EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1

Transkript

1 EKON 305 Yöneylem Araştırması I Doğrusal Programlama Doç. Dr. Murat ATAN 1

2 Doğrusal Programlama Karar Verme ve Modeller Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim (Kleindorfer ve diğ., 1993) Karar Verici (KV) nin mevcut tüm seçenekler arasından amacına veya amaçlarına en uygun bir veya birkaç seçeneği seçme sürecine girmesi (Evren ve Ülengin, 1992) En genel hali ile karar verme; KV nin mevcut seçenekler arasından bir seçim, sıralama ya da sınıflandırma yapması gibi bir sorunu çözmesi sürecidir. Karar verme kalitesini ölçecek tek bir ortak ölçü saptanamamıştır (Olson ve Courtney, 1992). İyi karar verme sanatı sistematik düşünce ile oluşur. (Hammond ve diğ., 1999) İyi bir karar; Mantığa dayanır. Tüm mevcut kaynakları kullanır Tüm olası seçenekleri inceler. Sayısal bir yöntem uygular. Doç. Dr. Murat ATAN 2

3 Doğrusal Programlama Karar Verme Süreci Dar anlamda karar verme, çeşitli alternatifler içinde en uygun olanının seçiminin yapıldığı bir süreç olarak tanımlanabilir. Karar Verme Süreci, değişik kaynaklarda farklı aşamalarla sıralanmıştır. Ancak farklı yaklaşımların ortak noktaları dikkate alındığında, söz konusu sürecin aşamalarını aşağıdaki gibi ifade etmek yanlış olmaz. 1. Karar probleminin tanımlanması Karar verecek kişi veya kişiler Amaç Alternatif eylem biçimleri Belirsizlik 2. Karar probleminin modelinin kurulması Problemin kolayca çözümlenebilmesi için diğer bir deyişle problemi en iyi biçimde temsil edecek ve problemin çözümündeki belirsizlikleri en aza indirecek bir modelin kurulması gerekir. Model: Bir sistemin değişen şarlar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında tahminlerde bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağıntıları kelimler veya matematik terimlerle belirten ifadeler topluluğuna model denir. 3. Modelden çözüm elde edilmesi 4. Modelin çözümünün test edilmesi 5. Karar verme ve kararın uygulamaya konulması Doç. Dr. Murat ATAN 3

4 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Her basamak arasında geribesleme bulunmaktadır Doç. Dr. Murat ATAN 4

5 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Amaçlar nelerdir? Problem çok dar kapsamlı mı ele alındı? Problem çok geniş kapsamlı mı ele alındı? Doç. Dr. Murat ATAN 5

6 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Mümkün seçenekler arasından bir faaliyet veya faaliyetler dizisinin benimsenmesine karar denir Karar verici, alternatif stratejiler arasından en uygun olanını seçme konusunda karar verme yetkisine sahip birey ya da topluluğa verilen genel isimdir Karar vericinin ulaşmak istediği bir amacının olması, bu amaca ulaşmada izlenebilecek alternatif stratejilerin bulunması ve alternatifler içinden hangisinin amacı gerçekleştirebileceği konusunda kuşku içinde bulunulması gerekmektedir Ancak bu koşullarda bir problem vardır denir Doç. Dr. Murat ATAN 6

7 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Hangi veriler toplanmalı? Veriler nasıl toplanmalı? Sistemin farklı parçaları birbirleriyle nasıl etkileşmektedir? Doç. Dr. Murat ATAN 7

8 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Sistem gözlemlenir ve probleme etki eden parametreler tahmin edilmeye çalışılır Bu amaçla veri derlenmesi, bu adımın çok önemli bir kısmını oluşturur Tahmin değerleri sabit sayılar olarak işleme tabi tutulurlar ve matematiksel modelin geliştirilmesinde kullanılırlar Problem elemanlarının duruma en uygun biçimde belirlenebilmesi için sistem yaklaşımı kullanılır. Doç. Dr. Murat ATAN 8

9 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Bir sınır içerisinde, birbirleriyle etkileşim içinde bulunan ve ortak bir amaca yönelmiş olan öğeler topluluğudur Sistem, girdileri çıktılara dönüştüren birbirleriyle ilişkili faaliyetlerden ve öğelerden (elemanlardan) oluşmaktadır Sistemin çok sayıda girdisi ve çıktısı olabilir Girdiler Prosesler Çıktılar Doç. Dr. Murat ATAN 9

10 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Hangi tür model kullanılmalı? Model, problemi tam olarak ifade ediyor mu? Model çok mu karmaşık? Doç. Dr. Murat ATAN 10

11 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Problemin kolayca çözülebilecek bir yapıya oturtulması gerekmektedir. Model nedir? Bir sistemin değişen koşullar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında varsayımlarda bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağlantıları kelimeler veya matematiksek terimlerle belirleyen ifadeler topluluğuna model denir. Doç. Dr. Murat ATAN 11

12 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Her modelin kuruluş amacı, belirli bir ekonomik sistemi yönetmekle görevli kişi veya kişilere (karar vericiye) mümkün karar seçeneklerini sunmak, bunların sonuçlarını belirlemek ve karşılaştırmalar yapmaktır. Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısı matematiksel modellerdir. Bir sistemin davranışlarıyla ilgili kuralların matematiksel olarak ifade edilmesiyle matematiksel modeller kurulur. Eğer ele alınan sistem matematiksel modellerle çözülemeyecek kadar karmaşık bir yapıya sahipse sistemin bir simülasyon modeli kurulur. Simülasyon, bir sistemin tüm çalışma zamanı boyunca davranış şeklinin bilgisayar ortamında taklit edilmesidir. Doç. Dr. Murat ATAN 12

13 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Ekonomik sistemlerin matematiksel modellerinde kullanılan elemanlarını üç ana grupta toplamak mümkündür: 1. Amaç fonksiyonu 2. Karar değişkenleri 3. Kısıtlar Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem dikkatli bir şekilde gözlemlenir ve değerleri kontrol edilebilen ve sistemin performansını etkileyen parametreler belirlenir. Bu parametreler yöneticilerin kontrolü altındadır ve karar değişkenleri olarak tanımlanırlar. Bir üretim sisteminde farklı ürünlerin üretilecek miktarları, bir yerden başka yere taşınacak ürün miktarı, işçi sayısı, makina sayısı vb Karar değişkenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu oluşturulur Kısıtlar, sistemin içinde bulunduğu koşullardan kaynaklanmaktadır (talep kısıtları, kapasite kısıtları gibi) Doç. Dr. Murat ATAN 13

14 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları En uygun çözüm tekniği nedir? Analitik çözüm Algoritmalar Simülasyon Sezgisel Doç. Dr. Murat ATAN 14

15 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Analitik çözüm: Problemin Lagrange çarpanları, diferansiyel ve integral hesapları ile koşullu en iyi çözümünün bulunmasıdır. Analitik çözümde sadece matematiğin değil iktisat teorisinin de temel kuralları kullanılır. Algoritma çözümü: Analitik çözüm bazen çok zor veya imkansız olabilir. Belirli bir sıra içerisinde gerçekleştirilen matematiksel ve mantıksal işlemler kümesine algoritma denir. Yinelemeli olarak uygulanan algoritmalar her adımda optimuma daha yakın bir çözüme doğru ilerler. Simülasyon çözümü: Problem, analitik olarak veya algoritmalarla çözülemiyorsa kullanılır. Sistemin davranış şekli bilgisayar ortamında taklit edilir. Sezgisel çözüm: Problem optimum çözümü bulunamayacak kadar karmaşıksa, sezgisel yöntemler sezgiye veya bazı deneysel kayıtlara dayanan karar kuralları ile belirli sayıda adımdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir sonuç verirler. Doç. Dr. Murat ATAN 15

16 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Modelden elde edilen çıktılar sistemin kendisinden elde edilen çıktılarla uyuşuyor mu? Modelden elde edilen çıktılar mantıklı mı? Model hatalı olabilir mi? Doç. Dr. Murat ATAN 16

17 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Modelden elde edilen çözümü uygulamaya koymadan önce gerçeğe uygunluğunun kanıtlanması gerekir. Eğer çözüm sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu bir şekilde sağlıyorsa, modelin geçerli olduğu kabul edilir. Eğer sistemin geçmiş dönem sonuçları yoksa simülasyondan yararlanılır. Model geçerliliğinin kanıtlanmasında bir başka yol olarak da sistemdeki deneyimli kişilerin görüşlerine başvurulabilir. Doç. Dr. Murat ATAN 17

18 Doğrusal Programlama Karar Sürecinin Basamakları Doğrusasl Programlama ekibi, uygulama sürecini açıklamalı ve uygulamada yardımcı olmalıdır. Uygulamanın nasıl yapılacağı bir rapor halinde yönetime sunulmalıdır. Doç. Dr. Murat ATAN 18

19 Doğrusal Programlama Matematiksel Model Türleri Matematiksel model türleri, ilgilenilen karar probleminin yapısına göre şekillenir. Matematiksel Model Zorlaşıyor Kısıtsız Statik Deterministik Kısıtlı Dinamik Stokastik Tek amaçlı Çok amaçlı Sürekli karar değişkeni Kesikli karar değişkeni Doğrusal programlar Zorlaşıyor Doğrusal olmayan programlar Tamsayılı programlar Kombinatoryel programlar Doç. Dr. Murat ATAN 19

20 Doğrusal Programlama Matematiksel Model Türleri Dinamik modeller için kullanılan yaklaşım dinamik programlamadır. Eğer optimize edilecek birden fazla amaç varsa genellikle kullanılan yaklaşım hedef programlamadır. Modeldeki tüm fonksiyonların doğrusal olması durumunda sürekli optimizasyon problemleri doğrusal programlama yöntemi ile çözülür. Sürekli optimizasyon modelinde en azından bir fonksiyonun doğrusal olmaması durumundaysa doğrusal olmayan programlama yöntemi kullanılır. Eğer kesikli optimizasyon problemlerinde karar değişkenleri herhangi bir tamsayı değer alıyorsa tamsayılı programlama yöntemi kullanılır. Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin belirli bir boyuta kadar olanı tamsayılı programlama yöntemi ile çözülürken, orta ve büyük boyutlu problemlerin sezgisel yöntemlerle çözülmesi gerekmektedir. Doç. Dr. Murat ATAN 20

21 Doğrusal Programlama Günümüzde, işletme, ekonomi ve muhasebe dallarını en yakından ilgilendiren konulardan biridir. Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye, maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir. Doğrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir de, George Dantzig, doğrusal Programlama problemlerinin çözümünde kullanılan etkin bir yol olan Simpleks Algoritma yı buldu ve bu buluşla birlikte doğrusal Programlama, sıklıkla ve hemen hemen her sektörde kullanılmaya başlandı. Temel olarak, doğrusal Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir. Doç. Dr. Murat ATAN 21

22 Doğrusal Programlama Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veya eşitsizliklerin kısıtlayıcı koşulları altında doğrusal bir amaç fonksiyonunu en iyi (optimum/ maksimizasyon-minimizasyon) kılan değişken değerlerinin belirlenmesinde kullanılan matematiksel programlama tekniğidir. Doç. Dr. Murat ATAN 22

23 Doğrusal Programlama - DP Modelinin Yapısal Unsurları 1. Amaç fonksiyonu Karar vericinin ulaşmak istediği hedef doğrusal bir denklem ile açıklanır. Amaç fonksiyonu olarak bilinen bu denklem, karar değişkenleri ile karar vericinin amacı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. Z enk/enb =c 1 x 1 + c 2 x c n x n 2. Kısıtlayıcı fonksiyonlar (kısıtlayıcılar/kısıtlar) Karar değişkenleri ve karar değişkenleriyle parametrelerin birbirleriyle olan ilişkilerinde sağlanması zorunlu olan ilişkilerin matematiksel olarak açıklanmasıyla elde edilen denklemlere kısıtlayıcı fonksiyonlar denir. Kısıtlayıcıların değerleri kesin olarak önceden belirlenmiş olup sistemin tanımlanmasında kullanılır. Kısıtlayıcı fonksiyonlar sadece kaynakların sınırlarını değil, gereksinim ve yönetim kararlarını ifade etmekte de kullanılır. a 11 x1+a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x1+a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x1+a m2 x a mn x n = b m 3. Negatif olmama koşulları Karar değişkenlerinin değerleri negatif olmaz. x 1, x 2,...x n 0 veya kısaca x j 0 (j=1, 2, 3,, n) Doç. Dr. Murat ATAN 23

24 Doğrusal Programlama - DP Modelinin Yapısal Unsurları 4. Karar değişkenleri Karar vericinin denetimi altında olan niteliklere karar değişkenleri denir. Bunlar modele ilişkin bilinmeyenler olup değerleri modelin çözümünden sonra belirlenir. Bu değişkenler karar vericinin denetimi altında olduklarından bunlara kontrol değişkenleri de denir. x j : Belirli bir zaman döneminde j inci ürünün üretim miktarı veya faaliyet düzeyi. j=1, 2, 3, n : Ürün çeşidi, faaliyet sayısı. 5. Parametreler Alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol dışı değişkenler denir. Belirli koşullarda belirli değerler alan parametreler problem için veri durumundadır. C j : j inci karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısı (parametre)-(birim kar, birim fiyat, birim maliyet vs.). a ij : j inci üründen bir birim üretmek için i inci kaynaktan tüketilen kaynak miktarı veya girdi katsayısı b i : n sayıdaki ürün için elde bulunan i inci sınırlı kaynak miktarı. Doç. Dr. Murat ATAN 24 i= 1, 2, 3,, m : Üretim bölümlerinin veya üretim kaynaklarının sayısı.

25 Doğrusal Programlama - DP Modelinin Yapısal Unsurları Amaç Fonksiyon Z enk/enb =c 1 x 1 + c 2 x c n x n Kısıtlayıcı fonksiyonlar a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m Negatif Olmama Koşulu x 1, x 2,...x n 0 Doç. Dr. Murat ATAN 25

26 Doğrusal Programlama - DP Modelinin Matris Gösterimi A m aç F o n k siyo n u Z C C... C e n b / e n k 1 2 K ısıtlayıcı F o n k siyo n lar a1 1 a1 2.. a1 n x1 b1 a1 2 a a 2 n x 2 b 2 ( ; ; ) A x ( ; ; a a.. a x b m 1 m 2 m n n m n x x x n C x ) b Doç. Dr. Murat ATAN 26

27 Doğrusal Programlama - Varsayımları 1.Doğrusallık (veya Oransallık) Varsayımı: Modeldeki fonksiyoların hepsi doğrusaldır. Bu varsayım gerçekleşmediği takdirde Doğrusal Olmayan Programlama söz konusudur. 2.Toplanabilirlik Varsayımı 3.Kesinlik Varsayımı: Bu varsayım, tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayısı, sağ yan tarafı ve teknolojik katsayı) kesin olarak bilindiğini ve ilgili dönemde değişmeyeceğini öngörür. Eğer bu değerler tam olarak bilinmiyorsa, sonuç güvenilir olmayacaktır. Böyle bir durumda duyarlılık analizine başvurulabilir. 4. Negatif Olmama Varsayımı Karar değişkenleri negatif değerler alamaz. 5. Bölünebilirlik Varsayımı Bu varsayım, her karar değişkenlerinin ondalıklı bir sayı alabileceği anlamına gelir. Bu varsayım ortadan kalktığında tamsayılı programlama söz konusu olur. Doç. Dr. Murat ATAN 27

28 Doğrusal Programlama - DP Uygulama Alanları Ulaştırma ve dağıtım kanallar Beslenme ve karıştırma problemleri Üretim planlaması Yatırım planlaması Görev dağıtımı Arazi kullanımı planlaması Kuruluş yeri seçimi Oyun teorisi Doç. Dr. Murat ATAN 28

29 Doğrusal Programlama - DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir. 1. Karar değişkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi 2. Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak yazılması 3. Tüm kısıtlamaların karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması 4. Negatif olmama koşullarının yazılması. Doç. Dr. Murat ATAN 29

30 Doğrusal Programlama - Örnek DP Modeli -1 İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz. Doç. Dr. Murat ATAN 30

31 Doğrusal Programlama - Örnek DP Modeli -1 Problemde karar değişkenleri, x 1 = Üretilecek X ürününün miktarı (litre) x 2 = Üretilecek Y ürününün miktarı (litre) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160x x 2 dir. İstenen gerekli minimum miktar ise x 1 6 ve x 2 2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3x 1 + 5x 2 30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır: Min z = 160x x 2 x 1 6 x 2 2 3x 1 + 5x 2 30 x 1, x 2 0 Doç. Dr. Murat ATAN 31

32 Doğrusal Programlama - Örnek DP Modeli -2 Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir. Yağ bölümü günde kg., süt şişeleme donanımı günde kg., peynir donanımı ise günde kg. süt işleyebilir. Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Doç. Dr. Murat ATAN 32

33 Doğrusal Programlama - Örnek DP Modeli -2 Çözüm: Karar Değişkenleri x1 = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) x2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı ( kg ) x3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) İşletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maksimum z = 4x1 + 8x2 + 6x3 Kısıtlar ise; x x x x x1 + x2 + x Negatif Olmama koşulu; x1, x2, x3 0 Doç. Dr. Murat ATAN 33

34 Doğrusal Programlama Grafik Çözüm Yöntemi Temel Kavramlar Çözüm: Bir doğrusal programlama probleminin kısıtlayıcı fonksiyonlarının hepsini birden sağlayan karar değişkenlerinin (x 1, x 2,..., x n ) oluşturduğu kümeye çözüm denir. Uygun çözüm: Negatif olmama koşulunu sağlayan çözüme uygun çözüm denir. En iyi çözüm: Amaç fonksiyonuna en iyi değeri (en küçük veya en büyük) sağlayan uygun çözüme en iyi çözüm denir. Doç. Dr. Murat ATAN 34

35 Doğrusal Programlama Grafik Çözüm Yönteminin Aşamaları Bir doğrusal programlama probleminin grafik çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Değişkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikey eksenlerine yerleştirilmesi, 2. Kısıtlayıcı fonksiyonların grafiğinin çizilmesi, 3. Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi, 4. En iyi çözümün araştırılması. Doç. Dr. Murat ATAN 35

36 Doğrusal Programlama Örnek 1 Amaç fonksiyonu: Z enb = 6x 1 + 8x 2 Kısıtlayıcı fonksiyonları: 7x 1 + 3x 2 <= 21 (1) 6x 1 + 7x 2 <= 42 (2) x 1 <= 3 (3) x 2 <= 4 (4) Negatif olmama koşulu: x 1, x 2 >= 0 olarak verilen doğrusal programlama problemininin en iyi çözümünü grafik çözüm yöntemiyle bulunuz. Doç. Dr. Murat ATAN 36

37 Doğrusal Programlama Örnek 1 x 1 değişkenini yatay, x 2 değişkenini dikey eksen üzerinde gösterelim. Negatif olmama (x 1 0, x 2 0) koşulundan dolayı uygun çözümler x 1 x 2 düzleminin birinci bölgesinde bulunacaktır. Kısıtlayıcı fonksiyonların oluşturduğu sınır, bu bölgeyi (x 1 0, x 2 0) iki kısma ayırır. Bölgelerden biri negatitif olmama koşulu dahil tüm kısıtlayıcıları sağlarken, diğeri yalnızca negatif olmama koşulunu sağlayan noktalardan oluşur. Çözüm bölgesini belirlemek için kısıtlayıcı fonksiyonları sırasıyla ele alalım ve kendilerine karşılık gelen doğruların x ve y eksenlerini kestikleri noktaların koordinatlarını belirleyelim. Koordinat belirleme ilgili tüm işlemler aşağıda verilmiştir. (1) 7x 1 + 3x 2 = 21 eşitliğinde, x 1 = 0 için x 2 = 7, x 2 = 0 için x 1 = 3 olur. (2) 6x 1 + 7x 2 = 42 eşitliğinde, x 1 = 0 için x 2 = 6, x 2 = 0 için x 1 = 8 olur. (3) x 1 = 3 eşitliği, yatay ekseni (3, 0) noktasında kesen ve dikey eksene paralel olan bir doğru tanımlar. (4) x 2 = 4 eşitliği, dikey ekseni (0, 4) noktasında kesen ve yatay eksene paralel doğru denklemidir. Doç. Dr. Murat ATAN 37

38 Doğrusal Programlama Örnek 1 Bu belirlemelerden sonra kısıtlayıcı fonksiyonlarla ilgili doğruları çizebiliriz. Sayıları dört olan kısıtlayıcı fonksiyonların her biri için bir doğru çizilmesi ve eşitsizliklerin yönlerinin dikkate alınmasıyla uygun çözüm bölgesi Şekil 1 deki taralı alan olarak belirir. x 2 7 x 1 = A B x 2 = O U y g u n Ç ö z ü m B ö l g e s i 7 x x 2 = 2 1 C x x 2 = x 1 Şekil 1 Örnek 1 in Gösterimi Şekil 1 deki taralı alanın içindeki (koyu renk çizilmiş sınırları dahil) tüm noktalar kısıtlayıcıları aynı anda sağladığından, OABC dörtgeni uygun çözüm bölgesidir. Bu alan içindeki sınırsız sayıdaki noktaların her biri uygun çözüm olarak nitelendirilir. Şekilden görüldüğü gibi 6x 1 + 7x 2 42 kısıtı olsa da olmasa da uygun çözüm bölgesi OABC alanı olacaktır. Çözüm bölgesini etkilemeksizin modelden çıkartılabilen bu tür kısıtlayıcılara gereksiz (fazlalık) kısıtlayıcılar denir. x 1 3 kısıtının da gereksiz olduğu görülebilir. Taralı alanın içinde ve sınırları üzerindeki tüm noktalar bütün kısıtlayıcı fonksiyonları (negatif olmama koşulu dahil) sağladığından uygun çözüm bölgesi bir konveks (dış bükey) alan olarak ortaya çıkar. Geometrik olarak konveks alan kenarlarında çukurlaşmalar olmayan ve içinde delikler bulunmayan bir alandır. Bu alanın A, B gibi herhangi iki noktası göz önüne alındığında AB doğru parçasının tamamı alan içinde kalır. Doç. Dr. Murat ATAN 38

39 Doğrusal Programlama Örnek 2 Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Z enb = x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 8 x 1 + 2x 2 8 x 2 3 x 1, x 2 0 Doç. Dr. Murat ATAN 39

40 Doğrusal Programlama Örnek 2 Doğruların çizilmesiyle ilgili aritmetik işlemler aşağıda topluca gösterilmiştir. x 1 + x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 8, x 2 = 0 için x 1 = 8 bulunur. x 1 + 2x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 4, x 2 = 0 için x 1 = 8 bulunur. Şekilden görüldüğü gibi, uygun çözüm bölgesi ABCD konveks kümesidir. Bu bölgenin uç noktalarından en az bir tanesi amaç fonksiyonu değerini en büyükleyecektir. Z = 6, Z = 12 ve Z = 18 eş kâr doğruları Şekil 2 da kesikli çizgi ile gösterilmişlerdir. Z = 18 için çizilen eş kâr doğrusu incelendiğinde, bu doğrunun yukarısında tek bir uç noktanın (B) bulunduğu görülebilir. Bu durumda problemin en iyi çözümünün bu noktada ortaya çıkacağını söylemek kehanet olmaz. Z = 2 4 x 2 Z = 1 8 Z = 1 2 Z = B A U y g u n Ç ö z ü m B ö l g e s i D x x 2 = 8 x 1 + x 2 = 8 C x 2 = Şekil 2 Doç. Dr. Murat ATAN 40 Örnek 2 in Uygun Çözüm Bölgesi ve Eş Kâr Doğruları x 1

41 Simpleks Çözüm Yöntemi Simpleks çözüm yöntemi, amaç fonksiyonunu Enbüyük veya Enküçük yapacak eniyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir uç noktasından başlanarak optimuma daha yakın bir ikincisine, oradan da bir üçüncüsüne.. şeklinde atlayarak en iyi çözümü veren uç noktaya ulaşmamızı sağlar. Simpleks yöntemi, problemin matematiksel olarak belirtilmesini zorunlu kılar. Bu nedenle kısıtlayıcıların eşitsizlikler veya eşitlik, amaç fonksiyonunun da doğrusal bir fonksiyon halinde matematiksel olarak ifade edilmesi gerekir. Doç. Dr. Murat ATAN 41

42 Simpleks Çözüm Yönteminde Kullanılan Değişkenler Simpleks yöntemi, problemlerin çözümünde uygulanırken, eşitsizlik sistemi eşitlik haline dönüştürülür. Bunun içinde aylak/yapay (Slack) değişkenlerin eklenmesi veya çıkarılması gereklidir. Aylak değişkenlerin kısıtlayıcılarda katsayıları 1 dir. Amaç fonksiyonunu etkilememeleri için bu değişkenlerin amaç fonksiyonunda katsayıları 0 dır. Bu nedenle amaç fonksiyonunda gösterilmezler. Aylak değişkenler diğer değişkenler gibi çözüme girer, fakat bunların değerleri, kullanılmayan kapasiteleri ve hammaddelerin miktarlarını gösterir. Doç. Dr. Murat ATAN 42

43 Simpleks Çözüm Yönteminde Kullanılan Değişkenler Eşitsizlik halinde verilmiş olan kısıtların eşitsizliğinin yönü (veya işareti) bakımından iki türlüdür. Bunlar; a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n b 1 (1) veya a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n b 1 dir. (2) (1) Eşitsizlik eşitlik haline dönüştürülmek istenirse eşitsizliğin sol tarafına bir aylak değişken ilave edilir. a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n + X n+1 = b 1 (2) Eşitsizlik eşitlik haline dönüştürülmek istenirse eşitsizliğin sol tarafından bir aylak değişken çıkartılır. a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n - X n+1 = b 1 Doç. Dr. Murat ATAN 43

44 Simpleks Çözüm Yönteminde Kullanılan Değişkenler Bazı kısıtlayıcılar bu iki türün dışında eşitlik halinde de verilir. Örneğin; a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n = b 1 Eşitlik halindeki kısıtlayıcılar problemin çözümünde zorluklar çıkarır. Çünkü kıt kaynakların tümünün kullanılması genellikle istenmez. Buna rağmen kullanılırsa, bunlara Artık (Boş) değişken ilave edilir. Bu değişkenler son çözüm tablosunda bulunmazlar. Son çözüm tablosunda bu değişkenlerin bulunmaması için, yani çözüm dışı bırakılmaları için bunların amaç fonksiyonundaki katsayıları, Enküçükleme problemlerinde pozitif, Enbüyükleme problemlerinde ise negatif değerli olan ve amaç fonksiyonundaki değişkenlerin katsayılarından büyük bir sayı olmalıdır. Doç. Dr. Murat ATAN 44

45 Simpleks Tablosu Eşitlik haline dönüştürülen eşitsizler aşağıdaki simpleks tablosuna yerleştirilir. Kar (Maliyet) Katsayıları C j Temel Değişken Vektörü Z j Değeri C j - Z j Değeri "Net Değer" Katsayılar Matrisi Birim Matris Çözüm Vektörü Doç. Dr. Murat ATAN 45

46 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 1: Bisiklet imal eden bir şirket piyasaya çocukların yaz aylarında tatilde binebilmesi için iki farklı (X 1, X 2 ) modelde bisiklet imal etmeyi planlamaktadır. Şirket bu iki imalatı iki ayrı işlemin yapıldığı A ve B atölyelerinde gerçekleştirmektedir. Atölyelerin en fazla çalışma saatleri sırasıyla; A atölyesinin 20 saat, B atölyenin 180 saattir. X 1 model bisiklet imali için A atölyesinde 6 saat ve B atölyesinde 3 saat X 2 model bisiklet imali için A atölyesinde 4 saat ve B atölyesinde 10 saat işlem süresine gereksinim vardır. X 1 ve X 2 model bisikletin firmaya bırakacağı kar sırasıyla 45 TL ve 55 TL dir. Yönetici hangi bisikletten ne kadar üretmelidir ki karı en büyük olsun. Bu doğrusal programlama problemini simpleks yöntemi ile çözünüz. Doç. Dr. Murat ATAN 46

47 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 1: İlk aşamada problemin matematiksel modeli oluşturulmalıdır. Buna göre; Amaç Fonksiyonu : Z enb = 45X X 2 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 6X 1 + 4X X X Negatif Olmama Koşulu : X 1 ve X 2 0 Problemde kısıtlayıcıları eşitlik haline dönüştürmek için aylak değişkenler kullanılacaktır. Eşitsizliğin işareti olduğu için aylak değişkenler eşitsizliğin sol tarafına ilave edilir. Buna göre; Amaç fonksiyonu : 45X X 2 + 0X 3 + 0X 4 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 6X 1 + 4X 2 + X 3 = 120 ve 3X X 2 + X 4 = 180 olur. 1. Eşitlik haline dönüştürülen eşitsizliklerdeki bilinmeyenlerin katsayıları simpleks tablosuna yerleştirilir. Doç. Dr. Murat ATAN 47

48 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 1: Başlangıç Simpleks Tablosu Kar C j Çözüm (Maliyet) Temel Değişken Vektörü Katsayıları X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 (ÇV) 0 X X Z j Değeri C j - Z j Değeri Tablodaki Z j satırının hesabı: Kar katsayıları ile X 1, X 2, X 3 ve X 4 ile çözüm vektöründeki sayılar birebir çarpılarak alt alta toplanır. Şöyle ki; 0 x 6 = 0 0 x 4 = 0 0 x 1 = x 120 = 0 0 x 3 = 0 0 x 10 = 0 0 x 0 = x 180 = Doç. Dr. Murat ATAN 48

49 Simpleks Çözüm Yöntemi Tablodaki C j - Z j satırının hesabı: Hesap ettiğimiz Z j satırındaki değerler C j satırındaki öğelerden çıkarılır ve sonuç C j Z j satırına yazılır = = = = 0 2. Enbüyükleme problemlerinde, kuram gereğince tablodaki (C j Z j ) satırındaki pozitif işaretli katsayılar arasından enbüyüğü saptanır ve simpleks tablosuna bu değerin bulunduğu sütundan girilir. [Örneğimizde en büyük sayı 55 dir. ] Bu sütuna ANAHTAR SÜTUN denilir. Anahtar sütun temel değişken vektörüne hangi değişkenin gireceğini saptar. [Örneğimizde X 2 değişkeni temel değişken vektörüne girecektir. ] 3. Enküçükleme problemlerinde kuram gereğince tablodaki (C j Z j ) satırındaki negatif işaretli katsayılar arasından enküçüğü saptanır ve simpleks tablosuna bu değerin bulunduğu sütundan girilir. Bu sütuna da Anahtar Sütun denir. Doç. Dr. Murat ATAN 49

50 Simpleks Çözüm Yöntemi 4. Yine kuram gereğince çözüm vektörünün öğeleri birebir olmak koşuluyla, anahtar sütundaki öğelere bölünür. [Örneğimizde, anahtar sütunun öğeleri 55 değerinin bulunduğu sütunun öğeleridir.] Elde edilen oranlar arasından (bölüm sonuçları) En küçük olan değer seçilir. [Negatif değerler göz önüne alınmaz.] Örneğimizde en küçük değer 180 / 10 = 18 dir. Bu en küçük değerin bulunduğu satıra ANAHTAR SATIR denilir. Anahtar satır temel değişken vektöründen hangi değişkenin çıkacağını gösterir. [Örneğimizde X 4 değişkeni, temel değişken vektöründen çıkacak ve yerine X 2 değişkeni girecektir. X 2 değişkeninin çözüm vektöründeki değeri ise 18 olur. 5. Anahtar sayı bulunur. Bu sayı, anahtar sütun ile anahtar satırın kesiştiği hücredeki sayıdır. [Örneğimizde bu sayı 10 dur.] 6. Temel değişken vektörüne yeni giren ve çıkan değişkenlere göre simpleks tablosu yeniden düzenlenir. Doç. Dr. Murat ATAN 50

51 Simpleks Çözüm Yöntemi C Kar j Çözüm Vektörü Katsayıları Temel Değişken X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 (ÇV) Oranlar 0 X / 4 = 30 0 X / 10 = 18 Z j Değeri C j - Z j Değeri Anahtar Satır Anahtar Sütun Anahtar Sayı Anahtar sayının bulunduğu satırdaki öğeler anahtar sayıya bölünür. Böylece temel değişken vektörünün yeni öğesi olan X 2 nin yeni öğeleri bulunur. Doç. Dr. Murat ATAN 51

52 Simpleks Çözüm Yöntemi X 2 (X 4 ) : [ X 4 ün çıkıp X 2 in gireceğini ifade eder. ] 3/10 10/10 0/10 1/10 180/10 0, ,1 18 X 2 in yeni öğeleri Diğer satırların yeni öğeleri X 3 ve C j Z j aşağıdaki formülle bulunur. Bu formülasyona göre X 3 ve C j Z j satırlarının yeni öğelerini bulalım. X 3 C j - Z J 6 4 (3/10) = 24 / (3/10) = 285 / (10/10) = (10/10) = (0/10) = (0/10) = (1/10) = -2 / (1/10) = -55 / (180/10) = (180/10) = -990 Doç. Dr. Murat ATAN 52

53 Elde edilen yeni (birinci) simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. C Kar j Çözüm Vektörü Katsayıları Temel Değişken X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 (ÇV) 0 X 3 24/ / X 2 3/ /10 18 C j - Z j Değeri 285/ / Matematiksel işlemlerden sonra kurulan simpleks tablosunda enbüyükleme problemlerinde eğer C j - Z j satırında bulunan bütün öğeler sıfır veya negatif işaretli iseler eniyi çözüme ulaşılmıştır denir. Çözüm vektöründeki öğeler eniyi çözümü verir. [Örneğimizde eniyi çözüme ulaşılmamıştır. ] C j - Z j satırındaki sıfır veya negatif işaretli değilse [Örneğimizde olduğu gibi] yukarıdaki işlemler (2) nolu işlemden başlanarak tekrarlanır. C j - Z j satırındaki öğeler sıfır veya negatif işaretli olana dek yinelenir. Doç. Dr. Murat ATAN 53

54 Matematiksel işlemlerden sonra kurulan simpleks tablosunda enküçükleme problemlerinde ise C j - Z j satırında bulunan bütün öğeler sıfır veya pozitif işaretli iseler eniyi çözüme ulaşılmıştır denir. Çözüm vektöründeki öğeler eniyi çözümü verir. Fakat C j - Z j satırındaki sıfır veya pozitif işaretli değilse yukarıdaki işlemler (2) nolu işlemden başlanarak tekrarlanır. C j - Z j satırındaki öğeler sıfır veya pozitif işaretli olana dek yinelenir. Örneğimizdeki simpleks tablomuzda C j - Z j satırındaki öğelerin hepsi sıfır veya negatif işaretli olmadığından, çözüme (2) adımdan başlanarak devam edilecektir. C j - Z j satırındaki pozitif işaretli enbüyük değerden tabloya gireceğiz. Örneğimizde bu değer 285/10 dur. Doç. Dr. Murat ATAN 54

55 C Kar j Katsayıları Temel Değişken X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 ÇV Oranlar 0 X 3 24/ / /(24/5) = X 2 3/ / /(3/10) = 60 C j - Z j Değeri 285/ / Anahtar Satır Anahtar Sütun Anahtar Sayı X 1 (X 3 ) : [ X 3 ün çıkıp X 1 in gireceğini ifade eder. ] (24/5)/(24/5) 0/(24/5) 1/(24/5) (-2/5)/(24/5) 48/(24/5) 1 0 5/24-1/12 10 X 1 in yeni öğeleri Doç. Dr. Murat ATAN 55

56 Simpleks Çözüm Yöntemi X 2 ve C j Z j satırların yeni öğeleri formülle bulunur. X 2 C j - Z J 3/10 (3/10) 1 = 0 285/10 (285 /10) (1) = 0 1 (3/10) 0 = 1 0 (285 /10) (0) = 0 0 (3/10) (5/24) = -1/16 0 (285 /10) (5/24) = -285/48 1/10 (3/10) (-1/12) = 5/ 40-55/10 (285 /10) (-1/12) = -375 / (3/10) 10 = (285/ 10) (10) = C Kar j Çözüm Vektörü Katsayıları Temel Değişken X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 (ÇV) 45 X /24-1/ X /16 5/40 15 C j - Z j Değeri /48-375/ C j Z j satırlarının öğeleri sıfır veya negatif işaretli olduğundan eniyi (optimum) çözüme ulaşılmıştır. Doç. Dr. Murat ATAN 56

57 Eğer bisiklet imal eden firmanın yöneticisi simpleks çözüm sonuçlarının (son çözüm tablosu) çözüm vektörüne göre; X 1 türü bisikletten 10 adet ve X 2 türü bisikletten 15 adet imal ederse firmanın karı enbüyük olacaktır. Değerler amaç fonksiyonunda yerine konacak olursa bu durumda elde edilecek kar; Z enb = 45(10) + 55(15) = = 1275 TL olarak saptanır. Bu değer C j - Z j satırındaki negatif olarak gösterilen değerdir. Doç. Dr. Murat ATAN 57

58 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 2: Amaç fonksiyonunun en küçük olması hali Amaç Fonksiyonu : Z enk = 15X X 2 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 3X 1 + 6X X X 2 54 Negatif Olmama Koşulu : X 1 ve X 2 0 Eşitsizliğin işareti olduğu için aylak değişkenler eşitsizliğin sol tarafından çıkartılır.buna göre; Amaç fonksiyonu : 15X X 2 + 0X 3 + 0X 4 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 3X 1 + 6X 2 - X 3 = 42 ve 6X 1 + 2X 2 - X 4 = 54 olur. 1. Eşitlik haline dönüştürülen eşitsizliklerdeki bilinmeyenlerin katsayıları simpleks tablosuna yerleştirilir. Doç. Dr. Murat ATAN 58

59 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 2: Başlangıç Simpleks Tablosu C Maliyet j Çözüm Vektörü Katsayıları Temel Değişken X Vektörü (TDV) 1 X 2 X 3 X 4 (ÇV) 0 X X Z j Değeri C j - Z j Değeri Tablodaki Z j satırının hesabı: Kar katsayıları ile X 1, X 2, X 3 ve X 4 ile çözüm vektöründeki sayılar birebir çarpılarak alt alta toplanır. Şöyle ki; 0 x 6 = 0 0 x 4 = 0 0 x 1 = x 120 = 0 0 x 3 = 0 0 x 10 = 0 0 x 0 = x 180 = Doç. Dr. Murat ATAN 59

60 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 2: Amaç Fonksiyonu : Z enk = 15X X 2 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 3X 1 + 6X X 1 + 2X 2 54 Negatif Olmama Koşulu : X 1 ve X 2 0 Problemde kısıtlayıcıları eşitlik haline dönüştürmek için aylak değişkenler kullanılacaktır. Eşitsizliğin işareti olduğu için aylak değişkenler eşitsizliğin sol tarafından çıkarılır. Buna göre; Amaç fonksiyonu : 15X X 2 + 0X 3 + 0X 4 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 3X 1 + 6X 2 - X 3 = 42 ve 6X 1 + 2X 2 - X 4 = 54 olur. Yukarıdaki kısıtlarda simpleks çözümü yapabilmek için bir birim matris oluşturabilmek amacıyla artık/boş değişkenlere ihtiyaç vardır. S 1 ve S 2 boş değişkenleri göstermek üzere, Doç. Dr. Murat ATAN 60

61 Simpleks Çözüm Yöntemi Amaç fonksiyonu : 15X X 2 100S S 2 + 0X 3 + 0X 4 Kısıtlayıcı fonksiyonlar : 3X 1 + 6X 2 + S 1 - X 3 = 42 ve 6X 1 + 2X 2 + S 2 - X 4 = 54 olur. Amaç fonksiyonunda ve kısıtlayıcı koşullarda kullanılan boş değişkenler çözüme girmezler yani çözüm dışı kalırlar. Bunun için boş değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayıları, asıl karar değişkenlerinin (X 1, X 2 ) katsayılarından daha büyük katsayılardır. Böylece fazla masraf yaratan değişkenler haline dönüştürülen boş değişkenler, amaç en az masrafı yaratmak olduğundan çözüm dışı kalır. Çözümde yapay değişken bulunursa çözüm uygun değildir veya kısıtlayıcı koşullar çelişiktir ve çözüm yoktur denilir. Örneğimizde; amaç fonksiyonunda asıl karar değişkenlerinin katsayıları X 1 için 15 ve X 2 için 25 dir. Bu nedenle boş değişkenlerin katsayıları 50 veya 100 vb. bir değer alabilir. Örnekte 100 alınmıştır. Doç. Dr. Murat ATAN 61

62 Simpleks Çözüm Yöntemi Örnek 2: Başlangıç Simpleks Tablosu Maliyet C j Çözüm Vektörü Katsayıları (TDV) X 1 X 2 S 1 S 2 X 3 X 4 (ÇV) 100 S S Z j Değeri C j - Z j Değeri Tablodaki Z j satırının hesabı: Kar katsayıları ile X 1, X 2, S 1, S 2, X 3 ve X 4 ile çözüm vektöründeki sayılar birebir çarpılarak alt alta toplanır. 100 x 3 = x 6 = x 42 = x 6 = x 2 = x 54 = Doç. Dr. Murat ATAN 62

63 Simpleks Çözüm Yöntemi Maliyet C j Çözüm Vektörü Katsayıları (TDV) X 1 X 2 S 1 S 2 X 3 X 4 (ÇV) 100 S S Z j Değeri C j - Z j Değeri Anahtar Sütun Anahtar Sayı Anahtar Satır Anahtar sayının bulunduğu satırdaki öğeler anahtar sayıya bölünür. Böylece temel değişken vektörünün yeni öğesi olan S 2 nin yeni öğeleri bulunur. Doç. Dr. Murat ATAN 63

64 Simpleks Çözüm Yöntemi X 1 (S 2 ) : [ S 2 ün çıkıp X 1 in gireceğini ifade eder. ] 6/6 2/6 0/6 1/6 0/6-1/6 54/6 1 1/3 0 1/6 0-1/6 9 X 1 in yeni öğeleri S 1 ve C j Z j satırlarının yeni öğelerini bulalım. S 1 C j - Z J 3 3 (1) = ( 885) (1) = 0 6 3(1/3) = ( 885) (1/3) = (0) = 1 0 ( 885) (0) = (1/6) = 1/2 0 ( 885) (1/6) = 885/6 1 3(0) = ( 885) (0) = ( 1/6) = 1/2 100 ( 885) ( 1/6) = 285/6 42 3(9) = ( 885) (9) = 1635 Doç. Dr. Murat ATAN 64

65 Simpleks Çözüm Yöntemi Elde edilen yeni (birinci) simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. Maliyet C j Çözüm Vektörü Katsayıları (TDV) X 1 X 2 S 1 S 2 X 3 X 4 (ÇV) 100 S /2-1 1/ X 1 1 1/3 0 1/6 0-1/6 9 C j - Z j Değeri / / Anahtar Satır Anahtar Sütun Anahtar Sayı X 2 (S 1 ) : [ S 1 ün çıkıp X 2 in gireceğini ifade eder. ] 0/5 5/5 1/5 (-1/2)/5-1/5 (1/2)/5 15/ /5-1/10-1/5 1/10 3 X 2 in yeni öğeleri Doç. Dr. Murat ATAN 65

66 Simpleks Çözüm Yöntemi X 1 ve C j Z j satırlarının yeni öğelerini bulalım. X 1 C j - Z J 1 1/3 (0) = 1 0 ( 480) (0) = 0 1/3 1/3(1) = ( 480) (1) = 0 0 1/3 (1/5) = 1/15 0 ( 480) (1/5) = 96 1/6 1/3 ( 1/10) = 1/5 885/6 ( 480) (-1/10) = 597/6 0 1/3( 1/5) = 1/ ( 480) ( 1/5) = 4 1/6 1/3(1/10) = 1/5 285/6 ( 480) (1/10) = 3/6 9 1/3(3) = ( 480) (3) = 195 Doç. Dr. Murat ATAN 66

67 Simpleks Çözüm Yöntemi Elde edilen yeni (birinci) simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. Maliyet C j Çözüm Vektörü Katsayıları (TDV) X 1 X 2 S 1 S 2 X 3 X 4 (ÇV) 25 X /5-1/10-1/5 1/ X /15 1/5 1/15-1/5 8 C j - Z j Değeri /6 4 3/6-195 C j Z j satırlarının öğeleri sıfır veya pozitif işaretli olduğundan eniyi (optimum) çözüme ulaşılmıştır. (son çözüm tablosu) çözüm vektörüne göre; X 1 = 8 ve X 2 = 3 olursa Z enküçük olacaktır. Z enk = 15(8) + 25(3) = = 185 TL olarak saptanır. Bu değer C j - Z j satırındaki negatif olarak gösterilen değerdir. Doç. Dr. Murat ATAN 67

68 Simpleks Çözüm Yöntemi Yapay değişkenler ile boş değişkenler arasındaki ilişkiler 1 Aynı eşitlikte kullanılan yapay değişken ile boş değişken arasında S 1 = 1/5 ; X 3 = -1/5 ve S 2-1/10 ; X 4 = 1/10 ilişkisi vardır. Yani çözümün her safhasında yani her simpleks tablosunda yapay değişken ile boş değişkenin katsayısı mutlak değerce eşit olup, ters işaretlidir. 2 Çözüm matrisinde, yani optimum çözüme ulaşılan simpleks tablosunda veya problemin her safhasında C j Z j satırlarında aynı eşitlikte kullanılan yapay ve boş değişkene ilişkin katsayıların toplamı, bize yapay değişkenin amaç fonksiyonundaki katsayısını verir. S 1 = 96 ; X 3 = 4 Bu ikisinin toplamı S 1 + X 3 = = 100 olur. Buda amaç fonksiyonundaki S 1 değişkeninin katsayısına eşittir. Aynı şekilde S 2 = 597/6 ; X 4 = 3/6 olur. Yani S 2 + X 4 = 597/6 + 3/6 = 100 olur. Buda amaç fonksiyonundaki S 2 değişkeninin katsayısına eşittir. Doç. Dr. Murat ATAN 68

69 Simpleks Çözüm Yönteminde Karşılaşılan Problemler Simpleks çözüm yönteminde anahtar satırın sütunun seçiminde Enbüyükleme problemlerinde (C j Z j ) satırındaki pozitif işaretli katsayılar arasından enbüyüğü veya Enküçükleme problemlerinde (C j Z j ) satırındaki negatif işaretli katsayılar arasından enküçüğü seçilmekte idi. Eğer bu seçim sırasında bir eşitlik durumu söz konusu olursa bu durumda anahtar sütun seçiminde bir belirsizlik doğar. Aynı şekilde çözüm vektörünün öğeleri birebir olmak koşuluyla, anahtar sütundaki öğelere bölünmesi ile oluşturulan oranlar içinden en küçük olan değer seçilmesi ile anahtar satırın belirlenmesi söz konusu idi. Eğer anahtar satırı belirleyecek olan oranlar eşit olursa bu durumda da anahtar satır seçiminde bir belirsizlik doğar. Bu durumlara bozulma hali denir. Anahtar sütunun elemanlarının hepsi negatif ise anahtar satırı belirlemek için yapılacak oranlama işleminde oran çözümleri negatif olur. Bu durumda anahtar satır belirlenemez. Bu duruma sınırsız çözüm denir. Doç. Dr. Murat ATAN 69

70 Simpleks Çözüm Yönteminde Karşılaşılan Problemler Anahtar sütun seçiminde bozulma hali olması durumunda tesadüfi olarak eşit sütunlardan biri ilk olarak seçilir ve oranlar hesaplanır. Daha sonra diğer sütun seçilmiş gibi davranılır ve yine oranlar hesaplanır. Her iki sütun için hesaplanan tüm oranlar bir arada değerlendirilir ve eiçlerinden enküçük olan seçilir. En küçük oranı veren sütun anahtar sütun olarak kabul edilir. Bozulma halinde hangi satırın anahtar satır olduğunu saptanak için anahtar sütundaki elemanlar birim matrisin ilk sütununda (X 3 yapay değişkeninin olduğu sütun) bulunan elamanlara oranlanır ve eşitliğin bozulup bozulmadığına bakılır. Eğer eşitlik bozuluyorsa en küçük değeri veren satır anahtar satır olarak seçilir. Doç. Dr. Murat ATAN 70

71 EKON 305 Yöneylem Araştırması I Dualite Doç. Dr. Murat ATAN 71

72 Dualite (İkillik) Şu ana kadar incelediğimiz doğrusal programlama problemlerinin çözümünde kullandığımız model türüne Primal Model düzeni denir. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkillik) Modeli elde edilir. Primal ile dual modelde değişken ve kısıtlayıcı sayısının farklı olması, birinin diğerinden daha kolay çözülebilir olmasına yol açar. Dual ve primal modellerin çözümünde her iki modelin amaç fonksiyonlarının eniyi çözümündeki değerleri birbirine eşit olur. Eğer problemlerin herhangi birinde sınırsız çözüme sahipse, diğeri için uygun çözüm bulunamaz. Doç. Dr. Murat ATAN 72

73 Dualite (İkillik) 1. Eğer, primal modelde amaç fonksiyonu enküçükleme ise dual model enbüyükleme olur. Bu ilişkinin tersi de doğrudur. 2. Primal modeldeki değişkenlerin (yani X i ler) katsayıların oluşturduğu matrisin çevriği alınır. Çevrik matrisin öğeleride dual modelin değişkenlerinin (Yani Y i ler) katsayıları olur. Tersi de doğrudur. 3. Primal modeldeki amaç fonksiyonlarının katsayıları (yani c i leri), dual modelin eşitsizlklerinin sağ tarfındaki b i katsayılarını oluşturur. Tersi de doğrudur. 4. Primal modeldeki eşitsizliklerin sağ tarafında bulunan b i sabitleri dual modelde amaç fonksiyonunun katsayıları (yani c i leri) olur. Tersi de doğrudur. 5. Eşitsizlikler yön değiştiriler. Primal modelde ise dual modelde olur. Tersi de doğrudur. 6. Primal modelde n adet değişken ve m adet kısıtlayıcı bulunursa, dual modelde m adet değişken ve n adet kısıtlayıcı bulunur. 7. Her iki modelde de değişkenler nagatif olamaz. X i 0 ve Y i 0 8. Primal modelde eniyi çözümü veren simpleks tablosundaki aylak değişkenlerin C j Z j satırlarındaki mutlak değerleri, dual modelde en iyi çözüm tablosundaki, çözüm vektörünün değerlerini Doç. Dr. Murat ATAN verir. Tersi de doğrudur. 73

74 Dualite (İkillik) Primal model ve dual modelinin matematiksel gösterimi Amaç Fonksiyon Z enk =c 1 X 1 + c 2 X c n X n Kısıtlayıcı fonksiyonlar a 11 X 1 +a 12 X a 1n X n b 1 a 21 X 1 +a 22 X a 2n X n b 2 Primal Model a m1 X 1 +a m2 X a mn X n Negatif Olmama Koşulu X 1, X 2,..., X n 0 b m Amaç Fonksiyon Z enb =b 1 Y 1 + b 2 Y b m Y m Kısıtlayıcı fonksiyonlar a 11 Y 1 + a 21 Y a m1 Y m c 1 a 12 Y 1 + a 22 Y a m2 Y m c 2 Dual Model a 1n Y 1 + a 2n Y a mn Y m c n Negatif Olmama Koşulu Y 1, Y 2,...,Y n 0 Doç. Dr. Murat ATAN 74

75 Dualite (İkillik) Örnek 1: Amaç Fonksiyon Z enk =4X 1 + 3X 2 +8X 3 Kısıtlayıcı fonksiyonlar X 1 + 3X 3 2 X 2 + 2X 3 5 Negatif Olmama Koşulu X 1, X 2, X 3 0 Primal Model Amaç Fonksiyon Z enb = 2Y 1 + 5Y 2 Kısıtlayıcı fonksiyonlar Y 1 4 Y 2 3 Y 1 + 2Y 2 8 Negatif Olmama Koşulu Y 1, Y 2 0 Dual Model Doç. Dr. Murat ATAN 75

76 EKON 305 Yöneylem Araştırması I Ulaştırma Modeli Doç. Dr. Murat ATAN 76

77 Ulaştırma Problemi (Tarihçe ve Tanım) Doğrusal programlama probleminin özel bir biçimi olan ulaştırma problemi ve çözümü ilk olarak 1941 yılında Frank L. Hitchcock tarafından önerilmiş, Tjalling C. Koopmans (1947) tarafından geliştirilmiştir. Konu ile ilgili asıl gelişme simpleks yöntemin ulaştırma problemlerine uygulanmasından sonra olmuştur. Ulaştırma probleminin doğrusal programlama problemi biçiminde modellenmesi ve simpleks yöntemle çözülmesi ilk olarak Dantzig tarafından gerçekleştirilmiştir. İkinci Dünya Savası sırasında Amerika Birleşik Devletleri nin askeri faaliyetlerini planlamak amacıyla uygulanan ulaştırma modeli, savaştan sonra da endüstride ulaşım, mal ve hizmet dağıtımının planlanması, isletmelerin kuruluş yeri seçimi, personelin ise yerleştirilmesi gibi hem iktisadi hem de sosyal problemlerin çözümünde yaygın biçimde kullanılmaya başlanmıştır. Modelde malların kaynaklardan (fabrika gibi) hedeflere (depo) gibi taşınmasıyla ilgilenilir. Amaç; bir taraftan hedefin talep gereksinimleri ile kaynakların arz miktarlarında denge sağlarken, diğer taraftan her bir kaynaktan her bir hedefe yapılan taşımaların toplam maliyetini minimum kılacak şekilde taşıma miktarını belirlemektir. Doç. Dr. Murat ATAN 77

78 Ulaştırma Problemi (Varsayımlar) DP modellerinin varsayımlarına ek olarak, 1. Probleme konu olan mal ve hizmetlerin aynı birimle açıklanmaları, yani homojen olmaları gerekir. Bu koşula homojenlik koşulu denir. 2. Belirli sayıdaki sunum merkezinde dağıtılmak üzere bekleyen mal miktarları ile belirli sayıdaki istem merkezlerinin bu mala olan istem miktarlarının kesin olarak bilinmesi gerekir. Ayrıca sunum miktarları toplamı ile istem miktarları toplamı eşit olmalı veya bu eşitlik kuramsal olarak sağlanmalıdır. Toplam istem ile toplam sunumun eşitliğini ileri süren bu koşula tutarlılık koşulu denir. Tutarlılık koşulunun sağlandığı ulaştırma problemlerinin dengeli veya standart oldukları kabul edilir. 3. Sunum merkezleri ile istem merkezleri arasında aktarma yapılması söz konusu değildir. Bu, malların sunum merkezlerinden istem merkezlerine doğrudan taşınması demektir. Bazı durumlarda malın, bulunduğu kaynak noktalarından aktarılacağı esas noktalara doğrudan taşınması ekonomik olmayabilir. Dağıtım işleminde, malların önce bazı transfer noktalarına daha sonra esas istem merkezlerine nakledilmesi daha ekonomik olabilir. Bu tip ulaştırma problemlerine aktarmalı veya konaklamalı ulaştırma problemi denir. Doç. Dr. Murat ATAN 78

79 Ulaştırma Problemi (Varsayımlar) 4. Herhangi bir sunum merkezinden herhangi bir istem merkezine bir birim mal taşımanın yol açtığı maliyetin sabit olması gerekir. Kısacası, tasıma maliyetleri doğrusal nitelikli amaç fonksiyonunun özelliklerine uymaktadır. Doç. Dr. Murat ATAN 79

80 Ulaştırma Problemi (Matematiksel Yapısı) 1. Amaç Fonksiyonu : Z = c 11 X 11 + c 12 X c 1n X 1n + c 21 X 21 + c 22 X c 2n X 2n + + c m1 X m1 + c m2 X m2 + + c mn X mn 2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar Arz (Sunum) Kısıtları X 11 + X X 1n = a 1 X 21 + X X 2n = a 2.. X m1 + X m X mn = a m Talep (İstem) Kısıtları X 11 + X X m1 = b 1 X 12 + X X m2 = b 2.. X 1n + X 2n + + X mn = b n m = Sunum merkezi sayısı (i = 1, 2,..., m) n = İstem merkezi sayısı (j = 1, 2,..., n) C ij = i sunum merkezinden j istem merkezine bir birim malın taşınması maliyeti X ij = i sunum merkezinden j istem merkezine taşınan mal miktarı a i = i sunum merkezinin sunum miktarı = j istem merkezinin istem miktarı b j 3. Negatif Olmama Koşulu X ij 0 i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n biçiminde açıklanır. Doç. Dr. Murat ATAN 80

81 Ulaştırma Modeli Tablosu Toplam sunumun toplam isteme eşit olmadığı durumdaki ulaştırma modeline dengeli olmayan ulaştırma problemi denir. Ulaştırma problemlerinin çözümü için önerilen özel yöntemlerin uygulanabilmeleri bu eşitliğin sağlanmasına bağlıdır. Doğrusal programlama ilkelerine göre formüle edilen bir ulaştırma problemi, çok sık olarak, hatta her zaman, bir tablo biçiminde sunulur. Ulaştırma modeli tablosu veya kısaca ulaştırma tablosu adı verilen tablo problemle ilgili tüm bilgileri ve malların sunum merkezlerinden istem merkezlerine nasıl taşındığını açıkça göstermektedir. Doç. Dr. Murat ATAN 81

82 Ulaştırma Modeli Örnekleri Örnek 1: Güven AŞ değişik yerlerdeki dört fabrikasında deterjan üretmektedir. Satışlarını değişik bölgelerde bulunan dört ana depo ile sağlayan isletme yönetiminin temel sorunu, deterjanın fabrikalardan satış depolarına ulaşımını sağlarken karşılaştığı yüksek tutarlardaki taşıma giderleridir. Malların fabrikalardan satış depolarına gönderilirken katlanılması gereken birim ulaştırma maliyetleri aşağıdaki gibi belirlenmiştir. Öte yandan, fabrika 1, 2, 3 ve 4 ün aylık üretim kapasiteleri sırasıyla, 50, 200, 150 ve 300 ton dur. Depoların istemleri, depo 1, 2, 3 ve 4 için sırasıyla 150, 75, 175 ve 300 ton olarak belirlenmiştir. Buna göre, a. Problemin dengeli olup olmadığını belirtiniz. b. Ulaştırma tablosunu düzenleyiniz. c. Problemin matematiksel modelini kurunuz. Doç. Dr. Murat ATAN 82

83 Ulaştırma Modeli Örnekleri Örnek 1: a. Problemin dengeli olup olmadığını belirlemek için, tutarlılık koşulunun sağlanıp sağlanmadığının kontrol edilmesi gerekir. Bunun için öncelikle, fabrikaların üretim miktarları toplamı (toplam sunum) ile depoların ihtiyaç duydukları ürün miktarları toplamını (toplam istem) hesaplayalım. Toplam sunum = = 700 ton Toplam istem = = 700 ton İstem - sunum eşitliğinin sağlanması problemin dengeli olduğunu göstermektedir. b. Düzenlenen ulaştırma modeli tablosu aşağıda gösterilmiştir. Doç. Dr. Murat ATAN 83

84 Ulaştırma Modeli Örnekleri Örnek 1: c. Amaç, en küçük toplam ulaştırma maliyetini belirlemek olduğuna göre, X 11 : Fabrika 1 den depo 1 e tasınan deterjan miktarı X 12 : Fabrika 1 den depo 2 ye tasınan deterjan miktarı X 33 : Fabrika 3 den depo 3 e tasınan deterjan miktarı... X 43 : Fabrika 4 den depo 3 e tasınan deterjan miktarı X 44 : Fabrika 4 den depo 4 e tasınan deterjan miktarı olarak tanımlandığında, modelin amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır. Z enk = 3X X X X X X X X X X X X X X X X 44 Doç. Dr. Murat ATAN 84

85 Ulaştırma Modeli Örnekleri Örnek 1: c. Amaç, en küçük toplam ulaştırma maliyetini belirlemek olduğuna göre, X 11 : Fabrika 1 den depo 1 e tasınan deterjan miktarı X 12 : Fabrika 1 den depo 2 ye tasınan deterjan miktarı X 33 : Fabrika 3 den depo 3 e tasınan deterjan miktarı... X 43 : Fabrika 4 den depo 3 e tasınan deterjan miktarı X 44 : Fabrika 4 den depo 4 e tasınan deterjan miktarı olarak tanımlandığında, modelin amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır. Z enk = 3X X X X X X X X X X X X X X X X 44 Doç. Dr. Murat ATAN 85