TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

Transkript

1 f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar ) [f() ± g()] ı = f ı () ± g ı () Toplama ve çıkarma işlemlerinde arı arı türev alınabilir. ) c R, c ı = 0 Reel saıların türevleri sıfırdır. ) c R, [c. f()] ı = c. f ı () Çarpma işleminde sabit saılar türev işleminden etkilenmez. 4) n R, ( n ) ı = n. n Kuvvet reel saı ise saıı çarpım olarak öne alıp, kuvveti bir eksiltiriz. Konu Kavrama Çalışması f() f ı () f() f ı () =4 = = = = =0 5 5.=5 0 f() f ı () f() f ı () f()= 6 fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= ise f ı ()= = = Cevap:

2 soru soru 5 Aşağıda verilenlerden hangisi anlıştır? A) f()= ise f ı ()=0 dır. B) f()= ise f ı ()=0 dır. C) f()= ise f ı ()=0 dır. D) f()= ise fı ()=0 dır. E) f()= ise f ı ()=0 dır. f()= + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) + C) 6 + D) 6+ E) + soru f()= 7 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) 7 E) 7 7 A) 4 + B) 8 + C) 8 5 D) E) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) ñ B) C) 0 D) E) A) 4 + B) 4 ++ C) 5 + D) E) + soru 4 f()=7 soru 8 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) 7 E) 7 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) 4 C) D) 4 + E) E B D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 E 5

3 f()= 5 fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= 5 ise f ı ()= 5. 5 = 5 6 Cevap: 5 6 f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= ise f ()=. = Cevap: _ f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= ise f ()=. = Cevap: _ f()= 4 fonksionunun türevini bulunuz. n = n dir. Buna göre 4 f()= = 4 f ()= 4. 4 = 4 5 Cevap: 4 5 6

4 soru f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 4 soru 5 f() = fonksionun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 6 C) 6 + D) 6 + E) 4 + soru 6 f() = fonksionun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) + C) D) E) + soru f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru 4 f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) C) + D) E) + soru 8 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 4 B) 4 4 C) D) + 4 E) 4 A B E 4 C 5 D 6 A 7 E 8 C 7

5 Uarı n Köklü ifadelerin türevini alırken de ( n ) ı =n n m n bağıntısından fadalanırız. Bunun için = m olduğunu hatırlaınız. f()=ñ fonksionunun türevini bulunuz. f() = = dir. Buna göre, f () = = =. Cevap: f()= fonksionunun türevini bulunuz. f() = = tür. Buna göre, f () =. = =. Cevap: f()= fonksionunun türevini bulunuz. f() = = = dir. Buna göre, f () =. = =. = Cevap: f()= + +5 fonksionunun türevini bulunuz. f() = = dir. Buna göre, = f () = = 4 Cevap: 4 8

6 soru f() = 5 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 5 f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 soru f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) D) + E) soru 6 4 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) 4 D) E) soru f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f() = + + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 5 A) B) C) D) E) A) B) + C) D) 4 E) + soru 4 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) D) E) soru 8 5 f() = + ln5 5 5 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) B C A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9

7 =f() fonksionunun =a noktasındaki türevi f ı (a) vea d d =a ifadeleri ile gösterilebilir. f()= ++5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? f()= ++5 ise f ı ()= + f ı ()=. +=5 Cevap: 5 f()=ñ+4 olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f()=ñ+4= +4 f ı ()= +0= = ñ f ı (9)= ñ9 = 6 Cevap: 6 (ñ ) ı = ñ eşitliği sıkça kullanılan bir türev işlemidir. Bilmenizde fada var. = +8ñ olduğuna göre, d d =4 kaçtır? d d =+8. ñ =+ 4 ñ d =.4+ 4 d ñ4 =8+=0 =4 Cevap: 0 = + d olduğuna göre, d = kaçtır? = + d d =.. = d d = = 4 6= 0 = 4 8 Cevap: 0 0

8 soru f()= +5 olduğuna göre, f ı (4) kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) soru 5 = olduğuna göre, d kaçtır? d = A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()= + 4 olduğuna göre, f ı ( 5) kaçtır? soru 6 f()= fonksionunun = için türevi kaçtır? A) B) 9 C) 7 D) 5 E) A) B) C) D) E) 4 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? f()=ñ olduğuna göre, f ı (4) kaçtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 A) B) 8 C) 6 D) 4 E) soru 4 soru 8 f()=a + f()= ñ fonksionunun = için türevi 5 olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, f()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 0 D) E) A E C 4 A 5 A 6 E 7 D 8 C

9 İki Fonksionun Çarpımının Türevi f ve g türevlenebilen iki fonksion olsun, f().g() çarpımının türevi, [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() dir. f()=( +).( ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( )+( )'.( +) f '()=.( )+.( +) Cevap:.( )+.( +) f()=( +).( ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( )+( )'.( +) f '()=(+).( )+( ).( +) Cevap: (+).( )+( ).( +) f()=( +).( ++) olduğuna göre, f '( ) i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( ++)+( ++)'.( +) f '()=( +).( ++)+(+).( +) dir. = fonksionunun türevinde erine azıldığında f '( )=(.( ) +).(( ) +( )+)+(.( )+)(( ) +( ))=6 Cevap: 6 f( ) =.( + ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( )'.(+)+(+)'. f '( ) =.( + ) +. f '( ) =.( + ) +. = fonksionunun türevinde erine azıldığında f() = ().(.+ ) +.() =. + = 4 Cevap: 4

10 soru f()=( ).( +5) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +5)+( ) B) 4.( )+.( +5) C) 4.( +5)+.( ) D) 4.+( +5) E) ( )+.(4 ) soru 5 f()=( 4 +).( ) olduğuna göre, f '() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()=( ).( ) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( )+.( ) B) ( )+( ) C) ( )+.( ) D) ( )+.( ) E) ( ).( )+( ).( ) soru 6 f()=( ).( +) olduğuna göre, f '( ) kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru f()=( +).( +) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A).( +)+( ).( +) B) ( +)+.( +) C).( +)+( +) D).( +)+( +) E) ( +)+( +) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f( ) =.(6 + ) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A).(6+ ) + B).(6+ ) + 6. C).(6+ ) + D).(6+ ) + 6. E).(6 + ) + 6. soru 4 f()=( ).( +) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( ).( +)+.( ) B) ( ).( +)+.( ) C) ( ).( +)+.( ) D).( )+.( ) E) ( )+ soru 8 f() = ( ).( + ) olduğuna göre, f '() kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) C E A 4 B 5 B 6 E 7 B 8 C

11 İki Fonksionun Bölümünün Türevi f ve g türevlenebilen iki fonksion olsun. g() 0 olmak üzere f() f() ' f'().g() g'().f() = g() g() bölümünün türevi, g() [ ] dir. + f() = + olduğuna göre, f '() i bulunuz. f() f ().g() g ().f() = g() bağıntısından [g()] ( + )'.( + ) ( + )'.( + ) f '() = ( + ).( + ).( + ) + f '() = = = ( + ) ( + ) ( + ) Cevap: ( +) + f() = olduğuna göre, f '() i bulunuz. f() f ().g() g ().f() = g() bağıntısından [g()] ( + )'.( ) ( )'.( + ) f '() = ( ).( ).( + ) 6 7 f '() = = = ( ) ( ) ( ) 7 Cevap: ( ) + f() = f() f ().g() g ().f() = g() [g()] bağıntısından olduğuna göre, f '() i bulunuz. + f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? ( + )'.( ) ( )'.( + ) f '() = ( ).( ).( + ) 4 f '() = = ( ) ( ) 4 Cevap: ( ) f() fonksionunun türevini bölümün türevine göre alalım ( + )'.( + ) ( + )'.( + ) f '() = ( + ) ( + ).( + ).( + ) f '() = ( + ) = değeri f '() de erine konulduğunda, (. + ).( + ).( + ) f '() = = = = ( + ) 4 Cevap: 4

12 soru f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) 4 D) E) ( + ) ( + ) soru 5 + f() = + 5 olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + 5) ( + 5) ( + 5) + 4 D) E) ( + 5) ( + 5) soru 5 f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 + f() = olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? 8 5 A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) 5 D) E) ( + ) ( + ) soru + f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ( + ) A) B) C) ( ) ( ) ( ) 6 D) E) ( ) ( ) soru f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? + + A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) D) E) ( + ) ( + ) A) B) C) D) E) 6 6 soru 4 + f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) + 9 D) E) ( + ) ( + ) soru f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? A) B) 0 C) D) E) D C A 4 D 5 C 6 E 7 B 8 B 5

13 Toplam ve Fark Fonksionlarının Türevi f ve g ugun aralıkta türevlenebilen iki fonksion olsun. f ve g fonksionlarının toplamlarının türevi, türevleri toplamına; f ve g fonksionlarının farklarının türevi, türevlerinin farkına eşittir. Toplam fonksionunun türevi : Fark fonksionunun türevi : (f+g) ı ()=f ı ()+g ı () (f g) ı ()=f ı () g ı () f()= +5 ve g()= olduğuna göre, (f+g)ı () ifadesinin eşitini bulunuz. f()= +5 ise f ı ()= g()= ise gı ()= (f+g) ı ()=f ı ()+g ı ()= + Cevap: + f() = + g() = π olduğuna göre, (f g) ı () ifadesnin eşitini bulunuz. f() = + = + ise f () =. + 0= g() = π= π ise g() ı = 0= 4 (f g) () = f () g () = 4 Cevap: + 4 f()= 4 ve g()= olduğuna göre, (f+g)ı () kaçtır? f()= 4 ise f ı ()= ve f ı ()=.= g()= ise g ı ()= 4 ve g ı ()=. 4 = (f+g) ı () =f ı ()+g ı ()=+( )= Cevap: f()=ñ+4 ve g()= 5 5 olduğuna göre, (f g)ı () kaçtır? f()=ñ+4 ise f ı ()= ñ ve fı ()= ñ = g()= 5 5 ise g ı ()= 54 5 =4 ve g ı ()= 4 = (f g) ı ()=f ı () g ı ()= = Cevap: 6

14 soru soru 5 f()=, g()= olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 f()=, g()= olduğuna göre, (f+g) ı () kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 5 soru f()= +, g()= + olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=ñ+, g()= ñ olduğuna göre, (f g) ı (4) kaçtır? A) B) C) D) + E) + A) 4 B) 8 C) 6 D) 8 E) 6 soru f()= +, g()=+ +5 olduğuna göre, (f g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) + D) E) + KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= 5 +4 ve (f g) ı ( )=6 olduğuna göre, g ı ( ) kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 4 f() = +, g() = + olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) D) E) soru 8 f()= + ve g()= + olduğuna göre, (f g) kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 0 E B D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 E 7

15 Şimdi türevin tanımını limit ardımıla apalım. f ı (a)=lim a f() f(a) a ve f ı f(+h) f() ()=lim h 0 h ifadesinin de- f()= +4 olduğuna göre, lim ğeri kaçtır? f() f() lim f() f() =fı () f()= +4= +4 f ı ()=. +4. = +4 ve f ı ()= +4= Cevap: f()=ñ+ olduğuna göre, lim 4 kaçtır? f() f(4) 4 ifadesinin değeri lim 4 f() f(4) =f ı (4) 4 ( ) f () = ( + ) = + = + 0= = f (4) = = 4 4 Cevap: 4 f()= + olduğuna göre, lim h 0 eşiti nedir? f(+h) f() h ifadesinin lim h 0 f(+h) f() =f ı () olduğuna göre, h f ı ()=. += + Cevap: + ifadesi- f()= 4+ olduğuna göre, lim h 0 nin değerini bulunuz. f(+h) f() h lim h 0 f(+h) f() =f ı () olduğuna göre, h f ı ()=. 4=4 4 f ı ()=4. 4=0 Cevap: 0 8

16 soru f()= f() f() olduğuna göre, lim ifadesinin değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) soru 5 f()= + +5 f() f() olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 soru f()= 7 ifadesinin eşiti aşağıdakiler- olduğuna göre, f() f(a) lim a a den hangisidir? soru 6 f()= 5 + f() f( ) olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? + A) 44 B) 56 C) 68 D) 7 E) 80 A) a 7 B) 7a 6 C) 6a 5 D) 5a 4 E) 4a soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= 4+ f(+h) f() olduğuna göre, lim h 0 h ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? f()= ñ f(4+) f(4) olduğuna göre, lim 0 limitinin değeri kaçtır? A) 4+ B) 4 C) 4 D) E) +6 A) 4 B) 4 C) D) 4 E) soru 4 soru 8 lim h 0 f(+h) f() =5 h olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 lim f() f() f()=.( ).( ) limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A B B 4 E 5 E 6 C 7 A 8 D 9

17 Şimdi türevli olma kavramını inceleelim. =f() fonksionunun =a noktasında türevli olabilmesi için ) =a noktasında sürekli olması gerekir. ) Sağdan ve soldan türevinin f ı (a + )=f ı (a ) eşit olması gerekir. (Sağdan ve soldan türevi, sağdan ve soldan limit mantığı ile düşünün) f() =, +4, < a) ise f ı () bulunurken ugun fonksion f()= f ı ()= ve f ı ()=.=4 Cevap: 4 parçalı fonksionu verilior. Buna göre, a) f ı () kaçtır? b) f ı ( ) kaçtır? c) f ı () kaçtır? b) < ise f ı ( ) bulunurken ugun fonksion f() = +4 f ı ()= ve f ı ( )= Cevap: c) (= değerini parçalı fonksionun kritik noktası olduğu için ve +4 fonksionlarında erine azarız.) =0 ve.+4=6 0 6 ise = için f() sürekli değildir, dolaısıla f ı () oktur. +, f() = +, < parçalı fonksionu verilior. Buna göre, f ı () kaçtır? Uarı Bu tarz sorularda kritik noktaların türevinin olup olmadığını bulmak için.adım: Fonksionun kritik noktada sürekli olup olmadığına bakılır..adım: Fonksionun kritik noktada sağdan ve soldan türevi olup olmadığına bakılır..adım += +=6 ve +=.+=6 6=6 ise = için f() süreklidir. Fonksion sürekli olduğu için, sağdan ve soldan türevine de bakarız..adım f ı ( + ) bulunurken ugun fonksion f()= + dolasıla f ı ()=+ ve f ı ( + ) =.+=5 f ı ( ) bulunurken ugun fonksion f()=+ dolasıla f ı ()= ve f ı ( )= f ı ( + ) f ı ( ) (sağdan ve soldan türev farklı) olduğuna göre, f ı () oktur. Dikkat Ederseniz! Kritik noktada fonksionun türevinin olabilmesi için - Sürekli olması gerekir. - Sağdan ve soldan türevinin eşit olması gerekir. a b, f() = b+a+, < parçalı fonksionu verilior. f() tüm reel saılar için türevli olduğuna göre, a+b kaçtır? = kritik nokta = değerini a b ve b+a+ ifadelerinde ve türevlerinde azdığımızda anı değer çıkmalı. f( + )=f( ) a b=b+a+ denklemleri çözülürse a= ve b= f ı ( + )=f ı ( ) a b=b.( )+.( )= 5 Cevap: 5 0

18 soru soru 5 f() = +,, < f() = a +b, +, < olduğuna göre, f ı ( + ) f ı ( ) farkı kaçtır? fonksionunun = için türevi olduğuna göre, a b kaçtır? A) 0 B) 6 C) 4 D) 6 E) 0 A) 0 B) C) D) E) 4 soru +, f() = +, < 5 + +, < soru 6 f() = +a, 5, > fonksionunun = için türevi olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, f ı ()+f ı ( ) toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) C) 0 D) E) soru +, f() = +4, < KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f() = m +, 4+n, olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) Yoktur fonksionunun = için türevi olduğuna göre, 8m+n toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 f() =, 5 +, > f() = 5+, +5, > 0 0 olduğuna göre, f ı ( )+f ı ()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 parçalı fonksionunun türevli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R {0} C) D) R {5} E) {0,5} E C D 4 E 5 A 6 A 7 A 8 B

19 Mutlak Değer Fonksionun Türevi f()= =,, 0 < 0 fonksionunda sıfırın kritik nokta olduğuna dikkat edelim. =0 da fonksion sürekli, fakat f ı (0 + )= ve f ı (0 )= değerleri farklı olduğu için f() in =0 da türevi oktur. Uarı Mutlak değer fonksionun tek katlı köklerinde genel olarak türev oktur, çift katlı köklerinde ise türev vardır. f()= fonksionu verilior. a) f ı () kaçtır? b) f ı () kaçtır? a) = için >0 olduğundan f()= alınır. f ı ()=( ) ı = Cevap: b) = için <0 olduğundan f()= + alınır. f ı ()=( +) ı = Cevap: f()= 4 fonksionu verilior. a) f ı () kaçtır? b) f ı ( ) kaçtır? c) f ı () kaçtır? a) = için 4>0 olduğundan f()= 4 alınır. f ı ()=( 4) ı = ise f ı ()=.=6 Cevap: 6 b) = için 4<0 olduğundan f()= +4 alınır. f ı ()=( +4) ı = ise f ı ( )=.( )= Cevap: c) = için 4=0, = tek katlı kök olduğu için f ı () oktur. Cevap: Türev ok f()= 4 fonksionunun türevinin olmadığı değeri kaçtır? f()= 4 = ( 4) f()=. 4 ( >0 olduğu için dışarı alındı) =4 tek katlı köktür. Dolaısı ile f() in =4 değeri için türevi oktur. Cevap: 4 f()= 5 fonksionunun = için türevi f ı () kaçtır? = için 5 <0 olduğundan f()= +5+ f ı ()=( +5+) ı = +5 ise f ı ()=. +5= 7 Cevap: 7

20 soru f()= olduğuna göre, f ı (5) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 5 soru 5 f()= + f() f() olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) soru f()=.( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? soru 6 f()= +4 olduğuna göre, f()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) Yoktur B) C) D) E) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= olduğuna göre, f ı ( + ) kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 f()= 6 8+ olduğuna göre, f kaçtır? 4 A) B) C) 0 D) E) soru 4 f()=+ + olduğuna göre, f ı () kaçtır? soru 8 f()= + + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 C A B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 B

21 Bileşke Fonksionun Türevi f() ve g() ugun aralıklarda tanımlı birer fonksion olmak üzere, (f o g)() bileşke fonksionun türevi, (f o g) ı () =g ı ().f ı (g()) (g o f)() bileşke fonksionun türevi, (g o f) ı () =f ı ().g ı (f()) f()=+ ve g()= olduğuna göre, a) (f o g) ı () ifadesini bulunuz. b) (g o f) ı () ifadesini bulunuz. f ı (g()) ifadesi, f in türevinde g fonksionunu erine az demektir. a) f()=+ ise f ı ()= g()= ise g ı ()= f ı ()= ise f ı (g())= (f o g) ı ()=g ı ().f ı (g())=.=6 dır. b) f ı ()= ve g ı (f())= olduğundan (g o f) ı ()=f ı ().g ı (f())=.=6 dır. f()= + ve g()=4+ olduğuna göre, (g o f) ı () ifadesini bulunuz. Bileşke fonksionun türevi sorularında önce fonksionların bileşkesini alıp daha sonra türevini alabilirsiniz. (g o f)()=g(f())=4.f()+=4.( +)+=4 +5 (g o f) ı =(4 +5) ı =8 Cevap: 8 f()= +5 ve g()= olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? f()= +5 ise f ı ()= g()= ise g ı ()=4 g()=. = ve g ı ()=4.=4 (f o g) ı ()=g ı ().f ı (g())=4.f ı ()=4.=8 4 Cevap: 8 f ı ()=4, g()= ve g ı ()=4 olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? (f o g) ı ()=f ı (g()).g ı ()=f ı () =4.4=6 Cevap: 6 4

22 soru soru 5 f()=5+ ve g()=+7 olduğuna göre, (g o f) ı () aşağıdakilerden hangisidir? f ı ()=5, g()= ve g ı ()= olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? A) 0 B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) soru f()= +5 ve g()=+ olduğuna göre, (f o g) ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f ı ()=, f()= ve g ı ()=5 olduğuna göre, (g o f) ı () kaçtır? A) 8+6 B) 8+ C) 8+6 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 D) 4+5 E) 4+8 soru f()= ve g()= + olduğuna göre, (g o f) ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + B) 4 C) 4 4 D) + E) +4 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (g o f) ı ()=5, g ı (f())= olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 0 E) 5 soru 4 soru 8 f()= ve g()=+ olduğuna göre, (f o g) ı () aşağıdakilerden hangisidir? =f() A) + B) +6+ C) +6 ñ D) +6+ E) +6 + O 5 Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. g()= ve f ı (5)= olduğuna göre, (g o f) ı (5) kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 E B C 4 B 5 D 6 E 7 C 8 E 5

23 Bileşke fonksionun türevi sorularında f ve g fonksionları her zaman arı arı verilmeebilir. Örneğin, f(+)=5+7 ifadeside aslında bir bileşke fonksiondur. (Burada g()=+ alındığına dikkat ediniz) f(+) ani f(g()) gibi düşünülerek apılır. g() f(+)= +5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? (g()=+ düşünülerek apıldığına dikkat ediniz.) f(+)= +5 ise f(g())= +5 olarak düşünülebilir. g() g()=+ ise g ı ()= [f(g())] ı =g ı ().f ı (g()) bağıntısından ( +5) ı =(+) ı.f ı (+) =.f ı (+) =f ı (+) += ise = dir. Yerine azarsak f ı (+)= ise f ı (.+)= Cevap: f ı ()= f(+)= +4 olduğuna göre, f ı (7) kaçtır? f(+)= +4 her iki tarafın türevi alınırsa, (+) ı.f ı (+)=( +4 ) ı ise.f ı (+)=+4 +=7 ise =.f ı (+)=+4 eşitliğinde erine azıldığında.f ı (.+)=.+4 ise.f ı (7)=8 ve f ı (7)= 8 Cevap: 8 f( +)= + olduğuna göre, f ı () kaçtır? f( +)= + ifadesinde her iki tarafın türevi alınırsa, ( +) ı.f ı ( +)=( + ) ı ise.f ı ( +)= + += ise = erine azılırsa,.f ı ()=+ ise f ı ()= Cevap: f()=.g(), g()=4 ve g ı ()= olduğuna göre, f ı () kaçtır? Uarı Çarpım şeklindeki ifadelerin türevinden dolaı, [.g()] ı =( ) ı.g()+[g()] ı. olduğunu hatırlaalım. f ı ()=( ) ı.g()+[g()] ı. =.g()+() ı.g ı (). =.g()+.g ı (). erine azılırsa f ı ()=.g()+.g ı (). 4 =.4+.=4 Cevap: 4 6

24 soru soru 5 f(+7)=5 + olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f(+)= +5 olduğuna göre, f ı (7) kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()=9 olduğuna göre, f ı (6) kaçtır? soru 6 f( )= + olduğuna göre, f ı (8) kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 A) B) C) D) 4 E) 5 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f(5 )= + olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f( +)= + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) 5 E) soru f = 9 olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 soru 8 f( +)= +7 olduğuna göre, f ı (ñ7 ) kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 D C C 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B 7

25 [f()] n biçimindeki ifadelerin türevi: ([f()] n ) ı =n.[f()] n.f ı () biçimde alınır. f() ' e bağlı bir fonksionu temsil edip logaritmik, trigonometrik de olabilir. Türevini alırken içteki fonksionunda türevini almaı unutmaınız. a) f()=(+) 7 b) f()=( ) 5 c) f()=( +) 4 a) f ı ()=7.(+) 7.(+) ı =7.(+) 6 b) f ı ()=5.( ) 5.( ) ı =5.( ) 4.=5.( ) 4 c) f ı ()=4.( +) 4.( +) ı =4.( +).() =8.( +) a) f()=( + ) b) f()=( +) 5/ c) f()= 5 4 a) f ı ()=.( + ).( + ) ı =.( + ) 4.(+) 5 5 b) = + 5 f () ( ).( + ) = ( + ).(+ ) 5 c) f() = 4 = (4 ) 5 şeklinde azılabilir. 4 = 5 f ( ).(4 ).(4 ) =.(4 ) =. (4 ) 5 5 Konu Kavrama Çalışması f() Türev almada birinci adım f ı () ( ).( ).( ) ı.( ). (+).(+).(+) ı.(+) ı ( +5) 5 5.( +5) 5.( +5) ı 5.( +5) 4. ( +) 4 4.( +) 4.( +) ı 4.( +).(+) ( + ) 6 6.( + ) 6.( + ) ı 6.( + ) 5.(6 +) ( + ). ( ) ( ) ı +. + ( ).( + ) + ( + 5).( ).( ı + + ).( + 5).( + 5) ( + ).( + ) ( + 5) ( +).( +).( +) ı.( +).(+) 8

26 soru f()=(6 ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 8.(6 ) B).(6 ) C) (6 ) D) 6 E) 6 soru 5 5 f() = ( + 5 ) 5 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 5 ) B) ( + 5 ) C)( + ).( + ) 5 D)( + ).( + 5 ) E)(5 + 5).( + 5 ) 5 soru f()=(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f() = + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) (+) B) 4(+) C) + D) E) 4 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) B) C) D) E)9 soru f() = olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? f() = ( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) 4. A) 7 B) 5 C) 4 D) E) + + D). E) 8. soru 4 soru 8 f()=( +) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).( +).( ) B) ( +) C) ( +).( ) D).( +)( ) E) 9 f()=((+) +) olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? A) 48 B) 84 C) 96 D) E) 9 A B D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 E 9

27 Trigonometrik Fonksionların Türevleri sinüs ve kosinüs fonksionlarının türevleri, bileşke fonksionların türevleri mantığı kullanılarak alınabilir. [sin(f()] ı =f ı ().cosf() ve [cos(f()] ı = f ı ().sinf() dir. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=sin b) f()=sin5 c) f()=cos d) f()=cos(7) a) f ı ()=() ı.cos=cos b) f ı ()=(5) ı.cos5=5.cos5 c) f ı ()= () ı.sin= sin d) f ı ()= (7) ı.sin(7)= 7.sin7 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=sin( +5) b) f()=sin(sin) c) f()=cos(sin4) d) f()=cos( cos) a) f ı ()=( +5) ı.cos( +5)=(+5)cos( +5) b) f ı ()=(sin) ı.cos(sin)=cos.cos(sin) c) f ı ()= (sin4) ı.sin(sin4)= 4.cos4.sin(sin4) d) f ı ()= ( cos) ı.sin( cos)= (+sin).sin( cos) Konu Kavrama Çalışması Trigonometrik Fonksion Türev almada. adım Türevi sin6 (6) ı.cos6 6.cos6 cos(+) (+) ı.sin(+).sin(+) sin( +5) ( +5) ı.cos( +5).cos( +5) cos( +) ( +) ı.sin( +) ( +).sin( +) sin(cos) (cos) ı.cos(cos) sin.cos(cos) cos(sin) (sin) ı.sin(sin) cos.sin(sin) sin.sin.(sin) ı sin.cos cos.cos.(cos) ı.cos.( sin) sin +cos.sin.(sin) ı +.cos.(cos) ı sin.cos+cos.( sin)=0 0

28 soru soru 5 f()=sin(7+7) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos(7+7) B) cos(7+7) C) 7.cos(7+7) D) 7.sin(7+7) E) sin (7+7) f()=sin+cos olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos+sin B) cos sin C) sin sin D) cos+sin E) cos sin soru f()=cos( 5) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).sin( 5) B).sin( 5) C) sin( 5) D). sin( 5) E) 4. sin( 5) soru 6 f()=sin(cos5) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) sin5.cos5 B) cos5.cos(5) C) sin5.cos(cos5) D) 5sin5.cos(cos5) E) 5sin5.cos(cos5) soru f()=sin( 4 +) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()=cos () olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos( 4 +) B) 4.cos( 4 +) C) 4.cos( 4 +) D) 4.sin( 4 +) E) 4.sin( 4 +) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).sin.cos B).sin.cos C) 4.sin.cos D) 4.sin.cos E) 4.sin.cos soru 4 =sin(+) olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d A) cos(+) B) cos(+) C).cos(+) D).sin(+) E).sin(+) soru 8 = sin olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) cos B) sin. cos C) sin sin cos D) E) cos sin C A B 4 C 5 E 6 D 7 D 8 E

29 Tanjant ve kotanjant fonksionlarının türevleri de anen sinüs ve kosinüsde olduğu gibi bileşke fonksion mantığı kullanılarak alınır. f () f () [tan f()] = ve [cot f()] = cos f() sin f() = + tan = sec cos olduğunu hatırlaınız. = + cot = cosec sin olduğunu hatırlaınız. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=tan b) f()=tan c) f()=cot d) f()=cot5 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=tan( +) b) f()=tan c) f()=cot( +) d) f()=cot Konu Kavrama Çalışması: () a) f () = = cos cos () b) f () = = cos () cos () () c) f () = = sin sin (5) 5 d) f () = = sin (5) sin (5) ( + ) a) f () = = cos ( + ) cos ( + ) ( ) tan b ) f ( ) =.tan.(tan ) = tan.(tan ) = cos ( + ) c) f () = = sin ( + ) sin ( + ) cot d) f ( ) = cot.(cot ) =.cot.(cot ) = sin f() Türev almada. adım f ı () tan(8) cot(0) tan( + ) cot( 7) tan+cot tan(sin) cot 7 (8) cos 8 (0) sin (0) ( ) + cos ( + ) ( 7) ( ) sin 7 () () cos sin (sin) cos (sin) (cot 7) = (cot 7).(cot 7) 8 cos 8 0 sin (0) + 6 cos ( + ) 7 sin ( 7) cos sin cos cos (sin) (cot 7). 7 sin 7

30 soru f()=tan(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) C) sin ( + ) sin ( + ) cos ( + ) + D) E) cos ( + ) cos ( + ) soru 5 f()=+cot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) +tan B) tan C) cot D) +cot E) cot soru soru 6 =cot(6) olduğuna göre, eşittir? d d ifadesi aşağıdakilerden hangisine 6 A) tan6 B) C) sin 6 sin D) E) sin 6 cos 6 soru f()=cot( ) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()=tan +tan olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? tan tan tan A) B) C) cos cos cos tan + tan D) E) cos cos soru 7 f()=tan (4) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) sin( ) sin ( ) sin D) E) sin ( ) cos ( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? tan 4 tan 4 tan 4 A) B) C) cos 4 cos 4 sin 4 cot 4 cot 4 D) E) sin 4 cos 4 soru 4 f()=tan cot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) sin + cos C) sin + cos tan cot D) sec + cosec E) sec + cos soru 8 =tan(p) olduğuna göre, d ifadesinin değeri kaçtır? d = π π π π A) B) C) D) E) π π+ π + π+ π + C D B 4 D 5 E 6 D 7 A 8 E

31 Ters Fonksionun Türevi =f() fonksionunda f ()= olduğunu bilioruz. Fonksionların bu şekilde tersini alarak daha sonra türevini almak bize büük kolalık sağlaacaktır. (f ) ı ( o )= kuralı genel olarak verilen kuraldır. Fakat, f()= f ()= bağıntısı ile de sorular çözülebilir. f ( o) f()= + olduğuna göre, (f ) ı (9) kaçtır? f()= + ise =f ( +) Eşitliğin her iki anının türevi alınırsa, () ı =[f ( +)] ı ise () ı =( +) ı (f ) ı ( +) =.(f ) ı ( +) +=9 ise = (f (9) elde etmee çalışıoruz.) = (f ) ı ( +) ise =..(f ) ı ( +) Buradan, (f ) ı (9)= Cevap: f( +)= olduğuna göre, (f ) ı (5) kaçtır? f( +)= ise += f ( ) ( +) ı =[f ( )] ı ise +=( ) ı.(f ) ı ( ) +=.(f ) ı ( ) =5 ise = (f ) ı (5) elde etmee çalışıoruz.) = azılırsa, +=(f ) ı ( ) ise.+=(f ) ı (. ) (f ) ı (5)= 7 Cevap: 7 f : [, ) [, ) f()= 4+5 olduğuna göre, (f ) ı (5) kaçtır? (Bu tarz sorularda tanım kümesinin hangi saıları kapsadığı çok önemlidir.) f()= 4+5 ise =f ( 4+5) (f ) ı ( 4+5).( 4)= ( 4+5=5 ise =0 vea =4) Tanım kümesi [, ) olduğu için =4 alınır. =4 ise (f ) ı ( ).(.4 4)= (f ) ı (5).4= ise (f ) ı (5)= 4 Cevap: 4 f : R {} R {} f()= + olduğuna göre, (f ) ı (4) kaçtır? Fonksionun tersini almak kola ise önce tersini alırız. + + f()= ise f () = ifadesinin türevi alınırsa.( ).( ) (f )() ı + = ifadesinde =4 azıldığında ( ). 9 (f )(4) ı = = 7 Cevap: 7 4

32 soru f()=+7 olduğuna göre, (f ) ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) E) 7 soru 5 f( +)= 5 olduğuna göre, (f ) ı (0) kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 soru f()= 5 olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru 6 f : [, ) [6, ) f()= +7 olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru f()= olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f : [, ) [7, ) 5 f()=5 0+8 A) B) C) 0 D) E) olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru 4 f() = olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 8 f()= a + 5 ( ) f fonksionu verilior. () = ( + ) olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4 C B D 4 D 5 E 6 C 7 A 8 D 5

33 Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Sinüs, kosinüs, tanjant ve kontanjant fonksionlarını tersi olan arcsin, arccos, arctan ve arccot fonksionlarının türevleri sırasıla andaki gibidir. f () f () [arcsin f()] =, [arccos f()] = f () f () f () f () [arctan f()] =, [arc cot f()] = + f () + f () Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) arcsin b) arccos c) arcsin4 d) arccos a) () = b) () = c) (4) = 4 (4) 6 d) () = () 4 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) arctan b) arccot c) arctan(+) d) arccot5 a) () = + + b) () = + + c) ( + ) = + ( + ) + ( + ) d) (5) 5 = + (5) + 5 f()=arctan olduğuna göre, f ı () kaçtır? () f () = = + () + 4 f () = = Cevap: 5 f()=.arccot olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? (Çarpımın türevinde, [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () olduğunu hatırlaalım.) f ı ()=( ) ı.arccot+.(arccot) ı f () =.arc cot +. + f ( ) =.arc cot( ) π π f ( ) =. = 4 Cevap: π 6

34 soru f()=arcsin+arccos olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 f()=arccot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru soru 6 f()=arcsin 4 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 8 8 soru f()=arccos( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()=arctan+arccot olduğuna göre, f kaçtır? A) 9 B) C) D) E) soru 7 f()=arctan( )+arccot olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) ( ) D) E) ( ) A) B) C) D) E) soru 4 =arccos(ñ) olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d = olduğunu hatırlaın. A) B) C) D) E) soru 8 f()=arctan(cos) olduğuna göre, f π 6 kaçtır? A) B) C) D) E) A D D 4 B 5 E 6 E 7 C 8 D 7

35 Üstel Fonksionların Türevi Üstel fonksionların tanımı gereği a f() gibi bir ifadede a sıfırdan büük ve den farklı olmalıdır. Bu üzden ancak f() vea (/) f() gibi fonksionların türevini alabiliriz. Üstel fonksionun genel türev alma kuralı [a f() ] ı =f ı ().a f().lna dır. a=e (e=,78...) olma durumunda kuralımız, lne= olduğundan [e f() ] ı =f ı ().e f() olur. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()= b) f()= 5+ c) f()= +4 d) f()=5 sin a) f ı ()=() ı..ln=..ln=.ln b) f ı ()=(5+) ı. 5+.ln=5. 5+.ln c) f ı ()=( +4 ) ı. +4.ln=(+4). +4.ln d) f ı ()=(sin) ı.5 sin.ln5=cos.5 sin.ln5 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=e b) f()=e 4 c) f()=e +4 d) f()=e cos4 a) f ı ()=() ı.e =.e =e (Türevi kendisine eşit olan fonksion) b) f ı ()=( 4) ı.e 4 =.e 4 c) f ı ()=( +4 ) ı.e +4 =(4+4).e +4 d) f ı ()=(cos4) ı.e cos4 = 4sin4.e cos4 f()=( +).e olduğuna göre, f ı () kaçtır? (Çarpımın türevinden, [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () olduğunu hatırlaalım.) f ı ()=( +) ı.e +( +).(e ) ı f ı ()=.e +( +).e f ı ()=e 0 +.e 0 =+=4 Cevap: 4 f()=e ln(4 + ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? (a log a b =b olduğunu hatırlaınız.) f()=e ln(4 + ) =4 + f ı ()=8+ f ı ()=7 Cevap: 7 8

36 soru f()= olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).ln B). C).( ) D) ( )..ln E) ( ). soru 5 = e olduğuna göre, d d = e e aşağıdakilerden hangisidir? olduğunu hatırlaınız. A) e B) e C) e D) e E) e soru soru 6 f()=e +5 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +5).e +5 B).e +5 C).e +5 D) e +5 E) e +5 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()= tan olduğuna göre, π f 4 aşağıdakilerden hangisidir? A).ln B).ln C) 4.ln D) 6.ln E) 8.ln soru f()= a+ ve f ı (0)=9.ln olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 7 f()=e +ln olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) e Bi) e C) e D) 4e E) 5e soru 4 soru 8 f()=e sin olduğuna göre, f ı (p) kaçtır? f()= sin +e cos π olduğuna göre, f kaçtır? A) pe B) e C) e D) E) 0 A) B) 0 C) D) E) D A C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 A 9

37 Logaritma Fonksionunun Türevi f () Logaritma fonksionunun türevi [loga f()] =.logae dir. (e=,78...) f() f () Logaritmadaki tabanımız a=e olursa formüldeki log e e= olacağından [ln f()] = f() dir. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=log b) f()=log ( +) c) f()=ln d) f()=ln( +) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=.ln b) f()= ln (Çarpımın türevinde [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () f() f ().g() f().g() Bölümün türevinde = g() [g()] hatırlaınız.) f()= ln( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? 7 ( ) f() = ln 5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? olduğunu () a) f () =. loge =. loge ( ) + b) f () =. loge =. log e + + () c) f () = = ( ) + + d) f () = = + + a) İfade çarpım halinde olduğundan f () = ().ln + (ln). =.ln +. = ln + b) İfade bölüm halinde olduğundan (ln). ( ).ln f () = f () =..ln ln = f ı ()=( ) ı.ln( )+[ln( )] ı. f () =.ln( ) +. f () = 4.ln+. 4= 0+ 4= 4 Cevap: 4 7 = 5 7 f() ln =. ln (log 5 a m =m.log a olduğunu hatırlaalım.) f() =. ln =. ise f() = Cevap: f() = log + olduğuna göre, f ı (0) kaçtır? n m n = a am olduğunu hatırlaınız. f () = log + 4 ( ) =. log ( + ) 4 f() =.. log e ve f(0) = Cevap: 0 40

38 soru =log(+) olduğuna göre, d d a = log e olduğunu hatırlaınız lna aşağıdakilerden hangisine eşittir? soru 5 f()=ln( +) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) ( + ).ln0 ( + ).ln0 ln0 ln0 ln0 D) E).( + ) + soru f()=ln(5+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=e.ln olduğuna göre, f ı () kaçtır? 5 5 A) 5 B) C) D) E) (5 + ) (5 + ) soru =log(e ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) loge B) ln0 C) e D) e.ln0 E) e ln0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) e soru 7 B) ñe C) e D) e E) e f() = log + log + log + log olduğuna göre, f kaçtır? (log a +log a +log a z=log a (..z) olduğunu hatırlaınız) loge loge A) loge B) loge C) D) E) loge soru 4 f()=lne ( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 8 f()=ln(sin) π olduğuna göre, f kaçtır? 4 A) B) 0 C) D) E) A C A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 4

39 Logaritma Yardımı ile Türev =f() g() şeklindeki fonksionların türevi alınırken aşağıdaki adımlar izlenir..adım: Her iki tarafın "e" tabanında logaritması ani ln'i alınır. =f() g() ise ln=lnf() g() buradan ln=g().lnf().adım: Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır. (ln) ı =[g().lnf()] ı f () ise = g().lnf() +.g() f().adım: Eşitliğin sol tarafındaki ifadesi karşıa çarpım olarak atılır. f () Sonuç: =. g().lnf() +.g() f() = fonksionunun türevini bulunuz..adım:.adım:.adım: Her iki tarafın ln' ini alalım. = + ise ln=ln =ln Her iki tarafın türevini alalım. (ln) ı =(ln) ı ise = ().ln +.(ln) = ln + ' i sağ tarafa çarpım olarak atalım. ı =.(ln+) ise ı =.(ln+) Cevap:.(ln+) = + fonksionunun türevini bulunuz..adım: Her iki tarafın ln' ini alalım. = + ise ln=ln + ve ln=(+).ln.adım: Her iki tarafın türevini alalım. =.ln +.( + ).adım: ' i sağ tarafa çarpım olarak atalım = + =. ln. ln + Cevap: +. + ln + = sin fonksionunun türevini bulunuz. sin sin = ise ln= ln = sin.ln = cos.ln +.sin sin sin sin =. cos.ln + =. cos.ln + sin sin Cevap:. cos.ln+ Sonuç Bu örnekleri incelediğimizde, lerin uzun ama her soruda anı aşamaların olduğunu görebiliriz. Bu nedenle, bu bölümü en az üç kez olmak üzere azarak çalışalım ve tekrar edelim. 4

40 soru f()=(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A ) ln( + ) + B).ln( + ) C) ( + ). ln( + ) + D) ( + ). ln( + ) E) ( + )..ln( + ) + + soru 5 f()=() olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) lne B) ln4e C) ln4e D) lne E) ln soru = ( +) olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? + + ( ) ( + ) + A).ln + B) ln + + ( ) ln ( + ) + C) + D) ln + ( + ) E) ( + ).ln + KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 6 f() = ( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 soru =(sin) olduğuna göre, ı aşağıdakilerden hangisidir? A) (sin).(.lnsin+) B) (sin).(lnsin+) C) (sin).(lnsin+.cot) D) (sin) (cot.ln+) E) (sin).(lnsin+cot) soru 7 f()=(e ) ln olduğuna göre, f ı (e) kaçtır? A) e B) e C) e D) e e E) e e soru 4 f()=(tan) olduğuna göre, π f 4 kaçtır? π π π π π A) B) C) D) E) soru 8 f()=e +.(+) olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) D A C 4 E 5 B 6 B 7 E 8 B 4

41 Kapalı Fonksionun Türevi F(,)=0 biçimindeki fonksionlara kapalı fonksion denir. Örneğin, + + 5=0 ifadesi bir kapalı fonksiondur. Arıca += gibi fonksionlarda + =0 biçimine getirilerek kapalı fonksion haline getirilir. Kapalı fonksionların türevi, d F = d F F ı : e göre türev ( değişken, sabit) F ı : e göre türev ( değişken, sabit) + +5=0 fonksionunun e göre türevini, F ı ifadesini bulunuz. (' e göre türevi alırken, dışındakileri sabit saı olarak alırız.) F ı =( ) ı +( ) ı () ı +5 F ı ()= = e göre türevde sabit dolaısıla türevi sıfır. Cevap: + 4+=0 fonksionunun e göre türevi, F ı ifadesini bulunuz. F ı = + + F ı =( ) ı +() ı (4) ı +() ı 0 0=+ Cevap: =0 fonksionunun e göre türevi, F ı ifadesini bulunuz. (' e göre türevi alırken, dışındakileri sabit saı olarak alırız.) F ı =( ) ı +( ) ı +( ) ı +() ı = =6+ F ı e göre türevde sabit dolaısıla türevi sıfır. Cevap: =0 fonksionun türevini bulunuz. F ı =+ ve Fı =+ olur. d F + = = d F + + Cevap: + sin(5+)+ + =0 fonksionun türevini bulunuz. F ı =(5+)ı.cos(5+)+( ) ı +( ) ı F ı =5.cos(5+)+ +0=5.cos(5+)+ F ı =(5+)ı.cos(5+)+( ) ı +( ) ı F ı =.cos(5+)+0+=cos(5+)+ d F cos(5 + ).5+ = = d F cos(5 + ).+ 44

42 soru F(,)= + 4+=0 olduğuna göre, F ı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) (+) C) D) E) + soru 5 F(,)=ñ+ñ+=0 olduğuna göre, F ı (4,) kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru F(,)= + + 5=0 olduğuna göre, F ı aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) soru 6 F(,)=.ln+.ln=0 olduğuna göre, F ı (e,e) kaçtır? A) B) C) 0 D) E) D) 5 E) ( ) soru F(,)= + 6=0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 F(,)=sin() cos()=0 olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 F(,)= + +=0 F(,)=ln( )=0 olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) + + olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) + C C C 4 A 5 A 6 B 7 A 8 D 45

43 Türevde Zincir Kuralı =f(t), t=g(v) ve v=h() biçiminde verilmiş parametrik fonksionlarda d i bulmak için d d d dt dv d d dt dv =.. kuralı ugulanır. =.. d dt dv d olduğunu görebiliriz. d dt dv d u=v +4v olduğuna göre, du dv ifadesini bulunuz. du, u nun v e göre türevi anlamına geldiğine göre, dv du dv =4v+4 Cevap: 4v+4 =t + t= olduğuna göre, d d d d = dt d dt =. d d dt d dt ifadesini bulunuz. olduğunu görebiliriz. ( d dt : nin t'e göre türevi, : t nin 'e göre türevidir. dt d d dt = 4t = dt d d d dt =. = 4t. = t d dt d Cevap: t =a a+ a=t t olduğuna göre, d dt ifadesini bulunuz. d da = a = t da dt d d da =. = (a ).(t ) dt da dt Cevap: (a )(t ) =v v+ v= olduğuna göre, d d ifadesinin = için değerini bulunuz. d dv = v ve = 4 dv d d d dv =. = (v ).4 d dv d = için v=. =5 bulunarak bu değerler türev ifadesinde azılırsa, d d =(v ).4=(.5 ).4.=7 Cevap: 7 =t +t t=v+ v= +5 olduğuna göre, d d ifadesini bulunuz. d dt dv = t +, = ve = dt dv d d d dt dv =.. = (t + )..( ) d dt dv d Cevap: (t +)..( ) 46

44 soru = + olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 4 D) 4+ E) 4+ soru 5 u= =u + olduğuna göre, d d ifadesinin = için değeri kaçtır? A) 48 B) 6 C) 8 D) 9 E) 4 soru =t 4 +t t= + olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) (8t +).(+) B) (t 4 +t).(+) C) (8t +).( +) soru 6 =t +5t t= + olduğuna göre, d ifadesinin = için değeri kaçtır? d A) B) 6 C) 9 D) 7 E) 90 D) (8t ).(+) E) (t +).(+) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 =5 + =t+ olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? dt A) 5 B) 0 C) 0 D) 0t E) 0t =e t t=ln olduğuna göre, d ifadesinin = için değeri kaçtır? d A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 =sint t= olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d A) cost. B) ( ).sint C) ( ).cost D) cost.( ) E) 6.cost soru 8 =( +) =t +t t=u+ olduğuna göre, d ifadesinin u=0 için değeri kaçtır? du A) 80 B) 40 C) 0 D) 0 E) 0 C A C 4 D 5 B 6 E 7 B 8 B 47

45 Parametrik Fonksionların Türevi =f() fonksionunda, ve başka bir parametre (değişken) ardımı ile ifade edilior ise =f() fonksionuna parametrik fonksion denir. Örneğin, =t + ve =t t gibi Parametrik fonksionun türevi, d d = dt şeklinde hesaplanır. (t erine ugun başka harf azılabilir.) d d dt =t t+ =t +5 olduğuna göre, d dt ve d dt ifadelerini bulunuz. =t d t+ ise dt =t ( 'in t 'e göre türevi) =t d +5 ise =t ( 'nin t 'e göre türevi) dt =t +5t =sint olduğuna göre, d d =a +a+ =a +4a olduğuna göre, d d ifadesini bulunuz. ifadesinin a= için değerini bulunuz. =t d +5t ise =t+5 ( 'ın t 'e göre türevi) dt d =sint ise =cost ( 'nin t 'e göre türevi) dt d d dt cos t = = d d t + 5 dt =a +a+ ise =a +4a ise Cevap: d =a+ ( 'ın a 'a göre türevi) da d da =a +4 ( 'nin a 'a göre türevi) d d da a + 4 = = d d a + da Yukarıdaki ifadede a erine azılırsa, cost t =.+ 4 Cevap: 7 4 =e t +t =lnt+ olduğuna göre, d d ifadesinin t= için değerini bulunuz. d =e t +t ise dt =et + ( 'ın t 'e göre türevi) =lnt+ ise d = ( 'nin t 'e göre türevi) dt t d d = dt = t d d t e + dt Yukarıdaki ifadede t erine azılırsa, e+ Cevap: e+ 48

46 soru =t =t + olduğuna göre, d d ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? t t t 4t 5t A) B) C) D) E) soru 5 =lnt =ln(t +t) olduğuna göre, d d ifadesinin t= için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru soru 6 =u +u =u olduğuna göre, d d ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? u+ u+ u A) B) C) u u u+ soru u u D) E) u+ u+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI =sinq+ =cosq olduğuna göre, d d ifadesinin q= π 4 için değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru 7 =t + =t olduğuna göre, d d ifadesinin t= 7 için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) =e t t =e t +t olduğuna göre, d d ifadesinin t=0 için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru 4 t t = 5 4 t t = 5 4 olduğuna göre, d d in t=ñ için değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) soru 8 =cos a a =sin a+a olduğuna göre, d d π ifadesinin a= için değeri kaçtır? A) B) C) D) E) C A B 4 E 5 C 6 A 7 D 8 A 49

47 Yüksek Dereceden Türevler (Ardışık Türevler) n d =f() fonksionunun n.dereceden türevi n d vea f (n) () ile gösterilir. =f() fonksionunun. türevi : d d vea fı () vea ı d. türevi : d vea f ıı () vea ıı d. türevi : d vea f ııı () vea ııı 4. türevi :.. 4 d 4 d vea f (4) () vea (4) n d n. türevi : vea f (n) () vea (n) ile gösterilir. n d Yüksek dereceden türev sorularında genelde bir döngü (period) akalaarak türevi almaa çalışırız. Bunun için döngü bulunana kadar türev alırız. f()= + + fonksionunun üçüncü türevi f ııı () i bulunuz. f ı ()= +6 f ıı ()=6+6 f ııı ()=6 (. türev) (. türev) (. türev) Cevap: 6 f()= +a +b ve f ıı ()= olduğuna göre, a kaçtır? f ı ()= +a f ıı ()=6+a (. türevinde = değeri erine azılırsa) f ıı ()=6+a= a= bulunur. Cevap: f()=e fonksionunun dördüncü türevi f (4) () i bulunuz. f ı ()=() ı.e =.e f ıı ()=.() ı.e =..e =.e f ııı ()=.() ı.e =..e =.e f (4) ()=.() ı.e =..e = 4.e =8.e olur. Cevap: 8.e f()=sin fonksionunun.mertebeden türevi f () () i bulunuz. f ı ()=cos f ıı ()= sin f ııı ()= cos f (4) ()=sin f (5) ()=cos f() fonksionunun 5.türevi ile.türevi anı. Bu nedenle, her 4 ifadede bir anı sonuçlar çıkar. (Döngü akalandı tekrar türev almaa gerek oktur.) saısının 4'e bölümünden kalan olduğu için f () ()=f () () olur. f () ()=f ııı ()= cos Cevap: cos 50

48 soru f()= +7 olduğuna göre, f ıı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 soru 5 f()=(+) +( ) 4 olduğuna göre, f ı ()+f ıı ( ) kaçtır? A) 60 B) 64 C) 68 D) 7 E) 76 soru f()= olduğuna göre, f ııı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=a +b+c ve f()=, f ı ()=, f ıı ()= olmak üzere, a.b.c kaçtır? A) +8 B) +4 C) 4+8 D) 4+ E) 4 +8 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()= +5 olduğuna göre, f ıı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 7 f()=e k ve f (5) ()=e k olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) soru 4 f()=( 0) olduğuna göre, f ııı () kaçtır? A) 0 B) 6 C) 8 D) 0 E) 4 soru 8 f()=sin olduğuna göre, f (4) () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos B) cos C) sin D) sin E) 0 C D B 4 E 5 A 6 A 7 B 8 D 5

49 f()=e + olduğuna göre, f (0) (0) kaçtır? f ı ()=e +. f ıı ()=e +..=e +. f ııı ()=e +...=e f (0) ()=e +. 0 f (0) (0)=e. 0 ('ün kuvveti ile türevinin derecesinin anı olduğuna dikkat ediniz.) Cevap: 0.e f()= 0 olduğuna göre, f (0) () ifadesinin eşiti kaçtır? f ı ()=0 9 f ıı ()= f ııı ()= f (0) ()= f (0) ()=0! Cevap: 0! f()= olduğuna göre, f (40) () ifadesinin eşitini bulunuz. f()= = f ı ()=. f ıı ()=.. f ııı ()=... 4 dikkat ediniz.)... f (40) ()= f (40) ()=40!. 4 ('in kuvveti, türevinin derecesi ve başa gelen saıların çarpımı arasındaki ilişkie) Cevap: 40! 4 =ln olduğuna göre, 40 d 40 d ifadesinin eşitini bulunuz. d = = = d d = =. d d = =.. d... ('in kuvveti, türevinin derecesi ve başa gelen saıların çarpımları arasındaki ilişkie dikkat ediniz.) 40 (40) d 40 = = d 9! Cevap: 40 5

50 soru 0 f() = 0! olduğuna göre, f (0) () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) 0! E) 0! soru 5 f()=sin olduğuna göre, ( ) f π kaçtır? A) B) C) D) E) 4 soru f()=ln olduğuna göre, f (0) () kaçtır? 0! A) 0! B) 9! C) 0! D) E)! soru 6 f()= ( 5 ) olduğuna göre, f kaçtır? A) (5!). 5 B) (5!). 4 C) (4!). 4 D) 5!. 4 E) 4!. soru =e 5+ olduğuna göre, 0 d aşağıdakilerden hangisidir? 0 d A) 5 0 B) e 5+ C) 5e 5+ D) 5 0.e 5+ E) 5!.e 5+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()=cos sin olduğuna göre, f () () aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C).cos D).sin E).sin soru 4 f()=ln(+) olduğuna göre, f () () aşağıdakilerden hangisidir?!! A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ).!.! D) E) ( + ) ( + ) soru 8 f()=e +e olduğuna göre, f (50) (0) kaçtır? A) 0 B) C) D) e 5 E) e 50 A B D 4 E 5 A 6 A 7 E 8 C 5

51 TÜREV UYGULAMALARI Türevin limite ugulanması (L' Hospital kuralı) Bir fonksionun herhangi bir noktasında limitini alırken 0 0 vea belirsizlikleri ile karşılaşılabilir. Bu durumda belirsizlikleri f() 0 f() f '() kaldıracak işlemler apılır. Bunlardan biri de L' Hospital kuralıdır. lim = vea lim = ise lim limitine a g() 0 a g() a g'() bakılır. Bu kural sadece 0 0 ve belirsizliklerinde ugulanabilir. L' Hospital kuralı ugulandıktan sonra ine belirsizlikle karşılaşılırsa, L' Hospital işlemi belirsizlik kalkana kadar ugulanabilir. 4 lim limitinin değeri kaçtır? lim 4 0 = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, 0 ( 4)' lim = lim = lim = = 4 ( )' Cevap: 4 7 lim limitinin değeri kaçtır? 7 0 lim = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( 7)'. lim = lim = = 7 ( 5 + 6)' 5. 5 Cevap: lim limitinin değerini bulunuz. ( lim ifadesinde ' in değişken, ' nin ise akınsadığı sabit olduğuna dikkat ediniz) lim = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( )' lim = lim = = ( )' 0 (' e göre türev alındığı için ' ler sabit gibi düşünülür.) Cevap: 4 a lim limitinin değerini bulunuz. a a ( lim ifadesinde a'nın değişken, 'in ise akınsadığı sabit oldu- a ğuna dikkat ediniz.) a 0 lim = a a 0 belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( a )' 0 a lim = lim = = a (a )' a a 0 (a' a göre türev alındığı için ' ler sabit gibi düşünülür.) Cevap: 54

52 soru lim limitinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 soru 5 + lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E) soru 4 6 lim 8 limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru 6 a ve b reel saı lim a + b = 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 0 E) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 8 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) e e lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) 0 D) e E) e soru 4 + lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 0 E) soru 8 ln lim e e limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B)0 C) D) E)e e e C C B 4 D 5 A 6 E 7 B 8 C 55

53 4 lim + 4 limitinin değeri kaçtır? 4 0 lim = = (Belirsizlik ok, bu üzden L' Hospital ugulanmaz.) L' Hospital kuralını belirsizlik olmaan durumda ugularsanız anlış cevap bulursunuz. Cevap: 0 sin + cos lim limitinin değeri kaçtır? π sin cos π sin =, cos π= sin + cos + ( ) lim = = 0 π sin cos ( ) (Belirsizlik ok, bu üzden L' Hospital ugulanmaz.) Cevap: 0 lim limitinin değeri kaçtır? lim = belirsizliği var, L' Hospital ugulanırsa, 0 0 ( + 4 )' + 4 lim = lim = lim 0 ()' = =. 4 4 Cevap: 4 e lim limitinin eşitini bulunuz. + 4 Uarı Belirsizlik sürdüğü sürece kural tekrar tekrar ugulanabilir. e lim = belirsizliği var, L' Hospital ugulanırsa + 4 (e )' e. lim = lim = tekrar L' Hospital ugulanırsa ( + 4)' (e )' e. lim = lim = lim e = ()' Cevap: 56

54 soru 6 lim 4 4 limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) soru 5 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) soru ln lim e ln + limitinin değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 soru 6 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru lim KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 + lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) limitinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) e E) soru 4 soru 8 lim 8 a + b + c lim = ve a + d = d + e limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 C A E 4 A 5 E 6 D 7 A 8 E 57

55 Türevin Polinomlara Ugulanması P() polinomu ( a) n ile tam bölünüor ise P(a)=P ' (a)=p"(a)=...=p (n ) (a)=0 dır. Örneğin, P()=( ) ve P()=0 dır. P '()=( ) ve P'()=0 dır. P ''()=6.( ) ve P''()=0 dır. P '''()=6 olduğundan P() 0 olur. P()= +a+b polinomu ( ) ile tam bölünüor ise b kaçtır? P(), ( ) ile tam bölünüor ise P()=0 ve P'()=0 P()=+a+b=0 P'()= +a ve P'()=+a=0 denklemleri ardımı ile a= ve b= bulunur. Cevap: P()=a ++b polinomu (+) ile tam bölünüor ise b kaçtır? P(), (+) ile tam bölünüor ise P( )=0 ve P'( )=0 P( )= a +b=0 P'()=a + ve P'( )=a+=0 denklemleri ardımı ile a= 4 ve b=8 bulunur. Cevap: 8 P()= 4 +b +c +d+e polinomu için P()=P'()=P"()=P'''()=0 olduğuna göre P() kaçtır? P()=P'()=P"()=P'''()=0 eşitlikleri P() in ( ) 4 ile tam bölündüğünü gösterir. Başkatsaı olan 4. dereceden P() polinomu, P()=( ) 4 olduğu için P()= olur. Cevap: ( ).P()= 5+ olduğuna göre, P() kaçtır? Her iki tarafın türevi alınır ise [( ).P()] ' =( 5+)'.P()+P'().( )= 5 (Çarpımın türevine = için P()+0=. 5 dikkat ediniz.) P()=7 Cevap: 7 ( )P()= a+ olduğuna göre, P() kaçtır? Eşitliğin sol tarafını sıfırlaıp a' ı bulmak için ifadede = azılır. = için 0= a+ ise a= ( )P()= + Her iki tarafın türevi alınır ise.p()+p'()( )= (Eşitliğin sol tarafında çarpım türevi alındığına = için P()+0=. dikkat ediniz.) P()=0 Cevap: 0 58