PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

Transkript

1 PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemlerinin matrisler yardımı ile bulunması amaçlandı. Teğet denklemleri, türev veya doğru denklemi formülleri ile bulunabilmektedir. Bu projede koniklere üzerindeki bir noktadan veya dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemlerini bulmak için farklı bir bakış açısı getirilmesi hedeflendi. Elde edilecek teğet denklemlerini, türev yardımıyla veya teğet denklemi formülleri kullanılarak bulunanlarla karşılaştırmak ve çalışmanın autograph programı ile görsel bir şekilde de ifade edilmesi amaçlandı. GİRİŞ: İki veya daha fazla değişkenli polinomlar ve dereceleri araştırıldığında üç değişkenli ikinci dereceden homojen polinomların nokta konik ler olarak adlandırıldığı görülmektedir. [] Bu nokta koniği matris şeklinde de tanımlanabilmektedir. Homojen polinomlar her bir teriminin derecesi aynı olan polinomlardır.[] Lise müfredatında işlenen konik denklemleri değişken dönüşümü ile nokta koniğine dönüştürülebilir. Aynı dönüşüm altında konik üzerindeki veya dışındaki bir nokta da nokta koniğine uygun biçimde yazılabilmektedir. Aynı durum doğru denklemleri için de geçerlidir. Konik üzerindeki veya dışındaki bir noktadan çizilen teğet denklemlerinin matris yöntemi ile bulunabilmesi, bu çalışmayı benzer çalışmalardan ayırmaktadır.

2 AA BÖLÜM: Tanım. sütun matis, simetrik kare matris olmak üzere kümesine nokta koniği denir. Daha açık olarak yazılırsa. [] Örnek. konik (elips) denklemini ve üzerinde bulunan noktasını S konik denklemi cinsinden ifade edilmesi. Çözüm. Konik denkleminde dönüşümü yapılırsa, eşitliğinden nokta koniği elde edilir. Bu nokta koniğinin matrisi de biçimindedir. noktası için dönüşüm uygulanırsa bulunur. Buradan elde edilir.

3 bulunur. Dolayısıyla noktası biçimini alır. S nokta koniğinde yerine yazılırsa bulunur ki bu da noktasının S nokta koniğinin üzerinde olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla olarak alınabilir. Örnek. Çözüm. Doğru denkleminde doğru denkleminin S konik denklemi cinsinden yazılması. dönüşümü yapılırsa, eşitliğinden bulunur. Son elde edilen doğru biçiminde de gösterilir. Tanım. Bu çalışmada noktalar, doğrular ile belirtilmektedir. olması demek noktasının doğrusu üzerinde olduğu anlamındadır. Genel olarak herhangi bir doğru denklemi ile verilmektedir.[] Tanım. noktası olsun. Bu durumda bu noktadaki teğet doğrusu tanımlanır. koniğinin üzerinde aşağıdaki şekilde []

4 Tanım. Bir koniğe üzerindeki P (,y ) ve P (,y ) noktalarından çizilen teğetler bir P (,y ) noktasında kesişsinler. P (,y ) ve P (,y ) noktalarından geçen doğruya koniğe göre kutup doğrusu denir. [] Şekil : Kutup doğrusu Tanım 4. noktası koniğinin dışında olsun. Bu durumda bu noktadan nokta koniğine çizilen teğetlerin koniği kestiği noktalardan geçen doğrusu aşağıdaki şekilde tanımlanır. [] Bu doğru aynı zamanda nokta koniğinin kutup doğrusudur. Örnek. doğru denklemi (türevden) elipsinin üstünde olup bu noktadaki teğet biçimindedir. Bu elips ve noktası Örnek. de bu noktadaki teğet doğruya koniği ve denirse, noktası olarak elde edilmişti. O halde bulunur. Dolayısıyla elde edilir. Bu doğrunun denklemi dir.

5 Bu eşitlik şeklinde yazılır. Burada dönüşümü yapılırsa doğrusu elde edilir ki bu da başlangıçta verilen elipsin noktasındaki teğetinden ibarettir. Örnek 4. 5 y 4 4 elipsi ve elipsin dışındaki bir (5, ) noktası alınsın. Bu noktadan elipse çizilen teğet denklemlerinin elde edilmesi. 4 denkleminde 5 ve y dönüşümü yapılırsa S: nokta koniği elde edilir. =( 5,) noktası için de 5 y, 5 5 olduğundan 5 alınabilir. O halde 5 5 A 5 5 eşitliğinden kutup doğrusu elde edilir. Bu doğru ile S koniği kesiştirilir. Kutup doğrusu denkleminden bulunup S nokta koniğinde yerine yazılarak 4

6 4 4 bulunur. Bu denklemde T dönüşümü yapılırsa 4T 4 denklemi elde edilir. Buradan T bulunur. T için dir. alınarak ve elde edilir. O halde ve y şeklinde bulunur. T için dir. alınarak ve y şeklinde bulunur. elde edilir. O halde ve Bu durumda Kutup doğrusu ile S nokta koniğinin ortak noktaları,, ve,, dir. Elips üzerinde bu iki noktaya karşılık gelen noktalar, ve, olmaktadır. noktasından geçen teğet denklemi yada 5 4 biçiminde bulunur. 5

7 Elipsin, noktasındaki teğeti, 5 4 denkleminde ve y yazılarak 5 y elde edilir. 4 Benzer şekilde noktasından geçen teğet denklemi 5 4 ve elips üzerindeki 5 denklemi y şeklinde elde edilir. 4, noktasındaki teğet elipsinin dışındaki bir ( 5,) noktasından çizilen teğetler klasik yöntemle bulunabilir. noktasından elipse çizilen teğetlerin elipsi kestiği noktalar ve, y olsun., y Teğet formülünden m 4y dır. ve eğimin eşitliğinden noktasındaki teğet denklemi noktalarından geçen doğrunun eğimi olup eğimi y m olup bu iki 5 elde edilir. noktası elips üzerinde olduğundan, bulunur. teğetlerin elipsi kestiği noktalar eşitliğinden olduğu kullanılarak y bulunur. O halde noktasından çizilen, ve, dir. deki teğet doğru denklemi olup düzenlenirse yukarıda ile aynı olduğu görülür. Benzer durum noktası için de yapılır. 6

8 Şekil : +4y -5 = elipsine dışındaki bir (5,) noktasından çizilen teğetler Örnek 5. y parabolü ve parabolün dışındaki =(,-) noktası alınsın. Bu noktadan parabole çizilen teğet denklemlerinin elde edilmesi. y denkleminde ve y dönüşümü yapılırsa S: nokta koniği elde edilir. =(,-) noktası için de y,, (,, ) olduğundan,,, alınabilir. O halde 6 8 A eşitliğinden kutup doğrusu elde edilir. Bu doğru ile S koniği kesiştirilir.kutup doğrusu denkleminden bulunup S nokta koniğinde yerine yazılarak 6 bulunur. Bu denklemde T dönüşümü yapılırsa

9 6T denklemi elde edilir. Buradan T bulunur. 6 T için 6 dir. = alınarak 6 ve elde edilir. O halde 6 ve 6 y şeklinde bulunur. T için 6 dir. ve = alınarak 6 ve elde edilir. O halde 6 6 ve y şeklinde bulunur. Bu durumda Kutup doğrusu ile S nokta koniğinin ortak noktaları (,6,) ve (, 6,) dir. Parabol üzerinde bu iki noktaya karşılık gelen noktalar (6,) ve ( 6,) olmaktadır. (,6,) noktasından geçen teğet denklemi yada biçiminde bulunur. Parabolün (6, ) noktasındaki teğeti denkleminde ve y yazılarak y elde edilir. Benzer şekilde (, 6,) noktasından geçen teğet denklemi ve parabol üzerindeki ( 6,) noktasındaki teğet denklemi y elde edilir. y parabolüne dışındaki =(,-) noktasından çizilen teğetlerin denklemleri klasik yöntemle de bulunduğunda aynı oldukları görülür. 8

10 Şekil : y parabolüne dışındaki (,-) noktasından çizilen teğetler elipsi ve elipsin dışındaki bir Örnek 6. y, noktası alınsın. Bu 4 noktadan elipse çizilen teğet denklemlerinin elde edilmesi. 4y 4 denkleminde 4 4 ve y dönüşümü yapılırsa S: 4 4 nokta koniği elde edilir., noktası için de, y, (,, ) olduğundan,,, 4 4 A eşitliğinden alınabilir. O halde 4 kutup doğrusu elde edilir. Bu doğru ile S koniği kesiştirilir.kutup doğrusu denkleminden ( ) bulunup S nokta koniğinde yerine yazılarak 9

11 bulunur. Bu denklemde T dönüşümü yapılırsa T T denklemi elde edilir. Buradan T bulunur. T için dir. alınarak ve elde edilir. O halde ve y şeklinde bulunur. T için dir. alınarak ve elde edilir. O halde ve y şeklinde bulunur. Bu durumda Kutup doğrusu ile S nokta koniğinin ortak noktaları (,,) ve (,,) dir. Elips üzerinde bu iki noktaya karşılık gelen noktalar (, ) ve (, ) olmaktadır. (,,) noktasından çizilen teğet denklemi 4 4 yada biçiminde bulunur. Elipsin (, ) noktasındaki teğeti 4 4 denkleminde y yazılarak y elde edilir. Benzer şekilde (,,) noktasından geçen teğet denklemi 4 ve elips üzerindeki (, ) noktasındaki teğet denklemi 8 4 y şeklinde elde edilir. 4y 4 elipsine dışındaki, noktasından çizilen teğetlerin denklemleri klasik yöntemle de bulunduğunda aynı oldukları görülür.

12 Şekil 4: +4y -4 = elipsine dışındaki, noktasından çizilen teğetler Örnek. y hiperbolü ve dışındaki bir =(,) noktası alınsın. Bu noktadan 4 hiperbole çizilen teğet denklemlerinin elde edilmesi. 4y 4 denkleminde y ve y dönüşümü yapılırsa 4 4 S: 4 4 nokta koniği elde edilir. =(,) noktası için de, y, (,, ) olduğundan,,, 4 4 A eşitliğinden alınabilir. 4 kutup doğrusu elde edilir. Bu doğru ile S koniği kesiştirilir. Kutup doğrusu denkleminden 4 4 bulunup S nokta koniğinde yerine yazılarak

13 8 bulunur. Bu denklemde T dönüşümü yapılırsa T 8T denklemi elde edilir. Buradan 4 T bulunur. 4 T için ( 4 ) dir. ( 4) alınarak ve 4 4 elde edilir. O halde 4 4 ve 4 y şeklinde bulunur. 4 T için ( 4 ) dir. (4 ) alınarak ve 4 4 elde edilir. O halde 4 4 ve y 4 Bu durumda Kutup doğrusu ile S nokta koniğinin ortak noktaları,4 4,4 ve,4 4,4 karşılık gelen noktalar şeklinde bulunur. dir. Hiperbol üzerinde bu iki noktaya 4 4 4, ve 4 4,4 4,4 noktasından geçen teğet denklemi 4 T yada biçiminde bulunur. Hiperbolün 4 4 4, 4, noktasındaki teğeti denkleminde ve y yazılarak Benzer şekilde,4 4,4 y elde edilir. 4 noktasından geçen teğet denklemi ve hiperbol üzerindeki olmaktadır.

14 4 4 edilir. 4, noktasındaki teğet denklemi y şeklinde elde 4 4y 4 hiperbolüne dışındaki (,) noktasından çizilen teğetlerin denklemleri klasik yöntemle de bulunduğunda aynı oldukları görülür. Şekil 5: ² 4y² 4= hiperbolüne dışındaki =(,) noktasından çizilen teğetler Örnek 8. y hiperbolü ve hiperbolün dışındaki bir =(,) noktası alınsın. Bu 9 4 noktadan hiperbole çizilen teğet denklemlerinin elde edilmesi y denkleminde ve y dönüşümü yapılırsa S: nokta koniği elde edilir. =(,) noktası için de, y, (,, ) olduğundan,,, alınabilir. A eşitliğinden kutup doğrusu elde edilir. Bu doğru ile S koniği kesiştirilir. Kutup doğrusu denkleminden bulunup S nokta koniğinde yerine yazılarak

15 bulunur. Bu denklemde T dönüşümü yapılırsa 68T 8T 4 denklemi elde edilir. T bulunur. T için ( ) dir. ( ) alınarak ve elde edilir. O halde ve y şeklinde bulunur. T için ( ) dir. ( ) alınarak ve elde edilir. O halde ve y şeklinde bulunur. Bu durumda Kutup doğrusu ile S nokta koniğinin ortak noktaları,, ve,, gelen noktalar, ve, dir. Hiperbol üzerinde bu iki noktaya karşılık olmaktadır.,, noktasından geçen teğet denklemi 4 6 T 4 4 yada biçiminde bulunur. Hiperbolün, 6 noktasındaki teğeti, 8 6 y elde edilir. 6 ve y yazılarak Benzer şekilde,, noktasından geçen teğet denklemi 8 ve hiperbol üzerindeki, 6 noktasındaki 6 teğet denklemi y elde edilir y hiperbolüne dışındaki (,) noktasından çizilen teğetlerin denklemleri klasik yöntemle de bulunduğunda aynı oldukları görülür. 4

16 Şekil 6: 4² 8 9y² = hiperbolüne dışındaki =(,) noktasından çizilen teğetler SOUÇLAR VE TARTIŞMA: Bu projede, herhangi bir koniğin üzerindeki bir noktadan veya dışındaki bir noktadan çizilen teğet denklemlerinin matrisler yardımıyla bulunması hedeflendi. Yöntem elips, parabol ve hiperbol üzerinde uygulanarak hedefe ulaşıldı. Ayrıca, Autograph programı yardımı ile çizim yapılarak bulunan noktalar ve teğetlerin koniklerin üzerinde oldukları gösterildi. Bu çalışmada özellikle koniğin dışındaki bir noktadan çizilen teğet denklemleri nokta koniği yardımıyla daha pratik bir şekilde elde edildi. Bu çalışma, üçüncü dereceden polinom fonksiyonların, üç değişkenli üçüncü dereceden homojen polinomlarla ilişkilendirilmesi ile geliştirilebilir. 5

17 KAYAKLAR:. BÜKE, M. Analitik Geometri Konikler ve Kuadratik Yüzeyler.İstanbul: İstanbul Üniversitesi Yayınları,96.. HACISALİHOĞLU, H.H. ve Boyutlu Uzaylarda Analitik Geometri, Ankara:995.. Homogeneous polynomial: 6