İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM)

Transkript

1 İşaret ve Sistemler

2 İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM) Kaynaklar: 1. Signals and Systems, Oppenheim. (Türkçe versiyonu: Akademi Yayıncılık) 2. Sinyaller ve Sistemler (Schaum s Outlines / Nobel) 3. Signals and Systems Using Transform Method and Matlab. (Türkçe versiyonu: Nobel) 4. Ders notları, Akif AKGÜL, 2016.

3 İçerik İşaretlerin değerleri, özellikleri ve sınıflandırılması Sürekli ve ayrık zamanlı işaret çeşitleri Sistemler, özellikleri ve sınıflandırılması Doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin türleri, özellikleri ve matematiksel denklemlerle gösterimleri Örnekleme, sürekli ve ayrık zamanda konvolüsyon Laplace dönüşümü, özellikleri ve uygulamaları Ters Laplace dönüşümü, özellikleri ve uygulamaları z-dönüşümü, özellikleri ve uygulamaları Ters z-dönüşümü, özellikleri ve uygulamaları Sürekli zamanda Fourier serileri, dönüşümü ve analizler Ayrık zamanda Fourier serileri, dönüşümü ve analizleri İşaret ve sistemlerin frekans analizleri Durum uzayı kavramları, gösterimleri ve çözümleri

4 İşaret nedir? Bilgi taşıyan fiziksel büyüklükler işaret olarak tanımlanır. Ses ışık, görüntü, biyomedikal, sıcaklık, ivme,. Matematiksel formda fonksiyonlar ile tanımlanır. f(t) v(x,y)

5 Örnek İşaretler Elektrik işaretleri Devredeki akım, gerilim değişimi Akustik işaretler- Konuşma, ses veya müzik (analog/digital) Biyolojik işaretler EKG, EEG, Kan basıncı değişimi, genlerin dizilişi vb. Video/Imge işaretleri Bir imgede renk değişimi veya parlaklık değişimi Kontrol işaretleri Kimyasal sistemlerde ısı veya sıcaklık değişimi Mekanik işaretler Kuvvet, gerilme, yay titreşimi.

6 Sistem Nedir? Sistem, işaretleri işleyerek yeni işaretleri oluşturan yapılardır. İşaretler sistemler üzerinde işletilirler. Bir ya da birkaç uyarım yadagiriş sinyali, bir ya da birkaç sistem girişine uygulandığında; sistem çıkışında bir ya da birkaç tepki ya da çıkış sinyali üretilir. Tek girişli, tek çıkışlı bir sistemin blok şeması

7

8 İşaretin boyutu İşaret bir, iki veya bağımsız değişkenin fonksiyonu olabilir. Örneğin konuşma işareti ya da bankaların faiz oranları bir bağımsız değişkenin yani zamanın fonksiyonudur. Bu tür işaretler bir boyutlu işaretler olarak adlandırılacaktır.

9 İşaretin boyutu

10 İşaret çeşitleri Sürekli zamanlı (analog) işaret (continuous time), Ayrık zamanlı işaret (discrete time signal) ve Sayısal işaret (digital signal) Enerji ve güç (Energy and Power) Gerçek ve Karmaşık (Real and Complex) Periyodik ve periyodik olmayan (Periodic and Non-periodic) Tek ve Çift (Even and Odd) Kararlı ve Rastlantısal (Deterministic and Random)

11 Sürekli zamanlı (analog) işaret (ContinuousTime signals) Zamanın ya da bağımlı değişkenin her noktası sürekli işaretlerdir.

12 Ayrık zamanlı işaretler (Discrete-time time signals) 0 T T T 1T 2T 3T x Sürekli zamanlı işaretten belli aralıklarla örnekler alınarak elde edilir [ n] = f ( nt ) < n <

13 Sayısal (Digital) işaret x[n] Ayrık zamanlı işaretin bağımlı değişkeni de ayrık değerler almışsa ayrık ya da sayısal işaret olarak adlandırılır. Hem zamanda hemdegenlikte kuantalama (seviyelendirme) gerçekleştirilir n

14 İşaret ve Sistemler Günümüzde birçok sistemde analogve sayısal işaretler ve sistemler birlikte karşımıza çıkmaktadır. Sayısal Sistem y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2) any(n-n) + +b0x(n)+ +bmx(n- M) Analog işaretler Sayısal işaretler Analog işaretler

15 Anologve Sayısal işaretler arası dönüşüm

16 Analog-Sayısal Dönüştürücü Görüntü Ses Sıcak Gibi veriler

17 Analog-Sayısal Dönüştürücü ADC ve işlemci Sıcaklık sensörü

18 Sayısal (Digital) işaret ADC ninfarklı kaynaklar arasında zaman paylaşımlı kullanımına bir örnek

19 Sayısal-AnalogDönüştürücü Görüntü Ses Sıcaklık Basınç vb..

20 Enerji ve Güç İşaretleri

21 Enerji İşaretlerine Örnekler

22 Güç İşaretleri

23 Güç İşaretlerine Örnekler

24 Enerji ve Güç İşaretleri

25 Enerji ve Güç İşaretleri (Örnek Sorular)

26 Çözümler

27 Çözümler

28 Çözümler

29 Gerçel ve Karmaşık İşaretler Bir x(t) işaretinin değerleri gerçelse işaret gerçel, değerleri karmaşıksa işaret karmaşıktır. Karmaşık x(t) işareti aşağıdaki yapıda olur. x(t)= (t) + (t) Burada j = -1 olup (t) ve (t) gerçel sinyallerdir ve t, sürekli veya kesikli bir değişkeni gösteriyor olabilir.

30 Periyodik ve Periyodik olmayan İşaretler Bir sürekli zamanlı x(t) sinyali, T sıfırdan farklı pozitif bir sayı olmak üzere x(t+t) = x(t), bütün t değerleri için koşulunu sağlıyorsa bu sinyaller periyodiktir ve periyodu T dir. Periyodik ayrık zamanlı sinyaller de benzer biçimde tanımlanırlar. Bir x[n] dizisi x[n+n] = x [n], bütün n değerleri için koşulunu sağlayan pozitif bir N tamsayısınınvarlığı durumunda periyodiktir ve periyodu N 'dir.

31 Periyodik İşaretler

32 Periyodik olmayan İşaretler

33 Çift ve Tek İşaretler Aşağıdaki koşulları sağlayan x(t) ve x[n] işaretleri çift işaretlerdir. x(-t) = x(t) x[-n] = x[n]

34 Çift ve Tek İşaretler Aşağıdaki koşulları sağlayan işaretler ise tek işaretlerdir. x (-t) = - x (t) x [-n] = - x [n]

35

36 Herhangi bir x(t) ve ya x[n] işareti bir çift ve bir tek sinyalin toplamı olarak ifade edilebilir. x(t) x { x (t) + x (-t) } { x x } { x (t) - x (-t) } { x x }

37

38 Çözüm

39 Çözüm

40 Kararlı ve Rastlantısal İşaretler Kararlı (deterministik) işaretlerin herhangi bir anda alacağı değerler tamamen belirlenmiştir. Bu nedenle, deterministik bir sinyal t'nin bilinen bir fonksiyonu ile modellenebilir. Deterministik işaretlerin şimdiki ve gelecekteki değerleri, geçmişteki değerlerinden yararlanarak hesaplanabilir. Bundan dolayı bu işaretler kesin bir matematiksel formül ile ifade edilebilir. Örneğin bir sinüzoidal işaretin belli bir dönemi gözlendikten sonra genliği, fazı, frekansı ve bu dönem sonrasındaki davranışı tümüyle belirlenebilir.

41 Kararlı ve Rastlantısal İşaretler Bazı fiziksel işaretlerin şimdiki ve gelecekteki değerleri geçmişteki değerlerinden hesaplanamaz ya da tahmin edilemez. Örneğin, sistemlerde çeşitli nedenlerle ortaya çıkan gürültü işaretleri rastlantı işaretleridir. Rastlantı işaretleri için kesin bir matematiksel ifade yazmak mümkün değildir. Buna rağmen bu tür işaretlerin büyük bir çoğunluğunun ortalama değer, karesel ortalama değer gibi istatistiksel büyüklükleri hesaplanabilir. Kısaca, rasgele sinyallerin herhangi bir anda alacağı değerler rastgele olduğundan buişaretler istatiksel olarak karakterizeedilir.