İ. T. Ü İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ - H İ D R O L İ K D E R S İ BOYUT ANALİZİ

Transkript

1 İ. T. Ü İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ - H İ D R O L İ K D E R S İ BOYUT ANALİZİ (Buckingham) teoremini tanımlayınız. Temel (esas) büyüklük ve temel (esas) boyut ne emektir? Açıklayınız. Bir akışkanlar mekaniği problemine teoremi uygulanığına temel büyüklükler nasıl seçilir. (Buckingham) teoremi, n aet boyutlu A i büyüklüğü arasınaki f(a, A,.., A i,, A n )=0 şekline bir bağıntı aima m = n r aet boyutsuz i büyüklüğü arasına F(,,.., I,.., m )=0 şekline bir bağıntı haline önüştürülebilir ( r : A i büyüklüklerine görülen temel boyut sayısı 3 ). Temel büyüklük : Newton hareket kanununaki büyüklükler ( uzunluk, zaman, kuvvet) Temel boyut : Temel büyüklüklere ait boyutlar Boyut analizine esas eğişkenlerin seçimine ikkat eilmesi gerken kriterler : İlgili fiziksel büyüklükler ( A i ) belirlenir ve bunların boyutları yazılır. Bu büyüklüklere bulunan esas boyut sayısı belirlenir. terimlerinen oluşan fonksiyonun genel ifaesi yazılır A i büyüklükleri arasınan boyutsuz ve aynı boyuta sahip olmayan r tanesi seçilir (Seçilen bu büyüklüklerin en az bir tanesi r tane esas boyutun birini içermeli ve herhangi birinin boyutu iğerlerinin boyutlarının bir kombinezonu olmamalıır). terimleri teşkil eilir (aşağıa r=3 ve seçilen tekrarlanacak büyüklükler A, A, A 3 alınarak bir örnek verilmiştir). = A = A Y Z A A A3 4 Y Z A A A3 5.. = A A A n r Yn r Z n r n r 3 A n x i, y i, z i üsleri, lerin boyutsuz oluğu üşünülerekboyut homojenliğinen yararlanılarak bulunur Gerekirse terimlerinen biri, = φ( ) şekline iğerlerinin fonksiyonu olarak yazılabilir. Bu yapılırken bir boyutsuz sayının bütün üslerinin ve bir boyutsuz sayı ile çarpımının a boyutsuz oluğu özelliğinen yararlanılabilir.

2 Sembol Büyüklük FLT boyut sistemi MLT boyut sistemi A alan L L a ivme L.T - L.T - D boru çapı L L E elastisite katsayısı F.L - M.L -.T - F kuvvet F M.L.T - g yerçekimi ivmesi L. T - L.T - m kütle F. L -.T M N güç F.L. T M.L. T -3 p basınç F.L - M.L -.T - Q ebi L 3.T L 3.T - R H hirolik yarıçap L L u hız L.T L.T μ inamik viskozite F. L -.T M. L -.T ν kinematik viskozite L.T L.T ρ özgül kütle F. L -4.T M. L -3 τ kayma gerilmesi F. L - M. L -.T γ özgül ağırlık F. L -3 M. L -.T

3 . Soru : Bir boru içerisineki akıma borunun ıslak yüzeyinin birim alanına etki een kayma gerilmesi ; τ = fonk(, D, k, μ, ρ) oluğuna, (yani sırasıyla ortalama akım hızının, boru çapının, boru pürüzlülüğünün, akışkanın viskozitesinin ve özgül kütlesinin fonksiyonu oluğuna göre) τ kayma gerilmesinin ifaesini ele einiz. Çözüm: Φ( τ,, D, k, μ, ρ) = 0 n = 6 (olaya etki een parametre sayısı) F L T boyut sistemi M L T boyut sistemi τ [ F.L - ] [ M.L -.T - ] [ L.T - ] [ L.T - ] D [ L ] [ L ] k [ L ] [ L ] μ [ F.L -.T] [ M.L -.T - ] ρ [ F.T.L -4 ] [ M.L -3 ] m = 3 ( Olaya etki een parametrelere gözlenen temel büyüklük sayısı) n = 6 ( Olaya etki een parametre sayısı) Ele eilebilecek boyutsuz enklem sayısı r = n m = 3 = ρ D τ MLT boyut sistemi ile çözüm Y Z M o L o T o = (L.T - ) (M.L -3 ) Y (L) Z (M.L -.T - ) M o : 0 = Y + L o : 0 = 3Y + Z T o : 0 = - = - Y = - Z = 0 = ρ D τ = 0 τ ρ Y Z ρ D = M o L o T o = ( L.T - ) ( M.L -3 ) Y ( L ) Z ( L ) M o : 0 = Y L o : 0 = 3Y + Z + T o : 0 = - k = 0 Y = 0 Z = k = ρ D k = (Rölatif Pürüzlülük) D

4 3 3 3 = ρ D μ 3 Y Z M o L o T o = ( L.T - ) 3 ( M.L -3 ) Y 3 ( L ) Z 3 (M.L -.T - ) M o : 0 = Y 3 + L o : 0 = 3 3Y 3 + Z 3 - T o : 0 = = - Y = - Z = - = ρ D μ = 3 μ ρd ' 3 = ρd μ (Reynols Sayısı) τ = ρ. ρd. fonk(, μ k D )

5 . Soru ; Bir pompanın gücü ( N ), bastığı ebinin ( Q ), pompanın basma yüksekliğinin (H) ve pompanın bastığı akışkanın özgül ağırlığının ( γ ) fonksiyonu oluğuna göre, pompanın gücünü veren bağıntıyı boyut analizi ile ele einiz. Çözüm: FLT boyut sistemi ile çözüm N : Pompanın gücü, [ F.L.T ] Q : Pompa ebisi, [ L 3.T - ] H : Pompanın basma yüksekliği, [ L ] γ : Akışkanın özgül ağırlığı, [ F.L -3 ] Esas eğişkenler : γ, Q, H m = 3, n = 4, r = n m = aet sayısı = Q H Y γ Z N F o L o T o = ( L 3.T - ) ( L ) Y ( F.L -3 ) Z ( F.L.T - ) F o : 0 = Z + L o : 0 = 3 + Y 3Z + T o : 0 = - - = - ; Y = - ; Z = - = Q H γ N N =.γ. Q. H MLT boyut sistemi ile çözüm

6 3. Soru : Bir akım ortamına çaplı bir küresel engel varır. Akımın bu küresel engele uygulaığı F hiro-inamik kuvveti ; akışkanın ( ρ ) özgül kütlesine engel civarınaki ( ) ortalama akım hızına ve kürenin ( ) çapına bağlı oluğuna göre, F kuvvetinin ifaesini boyut analizi ile belirleyiniz. Çözüm : FLT boyut sistemi ile çözüm F : [ F ] ρ : [ FL -4 T ] : [ L.T - ] : [ L ] Esas eğişken sayısı olaya gözlenen temel boyut sayısı kaar seçilerek : ρ,, Temel boyut sayısı : 3 Boyutsuz sayısı : 4-3 = = ρ Y Z F o L o T o = ( F.L -4.T ) ( L.T - ) Y ( L ) Z ( F ) F o : 0 = + L o : 0 = -4 + Y +Z T o : 0 = - Y F = - ; Y = - ; Z = - = ρ F = F = ρ.. F ρ MLT boyut sistemi ile çözüm

7 4. Soru : Bir orifisten çıkan ieal akışkanın ebisi, akışkanın özgül kütlesi, orifisin çapı ve basınç farkına bağlıır. Buna göre, orifisten çıkan akışkanın ebisini veren bağıntıyı (Buckingham) teoremi ile ele einiz. Buluğunuz bağıntıyı biliğiniz şekli ile karşılaştırınız. Çözüm : h Q n = 4 m = 3 r = 4 3 = aet sayısı ele eilebilir. FLT boyut sistemi ile çözüm temel eğişkenler ; ρ,, p = ρ Y p Z Q seçilerek F o L o T o = ( F.L -4.T ) ( L ) Y ( F.L - ) Z ( L 3.T - ) F o : 0 = + Z L o : 0 = -4 + Y - Z + 3 T o : 0 = - = / ; Y = - ; Z = -/ / / = ρ p Q = ρ p Q p = γ.h γh γh Q = = ρ γ g = gh. Orifis enklemi (Bernoulli enkleminen): = gh Q = 4 gh = gh. =

8 5. Soru : Ortalama erinliği olan bir göle rüzgarın esmesi su yüzeyine H yüksekliğine permanan algaların oluşmasına sebep olmaktaır. H nın ; Göleki ortalama su erinliği ( ) Gölün rüzgar oğrultusunaki uzunluğu ( L ) Suyun özgül ağırlığı ( γ ) Rüzgarın etkittiği kayma gerilmesi ( τ ) ile ilişkili oluğunu kabul eerek göleki alga yüksekliğini veren bağıntıyı ele einiz. Rüzgar Yönü L H : alga yüksekliği [ L ] L : gölün rüzgar esne gönüneki uzunluğu [ L ] : ortalama göl erinliği [ L ] γ : suyun özgül ağırlığı [ F.L -3 ] τ : rüzgarın su yüzeyine oluşturuğu kayma gerilmesi [ F.L - ] n = 5 olaya etki een parametre sayısı m = olaya etki een parametrelerin boyutlarına görülen temel boyut sayısı, esas eğişken sayısı r = n m ele eilecek boyutsuz sayısı seçilen esas eğişkenler : γ, FLT boyut sistemi ile çözüm = γ Y H F o L o T o = (F.L -3 ) ( L ) Y (L) F o : 0 = L o : 0 = -3 + Y + = 0 Y = - = γ 0 H = H = γ Y L F o L o T o = (F.L -3 ) ( L ) Y (L) F o : 0 = L o : 0 = -3 + Y + = 0 Y = -

9 = γ 0 L = L 3 3 = γ Y τ 3 F o L o T o = (F.L -3 ) 3 ( L ) Y 3 ( F.L - ) F o : 0 = 3 + L o : 0 = Y 3-3 = - Y 3 = - = γ τ = 3 τ γ. = f (, 3 ) H L τ L τ = f (, ) H =. f (, ) D γ D γ

10 6. Soru : Bir boru içerisineki üniform-permanan laminer akım haline, enerji çizgisi eğimi ( J ), akışkanın özgül ağırlığı (γ ) ile akışkanın inamik viskozitesine ( μ ), ortalama akım hızına ( ) ve boru çapına ( D ) bağlı oluğuna göre, (J) yi veren bağıntıyı boyut analizi ile ele einiz. Çözüm : J = f (, D,, ) Olaya etki een parametre sayısı ; n = 5 Parametrelere gözlenen esas eğişken sayısı ; m = 3 Ele eilebilecek boyutsuz sayısı ; r = n - m = 5 3 = Parametr FLT boyut MLT boyut e sistemi sistemi J Hirolik eğim [ - ] [ - ] İlgili Bağıntı Dinamik viskozite [ F L - T ] [ M L - T - ] u τ = μ y Özgül ağırlık [ F L -3 ] [ M L - T - ] γ = ρg Ortalama hız [ L T - ] [ L T - ] D Boru çapı [ L ] [ L ] Esas eğişken sayısı m tane olmalıır. Geriye kalan r kaar parametre herbir boyutsuz sayısı ifaesine ayrı ayrı yazılmalıır. Esas eğişken seçimine ikkat eilecek kurallar.. Fiziksel olaya etki een parametrelere gözlenen m aet boyut, esas eğişkenlerin boyutlarına a gözlenmeliir.. Esas eğişkenler keni aralarına boyutsuz bir ifae oluşturmamalıır. FLT boyut sistemine çözüm :. Esas eğişkenler : γ, μ, D Serbest eğişkenler : J, Y Z = γ μ D F o L o T o 3 Y Z = ( FL ) ( FL T) ( L) ( LT ) F 0 = x + y x = - L 0 = -3 x - y + z + z = - T 0 = y - y = μ D = γ μ = γd boyutsuz ifaesi için serbest eğişken boyutsuz J parametresi kullanılığına x, y, z eğerleri sıfır ele eilecektir. Dolayısıyla ; = J olarak belirlenebilir. J = f D g

11 FLT boyut sistemine farklı eğişkenler için iğer bir çözüm ;. Esas eğişkenler : γ, μ, Serbest eğişkenler : J, D = γ μ Y Z D F o L o T o 3 = ( ) Y FL ( FL T) ( LT Z ) ( L) F 0 = x + y x = -y L 0 = -3 x - y + z + z = - T 0 = y z y =z / / / γ = γ μ D = D μ ' μ = = γd boyutsuz ifaesi için serbest eğişken boyutsuz J parametresi kullanılığına x, y, z eğerleri sıfır ele eilecektir. Dolayısıyla ; = J olarak belirlenebilir. MLT boyut sistemine ; Esas eğişkenler : γ, μ, D Serbest eğişkenler : J, = γ μ Y D Z Y Z M o L o T o = ( ML T ) ( ML T ) ( L) ( LT ) M 0 = x + y x = -y L 0 = - x - y + z + z = - T 0 = -x - y y = ve x = - ve μ = γ μ D = γd = J olarak ele eilir.