SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin"

Ece Tunç
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 1 SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin bir halka yapısıoluşturup oluşturmadĭgınıinceleyiniz. Soru 2 a, b Z, b tek sayıolmak üzere (a, b) = 1 ve A = { a b : a, b Z} biçimnde yazılan tüm rasyonel sayıların oluşturduğu kümenin bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında bir halka yapısıoluşturup oluşturmadĭgınıinceleyiniz. Soru 3 Z + kümesi bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında bir halka yapısıoluşturur mu? Soru 4 2Z Z kümesi toplama ve çarpma işlemleri altında bir halka yapısıoluşturur mu? Soru 5 H kümesi üzerinde + ve ikili işlemleri tanımlıve (H, +) bir grup ve (H, ) birimli yarıgrup (yani sadece G1 özellĭgi geçerli) ve her x, y, z H için x (y + z) = x y + x z ve (x + y) z = x z + y z ise bu durumda (H, +, ) nın bir halka olduğunu gösteriniz. (Yol: (a + b)(1 + 1) i sağdan ve soldan dağılma özellĭgini kullanarak her iki durumda hesaplayınız.) Soru 6 X bir küme ve P (X) nin bütün altkümelerin bir ailesi olsun. P (X) kümesinin A + B = (A B) (A B) ve A B = A B işlemlerine göre bir halka olduğunu gösteriniz.

2 2 b) Bir H halkasınında her x H için x 2 = x ise H ya bir Boolean halkasıdenir. a) da verilen P (X) halkasının bir Boolean halkasıolduğunu gösteriniz. c) Z 2 ve Z 2 Z 2 halkaların Boolean halkasıolduğunu gösteriniz. Soru 7 (H, +) bir Abel grubu olsun. Her a, b H için ab = 0 ise (H, +, ) nın bir halka olduğunu gösteriniz. Soru 8 Aşağıdaki kümeler, C nin birer althalkasımıdır? a) {0 + ib : b R} b) {a + ib : a, b Q} c) {z C : z 1} Soru 9 Aşağıdaki kümeler, Mat 2 2 (Z) nin birer althalkasımıdır? Neden? a) a a + b : a, b Z a + b b b) a a b : a, b Z a b b c) a a : a, b Z b b. Soru 10 H bir halka ve X H olsun. M(X) = {a H : her x X için ax = xa} kümesine X nin H halkasındaki merkezi denir. a) M(X) kümesinin H nın bir althalkasıolduğunu gösteriniz.

3 3 b) H = Mat 2 2 (R) ve ise M(X) i hesaplayınız. X = x y 0 0 : x, y R Soru 11 H bir değişmeli halka ve X H olsun. S(X) = {a H : her x X için ax = 0} kümesine X nin H halkasındaki sıfırlayıcısıdenir. a) S(X) kümesinin H nın bir althalkasıolduğunu gösteriniz. b)h = Mat 2 2 (R) ve ise S(X) i hesaplayınız. X = x y 0 0 : x, y R Soru 12 α, β C ve α, α nın eşlenĭgi olmak üzere H = α β : α, β C β α kümesinin Mat 2 2 (C) halkasının bir alt halkası olduğunu gösteriniz. Bu halkaya quaterniyonlar halkasıdenir. Soru 13 Althalkaların birleşiminin althalka olmadĭgınıgösteriniz. Soru 14 Birimli bir halkanın, birimi farklıalt halkasıolabileceğine örnek veriniz. Soru 15 Aşağıda verilen halkaların tersinerlerini hesaplayınız. a) Z 5 b) Z Q Z c) Z 4

4 4 Soru 16 H birimli halka olsun. Z H kümesi üzerine (m, x) + (n, y) = (m + n, x + y); (m, x) (n, y) = (mn, nx + my + xy); işlemlerini tanımlayalım. a) (Z H, +, ) üçlüsünün bir halka olduğunu gösteriniz. b) Z H nin birim elemanınıbulunuz. c) Z H nın değişmeli olmasıiçin gerek ve yeter şart H nın değişmeli olmasıgerektĭgini ispatlayınız. Soru 17 (H, +) değişmeli grup olsun. Her x, y H için x y = x olduğuna göre (H, +, ) üçlüsünün bir halka olup olmadĭgınıinceleyiniz. Soru 18 Birimli bir halkada terslenebilir bir elemanın tersi tek midir? Soru 19 Birimli bir halkanın althalkasıda birimli midir? Soru 20 R halkasının iki alt halkasıa ve B olsun, bu durumda A B ninde R nin bir alt halkasıolduğunu gösteriniz. Soru 21 f : H K bir halka homomorfizmi ise f(h) nın K nın alt halkasıolduğunu gösteriniz. Soru 22 f : H K bir homomorfizm ve H değişmeli ise f(h)nın da değişmeli olduğunu gösteriniz.

5 5 Soru 23 f : H K bir homomorfizm olsun.f nin 1 1 olmasıiçin gerek ve yeter şartın çekf = 0 H olduğunu gösteriniz. Soru 24 H birimli halka f : H K bir örten homomorfizm ve h H terslenebilir olsun.f(h) K nın da terslenebilmesi için gerek ve yeter şartın h / çekf olduğunu gösteriniz. Soru 25 f 1 : H K 1 ve f 2 : H K 2 halka homomorfizmi olsun. Her x H için; f : H K 1 K 2 x (f 1 (x), f 2 (x)) fonksiyonunun bir halka homomorfizmi olduğunu gösteriniz. Soru 26 Aşağıdaki kümelerden herbirinin, tanımlanan işlemlerle birlikte halka olup olmadĭgınıgösteriniz. a) { a + b 5 : a, b Z } b) Determinantısıfır olan 2 2 tipinde olan bütün matrislerin kümesi c) (Z, +, ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a, b Z için a b = 0 dir d) (Z, +, ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a, b Z için a b = 1 dir e) Q rasyonel sayılar kümesi üzerinde; a, b Q olmak üzere birinci işlem ab ve ikinci işlem a + b şeklinde tanımlanmaktadır. Soru 27 H bir halka olsun. H H kümesi üzerinde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)

6 6 işlemlerini tanımlayalım. a) (H H, +, ) üçlüsünün bir halka olduğunu gösteriniz. b) f : H H Mat 2 2 (H) (a, b) a b 0 a fonksiyonunun bir halka homomorfizmi olduğunu gösteriniz. Soru 28 (H, +, ) birimli halka olsun. H üzerinde x y = x + y + 1 ve x y = x y + x + y işlemlerini tanımlayalım. (H,, ) nin birimli halka olduğunu gösteriniz. (H,, ) nın birim elemanıve sıfır elemanınedir? Soru 29 X bir elemanlıbir küme ise P (X) = Z 2 olduğunu ispatlayınız. Soru 30 Z ve 2Z halkalarının izomorf olmadıklarınıgösteriniz.

Benzer belgeler

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri