RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007"

Bercu Yanki
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 007 1

2 Tekdüze Dağılım Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. 1 a b f ( ) = b a 0, σ m ( ) ( ) = var = = E = [ a b] ( b a) 1 ( a+ b) 1 b a f ( ) a b

3 Tekdüze Dağılım f Olasılık yoğunluk işlevini kullanarak değişkeninin ortalamasını ve varyansını (değişinti) bulalım: ( ) = 0 [ 0,1] + m = E( ) = f ( ) d= = E(( m ) ) = ( 0.5) f ( ) d= ( ) f ( ) d 1 3 = + = + = (1/ 3) (1/ ) (0.5)

4 Tekdüze Dağılımlı Sinyal Üretimi 0 ile 1 arasında değişen tek düze dağılıma sahip n adet sayı üretmek için rand komutu kullanılır. >> =rand(1,10000); >> mean() % integral ( f d) >> var() % integral ((-m)^ f d) >> norm(-mean())^/length() 4

5 Tekdüze Dağılımlı Rasgele Tamsayı Üretimi randint, tekdüze dağılımlı rasgele tamsayı üretir. Komutta herhangi bir aralık belirtilmezse varsayılan olarak 0 veya 1 üretilir m = E( ) = p = (0) + (1) = 0.5 σ i i i= 0 1 = var( ) = ( i m) pi = (0 0.5) + (1 0.5) i= = + = 1 1 σ = 0.5 σ = 0.5 5

6 Tekdüze Dağılımlı Rasgele Tamsayı Üretimi >> n=10000; %örnek sayisi >> ikili_uret=randint(1,n) >> mean(ikili_uret) % toplam( pi) >> var(ikili_uret) % toplam((-m)^pi) >> std(ikili_uret) %sqrt(var) >>norm(ikili_uret-mean(ikili_uret))^/length(n) m = E( ) = p = (0) + (1) = 0.5 σ i i i= 0 1 = var( ) = ( i m) pi = (0 0.5) + (1 0.5) i= = + = 1 1 σ = 0.5 σ = 0.5 6

7 Histogram Bir parçadan veya süreçten alınan bireysel ölçümün dağılımını gösteren çubuk grafiktir. Aynı zamanda frekans dağılımı olarak da adlandırılır; çünkü herhangi bir verilen değerin görülme sıklığı çubuğun uzunluğu ile gösterilir. hist histogram şeklinde grafik çizmek için kullanılır. Grafik varsayılan olarak 10 eşit parçaya bölünür. Eğer istenirse fonksiyon hist(a,n) seklinde yazılarak n sütuna da bölünebilir. 7

8 Histogram >> =rand(1,10000); >> hist() 100 >> =rand(1,10000); >> hist(,0) Toplam adet rasgele sayı üretildiğinde ve histogram 10 eşit parçaya böldüğünde her aralıkta ortalama 1000 adet veri olmalıydı. Ancak şekilden de görüleceği üzere bu sayı her bir aralık için farklılık göstermektedir. Alınan örnek sayısı arttıkça dağılım daha düz bir hale gelecektir. 8

9 Normal (Gauss) Dağılımı X, sürekli bir rasgele değişken iken, X' in yoğunluk fonksiyonu, ( ) f = 1 πσ ( ) m e σ ise f() e normal dağılım, X' e de normal dağılmış rasgele değişken denir. Dağılımın ortalama m ve σ varyans olmak üzere iki parametresi vardır. X, normal dağılmış bir rasgele değişken ise kısaca N m, σ ile gösterilir. ( ) 9

10 Normal (Gauss) Dağılımı Normal dağılımın bazı özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: 1. Eğrinin tepe noktası ortalamaya karşılık gelir. Bu dağılımda ortalama, medyan (ortanca) ve mod (tepe değer) aynıdır.. Normal dağılım eğrisi ortalamaya göre simetriktir. 3. Standart sapma eğrinin genişliğini belirler, yani standart sapma büyüdükçe değişkenin alacağı en küçük değer ile en büyük değer arasındaki açıklık büyür. 4. Eğrinin altında kalan alanın tamamı 1 birimdir. 5. Normal dağılıma ilişkin olasılıklar normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun belirlediği eğrinin altında kalan alanlar olarak hesaplanır. 10

11 Normal (Gauss) Dağılımlı Sinyal Üretimi randn normal dağılımlı (Gauss) rasgele sayılar üretir. Varsayılan olarak ifadenin ortalaması 0 varyansı ise 1 dir. 11

12 Normal (Gauss) Dağılımlı Sinyal Üretimi >> n=100000; %ornek sayısı >> =randn(1,n); >> mean() %integral ( f d) >> var() % integral ((-m)^ f d) >> norm()^/length() >> hist(,100) 1

13 Rasgele Gauss Dağılımlı Değişkeninin Ortalaması ve Varyansını Değiştirme İşlemi ( ) σ N m, σ bir rasgele değişken oluşturmak isteyelim. y= + c değişkeninin ortalaması 0 ise y nin ortalaması nedir? ( ) 0 ( ) ( σ ) ( ) σ ( ) ( ) ( ) = ( σ ) + ( ) = σ E = E y = E + E c = E + E c = c var y var var c 13

14 Rasgele Gauss Dağılımlı Değişkeninin Ortalaması ve Varyansını Değiştirme İşlemi >> y=*+3; >> mean(y) % ortalaması c= 3 >> var(y) % varyansı =4 >> hist(y,100) 14

15 Q Fonksiyonu 1 Q( ) = e d π Q fonksiyonu monoton azalan bir fonksiyondur. Bazı özellikleri aşağıda sıralanmıştır: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 1. Q = 1, Q 0 = 1/, Q = 0. Q 1 Q ( ) 3. Q 1 1 = erf m 4. X N( m, σ ) iken Pr( X > ) = Q σ a 5. Pr{ X > ( m + a) } = Pr{ X < ( m a) } = Q σ 15

16 Q Fonksiyonu MATLAB da Q fonksiyonu işlemi qfunc komutuyla gerçekleştirilir. ( ) Örnek 1: N 0,1 olasılık yoğunluk işlevine bir değişkenin 3 değerinden büyük gelme olasılığını Q işlevi yöntemi ve değişkeninden yararlanarak bulunuz. >> N=10000; >> =randn(1,n); >> [d]=find(>3); >> length(d)/n >> qfunc(3) 16

17 Q Fonksiyonu Örnek : olasılık yoğunluk işlevine bir değişkenin 1 den büyük 3 ten küçük değerler alma olma olasılığını Q işlevi yöntemi ve değişkeninden yararlanarak bulunuz. >> N=10000; >> =randn(1,n); >> [d3]=find(>3); >> [d1]=find(>1); >> (length(d1)-length(d3))/n >> qfunc(1)-qfunc(3) 17

18 Q Fonksiyonu b a 1 ( m ) m 1 = σ t e d σ değişken dönüşümü πσ σ dt = d ( ) b m σ t t t e dt = e dt e dt integral parçalandı π π π a m a m b m σ σ σ ( ) b a 1 ( m ) σ 1 a m b m e d Q( ) Q( ) πσ σ σ 18

19 Toplanır Beyaz Gauss Gürültüsü Toplanır Beyaz Gauss Gürültülü (AWGN) kanal modeli, radyo kanalının klasik bir modelidir. Bu model, alınan işareti bozma yönünde eklenmiş istatistiksel olarak bağımsız gürültü örneklerinden oluşur. Gürültü örneklerinin genliği bir Gauss olasılık yoğunluk işlevine sahiptir. Gürültü örnekleri, birbirlerinden bağımsız oldukları için, kendi öz ilinti fonksiyonları ideal olarak bir darbedir. Buna göre, AWGN kanalın güç spektral yoğunluğu tüm frekanslar için düzdür. AWGN kanalın genellikle durağan olduğu ve davranışının zamanla değişmediği kabul edilir. 19

20 MATLAB da AWGN Gürültü Oluşturulması Ns bilgi işaretinin uzunluğu olmak üzere bu işarete etkiyecek n gürültüsü iki şekilde ürebilebilir ve eklenir. >> n=1/sqrt()*(randn(1, Ns)+j*randn(1, Ns)); >> y=+n; y = awgn(,snr) komutu da bilgi işareti dizisine beyaz Gauss gürültüsü ekler. snr sabiti db cinsiden sinyal/gürültü oranıdır. Eğer karmaşıksa awgn karmaşık gürültü ekler. Bu kullanımda in gücünün 0 db olduğu kabul edilir. 0

21 Rayleigh Dağılımı Gerçek dünyadaki gezgin hücresel radyo ağlarında karşılaşılan radyo kanalı, çok sayıda yayılım yolunun birleşimidir. Bu davranış, çok yollu yayılım olarak adlandırılır. Haberleşme sistemleri için çok yollu kanal modeli, kullanımı AWGN kanal modelinden daha zor olan bir kanal modelidir. T R 1

22 Rayleigh Dağılımı Anten arasındaki her bir yola çoklu yol bileşeni denir ve her yolun farklı bir zayıflatması ve zaman gecikmesi vardır. Bunların alıcı antene toplamı ise alınan sinyali bozabilir bu olaya sönümleme denir. Böyle bir kanalı modellemek için zamanla değişen dürtü cevabı sahip bir model ele alır. İletilen sinyalin karmaşık zarfı g s ise alınan sinyal modeli aşağıdaki şekilde verilebilir. jθ k g () t = ρ e g ( t τ ) + n() t r k s k k Burada ρ k k. yolun zayıflaması, θ k. k yolun faz kayması ve τ k da k. yolun gecikmesidir.

23 Rayleigh Dağılımı Kanalda eğer direkt görüşün olmadığı ve vericiden çıkan sinyalin birçok yoldan alıcıya ulaştığı (her yolun yaklaşık aynı zayıflatmaya sahip olduğu) varsayılırsa kanal modeli g ( t τ ) g ( t) ise s s s jθ k g () t = g () t ρ e + n() t r s k k jθ k h= + jy = ae, = ρ cos( θ ) y = ρ sin( θ ) Alınan Sinyal g () t = hg () t + n(), t r s k k k k k k jφ h= + jy = ae sıfır ortalamalı Karmaşık Gauss rasgele değişkeni 3

24 Rayleigh Dağılımı Merkezi limit teoremine göre ve y değişkeni Gauss rasgele değişkenine yaklaşır. Bu durumda olasılık dağılım işlevi: y, πσ + y ( ) σ 1 f (, y) = e, a ( ) σ a fa ( a) = e U( a) Rayleigh σ f φ 1 =,0 φ < π, tekdüze ( Uniform ) π Ayrıca eğer Direk Görüş (LOS Line of Side) varsa kanal Rician Dağılımına sahip olarak modellenir. Eğer baştaki varsayım yapılmazsa yani kanal semboller arasında karışım meydana getiriyorsa bu durumda kanala frekans seçici kanal denir. Bu tür kanallar için çeşitli (OFDM gibi) yöntemler mevcuttur 4

25 Rayleigh Benzetimi clear all,clc,close all N=10000 A1=randn(1,N)/sqrt(); A=randn(1,N)/sqrt(); mean(a1) mean(a) var(a1) var(a) h=a1+a*i; figure tp=angle(h); hist(tp,0); %...Faz -pi ile +pi arasinda degismesi lazim title('faz Degisiminin Histogrami') tm=abs(h); mean(abs(tm)) var(abs(tm)) figure hist(tm,0) title('zarfin Genliginin Olasilik Dagilim Islevi') tet(,800,'rayleigh Dagilimi') 5

26 Rayleigh Dağılımın Faz Değişiminin Histogramı 6

27 Rayleigh Dağılımın Zarfının Genliğinin Olasılık Dağılım İşlevi 7

Benzer belgeler

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere