f mesafesini bulunuz.

Transkript

1 veriliyor. - - II. ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI İKİNCİ AŞAMA SINAVI-99. Oturacak kısmı kare şeklinde omojen tata, dört ayaklı bir tabure iki arka ayağı üzerine kaldırılarak sürtünme katsayısı f olan bir yatay düzlem üzerine serbest bırakıldıktan sonra zemine düşene kadar arka ayakların etrafında dönmekte, zemine çarptığında ise belli bir x mesafe kadar ileriye zıplamaktadır. Taburenin ayakların yüksekliği oturacak kısmının uzunluğuna eşittir. Taburenin kütle merkezi kadar kaldırılırsa x f mesafesini bulunuz. m Not: Kare şeklindeki bir levanın kütle merkeze göre olan eylemsizlik momenti J 0 = olarak v(m/s),0 0,8 0,6 0, 0, 0,0-0, t(s) -0, -0,6-0,8 -,0 0 0, 0, 0,6 0,8,0,,,6,8,0 akkında elde edilebilecek nümerik bilgiler nelerdir?. Bir mekanik sistemde areketli bir kütlenin ızının zamanla değişimin grafiği verilmiştir. Hız-zaman grafiği karakter olarak buna benzeyen bir çok mekanik sistem düşünülebilir. Bu soruda bu tip sistemlerden yalnız bir tanesini ayrıntılarıyla anlatmanız istenmektedir. İstediğiniz sabitlerin verildiğini varsayabilirsiniz. Bu amaçla aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a) Hız-zaman değişimi ifade edebilen bir mekanik sistem çiziniz. b) Kütle nasıl areket etmektedir? Bu areketi ifade eden denklemler angileridir? c) Verilen grafikten yararlanarak sistem ve areket. Monoatomik ve diatomik olan iki ideal gaz birbirine karıştırılıp tekrar ideal bir gaz elde edilmektedir. Bu karışımının adyabatik proses denklemi P V 7 =sabit olarak verilmektedir. Her gazın mol sayısı n n ve n ise oranını bulunuz. n. Yüklü taneciklerin odaklanması aralarında mesafesi bulunan ve birbirine paralel, ortasında yarık olan üç metal leva ile gerçekleşebilir. Sol ve sağ levalar topraklanmış olup, orta levaya ise U pozitif potansiyeli uygulanıyor. U 0 >>U potansiyele kadar ızlandırılan elektron demeti bu sistemde etkilenerek odaklanır. Bu sistemin odak uzaklığını bulunuz. S katot - + U 0 e ẖ x S anot 5. Metal levalarının yüzey alanı S olan iki paralel levanın arasında vakum (boşluk) bulunmakta olup levalar birbirinden uzaklığa kadar ayrılmıştır. Bu düzeneği bir vakum diyodu olarak düşünebiliriz. Levalardan birisi x=0 düzleminde elektik potansiyeli U=0 olan katot, diğerinde x= düzleminde elektrik potansiyeli U()=U 0 olan anot vazifesi görmektedir. Bu U 0 potansiyel farkı uygulandığında katottan kopup çıkan elektronlar anoda doğru ivmelenmektedirler, böylece diyotta sabit bir elektron akımı oluşur. Bu elektronlar levalar arasında eksi yüklü uzaysal yük dağılımı oluştururlar. Bunun sonucunda levalar arasında x U(x)=U 0 şeklinde bir potansiyel dağılımı meydana gelir. a) Yük yoğunluğunu bulunuz. b) Bu diyottaki akım ve potansiyel U 0 arasındaki ilişkinin Om yasasına uyup uymadığını irdeleyiniz.

2 * lazer ıslak kağıt n Bir parça kağıt, su ile ıslatılıp kalınlığı ve kırıcılık indisi n olan saydam bir cam leva üzerine yapıştırılıyor. Daa sonra kağıdın yapıştırıldığı taraftan yüzeye dik olacak şekilde bir lazer ışığı gönderilmektedir. Bu düzenekte ıslak kağıt, lazer ışığının yüzeye değdiği noktadan itibaren cam içinde er yönde saçılması sağlanmaktadır. Problemin çözümünde bu sistemde ışığın dalga areketinden oluşabilecek olaylar göz önüne alınmayacaktır. a) Işığın gönderildiği taraftan bu düzeneğe bakan bir kişinin kağıt üzerinde nasıl bir aydınlanma deseni göreceğini nedenleri ile birlikte tartışınız. b) n = ve = cm ise, kağıt üzerinde oluşan aydınlama desenini tanımlayınız. c) Eğer birinci cam plaka üzerine n = 6 ve =5 cm olan ikinci bir cam plaka (iyi temas sağlamak için arada bir kaç damla silikon yağı kullanılarak ) konulup sonra ıslak kağıt yapıştırılır ve dik olarak lazer ışığı gönderilirse, bu durumda kağıt üzerinde oluşan aydınlama deseni (b) şıkkındakine göre nasıl değişir? d) Bu soruda tanımlanan düzenek ile kırıcılık indisinin genel olarak nasıl ölçülebileceğini anlatınız.

3 - - H açısal ız H II. ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI İKİNCİ AŞAMA SINAVI ÇÖZÜMLERİ-99 v. Tabure iki arka ayağı üzerine kaldırılırsa, taburenin kütle merkezi dönme ekseninden H kadar uzakta olur. Pisagor teoreminden H 5 5 = ; cos= = H 5 5 ; sin= = H 5 H= Dönme eksene göre eylemsizlik momenti J=J 0 +mh m 5m = + = olur. Enerji korunumu yasasından J mg= g = Sandalyenin kütle merkezinin ızı v=h bu ızın bileşenleri v x =Hcos= v y =Hsin= olur. Sandalyeye etki eden sürtünme kuvveti için F s =fn yazabiliriz. Buradan p x p y =f t t v x =fv y olarak yazılabilir. Dikey ız çarpışmadan sonra sıfır olur. Hız değişimi göze alarak sandalyenin çarpışmadan sonraki ızı ( f) u x =v x -v x =-f = olur. Sandalyenin kat ettiği yolu enerjinin korunumu yasasından mu ( f) -fmgx== - ; x= 6f g. a) Verilen grafiğe göre cisim önce sabit ivme ile ızlanmaktadır. Sonra ızın yönü aniden değişmekte ve azalmaktadır. Grafikten er yön değişiminde ızın azaldığı anlaşılmaktadır. Bunu en az iki sabit kuvvetin etkisi ile f açıklanılabilir. Bu kuvvetlerden birisi sabit yönlü, diğeri ise yön değiştirmelidir. Bu özelliklere saip olan sistem sürtünmeli eğik düzlem üzerinde areket eden bir cisim olabilir. Bu cisim eğik düzlemin en alt noktasında esnek bir engele çarpıp, yön değiştirir ve yukarıya doğru areketine devam eder. Ulaşabileceği en yüksek noktadan cisim tekrar aşağıya doğru areketine devam etmektedir. b) Cisim eğik düzleme göre yukarıya doğru areket ederse ivmesi a =g(sin-fcos) cisim eğik düzleme göre aşağıya doğru areket ederse ivmesi a =g(sin+fcos) olarak yazılabilir. c) 0,6 s ile, s arasında inceleme yaparsak v a = t 0, 6 = = m/s ; a = 0, v t g=0 m/s kabul edersek =0(sin-fcos) ; =0(sin+fcos) olarak yazılabilir. Buradan sin=0, ; =,0 ; f=0, 0, = = m/s 0, m

4 - -. İdeal gazlar için birinci termodinamik yasası için Q=A+U=dA+dU yazabiliriz. Burada da=pdv yapılan iş du=c V dt sadece sıcaklığa bağlı olan iç enerji değişimidir. Sabit acimde molar kapasitesi dq du ir c V = = V= dt V dt olarak yazılabilir. Burada i serbestlik derecesidir. Sabit basınçtaki molar kapasitesi dq da du ir (i + )R c P = = + =R+ = =R+c V dt P dt P dt P olur. İki ısı molar kapasitenin oranı c P = c V olarak yazılabilir. Tek ve iki atomlu gazlar için R 5R c V = ; cv = olur. Gaz karışımı için c C =n c V +n c V ; c P =n c V +n c V +(n + n )R=n c P +n VP yazabiliriz. Buradan nc = PncP n ; = 7 nc VncV n. Her yarıkta eşit miktarda (+) ve (-) yükler yerleştirildiğini ve düzlemi simetrik bir ale geldiğini kabul edebiliriz. Bu durumda mesela sol levada pozitif yüklerin dağlımı demete etki etmektedir. Gauss teoremi silindir simetrisine saip toplam değeri Q olan yük dağılımına uygulandığında Q E = 0 rx yazabiliriz. Burada Q=CU= 0 r U yarığın saip olduğu yük olarak alınılabilir. Hareket yönüne dik yönde etki eden kuvvet qq F =qe = 0 rx olur. Bu kuvvet taneciğe p momentumu kazandırır. Bu momentum qq qru p =F t= = 0 rv v Yarığın yarıçapı r ise, odak mesafesi için r p = f p yazabiliriz. Verilen sistemde elektron demeti üç kere iki farklı yönlerde etkileniyor. Birinci ve üçüncü yarıktan kazanan momentum p, ikinci yarıktan kaybeden momentum p olur. Hareket yönünün dik yönünde kazanılan toplam momentum p t =p -p Levalar arasındaki ız az değişmektedir ve bu sebeple v =v qu + m qu, v +v v 0 ; v -v = mv 0 qru q ru p t = = v v mv 0 olarak yazılabilir. Sistemin odak uzaklığı f = rp p t U = U 0

5 a) En basit durumda yüklü taneciklerin areketi elektrik alanda sadece iki elektrot arasındaki alandan ve elektrotların şekline bağlıdır. Bu yaklaşım tek bir tanecik için doğru olmakla birlikte, bir demet için alan sadece elektrotların şekline ve potansiyel farkına bağlı değildir. Bu durumda yüklü taneciklerin acimsel yük yoğunluğu elektrik alan üzerinde belli bir etki yaratmaktadır. İki paralel levalı diotta elektronların areketini inceleyelim. Diottaki katot aynı zamanda elektronlar için bir kaynak rolü oynamaktadır. Levalar arasındaki acimsel elektron yük yoğunluğu anottan çıkan ve katoda giden elektrik alan çizgilerinin sayısının ve katottaki elektrik alanın azalmasına sebep olur. Ne kadar çok daa elektron katottan çıkar ise o kadar daa çok elektrik alan çizgileri iki leva arasında bulunan elektronlarda biter ve sonunda katottaki elektrik alan sıfır olabilir. Bu durumda elektron akımı maksimum değerine ulaşır. Katottan çıkan elektronların sayısı daa da artırılırsa elektrik akımı katottaki sıfır elektrik alanın duruma göre daa da küçük olur. Problem düzlemsel olduğu için Poisson denklemi d 0 şeklinde yazılabilir. Katot zamana göre omojen bir şekilde elektron çıkardığı için elektronların yoğunluğu sadece katottan olan mesafeye bağlı olacaktır. Denge durumunda elektrik akım yoğunluğu j j=qn 0 v=sabit; n 0 = qv mesafeden bağımsız olur. Elektronların ızı iki elektrot arasındaki er noktada o noktadaki elektron yoğunluğu ile ters orantılı olacaktır. Elektronların katottan çıkış ızı ve katoda uygulanan potansiyeli sıfır kabul edersek elektronların ızı anottaki potansiyele bağlıdır. Hız ve yoğunluk için v= q ; =qn0 =j m 0 m q yazabiliriz. Poisson denklemdeki potansiyel sadece mesafeye bağlı şekilde d j m = - 0 q d olarak yazılabilir. Denklemin iki tarafını ile çarparak, matematiksel olarak d d d d = d d ; = yazabiliriz. Buradan d j m = +sabit 0 q Sabiti sıfır olarak kabul edelim. İntegral alındıktan sonra, potansiyel ve elektrik alanı için d = j ; m = ; d= j ; = j x q (x)= j x ; E= - d = - j x yazabiliriz. Görüldüğü gibi potansiyel ve elektrik alanı omojen değil ve katottan anoda doğru artmaktadır. Hız için v(x)= yük yoğunluğu için q q = j x m m j m =qn 0 = = j x v q yazabiliriz. Yük yoğunluğu katotta sonsuz ve bu katottan çıkan elektronların ızı sıfır kabul ettiğimizden kaynaklanıyor. Bunu esaba kattıktan sonra katottaki ız da sonlu olacaktır. b) Diyottaki akım Om yasasına uymamaktadır.

6 a) Verilen düzenekte ıslak kağıt, lazer ışığının yüzeye değdiği noktadan n itibaren cam içinde er yönde saçılması sağlanması ile kritik iç yansıma açı ile gelen ve kırılan ışınların tutumu önem kazanmaktadır. Bu ışınlar diğer yüzeyden yansıdıktan sonra birinci yüzeyden iç yansıma sonucu dışarı çıkamamaktadır. R Bu ışınlar lazer ışının girdiği noktadan itibaren daire şeklinde karanlık bir bölge oluşmaktadır. lazer b) n = ve = cm ise sin kr = = n olur. Buradan kr =5 Lazer ışının girdiği noktadan itibaren yarıçapı R= tg5=..=8 cm daire şeklinde karanlık bir bölge oluşmaktadır. lazer lazer n R n 55 o R n n 5 o c) Eğer birinci cam plaka üzerine n = 6 ve =5 cm olan ikinci bir cam plaka yerleştirilirse iç yansıma için n sin kr = = n yazabiliriz. Buradan kr =60 Eğer ikinci yüzeyden yansıyan ışınlar birinci yüzeye 5 ile 60 arasında gelirlerse ıslak kağıda doğru geçmektedirler. Eğer ışınlar birinci yüzeye doğru 60 açıdan daa büyük açı ile gelirlerse tekrar cama doğru geri dönerler. Eğer ışınlar cam-kağıt düzlemsel sınırına 5 ik açı ile düşerlerse kırılma açısı o sin 5 n = ; sin=0,86; =55 sin n Lazer ışının girdiği noktadan itibaren yarıçapı R= tg5+ tg55=5, cm daire şeklinde karanlık bir bölge oluşmaktadır. d) Bu soruda tanımlanan düzenek ile kırıcılık indisini bulmak için karanlık bölgenin yarıçapını, cam plakanın kalınlığını ölçmek yeterlidir. Kırıcılık indisi R =tg arcsin n denkleminden bulunulabilir.