f(y) ise artan ve f(x) < f(y) ise kesin artan denir. Benzer şekilde, x ve y, f nin tanm kümesinde ve x<y olmak üzere, f(x) f(y) ise azalan ve f(x)>f(y) ise kesin azalan denir. (Bu tanımdaki kesin kelimesi bir kesin eşitsizliğin olduğunu belirtir.) UYARI: Bir f fonksiyonu x y (x<y f(x) f(y)) ise artandır, x y(x<y f(x)<f(y)) ise kesin artandır. x y(x<y f(x) f(y)) ise azalndır, x y(x<y f(x)>f(y)) ise kesin azalndır. Buradaki söylem evreni, f fonksiyonunun tanım kümesidir.

11 Bire- Bir ve Örten Fonksiyonlar Bazı fonksiyonların görüntü kümesi ve değer kümesi aynıdır. Yani değer kümesinin her elemanı tanım kümesinin bir elemanının görüntüsüdür. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara örten fonksiyonlar denir. TANIM 7: A dan B ye bir f fonksiyonuna ancak ve ancak her bϵb için f(a)=b olacak şekilde bir aϵa varsa örtendir denir. Bir f fonksiyonu örten ise üzerine olarak adlandırılır. UYARI: f fonksiyonu, x in tanım kümesi fonksiyonun tanım kümesi ve y nin tanım kümesi fonksiyonun değer kümesi olmak üzere, y x(f(x)=y) ise örtendir. ÖRNEK: Tam sayılar kümesinden tam sayılar kümesine tanımlanan f(x)=x 2 fonksiyonu örten midir? ÇÖZÜM: f fonksiyonu örten değildir, çünkü örneğin x 2 = -1 olan bir tam sayı yoktur.

12 Bire- Bir ve Örten Fonksiyonlar TANIM 8: f fonksiyonu bire-bir ve örten ise bire-bir eşleme denir. Böyle bir fonksiyona tam eşleme denir. ÖRNEK: f, {a, b, c, d} den {1, 2, 3, 4} e f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 ve f(d)=3 olarak tanımlı fonksiyon olsun. f bir tam eşleme midir? ÇÖZÜM: f fonksiyonu bire-bir ve örtendir. Tanım kümesinin iki değeri aynı fonksiyon değerine atanmadığı için fonksiyon bire-birdir. Değer kümesinin tüm dört elemanı da tanım kümesinin elemanlarınn görüntüleridir. Dolayısıyla f bir tam eşleşmedir.

13 ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz. A. her pozitif tamsayı çiftine bu çiftteki sayılardan büyük olanı atayan fonksiyon B. her pozitif tamsayıya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarından bu sayıda yer almayanları atayan fonksiyon C. Bir bit dizgisine dizideki ilk 1 rakamının bulunduğu konumun numarasını atayan fonksiyon (tümü sıfırlardan oluşan bit dizgisine 0 sayısını atayan fonksiyon)

14 ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz. A. her pozitif tamsayı çiftine bu çiftteki sayılardan büyük olanı atayan fonksiyon tanım kümesi Z + x Z + ; değer kümesi Z + B. her pozitif tamsayıya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarından bu sayıda yer almayanları atayan fonksiyon tanım kümesi Z + ; değer kümesi ise {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C. Bir bit dizgisine dizideki ilk 1 rakamının bulunduğu konumun numarasını atayan fonksiyon (tümü sıfırlardan oluşan bit dizgisine 0 sayısını atayan fonksiyon) tanım kümesi bit dizgilerinin kümesidir, değer kümesi n

15 ALIŞTIRMALAR 2. Aşağıdaki {a, b, c, d} den kendine olan fonksiyonlardan hangileri örtendir? A. f(a)=b, f(b)=a, f(c)=c, f(d)=d B. f(a)=b, f(b)=b, f(c)=d, f(d)=c C. f(a)=d, f(b)=b, f(c)=c, f(d)=d

16 ALIŞTIRMALAR 2. Aşağıdaki {a, b, c, d} den kendine olan fonksiyonlardan hangileri örtendir? A. f(a)=b, f(b)=a, f(c)=c, f(d)=d ÖRTEN B. f(a)=b, f(b)=b, f(c)=d, f(d)=c ÖRTEN DEĞİL C. f(a)=d, f(b)=b, f(c)=c, f(d)=d ÖRTEN DEĞİL

17 ALIŞTIRMALAR 3. f: ZxZ Z örten midir? A. f(m,n)=m+n B. f(m,n)=m 2 +n 2 C. f(m,n)=m D. f(m,n)= n E. f(m,n)= m-n

18 ALIŞTIRMALAR 3. f: ZxZ Z örten midir? A. f(m,n)=m+n ÖRTEN B. f(m,n)=m 2 +n 2 ÖRTEN DEĞİL C. f(m,n)=m ÖRTEN D. f(m,n)= n ÖRTEN DEĞİL E. f(m,n)= m-n ÖRTEN

19 ALIŞTIRMALAR 4. Bir okuldaki öğretmenler için aşağıdaki fonksiyonları göz önüne alınız. Hangi durumlarda fonksiyon bire-birdir?. Eğer fonksiyon bir öğretmene A. ofis atıyorsa. B. öğrencileri geziye götüren otobüslerden birine rehber olarak atıyorsa. C. maaş atıyorsa. D. Sosyal güvenlik numarası atıyorsa.

20 ALIŞTIRMALAR 4. Bir okuldaki öğretmenler için aşağıdaki fonksiyonları göz önüne alınız. Hangi durumlarda fonksiyon bire-birdir?. Eğer fonksiyon bir öğretmene A. ofis atıyorsa. Öğretmenlerin odayı paylaşmalarına bağlıdır. B. öğrencileri geziye götüren otobüslerden birine rehber olarak atıyorsa. Bire-bir her otobüs için yalnızca bir öğretmen varsayarak C. maaş atıyorsa. Büyük olasılıkla bire-bir değil, özellikle maaş bir toplu iş sözleşmesi ile ayarlanırsa. D. Sosyal güvenlik numarası atıyorsa. Bire-bir

21 ALIŞTIRMALAR 5. Bir okuldaki öğretmenler için aşağıdaki fonksiyonları göz önüne alınız. Eğer fonksiyon bir öğretmene A. ofis atıyorsa. B. öğrencileri geziye götüren otobüslerden birine rehber olarak atıyorsa. C. maaş atıyorsa. D. Sosyal güvenlik numarası atıyorsa. Her fonksiyon için bir değer kümesi belirleyiniz. Hangi durumlarda belirlediğiniz bu değer kümesi için fonksiyon örten olur?

22 ALIŞTIRMALAR 5. Bir okuldaki öğretmenler için aşağıdaki fonksiyonları göz önüne alınız. Eğer fonksiyon bir öğretmene A. ofis atıyorsa. Okuldaki mekan odaları kümesi, muhtemelen örten değil. B. öğrencileri geziye götüren otobüslerden birine rehber olarak atıyorsa. Seyahate çıkan otobüsler, örtendir, eğer her otobüs bir öğretmen alırsa C. maaş atıyorsa. Reel sayılar kümesi; örten değil D. Sosyal güvenlik numarası atıyorsa. Dokuz rakamdan oluşan satırlar 3. ve 5. rakamdan sonra tire koymak şartı ile; örten değil. Her fonksiyon için bir değer kümesi belirleyiniz. Hangi durumlarda belirlediğiniz bu değer kümesi için fonksiyon örten olur?

23 ALIŞTIRMALAR 6. Tamsayılardan pozitif tamsayılara olmak üzere, açık bir fonksiyon formülü yazınız. Öyle ki A. bire-bir olsun ama örten olmasın. B. örten olsun ama bire-bir olmasın. C. hem bire-bir hem de örten olsun. D. ne bire-bir ne de örten olsun.

24 ALIŞTIRMALAR 6. Tamsayılardan pozitif tamsayılara olmak üzere, açık bir fonksiyon formülü yazınız. Öyle ki A. bire-bir olsun ama örten olmasın. f(x) fonksiyonu f(x)= 3x+1 burada x 0 ve f(x)=-3x+2 burada x<0 B. örten olsun ama bire-bir olmasın. f(x)= x +1 C. hem bire-bir hem de örten olsun. f fonksiyonu f(x) (x)= 2x+1 burada x 0 ve f(x)=-2x burada x<0 D. ne bire-bir ne de örten olsun. f(x)=x 2 +1

25 ALIŞTIRMALAR 7. Aşağıdaki fonksiyonların R den R ye bire-bir ve örten olup olmadıklarını belirleyiniz. A. f(x)=2x+1 EVET B. f(x)=x 2 +1 HAYIR C. f(x)=x 3 EVET D. f(x)=(x 2 +1)/(x 2 +2) HAYIR

26 8. f(x)=[x 2 /3] olsun. f(s) değeri nedir? Eğer: A. S={-2, -1, 0, 1, 2, 3} B. S={0, 1, 2, 3, 4, 5} C. S={1, 5, 7, 11} D. S={2, 6, 10, 14} ALIŞTIRMALAR

27 8. f(x)=[x 2 /3] olsun. f(s) değeri nedir? Eğer: A. S={-2, -1, 0, 1, 2, 3} f(s)={0, 1, 3} B. S={0, 1, 2, 3, 4, 5} f(s)= {0, 1, 3, 5, 8} C. S={1, 5, 7, 11} f(s)= {0, 8, 16, 40} D. S={2, 6, 10, 14} f(s)= {1, 12, 33, 65} ALIŞTIRMALAR