Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
|
|
|
- Nesrin Şentürk
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir kümenin belli koflullara sahip maksimal bir altkümesinin varl n gösterme çabam zdan sözedece iz bu bölümde. Geçen bölümde, son örnekte, ç karma alt nda kapal olan ve 1 i içermeyen gerçel say lar kümelerini ele alm flt k. Bu bölümün en az ndan bafl nda nin bu tür altkümelerine yo unlaflal m. nin bu tür altkümelerini eleman olarak içeren kümeye Z ad - n verelim. Uzunca bir süre bu örnekle u raflaca z. M p + 2+ M p + 2 M p + M p = {pa/b : a, b ve p, b yi bölmez} 2 3 {0} ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen gerçel say lar kümesi Yukardaki flekilde Z yi çizdik. Altkümeleri afla ya, üstkümeleri yukar ya yazd k, yani Z nin elemanlar n n (altküme iliflkisine göre afla dan yukar ya do ru) s ralanmas na dikkat et- Z
2 Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu tik: A B ise A y alta B yi yukar ya yazd k. Dolay s yla boflkümeyi en alta koyduk. Bunun bir üstünde Z nin tek sonlu eleman olan {0} kümesi var. Daha yukarda 1 ve 1 d fl ndaki a say lar n n katlar ndan oluflan a kümeleri var. Resimde göstermedik ama bir üst katta 2 + gibi iki elemanla gerilen ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen a + b kümeleri var. (Soru: kümesi Z de midir?) Resimde bir de M p diye bir küme var, tan m na bak l rsa 1 i içermiyor ve ç karma alt nda kapal, yani Z de. Velhas l, nin ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen her altkümesi Z nin bir eleman ve bu altkümeler küçükten büyü e do ru dizilmifller. Z kümesinin zincir özelli i ad verilen flu özelli i var: E er T Z ise ve her A, B T için ya A B ya da B Aise, o zaman T nin elemanlar n n bileflimi olan X T X kümesi de Z dedir. Bunun kan t oldukça kolay. E er X T X kümesi 1 i içerseydi, T nin bir A eleman da 1 i içermek zorunda olurdu ki, bu imkâns z, çünkü A T Z. Demek ki X T X kümesi 1 i içeremez. fiimdi X T X kümesinin ç karma alt nda kapal oldu unu kan tlayal m. a ve b, X T X kümesinden iki eleman olsun. O zaman, a A ve b B iliflkilerinin do ru oldu- u A, B T kümeleri vard r. T nin zincir özelli inden dolay ya A Bya da B Aolmal. a ve b aç s ndan durum simetrik oldu undan, B A iliflkisini kabul etmede bir mahsur yok. O zaman b B A ve hem a hem de b, A n n birer eleman. Ama A ç karma alt nda kapal bir küme. Demek ki a b A. Öte yandan, A elbette X T X kümesinin bir altkümesi. Sonuç: a b X T X ve X T X kümesi ç karma alt nda kapal. Z nin, her A, B T için ya A Bya da B A özelli ini sa layan T altkümelerine diyelim. O zaman yukardaki özellik flöyle okunur: Z nin her zincirinin bileflimi gene Z dedir.
3 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu 243 Geçen bölümde, bu özelli i, Z nin say labilir sonsuzlukta eleman olan zincirleri için kullanm flt k. Birazdan yazaca m z Zorn Önsav nda Z nin say labilir ya da say lamaz sonsuzluktaki tüm zincirlerini ele almam z gerekecek. Z A T A T zincirin elemanlar n n bileflimi zincir ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen gerçel say lar kümesi Bu arada, X T X kümesinin kimileyin T olarak yaz ld n da an msatal m. Bu t k z yaz l m, simge say s nda hat r say l r bir indirim sa lar. Birazdan ifade edece imiz Zorn Önsav için Z nin her zincirinin bileflimi gene Z dedir özelli inden daha zay f bir özellik gerekir. flte o özellik: T, Z nin herhangi bir zinciriyse, Z de T nin her eleman ndan büyükeflit bir eleman vard r. Yukardaki örnekte, e er T Z bir zincirse, T, Z dedir ve T nin her eleman ndan büyükeflittir. (E er A B ise B nin A dan büyükeflit oldu unu söylüyoruz. E er A B ise B nin A dan büyük oldu unu söyleyece iz. Asl nda, yukardaki flekilden de görülece i üzere, T, Z de bulunan ve T nin her ele- Z A T A T T nin her eleman n içeren kümeler. T zinciri ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen gerçel say lar kümesi
4 Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu man ndan daha büyükeflit olan elemanlar n en küçü üdür. Ama bu özelli in bir önemi olmayacak bizim için.) Birazdan tan taca m z Zorn Önsav, e er Z yukardaki son italik koflulu sa l yorsa, o zaman Z nin en az bir maksimal eleman n n oldu unu söyler. Yani, Zorn Önsav, Z üzerine koflulan yukardaki italik koflul do ru oldu unda, öyle bir M Z Z M Zorn Önsav n n varoldu unu söyledi i eleman(lardan biri) A T A T T nin her eleman n içeren kümeler. T zinciri ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen gerçel say lar kümesi vard r ki, der, Z nin hiçbir eleman M den daha büyük olamaz, en fazla M ye eflit olabilir. Ama dikkat: Bu maksimal elemanlardan sonsuz say da olabilir (ki ço u zaman da öyledir) Zorn Önsav Art k Zorn Önsav n anlayacak bilgi birikimine sahibiz: Zorn Önsav (Z, ) yar s ral bir küme olsun. E er Z ise ve Z nin her zincirinin bir üsts n r varsa o zaman Z nin maksimal bir eleman vard r. Zorn Önsav n n varoldu unu söyledi i maksimum elemanlar a T T nin bir üsts n r (Zorn Önsav n uygulamak için her T zincirinin bir üsts n r olmal.) T zinciri Yar s ral bir Z kümesi
5 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu 245 Dikkat ederseniz, Zorn Önsav, geçen bölümde yapmak isteyip de yapamad m z herhangi bir zahmete girmeksizin yap yor. Bir tür sihirbazl k, ya da Tanr n n eli diyebilirsiniz. Zorn Önsav n daha sonraki bölümlerden birinde Seçim Aksiyomu nu kullanarak kan tlayaca z. fiimdilik Zorn Önsav n kan tlamadan kabul edip önsav kullanan birkaç basit ama önemli örnek verelim. lk olarak, Zorn Önsav n kullanarak, geçen bölümde bulmaya çal fl p bulamad m z bir kümenin varl n kan tlayal m: Teorem Gerçel say lar kümesi nin ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen maksimal bir altkümesi vard r. Kan t: Zorn Önsav n kullanaca z. Z = {A : A ç karma alt nda kapal ve 1 A} olsun. Z yi altkümesi olmak iliflkisiyle s ralayal m. fiimdi (Z, ) yar s ralamas n n Zorn Önsav n n koflullar n sa lad - n gösterelim. {0} Z oldu undan Z. fiimdi ikinci koflulun sa land n kan tlayal m. T Z bir zincir olsun. T, T nin her eleman n n bir üstkümesi oldu undan, e er T Z ise, T, T nin bir üsts n r olur. Dolay s yla T Z önermesini kan tlayal m. Bunun için iki fley kan tlamal y z: 1) T ç karma alt nda kapal olmal, 2) T, 1 i içermemeli. Birinciden bafllayal m. x, y T olsun. Bu iki eleman T nin elemanlar ndan birindedir, ama ikisi birden ayn elemanda olmayabilir, en az ndan bundan henüz emin de iliz, birazdan olaca z ama Diyelim, A, B T için, x Ave y B. Ama T bir zincir oldu undan, ya A B ya da B A. Durum x ve y aç s ndan simetrik oldu undan, birinin di erinden fark yok, dolay s yla gönül rahatl yla A Biliflkisini varsayabiliriz. Böylece, x A B olur. Demek ki hem x, hem de y, B deler. Ama B ç karma alt nda kapal. Buradan x y Bç -
6 Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu kar. Ama flimdi, B T oldu undan, x y T olur. Böylece T kümesinin ç karma alt nda kapal oldu unu kan tlam fl olduk. fiimdi, 1 T önermesini kan tlayal m. T kümesinin elemanlar T nin elemanlar n n elemanlar d r; dolay s yla 1, T kümesinde olsayd, 1, T kümesinin bir eleman n n eleman olurdu. Ama T nin hiçbir eleman 1 i içermez. Dolay s yla, 1 de T kümesinde olamaz. Notlar. 1) Zorn Önsav nda Z koflulunu kan tlamak genel olarak kolayd r ama gene de unutulmamas gerekir. E er Z boflkümeyse, Z nin maksimal bir eleman bar nd rma flans yoktur! 2) Uygulamada ço u zaman Z bir kümeler kümesidir ve yar s ralama da taraf ndan verilmifltir. Bu arada, Z de bir yar - s ralama tan mlanmam flsa önsav uygulayamayaca n za dikkatinizi çekerim. 3) Uygulamada ço u zaman Z nin bir T zincirinin en küçük üsts n r bulunmaya çal fl l r. 4) Zorn Önsav n n var oldu unu söyledi i maksimal eleman görebiliyorsan z, yani aç k aç k tan m n yazabiliyorsan z ya da di er maksimal elemanlardan ay rdedebiliyorsan z, o zaman Zorn Önsav n gereksiz yere kullanm fls n z demektir, maksimal eleman n varl n Zorn Önsav n kullanmadan da kan tlayabilirdiniz. Örne in, Zorn Önsav yard m yla yukarda varl kan tlanan nin ç karma alt nda kapal ve 1 i içermeyen maksimal bir altkümesini aç k aç k yazamazs n z. Zorn Önsav do ruysa böyle maksimal bir altküme vard r ama birini bile iflte budur diye gösteremezsiniz. 5) Zorn Önsav n n var oldu unu söyledi i maksimal elemandan sadece bir tane varsa da, Zorn Önsav gereksiz yere kullan lm fl demektir.
7 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu 247 6) Zorn Önsav n n varsay mlar n sa layan Z kümelerine talihsiz bir flekilde tümevar msal küme denir. [S ] de verdi imiz tümevar msal küme tan m yla kar flt r lmamal. 2 r 2 1 r 1 0 r 1 r+1 2 r+2 3 r+3 Birbirine denk say lar Zorn Önsav uygulamas olarak bir baflka örnek verelim. Bu örne i asl nda Bölüm 18 de (Örnek 7 ve 8) yapm flt k ama orada problemi biraz de iflik bir dilde ifade etmifltik. E er iki r ve s gerçel say s aras ndaki fark tamsay ysa bu iki gerçel say ya birbirine denk diyelim ve bunu r solarak gösterelim. Demek ki, r s r s. Örne in,, + 1, + 2, 3 say lar birbirine denktir. ye denk gerçel say lar belli bir n tamsay s için + n olarak yaz lan say lard r. Bu, daha genel olarak do rudur, her r gerçel say s için, r ye denk gerçel say lar, belli bir n için r + n olarak yaz lan say lard r. fiimdi amac m z, öyle bir X kümesi bulmak ki, her r için, r x denkli inin do ru oldu u bir ve bir tek x X olsun. Böyle bir X kümesi kolayl kla bulunabilir, örne in X = [0, 1) yar aç k aral istedi imiz özelli i sa lar. Nitekim, e er bir r gerçel say s verilmiflse, r ye yeterince 1 ekleyerek ya da r den yeterince 1 ç kararak, [0, 1) aral nda r ye denk bir say ya ulafl r z ve [0, 1) aral nda r ye denk baflka bir say da yoktur r 2 r 1 r r 2 [0, 1) r
8 Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu fiu basit teoremi kan tlad k: Teorem Öyle bir X vard r ki, her r için r x in tamsay oldu u bir ve bir tek x Xvard r. (X = [0, 1) al nabilir.) Yukardaki basit teoremde yerine koyarsak teorem çok daha çetin bir önermeye dönüflür: Teorem Öyle bir X vard r ki, her r için r x say s n n kesirli bir say oldu u bir ve bir tek x Xvard r. Kan t: kümesi üzerine iliflkisini, r s r s olarak tan mlayal m. Daha önceki burada oldu. Ama bu sefer, [0, 1) aral gibi aç k seçik bir yan t yok bu sorunun. Öyle bir X kümesi bulmak istiyoruz ki, her r için, r x denkli inin do ru oldu u bir ve bir tek x X olsun. r + X r Böyle bir X kümesi vard r. Hem de çok vard r. Ama biri bile bulunamaz! X kümesinin varl n hemen kan tlayal m. Kan tta (zorunlu olarak) Zorn Önsav n kullanaca z. (Asl nda ayn kan t Seçim Aksiyomu kullan larak çok daha basit bir biçimde yap labilir ama verece imiz kan t Zorn Önsav n n kullan ld kan tlar n tipik özelliklerini tafl d ndan, kan t m z önemsiyoruz.) Z = {X : X in iki de iflik eleman birbirine denk olamaz} olsun. Yani X Z ise, X in iki de iflik eleman n n fark de olamaz. Z yi altküme olma iliflkisiyle s raland ral m. Baka-
9 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu 249 l m Z, Zorn Önsav n n koflullar n sa l yor mu? Boflküme ve tek elemanl her say kümesi Z de oldu undan, Z boflküme de ildir. Gözü örne e doymayan okur, {1, 2} kümesinin de Z de oldu unu kan tlayabilir. fiimdi T Z bir zincir olsun. T nin Z nin bir eleman oldu unu kan tlayaca z. x ve y, T kümesinden iki de iflik say olsun. Bu iki eleman T nin elemanlar ndan birinin eleman d r. Diyelim, A, B T için, x Ave y B. Ama T bir zincir oldu undan, ya A B ya da B A. Durum x ve y aç s ndan simetrik oldu undan, birinin di erinden fark yok, dolay - s yla gönül rahatl yla A B iliflkisini varsayabiliriz. Böylece, x A B olur. Demek ki hem x, hem de y, B deler. B, Z de oldu undan x ve y denk olamazlar. Demek ki Z, Zorn Önsav n n önkoflullar n sa l yor. Dolay s yla Zorn Önsav na göre Z nin bir maksimal eleman olmal. Bu elemana X diyelim. fiimdi bu X in diledi imiz X oldu- unu kan tlayaca z. r olsun. Diyelim r nin denk oldu u bir x X yok. O zaman r, X te olamaz. fiimdi X 1 = X {r} olsun. X 1, X ten daha büyük oldu undan, X 1, Z kümesinde olamaz. Ama biz gene de X 1 in Z de oldu unu kan tlama baflar s nda bulunaca z. E er X 1, Z de olmasayd, o zaman X 1 de x y denkli ini sa layan iki de iflik x ve y eleman olurdu. X 1 = X {r} ve X Z oldu undan, hem x hem de y, X te olamaz, demek ki ikisinden biri r ye eflit olmal. Diyelim y = r. Ama o zaman da r x X olur, oysa biz böyle bir x in olmad n varsaym flt k. Bir çeliflki. Demek ki böyle bir r yok. Dolay s yla nin her eleman X in bir eleman na denktir. E er nin bir eleman X in iki eleman na denk olsayd, o zaman X in o iki eleman birbirine denk olurdu, dolay s yla X Z oldu undan, bu iki eleman birbirine eflit olurdu. Demek ki nin her eleman X in bir ve bir tek eleman na denktir. Kan t m z bitmifltir.
