Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Transkript

1 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

2 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Bölüm 7: Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Runge-Kutta Yöntemleri Euler Yöntemi Heun Yöntemi 2. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi 3. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi 4. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi Sınır Değer Problemleri Sonlu Farklar Yöntemi

3 Giriş Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Diferansiyel Denklem : Bilinmeyenin hem kendisini hem de türevini içeren denklemlere diferansiyel denklemler adı verilir. Adi Diferansiyel Denklem: Diferansiyel denklem yalnızca tek bir bağımsız değişkene görev türevler içeriyor ise bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler adı verilir. Ordinary Differential Equations (ODE) F U = -cv F D = mg

4 Giriş Fig PT7.4 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Yukarıdaki gibi verilen denklem aşağıdaki diferansiyel denklemin gösterdiği eğrilerden sadece birisidir. İntegralinin sonucu aşağıda gibi bir eğri ailesini gösterir. Bu durumda tek bir eğrinin belirli olması için C integral sabitinin hesaplanabileceği koşulların verilmesi gerekir.

5 Runge-Kutta Fig 25.1 Yöntemleri: Euler Yöntemi Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. y i+1 y i

6 Runge-Kutta Fig 25.2 Yöntemleri: Euler Yöntemi Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 7.1 denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4 e kadar çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]

7

8 Runge-Kutta Fig 25.2 Yöntemleri: Heun Yöntemi Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Bu yöntemde, Euler metodundaki i. noktadaki türev yerine i. ve (i+1). noktadaki türevlerin aritmetik ortalaması alınır. Deneme denklemi: Ara tahmin Düzeltme Denklemi: Asıl tahmin

9 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi Heun Yönteminde uygulanan düzeltme adımının grafik gösterimi

10 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi Örnek 7.2 denklemini, adım büyüklüğü h = 1 alarak x = 0 dan x = 4 e kadar çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 2 [y (0) =2] Deneme denklemi: Ara tahmin Düzeltme Denklemi: Asıl tahmin

11

12

13

14 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi Örnek 7.3 kadar çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1] denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4 e Deneme denklemi: Ara tahmin

15 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: Runge-Kutta Yöntemi Runge-Kutta yöntemi, Taylor serileri ile yaklaşımdaki hassasiyeti, yüksek mertebeden türevlere ihtiyaç duymadan yakalayabildiğinden, yüksek hassasiyetin arandığı durumlarda tercih edilir. Runge-Kutta metodu aşağıdaki formda yazılabilir. artım fonksiyonu: söz konusu aralıktaki eğimi gösterir

16 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta artım fonksiyonu: söz konusu aralıktaki eğimi gösterir Dikkat edilirse, 4 bilinmeyen (a 1, a 2, p 1, q 11 ) var ancak 3 denklem bulunmaktadır. Bu nedenle bir bilinmeyenin değerini varsayıp diğer üç bilinmeyeni hesaplamak zorundayız. Başlangıçta, a 2 için bir değer alınarak yandaki denklemler eş zamanlı olarak çözülebilir. a 2 = herhangi bir değer

17 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta

18 Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 7.4 denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4 e kadar, a) Orta nokta yöntemini, b) Raltson yöntemini kullanarak çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]

19

20

21 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta

22 Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 7.5 (Ödev) denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4 e kadar, a) 3. Derece Runge Kutta Yöntemini, b) 4. Derece Runge Kutta Yöntemini kullanarak çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]

23 Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 7.6 denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 0.5 e kadar 4. derece Runge-Kutta yöntemi ile çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 2 [y (0) =2]

24

25 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sınır Değer Problemleri Bir adi diferansiyel denklem, denklemi çözerken ortaya çıkan integral sabitini hesaplamak için yardımcı koşullar (başlangıç veya sınır koşulları) ile verilmek zorundadır. Bu koşullar bağımsız değişkenin aynı değerleri için tanımlanmışsa, bu tür problemlere başlangıç değer problemi adı verilir. Koşullar bağımsız değişkenin tek bir noktasında değilde sistemin sınırlarında tanımlanmış ise bu tür problemlere sınır değer problemleri adı verilir.

26 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sınır Değer Problemleri: Sonlu Fark Yaklaşımı Bu yöntemde, türevler yerine sonlu fark ifadeleri konur. Bu yöntem aşağıdaki örnek üzerinde açıklanabilir. Örnek 7.7 Uzunluğu boyunca izole edilmemiş ve sürekli rejimdeki ince ve uzun bir çubuktaki sıcaklık dağılımı aşağıdaki denklemle verilir. Çubuk boyunca sıcaklık dağılımını sonlu faklar yaklaşımı ile belirleyiniz. Burada h ısı transferi katsayısıdır ve çevreye giden ısı oranını karakterize eder. T a etraftaki havanın sıcaklığı.

27 Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sınır Değer Problemleri: Sonlu Fark Yaklaşımı Örnek 7.7 (Devamı) ikinci türev için sonlu fark ifadesi Δ x = 2 x 0 = 0 x 1 = 2 x 2 = 4 x 3 = 6 x 4 = 8 x 5 = 10m T 0 (0) = 40 o C T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 (10) = 200 o C

28 2 2 T0 + (2 + h Δx ) T1 T2 = h Δ x Ta 2 2 T1+ (2 + h Δx ) T2 T3 = h Δ x Ta 2 2 T2 + (2 + h Δx ) T3 T4 = h Δ x Ta 2 2 T + (2 + h Δx ) T T = h Δ x Ta Δ x = = h 0.01* T T = = 40,8 1 2 T T T = T T T = T T = Bu denklemleri aşağıdaki gibi düzenliyebiliriz T T = T T Bu denklem sisteminin çözümünden T T = T T elde edilir. 84