Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Transkript

1 Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler Sözlüğü, 969) teorem Đg. theorem Doğruluğu kaıtlaable öerme. ( BSTS / Matematk Termler Sözlüğü, 000) Büyük Sayılar Kauu Đstatstkçler, gelşgüzellğ (rasgelelğ) çde düze ararlar. Öreğ, düzgü br tavla zarıı atılması ve üste gele yüzeydek okta sayısıı gözlemes deey göz öüe alalım. Zar atıldıkça, gelşgüzel (rasgele) olarak,,,,,6 sayılarıda brs gelecektr. Öreğ aşağıdak sayılar böyle br deeyde gözlemştr Yatay eksede atış sayısı ve düşey eksede gele sayı olmak üzere, ve ardışık oktaları brer doğru parçası le brleştrlmesyle, grafkler elde edlr. Br gelşgüzellk göze çarpmakta Yatay eksede atış sayısı ve düşey

2 eksede gele sayıları ortalaması şaretlerse, elde edlr. Atış sayısı büyüdükçe gele sayıları ortalamasıda br yakısama göze çarpmakta Atış sayısı sosuza gttğde ortalamaları oluşturduğu dz. sayısıa (,,,,,6 sayılarıı artmetk ortalaması) yakısayacağı dda edleblr m? Eğer böyle br dda doğruysa bu rasgelelk ortamıda br düze, zam, kaudur. Böyle br ddaı doğru olup olmadığı asıl ortaya çıkarılacaktır? Deey yaparak mı? Deeysel olarak yalışlaamadığı müddetçe böyle br ddayı (kauu) geçerl sayablrz. Acak, böyle br deey yapamayız, çükü sosuz atış gerçekleştremeyz. Braz sora bu ddayı spatlayacağız. Matematkte, sagor Teorem spatlar gb.,,,,... bağımsız ve ayı µ ortalamalı σ < varyaslı rasgele değşkeler se µ Đspat:,,, bağımsız rasgele değşkeler ve E( ) = µ, olsu.,,, ler ortalaması, = = Var =, =,,, ( ) σ

3 olmak üzere, E = µ ve σ Var( ) = olup, Chebyshev eştszlğde, ( ) k k σ µ < σ = µ < k ε σ ve k =, ε= k > 0 ç σ ( µ < ε ) ε σ yazılır. Eştszlğ her k tarafıı ç lmt alıırsa, lm ( µ < ε ) lm ε σ ve olasılılığı brde büyük olamayacağı düşüülürse, lm µ < ε = ( ) elde edlr. Küçük her ε> 0 değer ç, lm µ < ε = olması durumu, ( ) olasılıkta µ ye yakısar dye fade edlmekte ve µ bçmde gösterlmektedr. Bu durum Zayıf Büyük Sayılar Kauu olarak blmektedr. Braz sora güçlü olaı da gelyor. Yukarıda, zar le lgl olarak spatlamak stedğmz dda, Zayıf Büyük Sayılar Kauu u br soucudur, başka br fade le Zayıf Büyük Sayılar Kauu u le lgl aşağıdak gb br örektr. Örek: Düzgü br tavla zarıı ardı ardıa atılışıda gele okta sayıları sırasıyla,...,,... rasgele değşkeler (bağımsız ve. ortalamalı, / varyaslı) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kauu a göre = = µ =. Buu: Düzgü br zar atıldıkça gele sayıları ortalaması. değere yakısamaktadır şeklde fade edeblrz. Daha ttz olarak fade edlrse: Đsteldğ kadar küçük ε> 0 değer ç, lm. < = olmak üzere, lmt dr. ( ) ε değerler. sayısıı ε komşuluğuda bulumaları olasılıklarıı

4 Deey: Düzgü br tavla zarıı 0 kez atılışıda aşağıdak değerler gözlemştr toplamlar: ortalamalar: olmak üzere, yatay eksede atış sayısı ve düşey eksede gele sayıları ortalaması şaretlerse,.. elde edlr

5 Smülasyo: Düzgü tavla zarı atılışı deey Matlab da fx(ufrd(,7)) deym le gerçekleştreblrz (smüle edeblrz). ufrd(,7) foksyou U (, 7) düzgü dağılımda rasgele sayı üretmekte olup, fx foksyou buu tam değer vermektedr. Öreğ, >> x=fx(ufrd(,7,,0)) x = >> x=fx(ufrd(,7,,0)); for =:0;xort()=mea(x(:));ed plot(xort) >> for j=:0; x=fx(ufrd(,7,,0)); for =:0;xort()=mea(x(:));ed; hold o; plot(xort); ed

6 Düzgü br paraı ardı ardıa atılışıda gele tura sayıları (0 ya da tae) sırasıyla,...,,... rasgele değşkeler (bağımsız ve b(, p= ), =,,,... ) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kauu a göre = atışta gele tura sayısı = = µ = p= Düzgü br para atıldıkça gele tura sayısıı ortalaması / değere yakısamakta Düzgü para atışı le lgl örek, k souçlu deeylere, ya Beroull deemelere geşletleblr.,...,,... rasgele değşkeler bağımsız ve b(, p), =,,,... ( p (0,) ) olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kauu a göre = deemedek başarı sayısı = = p Büyük Sayılar Kauu u bu özel hal Beroull Zayıf Büyük Sayılar Kauu olarak blmektedr. Buraya kadar alatılaları Đstatstk Bölümü kc sııf öğrecler rahatlıkla alayablr. Braz daha ler gdelm. Büyük Sayılar Kauları Büyük Sayılar Kauları, rasgele değşkeler ( ) gb br dzsde, = =, =,,,... ortalamalarıı ( ) dzs le lgl yakısamalar Brkaç taes fade edlm. Beroull Zayıf Büyük Sayılar Kauu:,...,,... rasgele değşkeler bağımsız ve b(, p), =,,,... ( p (0,) ) olmak üzere, p Beroull Güçlü Büyük Sayılar Kauu (Borel Teorem):,...,,... rasgele değşkeler bağımsız ve b(, p), =,,,... ( p (0,) ) olmak üzere, hhh y p Zayıf Büyük Sayılar Kauu: ( ) bağımsız ve ayı dağılımlı ( µ ortalamalı, dzs se µ σ < varyaslı) rasgele değşkeler br

7 Khch Teorem: ( ) bağımsız ve ayı dağılımlı, dağılımı ortalaması µ < ola rasgele değşkeler br dzs se µ Güçlü Büyük Sayılar Kauu: ( ) bağımsız ve ayı dağılımlı, dağılımı ortalaması µ < ola rasgele değşkeler br dzs se hhh y µ Geel Zayıf Büyük Sayılar Kauu: ( ) bağımsız rasgele değşkeler br dzs olsu. a) ( > ) 0 = b) ( I ( ) ) 0 = olduğuda, = ( ( ) ) E I Merkez Lmt Teorem De Movre, Laplace ve Gauss tarafıda bulua klask Merkez Lmt Teorem fade edelm. Merkez Lmt Teorem:,,,,... bağımsız ve ayı dağılımlı (dağılımı beklee değer µ, varyası ya, σ Đspat: (Uzatmayalım.) < ) ola rasgele değşkeler olmak üzere, z lm µ / t e dz σ = / µ dağılımda N(0,) σ / t

8 Büyük ler ç, σ ya, Z N(0,) olmak üzere µ z / t e dz / µ t ( Z t) σ / Yaklaşık olasılık hesaplarıda, büyük ler ç, t µ σ/ stadart ormal dağılımı dağılım foksyou alıablr. Kısaca, yere σ dağılım foksyou yere dağılım foksyou N µ, ormal dağılımı dağılım foksyou alıablr. Öreğ, düzgü br tavla zarıı ardı ardıa atılışıda gele okta sayıları sırasıyla,...,,... rasgele değşkeler (bağımsız ve. ortalamalı, / varyaslı) olmak üzere, 00 atış soucuda olasılığı, ( ) µ µ = =.977 σ σ 00 ( Z.977) ( ) = ormcdf(.977,0,)-ormcdf(-.977,0,) = Lapuov Teorem: ( ) dzs, bağımsız rasgele değşkeler, E( ) = µ, Var( ) = σ, β = E µ <, =,,... ve β / = / σ = ola br dzs se, 0 µ = = / σ = dağılımda N(0,)

9 Kau ve Teorem Yede, yazıı başıda ele aldığımız kau ve teorem soruua döelm. Kaular spatlaır mı? Öreğ, fzktek Newto kauu spatlaıyor mudur? Blmyorum. Fzkçlere sormak gerek. Matematkte, teoremler spatladığıda hemfkrz. Bell br aksyomatk temel (temel kavramlar ve aksyomlar) üzere kurulu br matematk yapıda matık kullaılarak (matık şemsyes altıda) aksyomlar ve öcek teoremlere dayalı olarak ye teoremler spatlamakta Matematktek aksyomları yer lkeler (prespler) aldığıı, öreğ Newto fzğde (eylemszlk, etk-tepk ve mometum lkeler) düşüeblrz. Đlkeler deeysel olarak doğrulaması gerekmez, geçerllkler kaybetmeler ç belk deeyler tarafıda yalışlaması yeterldr. Blmyorum. Fzkçler blr. Acak şu kadarıı söyleyeblrz: Eylemszlk lkes le lgl br deey yapmak ç doğrusal hareket gerçekleştrecek br doğru bulmak, ayrıca hareket sosuza kadar gözlemek gerekecektr. Her blm dalıı kede mahsus br yötemblm (metodolojs) var Fzk metodolojs deey esaslı Matematk se soyut br blm dalı Uygulamalı matematk dedğde, farkıda olsak da olmasak da, mutlaka başka br blm dalıı kousu ola determstk (sebep-souç lşkler kes) varsaydığımız br düyadayız. Đstatstkte durum edr? Br tarafta, Kolmogorov aksyomları üzere kurulu matematğe bezeye olasılık teors; dğer tarafta, ked lkeler (olablrlk lkes, yeterllk lkes, değşmezlk lkes gb lkeler) bulua ve adıa teork statstk dee br yapı; buu ötesde, gerçek düyadak rasgelelk çere olguları alatımıda ve problemler çözmede (rasgelelk ortamıda hesapktap yapmada) kullaıla, adıa uygulamalı statstk dee ve herkes tarafıda kullaıla yötem ve çözümleme tekkler olmak üzere, ĐSTATĐSTĐK hem matematğe hem de deeysel blmlere bezemektedr. ĐSTATĐSTĐK, karar kuramı şemsyes altıda kede mahsus metodolojs bulua br blm dalı Blm edr? Bu soruu gazabıda, matematk zar zor paçayı kurtarablmştr ( Matematk Blm m?, Blm ve Ütopya, sayı:9, Hazra 00). Đstatstğ ağzıa ala yok. TÜBĐTAK gb. Kuatum mekakç se çok. Ne dyelm? Đstatstk, rasgelelk le lgl hesap-ktap şdr. Lâzım oldukça kullaı, dyelm. Fzğ çde kau ve matematğ çde teorem kavramları açısıda br soru yoktur. Đstatstktek, Büyük Sayılar Kauu le Merkez Lmt Teorem kafa karıştırmakta Nede brde kau, dğerde teorem sözcüğü kullaılmaktadır? Bu soruu cevabıı kes olarak blmyorum. Boş zama buldukça cebe koyduğu k farklı rektek toplarda adel olarak çeklşler yapa Jacop Beroull, çekle toplarda bell br rege sahp olaları sayısıı çeklş sayısıa böldükçe, elde edle sayıları o rektek topları oraı etrafıda çıktığıı ve çeklş sayısı arttıkça bu oraa yaklaştığıı görmüştür. Muhtemele, Beroull br çok kş gb sezgsel olarak buu hssetmş olablr. Ayrıca, deeysel olarak destekleme yaıda matematksel olarak yerl yere oturtmak stemş olablr. Acak, De Movre-Laplace tarafıda spatlaa, teoremde sora, p t z lm = / t = e dz p( p)

10 = p öermes (teorem demeye dlm varmıyor ama, rahatlıkla teorem de dyeblrz) spatlamak mümkü olmuştur. Brc sııftak Đstatstk Bölümü öğrecler Chebyshev Eştszlğ yardımıyla çok kolay br şeklde Beroull Zayıf Büyük Sayılar Kauu u spatlayablmektedr. Zayıf Büyük Sayılar Kauu da gelşm, deeyde matematksel spata doğru, Merkez Lmt Teorem de se muhtemele matematk spatta (k bu ayı zamada Stadart Normal Dağılımı olasılık yoğuluk foksyouu buluuşu le örtüşmüş olup) uygulamaya doğru olmuştur. Bu sebeplerde dolayı bre kau dğere teorem demş olablr..0.00