MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

Transkript

1 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z z x x nin argümenti denir ve argz ile gösterilir. Burada < θ < olduğu açıktır. Eğer π < θ π kısıtlaması yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. Buna göre olur. argz Argz + nπ, n Z x r cos θ y r sin θ olmak üzere z sayısı kutupsal olarak z x + iy r(cos θ + i sin θ) z (cos θ + i sin θ) şeklinde yazılır. Euler Formülü. θ R olmak üzere e iθ cosθ + i sin θ formülüne Euler formülü denir. Euler formülü yardımıyla z sayısı üstel olarak Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 1

2 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta şeklinde yazılır. z z (cos θ + i sin θ) r(cos θ + i sin θ) re iθ (cos θ + i sin θ) n cosnθ + isinnθ (n Z) ifadesine de Moivre formülü denir. Soru i sayısını kutupsal formda yazınız. Çözüm. z 1 + ( 3) ve cosθ x 1, sinθ y 3 ve z z buradan 1 + 3i kompleks sayısı kutupsal formda 1 + 3i (cos π 3 + isinπ 3 ) biçiminde ifade edilir. Burada θ π +nπ, n Z nin herhangi bir değerinin 3 kullanılabileceğine dikkat edilmelidir. olur. Örneğin n 1 için z [cos( 5π3 ] ) + isin( 5π3 ) 1 + 3i Soru. z 1 1 3i ve z 3 + i olmak üzere z 1 z yi kutupsal formda yazınız. Çözüm. z 1 kompleks sayısını kutupsal formda z 1 r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ) ve z kompleks sayısını kutupsal formda z r (cosθ + isinθ ) şeklinde gösterelim. Bu durumda z ve tanθ 1 3 olur ve buradan θ 1 π π 5π radyandır. 3 3 Benzer şekilde z ve tanθ 1 3 olur ve buradan θ π 6 radyandır. O halde z 1 e 5πi 3 ve z e πi 6 dir. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa

3 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Dolayısıyla z 1 z e 5πi 3 e πi 6 e 11πi 6 3 i bulunur. Soru 3. 5i +i sayısını kutupsal formda yazınız. Çözüm. z 1 5i ve z + i diyelim. Bu durumda z 1 5i 5 ve tanθ 1 olur ve θ 1 π dir. Benzer şekilde z + i ve tanθ 1 olur ve θ π bulunur. Buradan 5i +i z 1 z 5 ei( π π ) 5 ei π bulunur. Soru. z (1 + i) 16 + (1 i) 16 sayısının reel olduğunu gösteriniz. Çözüm. 1 + i e i π ve 1 i e i π olur ve buradan (1 + i) 16 ( e i π ) 16 8 e πi 8 ve (1 i) 16 ( e i π ) 16 8 e πi 8 bulunur. Böylece z (1 + i) 16 + (1 i) elde edilir. Soru 5. (1+i) 7 (1 i) i eşitliğini elde ediniz. Çözüm. 1+i 1/ (cos π +isin π) olur ve buradan (1+i)7 7/ (cos 7π + isin 7π) şeklindedir. Benzer şekilde 1 i 1/ (cos( π π ) + isin( )) olur ve buradan (1 i) 10 5 (cos( 10π ) + isin( 10π )) şeklindedir. Dolayısıyla (1 + i) 7 (1 i) 7/ (cos 7π + isin 7π) 10 5 (cos( 10π ) + isin( 10π )) 3 17π (cos + isin17π ) 3 π (cos + isinπ ) ( i ) elde edilir. 1 + i Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 3

4 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Soru 6. n pozitif bir tamsayı ve x n + iy n (1 + i) n olsun. Bu durumda x n + y n n olduğunu gösteriniz. Çözüm. w 1 + i diyelim. Bu durumda w (cos π + isin π) olur. w n ( ) n (cos nπ + isin nπ ) elde edilir. İki kompleks sayının eşitliği tanımından x n n cos nπ ve y n n sin nπ elde edilir. Buradan x n n cos nπ ve y n n sin nπ bulunur. Sonuç olarak ( ( nπ ) ( nπ )) x n + yn n cos + sin n elde edilir. Soru 7. z denkleminin köklerini bulunuz. Not. Genel olarak bir c 0 kompleks sayısının n.(n 1, n tamsayı) kökleri z n c ise z e iθ, ve c ρe iφ olmak üzere kökler z k ρ 1/n φ+kπ i( ) e n ( ) ( )) φ + kπ φ + kπ ρ (cos 1/n + isin, k 0, 1,,..., (n 1) n n biçimindedir. Çözüm. z z 1 ve 1 cosπ + isinπ dir. ( 1) 1 π + kπ cos( ) + isin( π + kπ ), (k 0, 1,, 3) bulunur. Kökler, z 0 cos π + isinπ 1 + i z 1 cos 3π + isin3π 1 + i z cos 5π + isin5π 1 i Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa

5 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta z 3 cos 7π + isin7π 1 i şeklindedir. Soru 8. ( ) 3 + i sayısının tüm köklerini bulunuz. Çözüm. + i (cos π + isin π ) yazılabilir ve buradan ( + ) 3 ( ( 3π 3 i cos + kπ ) ( 3π + isin + kπ )), k 0, 1 bulunur. Buradan kökler z 0 8(cos 3π 8 + isin3π 8 ) olarak elde edilir. z 1 8(cos 11π 8 + isin7π 8 ) Soru 9. z + (1 + i)z + 5i 0 denkleminin köklerini bulunuz. ve Çözüm. b ac (1 + i).1.5i 1 + i + i 0i 18i olur 1 18i ( 18i) ( π 3 ( 3 3+3i cos ( 1 + i ) + kπ ) ( π + isin + kπ )), k 0, 1 şeklinde bulunur. yazıldığında Bulunan değerler z b+ a denkleminde yerlerine Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 5

6 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta ve z 1 b + a (1 + i) + 3 3i 1 i + 3 3i i 1 i z b a (1 + i) (3 3i) 1 i 3 + 3i + i + i elde edilir, o halde kökler şeklindedir. {1 i, + i} Alıştırmalar 1) Aşağıdaki sayıları kutupsal gösterimle yazınız. a) + 3i b) 5i ) Aşağıdaki sayıları kutupsal gösterimden yararlanarak hesaplayınız. a) 1+ 3i 1 3i b)( 1 + i) 5 3) Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. a) z 1 + i b)z 3 + i 0 ) (1 + 3i) 6 ( 3 + i) 5 10 ( 3 + i) eşitliğini elde ediniz. 5) w birimin 1 den farklı olan bir n. kökü ise, olduğunu gösteriniz. 1 + w + w w n 1 0 6) Aşağıdaki köklerden herbirinin değerini bulunuz ve bu değerleri grafikle belirtiniz. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 6

7 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta a) a)( 1 + i) 1/3 b) ( 3 i) 1/ c)( 1) 3/ 7) De Moivre formülünü kullanarak a) sin 3 θ 3 sinθ 1 sin3θ b) cos θ 1 8 cosθ + 1 cosθ eşitliklerini ispatlayınız. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 7