Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
|
|
- Direnç Veli
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n verece iz. Birinci duruma bir örnek verelim. 4 5 ( ) 1 formülüyle tan mlanan fonksiyonu ele alal m. Bu fonksiyon her gerçel say için tan ml d r. çok çok büyüdü ü zaman bu fonksiyonun de erleri ne olur? Biraz düflününce anlafl laca üzere, çok büyük oldu u zaman, terimi paydaki terimine hükmeder, yani çok büyük oldu unda, nin yan nda pek küçük kal r, esamesi bile okunmaz. Örne in = 1000 iken say s milyon civar ndad r, ama say s, mutlak de eri al nd nda bile sadece 4000 dolay ndad r. milyonun 519
2 Limitler ve Sonsuzlar yan nda 4000 in sözü bile edilmez! daha da büyüdükçe ile aras ndaki fark astronomik olur. Benzer fley payda için de geçerlidir. Demek ki çok çok büyük oldu unda, ƒ() in kabaca /, / ye eflittir: 4 5 ( ). 1 e birkaç de er vererek, ƒ() i - örne in Ecel de - hesaplayal m. ƒ(1) = 1,... ƒ() = 1 ƒ() = 1, ƒ(10) = 1, ƒ(100) = 1, ƒ(1.000) = 1, ƒ(10.000) = 1, ƒ( ) = 1, ƒ( ) = 1, Görüldü ü gibi büyüdükçe ƒ() de eri 1,5 say s na yani / ye çok yaklafl yor. sonsuz oldu unda, ƒ() sanki tam 1,5 olacak! flte bu bölümde sonsuz oldu unda sözlerine anlam verece iz. Biz, sonsuz oldu unda demeyece iz de (çünkü olmaz öyle fley!), sonsuza gitti inde diyece iz. ƒ() in büyüdükçe / ye çok yak n bir de er oldu u flöyle de anlafl labilir: Pay ve payday ye bölelim / 5/ ( ). 1 1/ Beliren 4/, 5/, 1/ gibi ifadeler, beliren ve say lar yan nda çok küçük kal rlar, büyüdükçe bu ifadeler 0 a çok yaklafl rlar, sonsuz diye bir gerçel say olsa, 0 de erini alacaklar, ama öyle bir gerçel say olmad ndan sadece 0 a yak nsamakla yetiniyorlar.
3 51. Limitler ve Sonsuzlar 51 Bütün bu söylediklerimiz edebiyata girer flimdilik. Afla da, tan mlar matematiksel olarak verece iz. Sonsuza Gitti inde ƒ : bir fonksiyon ve b olsun. sonsuza gitti- inde ƒ(), b ye gider ya da b ye yak nsar n matematiksel anlam n verece iz. Edebi anlam flöyle: E er i yeterince büyük al rsak, ƒ() i b ye istedi imiz kadar yaklaflt rabiliriz, yani ƒ() ile b aras ndaki fark istedi imiz kadar küçük yapabiliriz, yeter ki i yeterince büyük alabilelim. b y y = ƒ() b y y = ƒ() sonsuza gitti inde b ye yak nsayan iki fonksiyonun grafi i Örne in, yukardaki örnekte b = / ve e er i den büyük al rsak, ƒ() ile / aras ndaki fark 0,001 i geçmez. E er ƒ() ile / aras ndaki fark n 0, i geçmemesini istiyorsak, o zaman i daha da büyük almal y z. (Ne kadar büyük almam z gerekti ini bulmak zorunda de iliz! Yeter ki yeterince büyük ald m zda ƒ() in b ye istedi imiz kadar yak n olaca - n bilelim.)
4 5 51. Limitler ve Sonsuzlar Matematiksel tan m verme zaman geldi: E er her > 0 için, > A ƒ() b < önermesini sa layan bir A say s varsa, o zaman, sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak nsar (ya da gider) denir. Birazdan kan tlayaca m z üzere, b say s, oldu unda biriciktir; yani e er sonsuza gitti inde ƒ() bir say ya yak ns yorsa, ƒ() ikinci bir say ya daha yak nsayamaz. Bundan ald m z cesaretle, lim ƒ() = b yazaca z. lk örne imizin sonsuza giderken / ye yak nsad n matematiksel tan ma uygun olarak kan tlayal m. 4 5 Örnek. lim. 1 Kan t:> 0, verilmifl olsun. Öyle bir A bulaca z ki, her > A için, ƒ() / < eflitsizli i sa lanacak. (Burada ƒ(), limiti al nacak kesirli ifadeyi simgeliyor.) Bunu yapmak için ƒ() / ifadesiyle oynay p, bu ifadenin dan küçük olmas için A n n ne kadar büyük olmas gerekti ini bulaca z. 4 5 ( 4 5) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)... Bu aflamada i 1 den büyük almaya and içelim ki paydaki ifadesi negatif olsun. Hesaplara devam edelim:
5 51. Limitler ve Sonsuzlar 5 fiimdi i 4/ dan büyük al rsak istedi imiz eflitsizli e ulafl r z ( 4 5) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) u bir de ayr ca 1 den büyük almal yd k. Demek ki A say s n ma{1, 4/} olarak seçebiliriz. Al flt rmalar 1. fiu eflitlikleri tan mdan hareketle kan tlay n: 4 5 lim, lim 5, lim Afla daki limitleri bulun ve buldu unuz limitin ifadenin gerçekten limiti oldu unu tan mdan hareketle kan tlay n lim, lim Yukardaki al flt rmalarda, limiti al nan fonksiyonlar n her gerçel say da tan mlanmad dikkatinizi çekmifltir. Örne in en son al flt rmada, = 1/4 1/ için ƒ() tan ms zd r. Ama ne önemi var ki!.. sonsuza giderken ƒ() in kaça yak nsayaca in çok büyük de erlerini ilgilendiren bir soru, ƒ() in birkaç say - da ald de erden ba ms z. Örne in, ƒ ve g fonksiyonlar bel-
6 Limitler ve Sonsuzlar li bir B say s ndan sonra eflitlerse, yani her > B için ƒ() = g() oluyorsa, o zaman, sonsuza giderken ƒ() in limiti varsa sonsuza giderken g() in de limiti vard r ve bu iki limit birbirine eflittir. Bunu görmek için, tan mdaki A say s n B den büyük seçmek yeterli. Demek ki asl nda sonsuza giderken ƒ() in limitini almak için fonksiyonun bütün kümesi üzerinde tan ml olmas gerekmiyor, sadece tan m kümesinde in sonsuza gidebilmesi, yani tan m kümesinin üstten s n rl olmamas yeterli. Verdi imiz tan m geniflletelim. Tan m. X, üstten s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. E er her > 0 için, (X ve > A) ƒ() b < önermesini sa layan bir A say s varsa, o zaman, sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak nsar (ya da gider) denir. Dikkat edilirse, X = oldu unda, ƒ() in sonsuza gitti inde b ye yak nsamas yla (ƒ(n)) n dizisinin n sonsuza gitti inde b ye yak nsamas ayn kavramlard r. sonsuza gitti inde hiçbir say ya yak nsamayan fonksiyon örne i vermek zor de ildir. ƒ() = ve ƒ() = fonksiyonlar büyüdü ünde sürekli büyürler ve hiçbir say ya yak nsamazlar. Ama s n rl olup da sonsuza gitti inde hiçbir say ya yak nsamayan fonksiyon örnekleri de vard r. 1 ile 1 aras nda yer alan sin fonksiyonu böyle bir örnektir (üstelik süreklidir); bunun kan t n önümüzdeki birkaç say içinde görece iz. Belki yapay bulunabilecek bir örnek: 1 e er ise ( ) 0 e er ise fonksiyonu alttan ve üstten s n rl d r ama sonsuza giderken limiti yoktur.
7 51. Limitler ve Sonsuzlar 55 y y = ƒ() y y = ƒ() sonsuza gitti inde hiçbir say ya yak nsamayan iki fonksiyonun grafi i fiimdi limitin - oldu unda - bir tane oldu unu kan tlayal m. Önsav X, üstten s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. E er sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak ns yorsa o zaman sonsuza gitti inde ƒ() baflka bir say ya yak nsayamaz. Kan t: sonsuza gitti inde ƒ() hem b ye hem de c ye yak nsas n ve bc olsun. = cb / olsun. B ve C say lar, (X ve > B) ƒ() b < ve (X ve > C) ƒ() c < önermelerini sa layacak biçimde seçilsin. O zaman = B + C + 1 için, hem ƒ() b < hem de ƒ() c < olur. Demek ki, = bc bƒ() + ƒ() c < / + / = olur. Bir çeliflki.
8 Limitler ve Sonsuzlar Demek ki gerçekten, sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak ns - yorsa, lim ƒ() = b yazabiliriz. (Birkaç tane olsayd, limitlerden birini, örne in en büyü ünü seçmek zorunda kalabilirdik, karekök fonksiyonunda yapt m z gibi...) E er X Y ise, X üstten s n rl de ilse ve ƒ : Y fonksiyonu sonsuza giderken b ye yak ns yorsa, ƒ nin X e k - s tlan fl olan ƒ X fonksiyonu da sonsuza gitti inde b ye yak nsar. Elbette! Ama bunun tersi do ru de ildir, yani sonsuza gitti inde ƒ, b ye ya da baflka bir yere yak nsamadan da ƒ X fonksiyonu b ye yak nsayabilir. Yan sütunda buna bir örnek verildi, 1 e er ise ( ) 0 e er ise örne i. Öte yandan sonsuza gitti inde ƒ X fonksiyonu b ye yak ns yorsa, ƒ fonksiyonu - e er bir yere yak ns yorsa - ancak b ye yak nsayabilir. Teorem 51.. lim 1/ = 0. Kan t: ƒ() = 1/ denklemiyle tan mlanan fonksiyonun tan m kümesini 0 içermeyen ve üstten s n rs z herhangi bir Xolarak seçebiliriz. > 0 olsun. A = 1/ olsun. E er Xsay s, > A eflitsizli ini sa l yorsa, o zaman ƒ() 0 = 1/ = 1/ < 1/A = olur. stedi imizi kan tlad k. Al flt rmalar 1. E er ƒ() s n rl bir fonksiyonsa, lim ƒ()/ = 0 eflitli ini kan tlay n.. Xve ƒ : Xbir fonksiyon olsun. sonsuza gitti inde ƒ() in limiti olsun.
9 51. Limitler ve Sonsuzlar 57 lim ƒ() = b ve lim n ƒ(n) = b eflitliklerinin eflde er olduklar n kan tlay n. sonsuza giderken al nan limitlerde toplama, çarpma ve bölmede bir sorun ç kmaz, her fley aynen tahmin edildi i gibi olur. Teorem 51.. X, üstten s n rl olmayan bir küme ve r olsun. ƒ, g : X, birer fonksiyon olsun. E er sonsuza gitti inde ƒ() ve g(), s ras yla b ve c ye yak ns yorsa o zaman sonsuza gitti inde ƒ() g(), rƒ() ve ƒ()g() s ras yla b + c, rb ve bc ye yak nsar. E er c 0 ise, 1/g() fonksiyonu 1/c ye yak nsar. Kan t: Teorem 7.1 in kan t ndan pek bir fark yok. Okura b rak yoruz. Al flt rmalar 4 1. lim eflitli ini kan tlay n. Bunu önce tan ma baflvurarak, sonra da yukarda kan tlanan sonuçlar kullanarak yap n lim limitini bulun. 6 1 Bileflkeyle limitin iliflkisi biraz daha problematiktir. Teorem X, üstten s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. lim ƒ() = b olsun. ƒ(x) Y için g : Y bir fonksiyon olsun. Ayr - ca (b nin Y nin bir yo unlaflma noktas oldu unu ve)
10 Limitler ve Sonsuzlar lim b g() = c eflitli ini varsayal m. Bir de, e er ƒ 1 (b) kümesi üstten s n rs z oldu unda g(b) = c eflitli ini varsayal m. O zaman lim g(ƒ()) = c olur. Kan t: > 0 olsun. lim b g() = c oldu undan, öyle bir > 0 vard r ki, e er y Y, 0 < yb < eflitsizliklerini sa l yorsa, g(y) c < olur. Öte yandan, lim ƒ() = b oldu undan öyle bir A vard r ki, her > A eflitsizli ini sa layan her Xiçin, ƒ() b < olur. E er ƒ 1 (b) kümesi üstten s n rl ysa, A y (A, ) ƒ 1 (b) = olacak kadar büyük seçelim. fiimdi Xsay s > A eflitsizli ini sa l yorsa, ƒ() b < olur ve e er ƒ() b ise (örne in ƒ 1 (b) kümesi üstten s n rl ysa), bundan, g(ƒ()) c < ç kar. E er ƒ 1 (b) kümesi üstten s n rl de ilse, ƒ() = b eflitli inin sa land noktalar nda da gene g(ƒ()) c = g(b) c = 0 < olur. Sonuç X, üstten s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun.
11 51. Limitler ve Sonsuzlar 59 lim ƒ() = b olsun. ƒ(x) Y için g : Y, b de sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman lim g(ƒ()) = c olur. Al flt rma. lim 0 + ƒ() = b ile lim ƒ(1/) = b eflitlikleri aras nda nas l bir mant ksal ba olabilir? Eksi Sonsuza Gitti inde Yukarda yapt klar m z motamo eksi sonsuza yak nsarken de yapabiliriz. Tan m verelim. Tan m. X, alttan s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. E er her > 0 için, (X ve < A) ƒ() b < önermesini sa layan bir A say s varsa, o zaman, eksi sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak nsar (ya da gider) denir., eksi ya da art sonsuza yak nsad ndaki limitler aras nda çok yak n bir iliflki vard r. Teorem X, alttan s n rl olmayan bir küme ve ƒ : X, bir fonksiyon olsun. Afla daki iki önerme eflde erdir: a), eksi sonsuza gitti inde, ƒ(), b ye yak nsar. b) lim ƒ() = b. Kan t: Çok bariz. Yukardaki teorem sayesinde, bir önceki bölümde kan tlad klar m zdan afla daki sonuçlar elde ederiz:
12 Limitler ve Sonsuzlar Sonuç X, alttan s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. E er eksi sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak ns yorsa, o zaman, eksi sonsuza gitti inde ƒ() baflka bir say ya yak nsayamaz. Kan t: Ya aynen Önsav 1 deki gibi kan tlan r ya da Teorem 51. ve Önsav 51.1 kullan l r. Dolay s yla e er eksi sonsuza gitti inde ƒ(), b ye yak ns - yorsa lim ƒ() = b yazabiliriz. Sonuç Teo. 51.,, eksi sonsuza giderken de geçerlidir. Sonsuza Yak nsamak Bazen bir fonksiyon belli bir noktaya yaklaflt nda s n rs z biçimde büyüyebilir. Örne in ƒ() = 1/ kural yla tan mlanm fl fonksiyon, 0 a çok yak nken çok büyür. Bu durumda,, 0 a giderken ƒ() sonsuza raksar (ya da gider) deriz. Biçimsel tan m flöyle: Tan m. ƒ : Xbir fonksiyon olsun. a, X in bir yo unlaflma noktas olsun. E er her A için, (X ve 0 < a < ) ƒ() > A eflitsizli ini sa layan bir > 0 say s varsa, o zaman,, a ya giderken ƒ() sonsuza raksar (ya da gider) ya da ƒ() in a da limiti sonsuzdur denir ve bu lim a ƒ() = olarak yaz l r. Eksi sonsuza raksamay da tan mlayal m:
13 51. Limitler ve Sonsuzlar 51 Tan m. ƒ : Xbir fonksiyon olsun. a, X in bir yo unlaflma noktas olsun. E er her A için, (X ve 0 < a < ) ƒ() < A eflitsizli ini sa layan bir > 0 varsa, o zaman,, a ya giderken ƒ() eksi sonsuza raksar (ya da gider) denir ya da ƒ() in a da limiti eksi sonsuzdur denir ve bu lim a ƒ() = olarak yaz l r. E er bir fonksiyonun a daki limiti ise, baflka bir say ya da olamaz elbette. Sonsuza raksamak, aynen yak nsamak gibi toplama ve çarpma ifllemleriyle uyumludur. Hatta sayfa 0-4 teki sonuçlar sonsuzlarla ifllem yap ld durumlara uyarlayabiliriz. Teorem lim a ƒ() ve lim a g() gerçel say ya da olsunlar, yani = {, } kümesinde olsunlar. kümesinde toplamay, çarpmay ve bölmeyi flöyle tan mlayal m: + a b a + b b < 0 0 b > 0 a < 0 ab 0 ab 0 a > ab 0 ab b < 0 0 b > a < 0 0 a > 0 b/a 0 b/a b/a 0 b/a (sütun/s ra) (Boflküme yazan hanelerde ifllem tan mlanmam flt r.) * ifllemi, toplama, çarpma ya da bölme ifllemlerinden birini simgelesin ve
14 5 51. Limitler ve Sonsuzlar (lim a ƒ())*(lim a g()) ifllemi yukar daki tablolarda tan mlanm fl olsun. O zaman, lim a (ƒ()*g()), ifadesi (lim a ƒ())*(lim a g()) nesnesine eflit olur. Kan t: Okura b rak lm flt r. Sonuç lim a ƒ() = ise ve r \ {0} bir gerçel say ysa, lim a rƒ() = r lim a ƒ() eflitli i sa lan r. Sonuç ƒ : Xbir fonksiyon ve a, X in bir yo unlaflma noktas olsun. O zaman, lim a ƒ() = lim a ƒ() = ve lim a ƒ() = lim a 1/ƒ() = 0 önermeleri do rudur. kinci önermedeki iflareti iflaretiyle de ifltirilemez. Örne in ƒ() = fonksiyonu, 0 a giderken 0 a gider ama 1/ fonksiyonu, 0 a giderken sonsuza gitmez. Öte yandan, ƒ() = 1/ fonksiyonu sa dan 0 a giderken sonsuza, soldan 0 a giderken de eksi sonsuza yak nsar. Bu terimleri de tan mlayal m: Tan m. ƒ : X bir fonksiyon olsun. a, X in sa nda bir yo unlaflma noktas olsun. E er her A için, (X ve 0 < a< ) ƒ() > A eflitsizli ini sa layan bir > 0 varsa, o zaman,, a ya soldan gi-
15 51. Limitler ve Sonsuzlar 5 derken ƒ() sonsuza raksar (ya da gider) denir ve bu lim a ƒ() = olarak yaz l r. lim a ƒ() = tan mlar n vermeyi ve bu tan mlar için Teorem 51.8 in analogunu kan tlamay okurlara b rak yoruz. Örne in, lim 0 1/ =, lim 0 + 1/ =, lim 0 1/ =, lim 0 + 1/ =. ƒ() = 1/ ve ƒ() = 1/ fonksiyonlar n n grafikleri afla da. y ƒ() = 1/ y ƒ() = 1/
16 Limitler ve Sonsuzlar Sonsuza Giderken ƒ() in Sonsuza Gitmesi Son olarak, lim ƒ() = ifadesine bir anlam verelim. Sadece lim ƒ() = ifadesini tan mlamak yeterli diye düflünüyoruz. fadenin sezgisel anlam aç k olmal : çok çok çok büyüdü- ünde ƒ() in de çok çok çok büyüdü ü anlam na gelir. Örne- in, lim = lim = lim =. Bir baflka örnek daha: flte tan m: lim 6 1 =. Tan m. X, üstten s n rl olmayan bir küme olsun. ƒ : X, bir fonksiyon olsun. E er her B say s için, (X ve > A) ƒ() > B önermesini sa layan bir A say s varsa, o zaman, sonsuza gitti inde ƒ() sonsuza raksar (ya da gider) denir. Bu durumda, lim ƒ() = yazar z. Di er tan mlar ve tan mlar n toplama, çarpma ve bölmeyle uyumlar n kan tlamay ce afla daki sonuçlar okura b rak yoruz. Teorem ƒ 0 ve g 0 iki polinom olsun. a ve b bu polinomlar n baflkatsay s ysa, = ab/ ab = 1 olsun. E er deg ƒ < deg g ise lim ƒ()/g() = 0, E er deg ƒ > deg g ise lim ƒ()/g() =, E er deg ƒ = deg g ise lim ƒ()/g() = a/b olur.
17 51. Limitler ve Sonsuzlar 55 Sandviç Teoremi nin uygun versiyonu da bu tür limitler için geçerlidir: Teorem ƒ ve g, tan m kümeleri üstten s n rl olmayan iki fonksiyon olsun. E er ƒ g ise ve lim ƒ() = ise lim g() = olur. Al flt rmalar 1. E er lim ƒ() = lim g() = ise, lim (ƒ() + g()) = eflitli ini kan tlay n.. Bu bölümde kan tlanmam fl sonuçlar kan tlay n.. Afla daki limitleri bulun lim, lim, lim, lim lim ep = ve lim ep () = 0 eflitliklerini kan tlay n. 5. Afla daki limitleri bulun. ep ep lim, lim, 5ep 7 5ep 7 ep( ) 4ep ep lim, lim. 5ep( ) 7 7ep ep
18 Limit Al flt rmalar 1. lim ( 1) limitini bulun.. Afla daki limitleri bulun:. a herhangi bir say olsun. limitini bulun lim, lim, 5 6 ep ep ep ep 6 lim, lim. lim ( a ) a 0 4. Afla daki limitleri bulun: lim, lim, ( 918) lim, lim Afla daki limitleri bulun: 57
19 58 Limit Al flt rmalar 6. Afla daki limitleri bulun: lim, lim, lim, lim 5 [ ], ( 918) lim 6, lim 5, 1 1 lim, lim, lim. 7. Afla daki limitleri bulun: 7 7 lim, lim, lim, lim Afla daki limitleri bulun: 9 lim 0, lim0 ep( ) 1/ ( 8 ) ep( ) 1 lim0, lim0. ep1 / / lim, lim ( ) Afla daki limitleri bulun:
20 Limit Al flt rmalar Afla daki limitleri bulun: 1 1 lim, lim lim, lim Afla daki limitleri bulun: lim ep, lim ep, lim ep, lim0 ep, 1 1 lim ep, lim ep. 0 0, sonsuza, eksi sonsuza, 0 + ya ve 0 ye giderken ƒ nin limitleri- ep ep ep lim, lim, lim ( n). n e er 0 ise 1. ( ) olarak tan mlans n. e er 0 ise ni bulun. 1. Her n do al say s için, eflitli ini kan tlay n. ( Eksponansiyel büyüme tabirinin menflei ep lim n bu limittir.) 14. n bir do al say olsun. lim n ep limitini bulun. 15. lim ep(ep ) limitini bulun. 16. lim ep(ep ) limitini bulun. 17. lim ep(1/ep(1/)) limitini bulun. 18. lim 0 /sin limitini bulun.
21 5. Monoton Fonksiyonlar n Limitleri Bir X kümesi üzerine tan mlanm fl artan bir ƒ : X fonksiyonu düflünelim. Örne in flöyle bir fley: y y = ƒ(), tan m kümesinin üsts n r na (soldan tabii ki) gitti inde, fonksiyonun sonlu ya da sonsuz bir limiti olmas - her zaman do ru olmasa da - makul bir öngörüdür. Afla da olas dört durum görünüyor: y b y lim a ƒ() = a lim a ƒ() = b a 541
22 54 5. Monoton Fonksiyonlar n Limitleri y b y lim ƒ() = lim ƒ() = b Artan bir fonksiyonun,, tan m kümesinin üsts n r na gitti- inde, sonlu ya da sonsuz bir limiti var m d r ve varsa bu limit nedir? Her ne kadar yukardaki flekillerde fonksiyonlar sürekli gibi görünse de, fonksiyonlar n sürekli olmalar na pek gerek yok sanki. Fonksiyon sürekli de olsa süreksiz de olsa, limit olmal sanki... Ama biraz düflününce bir iki teknik sorunla karfl lafl r z. Önce o sorunlar tart fl p halledelim. (Tart flmadan hofllanmayanlar do rudan teoreme ve kan t na gidebilirler. Zaten teorem de kan t da birkaç sat r geçmiyor.) Örne in e er X = (0, 1) {} ise, ƒ() in, ye giderken limiti al namaz, çünkü, X ten ayr k bir say d r, X in bir yo unlaflma noktas de ildir. (Limit kavram n n tan m n an msay n: Bir fonksiyonun limiti ancak tan m kümesinin yo unlaflma noktalar nda al nabilir.) Bu sorunu halletmenin en kolay yolu, sup X oldu unda, sup X say s n n X in bir yo unlaflma noktas oldu unu varsaymakt r. Ama ayn sorunu böyle bir k s tlama getirmeden, daha fl k biçimde de çözebiliriz: ƒ() in limitini,, sup X e giderken almaya kalk flaca m za, limiti,, limsup X e giderken almaya çal flabiliriz. O zaman yukardaki sorun kaybolur. (Önsav 6.6 dan an msayal m: limsup X, e er sonlu bir say ysa, X in yo unlaflma noktalar n n en büyü üdür. X in yo unlaflma noktas yoksa zaten o zaman yapacak bir fley yok, hiçbir noktada limit alamay z.)
23 5. Monoton Fonksiyonlar n Limitleri 54 Sorun olmasa da bir soru var ve bu soru yan tlanmazsa kan t aflamas nda soru soruna dönüflebilir:, limsup X e giderken ƒ() in limiti hangi say olacakt r? Fonksiyon artan oldu undan,, limsup X e giderken ƒ nin limitinin sup ƒ(x) olmas n beklemek makul gibi görünüyor. Ama maalesef bu her zaman do ru de il. Örne in, X = [0, 1] ise ve ƒ fonksiyonu, 0 e er 1 ise ( ) 1 e er 1 ise olarak tan mlanm flsa, o zaman, X in limsup ü 1 dir ve lim 1 ƒ() = 0 1 = sup ƒ(x) olur. Bu sorunu çözmek için,, limsup X e giderken ƒ() in limitinin sup ƒ(x) de il de limsup ƒ(x) oldu u tahmininde bulunabiliriz ama bu tahmin de yetersiz kal r çünkü örne in ƒ sabit bir fonksiyon oldu unda limsup ƒ(x) yoktur., limsup X e giderken ƒ nin limitinin sup{ƒ() : Xve limsup X} olmas gerekti i biraz daha do ru bir tahmindir. Ama bu da tam do ru bir tahmin olmaz. Bu sefer flöyle bir sorun belirebilir: limsup X, sa dan da X in bir yo unlaflma noktas olabilir ve ƒ fonksiyonu limsup X in sa nda sorun yaratabilir. Örne in, X = (0, 1) {1 + 1/n : n = 1,,,... } ve 0 e er 1 ise ( ) 1 e er 1 ise ise, limsup X = 1 olur ve lim 1 ƒ() limiti yoktur. Bu sorunun da çözümü var: Normal limit alaca m za, limiti soldan alal m; ƒ() in limitini,, limsup X e giderken de il,, limsup X e soldan giderken alal m. Baz okurlar s kabilecek bu uzun tart flmadan sonra art k baklay a z m zdan ç kar p teoremimizi yazabiliriz:
24 Monoton Fonksiyonlar n Limitleri Teorem 5.1. X ve ƒ : X, artan bir fonksiyon olsun. E er a = limsup X{} ise ve b = sup{ƒ() : Xve < a} ise o zaman, lim a ƒ() = b olur. (a = ise, a = anlaflmas n yapal m.) b..... y = ƒ() a X Dikkat: X in limsup ü olmayabilir, o zaman teorem hiçbir fley dememektedir. Benzer bir sonuç, elbette azalan fonksiyonlar ve inf ve liminf ler için de geçerlidir. Bu arada artan ve azalan fonksiyonlar n tan m n yapal m da hiçbir fley gizli kalmas n: Xve ƒ : X bir fonksiyon olsun. E er X in her < y elemanlar için ƒ() ƒ(y) oluyorsa, ƒ ye artan fonksiyon denir. E er X in her < y eleman için ƒ() < ƒ(y) oluyorsa, ƒ ye mutlak artan fonksiyon denir. Benzer tan mlar azalan ve mutlak azalan fonksiyonlar için de yap l r. Artan ya da azalan fonksiyonlara monoton fonksiyonlar ad verilir.
25 5. Monoton Fonksiyonlar n Limitleri 545 Teoremin Kan t : a ve b nin de olduklar n varsayal m. Diyelim teorem do ru de il. O zaman öyle bir > 0 vard r ki, > 0 ne olursa olsun, hem X(a, a) hem de bƒ() > iliflkilerini sa layan bir buluruz. Bu say s n sabitleyelim. b nin tan m ndan dolay, X in, b< ƒ(c) b eflitsizliklerini sa layan bir c < a eleman vard r. b ƒ(c) b ƒ() y = ƒ() c fiimdi ilk paragraftaki y a c say s na eflit alal m. O zaman, hem X(a, a) = X(c, a) hem de bƒ() > iliflkilerini sa layan bir buluruz. Demek ki, hem c < olur hem de ƒ() < b < ƒ(c) olur, ki bu iki eflitsizlik ƒ nin artan olmas yla çeliflir. a ve b den birinin ya da her ikisinin birden sonsuz oldu u durumlar n kan t da benzerdir ve okura b rak lm flt r. a
Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıGeçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
DetaylıBir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
DetaylıBu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıYak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıArd fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıKesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıTopolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
DetaylıBiraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
Detaylı14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıBu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
DetaylıMatemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -
15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Detaylı1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıYoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
DetaylıGeçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
DetaylıBu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
DetaylıBir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
DetaylıRastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
DetaylıÜst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
DetaylıOyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
DetaylıSaymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
DetaylıBu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
DetaylıOkur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden
43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
Detaylı22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıMatematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıYüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
DetaylıHer noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
DetaylıYeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
DetaylıHiç K salmadan K salan Yol
Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir
Detaylı11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi
11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
DetaylıBu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Detaylıiçinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
DetaylıSevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
DetaylıAfin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
DetaylıBu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç
Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıBirkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
DetaylıHalkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.
Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye
DetaylıBir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians
Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek
DetaylıAsal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz?
Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz? Asal say, kendinden ve 1 den baflka say ya bölünmeyen say olarak bilinir. Buna bir de say n n 1
Detaylıyaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
DetaylıBir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
DetaylıBahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
DetaylıBilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.
Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup
DetaylıO + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
DetaylıMatematik Dünyas n n geçen say s nda
Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd.
DetaylıÜçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru
Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz
Detaylı6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
DetaylıT k z Topolojik Uzaylar
Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle
DetaylıEski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
DetaylıBir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
DetaylıBeflinci K s m: Ekler
Beflinci K s m: Ekler 437 Ek 1. Bölüm Cisimleri ve Yerellefltirme 1. Örnekler. Yaz m za örneklerle bafllayal m, ne yapmak istedi imizi en iyi örneklerle anlatabilece iz. a) Tamsay lar kümesi de iflmeli
DetaylıFermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
DetaylıMatematik bölümlerinin birinci s -
Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,
DetaylıBölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.
2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün
Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras
DetaylıBir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
DetaylıOyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
DetaylıÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:
MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl
DetaylıYGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar
9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla
Detaylıkinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi
kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi 139 5A. Say lar Yaratmak Geçen k s mda boflkümeden, yani hiç yoktan (!) yola ç - karak 0, 1, 2, 3, 4 gibi say lar içeren do al say lar kümesini yaratt
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu
DetaylıTMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul
Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde
Detaylı1. Her fiey S ralanamaz
Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıDo al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
Detaylı4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k
4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k P1, nin altkümelerinden hiç sözetmeyen, nin sadece elemanlar ndan sözeden ve sadece 0 ve S simgeleri kullan larak yaz labilen bir önerme. Nitekim S nin 0 de erini almayan
DetaylıÖzdeflleflme ve Direkt Limit
Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu
DetaylıÇocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
Detaylı