10
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
yis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -
15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi
11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
Afin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.
2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir
Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul
Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz?
Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz? Asal say, kendinden ve 1 den baflka say ya bölünmeyen say olarak bilinir. Buna bir de say n n 1
Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.
Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
T k z Topolojik Uzaylar
Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru
Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Özdeflleflme ve Direkt Limit
Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu
Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
1. Her fiey S ralanamaz
Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians
Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek
Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz.
26. Zorn Önsav n n Birkaç Cebirsel Uygulamas Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. Seviyesi teoremi anlamaya yetmeyen okur, sorun etmeden o bölümü atlas n, nas l olsa ileride kullan
Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n
Latin Kare nfla Etmek Sibel Özkan* /
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik * Auburn Üniversitesi Matematik Bölümü doktora ö rencisi. Bu yaz için [And] ve [Wal] kitaplar ndan yararlan lm flt r. Ayr - ca Auburn Üniversitesi nden Charles Lindner
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden
43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
Pokerin Matemati i Ali Nesin* /
Kapak Konusu: Sayma Pokerin Matemati i Ali Nesin* / anesin@bilgi.edu.tr Bu yaz da pokeri bahane ederek sayman n temellerini ele alaca z. Poker, en fazla dört oyuncuyla ve yediliden asa 3 iskambil kâ d
Fermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç
Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir
Beflinci K s m: Ekler
Beflinci K s m: Ekler 437 Ek 1. Bölüm Cisimleri ve Yerellefltirme 1. Örnekler. Yaz m za örneklerle bafllayal m, ne yapmak istedi imizi en iyi örneklerle anlatabilece iz. a) Tamsay lar kümesi de iflmeli
Matematik Dünyas n n geçen say s nda
Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd.
çindekiler I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar kinci K s m: Ordinal Say lar Üçüncü K s m: Seçim Aksiyomu ve Zorn Önsav
çindekiler Önsöz...i I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar Hafta 1-2-3: 1. Her fiey S ralanamaz...3 2. S ralama...11 Hafta 4: 3. Say labilir Yo un S ralamalar...43 Hafta 5: 4. yis ralamalar Hissetmek...59
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
Tasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** /
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Tasar mlar Sibel Özkan* / ozkansi@auburn.edu Selda Küçükçifçi** / skucukcifci@ku.edu.tr v çocu un bulundu u bir anaokulunda ö retmen çocuklara ayn anda k çocu un oynayabilece
kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi
kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi 139 5A. Say lar Yaratmak Geçen k s mda boflkümeden, yani hiç yoktan (!) yola ç - karak 0, 1, 2, 3, 4 gibi say lar içeren do al say lar kümesini yaratt
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k
4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k P1, nin altkümelerinden hiç sözetmeyen, nin sadece elemanlar ndan sözeden ve sadece 0 ve S simgeleri kullan larak yaz labilen bir önerme. Nitekim S nin 0 de erini almayan
1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.
1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde
Matematik bölümlerinin birinci s -
Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,
mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C
Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-
Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.
Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
Do al Say lar. Do al Say larla Toplama fllemi. Do al Say larla Ç karma fllemi. Do al Say larla Çarpma fllemi. Do al Say larla Bölme fllemi.
MATEMAT K la Toplama fllemi la Ç karma fllemi la Çarpma fllemi la Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi Ondal k Kesirler Temel Kaynak 4 DO AL SAYILAR Ay, bugün çok yoruldum. Yüz yirmi
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu