Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma"

Emre Neftçi
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal dağılım göstermektedir. Böylesi durumlarda Ek 1 de verilen tablonun kullanılabilmesi için, normal dağılım gösteren sürekli bir rassal değişkenin, bir dönüştürme neticesinde standart normal dağılım gösteren x değişkeninin, standart normal dağılım gösteren z rassal değişkenine dönüştürülmesi yapılacaktır ve bu dönüştürmeye standartlaştırma adı verilmektedir. x değerinin z değerine dönüştürülmesi x normal dağılım gösteren rassal bir değişkenin herhangi bir değerinin z değeri cinsinden ifadesinde formülünden yararlanılmaktadır. Burada ve, sırasıyla ilgili normal dağılımın ortalama ve standart sapmasıdır. Standartlaşmada önce x rassal değişkeninin ortalama ve standart sapması hesaplanmakta, daha sonraysa x değerinden ortalama çıkartılarak, fark değeri standart sapmaya bölünmektedir. Örnek 6: x, ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan bir normal dağılım göstermektedir. Standartlaştırma formülünden yararlanarak aşağıdaki x değerlerini z değerlerine dönüştürmektedir. a) x = 55 2

Böylesi durumlarda Ek 1 de verilen tablonun kullanılabilmesi için, normal dağılım gösteren sürekli bir rassal değişkenin, bir dönüştürme neticesinde standart normal dağılım gösteren x değişkeninin,

2 3 b) x = 35 Çözüm: a) olarak bulunur. Aşağıdaki şekilden de görüleceği gibi x rassal değişkeninin dağılımıyla z rassal değişkeninin dağılımı arasında, standart sapmalar açısından fark yoktur. Çünkü x dağılımında x=55 noktası ortalamasının 1/2 standart sapma sağında iken, z=0.5 değeri yine ortalaması sıfır ve standart sapması bir olan z standart normal dağılımında ortalamanın 1/2 standart sapma sağındadır. b) olarak bulunur. Bulunan z değeri gibi, verilmiş olan x=35 değeri de ortalamadan küçük olduğu için ortalamanın solunda bir noktadır. Ancak x değeri negatif olmadığı halde z değeri negatiftir. Bunun nedeni de z dönüştürmesinde dağılım ortalamasının sıfır noktasına taşınmış olmasıdır. 3

Çünkü x dağılımında x=55 noktası ortalamasının 1/2 standart sapma sağında iken, z=0.

3 4 4

4 5 Örnek 7: x sürekli rassal değişkeni 25 ortalama ve 4 standart sapmayla normal dağılmaktadır. Aşağıda verilen noktalar arasındaki alanı bulunuz. a) x = 25 ve x = 32 arası b) x = 18 ve x = 34 arası Çözüm: Verilen normal dağılımda dür. a) Burada ilk adım, verilmiş olan x = 25 ve x = 32 değerlerinin standart normal z değerlerine dönüştürülmesidir. İkinci adım ile noktaları arasındaki alanın Ek 1 de verilmiş olan tablodan bulunmasıdır. Bu değer, olarak bulunur. 5

a) x = 25 ve x = 32 arası b) x = 18 ve x = 34 arası Çözüm: Verilen normal dağılımda dür.

5 6 b) x = 18 ve x = 34 değerleri de yine standart normal z değerlerine dönüştürülmesidir. Bu değer, olarak bulunur. 6

6 7 Normal Dağılım Uygulamaları Aşağıda normal dağılımın gerçek verilerle uygulanması konu edilecektir. Örnek 8: ZENGİN ülkesinde aile başına düşen gelir dolar ortalama ve dolar standart sapmayla normal dağılım göstermektedir. Bu ülkeden rassal seçilen bir ailenin dolar arasında gelire sahip olma olasılığını bulunuz. Çözüm: x rassal değişkeni, dolar değerleriyle normal dağılmaktadır. Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi verilen sınır değerleri, ortalamanın solunda ve sağında yer almaktadır. Ortalamayla sınır değerleri arasındaki bu olasılıklar (alan), dönüşümüyle elde edilir. Bulunan değerleri kullanılarak standart normal dağılım tablosundan gerekli olasılık değerlerine ulaşılır ve sonuç bulunur. 7

Çözüm: x rassal değişkeni, dolar değerleriyle normal dağılmaktadır. Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi verilen sınır değerleri, ortalamanın solunda ve sağında yer almaktadır.

7 8 Sonuç olarak rassal seçilen bir ailenin gelirinin dolar arasında olma olasılığı %61.81 dir. Örnek 9: Oyuncak üreten bir firmada, bir işçinin, oyuncak bir yarış otomobilini monte etme süresi; 55 dakika ortalama ve 4 dakika standart sapmayla normal dağılmaktadır. İşyerinin saat de kapandığı bilindiğine göre, saat da montaja başlayan bir işçinin kapanış saatine kadar işi bitirme olasılığını bulunuz. Çözüm: Oyuncak bir yarış otomobilinin montaj süresi; dakikayla normal dağılım göstermektedir. Aşağıdaki şekilden de görüleceği gibi, burada istenen, montajın en çok 60 dakikada bitmesidir. Standart normal dağılım tablo değerinden yararlanabilmek için gerekli değeri, 8

İşyerinin saat 17.00 de kapandığı bilindiğine göre, saat 16.00 da montaja başlayan bir işçinin kapanış saatine kadar işi bitirme olasılığını bulunuz.

8 9 olarak bulunduktan sonra istenen olasılık hesaplanır. Bunun için önce ortalamanın solundaki tüm alan ve ortalamanın sağındaki e kadar olan alan toplanır ve sonuç değeri, elde edilir. Normal Dağılım Eğrisi Altındaki Alan Biliniyorken ve Değerlerinin Bulunması Örnek 10: Standart normal eğri altında ile bir değeri arasında kalan alan dir. Bu alanın üst sınırı olan pozitif değerini bulunuz. Çözüm: Aşağıdaki şekilde de görüleceği gibi, verilen alan, sağ tarafta 0 ile z sınırları arasındadır ve değeri dir. Z değerinin bulunmasında da yine, Ek 1 de verilen standart normal dağılım tablosundan yararlanılacaktır. Yukarıdaki örneklerde verilen, 9

Normal Dağılım Eğrisi Altındaki Alan Biliniyorken ve Değerlerinin Bulunması Örnek 10: Standart normal eğri altında ile bir değeri arasında kalan alan 0.4251 dir.

9 10 bir değerine karşılık gelen alanın bulunmasında, tablonun ilk sütunundaki tam sayıyla kesir noktasının sağındaki ilk sayıya ve tablonun ilk satırından ya kesir noktasının sağındaki ikinci sayıya bakılıyordu. Burada ya önce, tablo içerisinden verilen alan değeri bulunacak, daha sonra ya da o değerin bulunduğu satır ve sütun başlarındaki değeri yazılarak istenen değeri elde edilecektir. Bu örnekte değeri, tablo içerisinden bulunduktan sonra, bu değerin satır başında 1.4, sütun başındaysa değerleri kaydedilir. Bu iki değerin birleşmesi sonucunda aranan değeri ( olarak) elde edilir. Örnek 11: Standart normal dağılım eğrisi altında, sağ uçtaki (kuyruk) 0.005alanını belirleyen değerini bulunuz. Çözüm: Burada verilen alan, sağ uçta yer alan bir alandır. Yani alanın üst sınırı belirsiz (sonsuz) olacağı için, alt sınırın bulunması gerekir. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi, Ek 1 de verilen normal dağılım tablosundaki alan değerleri, ortalama z=0 ile verilen z değerleri arasındadır. Bu nedenle öncelikle dağılımın sağında yer alan bu 10

Bu örnekte değeri, tablo içerisinden bulunduktan sonra, bu değerin satır başında 1.4, sütun başındaysa değerleri kaydedilir. Bu iki değerin birleşmesi sonucunda aranan değeri ( olarak) elde edilir.

10 11 noktayla noktası arasındaki alanın bilinmesi gerekir. Normal dağılımın simetrik olması ve ortalamanın sağındaki toplam alanın olduğu bilgilerinden hareketle, ile noktası arasındaki alan, olarak bulunur. Tablo içerisindeki alan değerleri arasından değeri yaklaşık olarak ( ve ) belirlenir ve ilişkin z değeri 2.58 (ya da 2.57) olarak elde edilir. Sonuç olarak z = 2.58 noktasının sağında kalan alan, toplam alanın idir. Normal Dağılım İçin Bir x Değerinin Bulunması ve değerleri, bilinen bir normal eğri altında, ortalamayla noktası arasındaki alan için değeri, biçiminde bulunur. Örnek 12: Bir firma tarafından üretilen hesap makinelerinin ömürleri 54 ay ortalama ve 8 ay standart sapmayla normal dağılmaktadır. Firma yetkilileri satışları artırmak için bir garanti süresi uygulamak 11

495 değeri yaklaşık olarak (0.4949 ve 0.4951) belirlenir ve ilişkin z değeri 2.58 (ya da 2.57) olarak elde edilir. Sonuç olarak z = 2.58 noktasının sağında kalan alan, toplam alanın 0.005 idir.

11 12 istemektedir. Ancak garanti kapsamında değiştirilecek hesap makinesinin, toplam satışın inden daha fazla olmasını da istenmemektedir. Garanti uygulanacak bu süreyi bulunuz. Çözüm: Aşağıdaki şekilde de görüleceği gibi, normal dağılımın parametreleri \ı = 54 ve a = 8 ay olarak bilinmektedir. Burada istenen, hesap makinesi satın alanlara uygulanacak garanti süresinin bulunmasıdır. İlk olarak ortalamayla verilen nokta arasındaki alan = elde edilir. Ek 1'de verilen tablodanda bu alan değerine karşılık gelen z = 2.33 değeri bulunur ve yukarıda verilmiş olan eşitlik kullanılarak aranan x değeri, elde edilir. Sonuç olarak üretici firma (yaklaşık olarak) 35 aydan önce kulanım dışı kalan hesap makinelerini garanti kapsamına alıp, yenisiyle değiştirmeyi kabul ederse, toptan satışın sadece ini değiştirecektir. 12

Burada istenen, hesap makinesi satın alanlara uygulanacak garanti süresinin bulunmasıdır. İlk olarak ortalamayla verilen nokta arasındaki alan 0.5000 0.0100 =0.4900 elde edilir.

Benzer belgeler

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.