4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

Transkript

1 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise; Z ` A d F ` F F ` değerine, () onksiyonunun [,] rlığınd elirli integrli denir. Geometrik olrk elirli integrl, elirtilen rlıkt, onksiyon eğrisi ile koordint ekseni rsındki kln lndır. y () Aln I Z ` A d Aln I Z ` y A dy

2 İntegrli kolylıkl hesplnilen eğriler; y Diktörtgen lnı; ` I 3A 2 6 Anlitik Q Aln I Z 2 3 d e 4 ` 3 A d 3 A 2 3 4@ 2 6 y Ymuk lnı (()=/2); I ` 1 ` A h 2 A d e Anlitik Q Aln I Z 11 A d A A ` A İntegrl Uygulmlrı ; 1. Eğri ltınd kln lnı ulmk, 2. İki eğri rsınd kln lnı ulmk, Aln I Z g ` A d

3 3. Bir eğrinin vey y ekseni etrınd 360 o döndürülmesi ile oluşn kplı ölgenin hcmini ulmk, y () Hcim Z 2 A dy Hcim Z y 2 A d Elektrik Mühendisliğinde kullnıln zı integrl uygulmlrı; 1. Ortlm değer hesı; ort 1 T A Z T ` A d 0 2. Etkin değer hesı; T 2 et 1 A Z T 0 2 ` A d 3. Fourier serilerinin hesınd.

4 Yüksek dereceli polinomlrd vey krmşık onksiyonlrın elirli integrllerinin hesınd, eğri ile koordint ekseni rsınd kln lnın hesı zordur. Bu lnlr ilinen geometrik şekillerin lnlrı kullnılrk, yklşık olrk hesplnilir. Yni eğri ile koordint ekseni rsınd kln ln dh küçük ve ilinen geometrik şekillere ölünerek elde edilen lnlr toplnrk hesplnilir. Syısl Yöntemler; 1. Dikdörtgenler yöntemi İntegrli ulunck eğri ilgili rlıkt küçük dikdörtgenlere ölünür, u dikdörtgenlerin lnlrı toplnrk yklşık sonuç ulunur. 1.) Sol toplmlr [,] rlığı n prçy ölünür. Adım dir. i=0,1,2,..,n-1 için i+1=i+h n I Z ` A d I 1 I 2 I 3 ` ` I 1 0 A 0 ` ` I 2 1 A 1 ` ` I 3 2 A 2 ` h A 0 ` h A 1 ` h A 2 1.) Sğ toplmlr Genel hli Q I Z ` 1B A d t h AX i 0 ` i C [,] rlığı n prçy ölünür. Adım dir. i=1,2,..,n için i+1=i+h n I Z ` A d I 1 I 2 I 3 ` ` I 1 1 A 0 ` ` I 2 2 A 1 ` ` I 3 3 A 2 ` h A 1 ` h A 2 ` h A 3 Genel hli Q I Z ` n B A d t h AX i 1 ` i C

5 1.c) Ort toplmlr [,] rlığı n prçy ölünür. Adım dir. i=0,1,..,n-1 için i+1=i+h n I Z ` A d I 1 I 2 I 3 I 1 0 h 2 I 2 1 h 2 I 3 2 h 2 g g g ` A 0 h A 0 h g 2 ` A 1 h A 1 h g 2 ` A 2 h A 2 h g 2 Genel hli Q I Z 1 ` A d t h AX i 0 H J i h 2 I g K

6 Örnek : Z 1 7 3A 2 A d integrlini dikdörtgenler yöntemini kullnrk ulunuz. (n=3,5,10) Anlitik Q Aln I Z 1 7 d e c 3A 2 A d

7 2. Ymuk Yöntemi İntegrli ulunck eğri ilgili rlıkt küçük ymuklr yrılır, u ymuklrın lnlrı toplnrk yklşık sonuç ulunur. y Algoritm; (5) (6) [,] rlığı n eşit prçy ölünür. (0) (4) (1) (2) (3) I1 I2 I3 I4 I5 I6 () n Ymuklr elde edilir. Herir ymuğun lnı hesplnır. = = 6 Alnlr toplrnk yklşık integrl sonucu ulunur. I Z ` A d I1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 1 h d c ce A I 2 h d c ce A I 3 h d c ce A I 4 h d c ce A I 5 h d c ce A I 6 h d c ce A I Z ` A d t h 2 Genel hli Q I Z D A 0 c 1 ` A d t h 2 c 1 H A J 0 c 2 c ` n c 2 1 2A X i 1 c 3 i I c K c 3 c 4 c 4 c 5 c 5 c 6 ce

8 Örnek : Z 3 A 2 A d integrlini ymuk yöntemini kullnrk ulunuz. (n=3,5,10) 1 7 n=3 için n=5 için Prc =5 Adim = (1.0)-->()=3.000 (2.2)-->()= (3.4)-->()= (4.6)-->()= (5.8)-->()= (7.0)-->()= yklsik integrl = n=10 için Prc =10 Adim = (1.0)-->()=3.000 (1.6)-->()=7.680 (2.2)-->()= (2.8)-->()= (3.4)-->()= (4.0)-->()= (4.6)-->()= (5.2)-->()= (5.8)-->()= (6.4)-->()= (7.0)-->()= yklsik integrl =

9 Örnek : 3 Z 0 sin ` A d integrlini ymuk yöntemini kullnrk ulunuz. (n=5,10) n=10 için Prc =10 Adim = (0.0000)-->()= (0.1047)-->()= (0.2094)-->()= (0.3142)-->()= (0.4189)-->()= (0.5236)-->()= (0.6283)-->()= (0.7330)-->()= (0.8378)-->()= (0.9425)-->()= (1.0472)-->()= yklsik integrl = 0.500

10 3. Simpson (Proller) Yöntemi Belirli integrlin ulunmsı için en yygın kullnıln yöntemdir. Bu yöntemde, sıl onksiyon yerine, u onksiyon 2.dereceden ir polinom uydurup, u polinoml -ekseni rsınd kln lnın hesı ulunur. Eğer uyduruln polinom 1. dereceden ise, yöntem ymuk(trpez) yöntemi olur; Eğer uyduruln polinom 2. dereceden ise, yöntem simpson(polinomlr) yöntemi olur; Simpson yönteminde 3 noktdn geçen polinom denklemi kullnılır. Eğer rlıktki nokt syısı rtırılırs, hsssiyet rtr, ht zlır. Lngrnge enterpolsyon ormulune göre (Enterpolsyon konusu yrıc incelenecektir) 0, 1, 2 noktlrındn geçen prol denklemi; P ` ` 1 2 ` ` A 0 1 A 2 ` 0 0 ` 2 ` ` A 1 A 2 Bu onksiyonun [0, 2] sınırlrın göre elirli integrli ise; 2 Z P ` A d h B ` ` ` C A 0 4 A ` 0 0 ` 1 ` ` ` A 2 A 1 0

11 y ( 5) ( 6) () Algoritm; [,] rlığı n eşit prçy ölünür. ( 0) ( 4) ( 1) ( 2) ( 3) I1 I2 I3 n 3 noktdn ir 2.dereceden ir eğri geçirilir. Böylece n/2 tne lt ölge oluşur. Herir ölgenin lnı hesplnır. = = 6 Alnlr toplnrk yklşık integrl sonucu ulunur. I Z ` A d I1 I 2 I 3 0, 1, 2 ölgesi; I 1 h D c c ce A 0 4A , 3, 4 ölgesi; I 2 h D c c ce A 2 4A , 5, 6 ölgesi; I 3 h D c c ce A 4 4A I h F c c d c ce d A 0 6 2A 2 4 4A 3 1 Genel hli Q I Z ` A d t h 3 H A 0 L J c ` n c 3 1 4A X g i 1 i:tek c 5 i ce G c 1 2A X h i j 2 j k j:cit i I c M K Simpson yöntemi (n ε çit syılr) için kullnılilir.

12 Örnek : 3 Z 0 sin ` A d integrlini simpson yöntemini kullnrk ulunuz. (n=4) Örnek : Z A d integrlini trpez ve simpson yöntemini kullnrk ulunuz. (n=4) 1 2 n=4 için

13 Örnek : Aşğıd, tm dlg kontrollü ir doğrultucunun çıkış dlg geriliminin değişimi verilmiştir. Bu gerilimin ortlm değerini ütün yöntemleri kullnrk ulunuz (n=4).