Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Transkript

1

2

3 Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge şartlarını inceleyen bir bilim dalıdır. Statik e ait ilk prensipler ve kanunlar kaldıracın bulunması ile başlamıştır. Archimedes denge kanunu ve kaldıraca ait ilk formülleri yazmıştır. Bugüne gelinceye kadar birçok bilim adamı bu konuda çalışmışlardır. Bazı bilim adamları şöyle sıralanabilir. Galile, Stevinus, Varignon, Newton, D Alembert, Langrange ve Hamilton.

4 Statik te duran katı cisimler ile kuvvet arasındaki denge şartları incelenir. Yani cismin fiziksel davranışı (uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. ) ile uğraşılmaz, dengelenmiş kuvvetler ve bunun geometrisi araştırılır. Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil değiştirirler. Bu şekil değiştirmeler, ya çok küçük olduklarından denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz yada cismin şekil değiştirmediği farzedilir. Bir başka deyişle statik rijit cisimlerin kuvvet ve boyutları arasındaki etkileşimi inceler.

5 TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar: Rijit cisim mekaniğinde sürekli olarak karşılaşılan kavramlar; uzunluk, zaman, kütle ve kuvvettir. Kuvvet: Kuvvet, tatbik edildiği cisimlerin bulundukları konumları değiştirmeye çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir. Kuvvet, uzunluk gibi vektörel bir büyüklüktür. Zaman ve kütle ise skaler büyüklüklerdir. Madde : Madde, uzayda yer kaplayan her şeydir. Bir cisim, kapalı bir yüzeyle çevrelenmiş bir maddedir. Uzay: Konumları belirli bir koordinat sistemine göre doğrusal veya açısal ölçümlerle belirlenen cisimlerin içinde bulundukları geometrik bölgedir.

6 Cisim : Uzayda yer kaplayan her şey cisim olarak adlandırılır. Cisimler çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb.) olabilir. Davranışları çeşitli şekillerde modellenebilir. Mekanikte cisimler davranışına göre, rijit, elastik, elasto-plastik, viskoelastik cisim olarak adlandırılır. Statikte ise cisimler rijit olarak kabul edilir. Yani cisimler kuvvet etkisi altında hiç şekil değiştirmezler. Mekanikte teorinin anlaşılmasını kolaylaştırmak için modellerden ve idealleştirmelerden yararlanılır. Parçacık: Kütlesi vardır fakat boyutları ihmal edilebilir. Rijit Cisim: Çok büyük kuvvetler altında bile boyutlarının değişmediği kabul edilir.

7 Newton Kanunları 1. Kanun: Denge halindeki kuvvetlerin etkisinde bir maddesel nokta, ya sabit durur yada doğrusal hareket eder. 2. Kanun: Bir maddesel noktanın ivmesi, uygulanan bileşke kuvvetin büyüklüğü ile doğru orantılıdır. İvme, kuvvet ile aynı doğrultu ve yöndedir. F = ma

8 3. Kanun: İki parçacık arasındaki etki ve tepki kuvvetleri eşit, ters işaretli ve aynı doğrultudadır. Birimler: SI birim sisteminde temel büyüklükler uzunluk, kütle, kuvvet ve zamandır. Bu büyüklükleri ölçerken birimler birbirinden bağımsız olarak seçilemez, mutlaka Newton un 2. kanunu ile uyuşmak zorundadır. Sembol Birim Uzunluk l m (metre) Kütle m kg (kilogram) Zaman t s (saniye) Kuvvet F N (Newton) F = ma N = kg. m/s 2

9 VEKTÖRLER Skaler büyüklük, pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen büyüklüktür. Vektörel büyüklük ise şiddeti, doğrultusu ve yönü ile ifade edilir. Üç vektör çeşidi vardır: Serbest vektör: Herhangi bir konuma taşınabilir. Kayan vektör: Etki çizgisi üzerinde herhangi bir noktaya taşınabilir. Sabit vektör: Etki noktası ve doğrultusu değişmeyen vektörler. Şekil değiştiren cisimlere etki eden vektörler bu şekildedir.

10 Toplama ve çıkarmada ya paralelkenar kuralı ya da üçgen kuralı uygulanır.

11 Vektörlerin toplamı başlangıçları aynı noktaya getirilen iki vektörün toplamı bu vektörler üzerine kurulan paralel kenarın köşegeni üzerindeki aşağıda gösterilen vektöre eşittir. Bu vektörlerin arasındaki açı ise toplamın şiddeti şu şekilde yazılabilir. Vektörün şiddeti iki çizgi arasında gösterilir.

12 Skaler çarpım

13 Vektörel çarpım

14

15 Analitik Gösterim Bir vektörü (birbirine dik doğrultularda) kartezyen koordinat sisteminde iki bileşene ayırmak mümkündür. Vektörün eksenlerden birisi ile yaptığı açı θ ise.vektör sinθ ve cosθ ile çarpılarak dik koordinatlardaki izdüşümü bulunabilir.

16 Bir kuvvet için yapılan bu bileşenlere ayırma birden fazla vektör içinde yapılabilir. Sonra bu bileşenler cebirsel olarak toplanırlar. Bütün vektörlerin x yönündeki bileşenleri Rx ve y yönündeki bileşenleri Ry olmak üzere bu işlemler birden çok kuvvet için yapılmış ise, Vektörlerin toplamı, ve

17 Uzayda vektörleri üç dik eksendeki bileşenleri ile yazmak gerekir. Bunun için birim vektörleri tanımlamak gerekmektedir. Bu vektörler sırasıyla x,y,z eksenleri boyunca i, j, k olarak bilinir. Bu vektörlerin boyları bir birimdir. Bir skaler ile bir vektörün çarpımı da aynı yönde bir vektör vermesi tanımından, uzaydaki bir vektörü aşağıdaki gibi yazabiliriz. Burada Fx, Fy, Fz skaler terimleri, sırasıyla x,y,z eksenleri yönündeki F kuvvetinin bileşenlerinin şiddetleridir.

18 KUVVETLER SİSTEMİNDE BİLEŞKE

19

20 MADDESEL NOKTANIN DENGESİ

21

22

23

24 BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ Bir kuvvetin tatbik edildiği cismi sabit bir eksen etrafında döndürme eğilimine kuvvetin o eksene göre momenti denir.

25

26

27

28

29

30 Kuvvet etkisindeki bir konstrüksiyon (yapı), rijit bir cisim gibi hareket etmiyorsa dengededir Rijit cismin hareketi, ötelenme yada dönmedir veya ikisinin birleşimi şeklinde olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, yapıyı döndürmeye veya ötelemeye sebep olan kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir.

31

32

33

34 MESNETLER VE MESNET REAKSİYONLARI Kayıcı Mesnetler y yönünde deplasman yoktur yani sıfırdır ama y yönünde bir tepki kuvveti meydana gelir. Sabit Mesnetler Tek noktada sabitlenmiş mesnetler yatay ve düşeyde iki reaksiyon verir dolayısıyla iki yönde cismin hareketine engel olur. Fakat dönmeyi sağlar. x ve y yönünde yer değiştirmeler sıfıra eşitken, x ve y yönünde reaksiyon kuvvetleri, R Ax, R ay meydana gelir. θ 0 olduğunda M A olmaktadır.

35 Ankastre Mesnetler Yönü ve şiddeti bilinmeyen iki reaksiyon ve momenti sağlar (toplam üç bilinmeyen). Böyle bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmeyi engeller.

36 Serbest Cisim Diyagramı (SCD) Serbest Cisim Diyagramı çizimi tüm denge ve kinetik problemlerinin çözümünde temel bir noktadır. SCD oluşturmak için özetle; Diyagramı çizilecek olan eleman (cisim) veya elemanlar izole edilir ve ana hatları ile çizilir. Tüm dış kuvvetler ve momentler bu çizim üzerinde gösterilir. Burada; cismi izole ederken kaldırılan mesnetlere karşılık yerleştirilen tepki kuvvet ve momentleri de dış kuvvetler olarak adlandırılır. Denge denklemlerini uygularken kullanılacak noktalar ve boyutlar çizimde gösterilir. Bir koordinat eksen takımı tanımlanır. YAYILI YÜKLER Kuvvetler bir yüzeye veya bir hacme etki ederler. Çoğu durumda bu kuvvetler yerine bunların bileşkesi tek bir kuvvetmiş gibi göz önüne alınır. Burada yayılı yüklerin tekil yüklere dönüştürülme yöntemlerinden bahsedilecek. Yayılı yükün bileşkesinin şiddeti yayılı yük eğrisi altındaki alana eşittir.

37

38 A da iki reaksiyon kuvveti ve D de dikey olarak etkiyen sadece tek bir reaksiyon kuvveti vardır. Bu reaksiyonlar serbest kuvvet diyagramında gösterilmiştir. Sadece üç bilinmeyen vardır; burdan sistem statik olarak belirlidir ve bilinmeyenler belirlenebilir.

39

40 ABCD kirişi A da sabit bir mesnede ve C de kayıcı bir mesnede sahiptir. Kiriş, her biri 15 kn olan iki tekil yük ve 2 kn/m lineer yayılı olan yüke maruzdur. Reaksiyonları belirleyiniz.

41 AĞIRLIK MERKEZİ Ağırlık merkezi G, parçacıklar sisteminde ağırlığın bileşkesinin olduğu noktadır. Parçacıların ağırlıklarının paralel kuvvet sistemleri olduğu düşünülür. Ağırlıklar sistemi ağırlık sistemine konacak tek bir ağırlıkla değiştirilebilir.

42

43 Pappus ve Guldinus teoremleri

44 DÜZLEM KAFES KİRİŞ SİSTEMLERİ Aynı düzlem içinde birbirlerine uç noktalarından bağlanarak bir rijid yapı oluşturan çubuklar topluluğuna düzlem kafes sistemi denir. Uç noktalarından bağlanma şekli pratik uygulamalarında kaynaklı birleştirme şeklinde olmasına karşı hesaplamalarda sürtünmesiz silindirik mafsallı kabul edilir. Ayrıca çubuklar uç noktaları dışında yüklenmemiş kabul edilir. Böylece çubuklarda oluşacak iç kuvvetler çubuk doğrultusunda alınabilir. Kafes kiriş sistemlerinin yapım kolaylığı ucuzluğu ve hafifliği dolayısıyla bir çok yerde uygulama alanı vardır. Tren köprüleri, vinç kolları ve kuleleri, gezer köprülü vinçler, yüksek gerilim hattı direkleri, radyo verici antenleri,depo ve çiftlik çatı kirişleri gibi alanlarda uygulamalarına rastlanır. Kafes sisteminde uç noktalarının birleşme yerlerine düğüm noktaları denir.

45 Basit kafes sistemi Bir basit kafes sisteminde m = çubuk sayısı n = düğüm noktası sayısı olmak üzere 2n = m + 3 olur.

46 Düğüm noktaları metodu Kafes sisteminin her bir düğüm noktası için 2 denklem yazılır. n tane düğüm noktalı bir kafes sisteminde 2n denklem yazılacağından 2n sayıda bilinmiyen çözülebilir. Toplam çubuk sayısı 2n-3 ve mesnetlerden de 3 bilinmiyen geleceğine göre denklem sayısı yeterli olur. Ayrıca sistem bütün bir rijid cisim gibi alınıp dengesi düşünüldüğünde 3 denklem daha yazılabilir. Bundan dolayı düğüm noktaları metodu ile fazladan elde edilen 3 denklem sonuçların kontrolu için kullanılabilir.bir kafes sisteminde çubuk kuvvetlerini bulmadan önce sistem bütün bir rijid cisim olarak göz önüne alınıp mesnet tepkileri bulunabilir. Daha sonra düğüm noktalarının dengesi düşünülerek en fazla iki bilinmiyen içerecek şekilde düğüm noktası seçip işleme başlanır. Çubuklardan düğüm noktalarına gelen kuvvetler çubuk doğrultularında alınır. Düğüm noktalarındaki kuvvetlerle çubuklardaki kuvvetler etki tepki ilkesine göre birbirinin tam zıttıdır. Bir düğüm noktasındaki bilinmiyenler çözüldüğünde bu düğüm noktasına çubuklarla direk bağlı diğer düğüm noktalarında da birer tane bilinmiyen azalacağından en fazla iki bilinmiyen içeren düğüm noktalarını bulmak kolaylaşır.

47

48 Kesim metodu Tüm sistemin analizi yerine çubuklardan bazılarına gelen kuvvetler hesaplanacağı zaman kesim metodu daha pratiktir. Bu metotta kafes sistemi hesabı istenen çubuktan geçen ve bilinmeyen üç çubuktan fazla çubuk içermeyecek şekilde bir çizgi ile ikiye ayrılır. Ayrılan taraflardan birinde yazılacak olan ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 denklemleri ile üç bilinmeyen çözülebilir.

49

50

51

52

53

54

55

56 Dinamik, mekaniğin kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin hareketini inceleyen bir dalıdır. Dinamik ikiye ayrılır: Doğrusal Hareket

57

58

59 Doğrusal Hareketin Veriliş Türleri

60

61

62

63

64 Düzgün bir doğru boyunca hareket eden bir noktasal cismin konumu s = 2t 3-24t + 6 formülü ile veriliyor (s metre ve t saniye cinsinden) a) Noktasal cismin t = 0 anından 72m/s hızına erişmesi için gerekli zamanı bulunuz. b) Noktasal cismin v = 30m/s hızına eriştiğindeki ivmesini bulunuz. c) t = 1s den t = 4s ye kadar noktasal cismin net yer değiştirmesini bulunuz.