MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

Transkript

1 MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü ÖZET Bu çalışmada mixed tahmin edicisinin tanımı verilere, mixed tahmin edicilerinin arşılaştırılması incelenmiştir. ABSTACT In this paper, the deination o mixed estimators is given and their comparisons are examined. Giriş Çolu lineer regresyon değişenler arasında var olan ilişilerin ortaya çıarılmasını sağlayan sosyal bilimler, tıp, mühendisli gibi peço alanda yaygın bir şeilde ullanılan istatistisel yöntemlerin en önemlilerinden birisidir. eri analizi yapan bir araştırmacı taraından bilim ve tenoloinin hemen hemen her alanında model urma için ullanılır. Özellile son yıllarda bu onuda yapılan çalışmalar hız azanmıştır. egresyon atsayılarını tahmin etme için ullanılan en yaygın yöntem en üçü areler yöntemidir. Anca en üçü areler tahmin edicisinin doğru sonuçlar vermesi birtaım varsayımların sağlanmasına bağlıdır. eri vetörleri ortogonal olmadığında en üçü areler tahmini yanıltıcı sonuçlar vermetedir. Ayrıca tahmin etmede ullanılan vetörler arasında çolu iç ilişi varsa en üçü areler yöntemi doğru sonuçlara götürmemetedir. Bu nedenle en üçü areler tahmin edicisine alternati olara ço sayıda yanlı tahmin edici tanımlanmıştır. Bu çalışmada yanlı bir tahmin edici olan mixed tahmin edici ele alınmıştır. Mixed Tahmin Edici Klasi anlamda, regresyon parametreleri ile ilgili önbilginin lineer modellere dahil edilmesinde önemli ii yol vardır. Model parametreleri tahmin edildiğinde önbilgi; örnelem gözlemleri ile aynı durumda olan uydurulmuş gözlemlerle ormüle edilebilir. Theil ve Goldberger (96) taraından geliştirilen bu yalaşımın sonucunda elde edilen tahmin edici mixed tahmin edicidir. Υ = Χβ + ε ε N( 0, I ) () lineer regresyon modelini ele alalım. β B = : β β c β c>0 () olduğunu abul edelim. φ, mx tipinde gözlenemeyen stohasti hata vetörü ; r, mx tipinde her zaman sıır olara gözlenen uydurulmuş stohasti vetör olma üzere lineer önbilginin r = β +φ, φ N 0, I (3) * Yüse Lisans Tezi- MSc.Thesis

2 şelinde olduğunu abul edelim. Ayrıca ( ) m ran = olduğunu abul edelim. Bu durum β nın sııra yaın olduğu ön düşüncesi stohasti lineer ormda verildiğinde ortaya çıar. () iadesine göre β 0 olması olasılığı dir. Bu durumda mixed tahmin edici ( ) = ( Χ Χ + ) ( Χ Υ + r) b olur. () ve (3) e bağlı olara mixed tahmin edici yanlıdır. Çünü (3) bağıntısı yanlı bir bilgidir ve gerçete φ Ν β ; I şelindedir. Mixed egresyon Tahmin Edicilerinin Karşılaştırılması Υ = Χβ + ε lineer modelini ele alalım. r = β + φ E r β = s (5), ( ) Cov( ) φ =, Cov εφ = 0 =, ii lineer önbilgi ümesi olsun. Burada =, için r ve φ, m tipinde stohasti vetörler ;, m p ( ) tipinde belirli bir matris ve ran = m ; p.d. ve negati olmayan bir salerdir. Theil ve Goldberger (96) in, (5) e dayanan ve s = 0 abul edildiği mixed tahmin edicileri b ( )= Χ Χ + Χ Υ + r, =, (6) şelindedir. Bu tahmin edicilerin MSE matrisleri U = ( Χ Χ) ve S = + U olma üzere MSE ( b ( ))= E ( b ( ) β ) ( b ( ) β ) (7) = U U S U U S s + s S U =, şelindedir. Terasvirta (986) ; β nın bir b tahmin edicisinin b tahmin edicisinden daha iyi olmasını aşağıdai şeilde tanımlamıştır. Tüm Α 0 ayıp matrisleri için E ( b β ) Α( b β ) E ( b β ) Α( b β ) 0 (8) ise b tahmin edicisi b tahmin edicisinden daha iyidir. Bu iadeye eşdeğer olan bir başa orm ise Theobald (974) taraından = MSE ( b ) MSE( b ) 0 şelinde verilmiştir. Eğer b, b den daha iyi ise bunu b nin b den daha ötü olmaması olara adlandırabiliriz. Şimdi mixed tahmin edicilerinin arşılaştırılması için aşağıdai teoremi verilebiliriz. Teorem : s = 0 ve P ise = Ρ ve Cov ( φ ) = ΡCov( φ )Ρ (9) olaca şeilde bir m m tipinde matris olsun. Bu durumda aşağıdai varsayımlar eşdeğerdir. i) b ( ) ; b ( ) den daha iyidir. ii) Ρs = 0 ve s S s. (4)

3 Bu teorem ; bir yanlı b ( ) mixed tahmin edicisinin bir yansız b ( ) mixed tahmin edicisinden daha iyi olması için gere ve yeter oşulu verir.(9) dai varsayımı ele alalım. nin son m satırı e eşit olaca ve Ρ = ( 0 I ) olaca şeilde m m ve = Τ olduğunu abul edelim. Bundan başa = I m ( =,) olduğunu abul edelim. O zaman (9) = olduğunu belirtir. Bu da (9) un daha güçlü bir ısıtlama olduğunu gösterir. Bu örnete ise bu; ön bilgileri arlı ovaryanslara sahip tahmin edicilerin arşılaştırılmalarını imansız hale getirmetedir. Benzer sonuçlar Terasvirta (986) nın ispatladığı bir teoremin uygulanmasıyla elde edilebilir. b = D Υ + h nin MSE matrisi ; =, için d = H β + h ve H = D Χ I olma üzere ; ovaryans ve yanlılığın bir toplamı olara MSE( b )= D D + d d şelinde yazılsın. = C + dd d d olaca şeilde C = D D D D oluşturulur. Teoremde ; daha iyi olma sonuçları için gereli olan C = ΚLΚ, d = Κ, =, (0) ayrışımı ullanılır. Burada K pxr tipinde r ranlı bir matris ; L rxr tipinde simetri bir matris ; tipinde bir matris ve =, dir. (0) ayrışımı ; C nin teil ve oşullar için gerelidir. ( C) r < p, rx r ran olduğu (0) dai temel düşünce ; nin p.s.d. olması için gere ve yeter oşul bulma problemini daha olay bir probleme dönüştürmetir. Benzer bir problem ; = L + nün n.n.d. olması için gere ve yeter oşul bulma problemidir. Bunun bilinen çözümü L + > 0 olması ile sağlanan L + oşuludur. Çünü L rxr tipindedir ve son oşul ( ) ran L r olduğunu belirtir. Oriinal problem de bu şeilde çözülmüş olur. Çünü nin p.s.d. olması için gere ve yeter oşul nin n.n.d. olmasıdır. (0) oşulu daha ısıtlayıcıdır ;, C nin olon uzayında olmalıdır. Anca eğer C teil ve ( ) d ran C < p olduğunda, böyle bir ayrışım yosa o zaman genellile tanımsızdır. Eğer, e lineer bağımlı ise aşağıdai teoreme ihtiyaç yotur. Teorem : ( Terasvirta ( 986 )) () dei modeli ve =, olma üzere b = D Υ + h şelindei ii lineer tahmin ediciyi ele alalım. (0) dai ayrışımın olduğunu abul edelim. Bundan başa ; den bağımsız ve L + > 0 olsun. O zaman nin b den daha iyi olması için gere ve yeter oşul olmasıdır. b L + () Eğer L > 0 ise o zaman daha iyi olma oşulu ; =, için { ( + ) } () iadesine eşdeğerdir. i = L olma üzere i

4 ve Öte yandan L < 0 ise b nin b den daha iyi olması için gere ve yeter oşul, L nin bir saler λ + 0 olmasıdır. Teorem ; (6) tipindei tahmin edicilerin arşılaştırılması için uygundur. Kaynalar THEIL, H., GOLDBEGE (968). On Pure and Mixed Statistical Estimations in Economics. International Economics eview,, TEASITA, T. (986). Superiority Comparisons Between Mixed egression Estimators. Commun. Statist.-Theor. Meth., 7(0), THEOBALD, C.M. (974). Gneralizations o mean square error applied to ridge regression. Journal o the oyal Statistical Society, Ser B, 36,

5