c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir."

Batur Bilgi
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle x ve y değişkenler olmk üzere değişkenler rsı ilişkiyi A B çıklyn ifdedir. Örneğin y değişkeni hrm x gelir olilir. x f y x y B Tnım kümesi Değer (görüntü) kümesi * Tnım kümesinin her elemnı ir elemnl eşleşmelidir. Tnım kümesinde oşt ir elemn klmmlıdır ve tnım kümesinin ir elemnının frklı iki görüntüsü olmmlıdır. * Görüntü kümesi ve değer kümesi her zmn iririnin ynı olmyilir görüntü kümesi değer kümesinde tnım kümesinin eşleştiği elemnlrı verir. A- FONKSİYONUN TANIM ARALIĞI y= f(x) fonksiyonund x yerine ir değer konulur ve fonksiyon elirli, sınırlı ve reel ir değeri lırs, fonksiyon u noktd tnımlnmıştır. Fonksiyonun tnımlı olduğu değerlerin kümesine tnım rlığı denir. B- FONKSİYON TÜRLERİ ) İçine Fonksiyon: Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin lt kümesi ise, ir diğer deyişle, değer kümesinin zı elemnlrının tnım kümesinde krşılığı yok ise u tür fonksiyonlr denir.

2 1 3 4 ) Örten Fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit ise (ir diğer deyişle, değer kümesinin tüm elemnlrının tnım kümesinde krşılığı vr ise) u tür fonksiyonlr denir. d 1 3 ) Bire ir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemnının tnım kümesinde ylnız ir krşılığı vrs u fonksiyonlr denir.

3 1 3 d) Sit Fonksiyon: eğer fonksiyonun tnım kümesindeki her elemnın görüntü kümesindeki krşılığı hep ynı elemn oluyors u tür fonksiyonlr denir. 1 3 e) Birim Fonksiyon: eğer fonksiyonun tnım kümesindeki her elemnın görüntü kümesindeki krşılığı yine kendisi oluyors u tür fonksiyonlr denir.

4 f) Tek ve Çift Fonksiyonlr: y = f(x) fonksiyonund eğer tnımlı tüm x değerleri için; f(-x) = f(x) ise ; çift fonksiyondur. f(-x) = -f(x) ise; tek fonksiyondur. Her ikisi de gerçekleşmiyors ne tek ne çift fonksiyondur. Bşlngıç noktsın (0,0) (orjine göre) simetrik fonksiyonlr tek; y eksenine göre simetrik fonksiyonlr çift fonksiyondur. C- AÇIK VE KAPALI FONKSİYONLAR Bir fonksiyond x ve y rsındki ğıntı y = f(x) şeklinde ise un çık fonksiyon denir. F(x,y)=0 şeklinde ise un kplı fonksiyon denir. D- PERİYODİK FONKSİYON Eğer ir f(x) fonksiyonund f(x) = f(x+t) olk şekilde ir t reel syısı ulunuyors f(x) fonksiyonu periyodiktir. t reel syısın d o fonksiyonun periyodu denir. sin x ve os x fonksiyonlrının periyodu tn x ve ot x fonksiyonlrının periyodu dir. Periyodik Fonksiyonlrın Özellikleri: f( x+t) = f(x) ise; ) f(x) fonksiyonunun periyodu yine t dir. ( IR) t ) f(x+) fonksiyonunun periyodu dır.

5 ) sin n (x+), os n (x+) fonksiyonlrının periyodu t şeklindedir. sin n+1 (x+), os n+1 (x+) fonksiyonlrının periyodu t şeklindedir d) f(x) fonksiyonunun periyodu t f, g(x) fonksiyonunun periyodu t g ise; f+g, f-g, f.g, f/g fonksiyonlrının periyodu t / t f ve t / t g tmsyı ise t dir. E- TERS FONKSİYON y = f(x) iken x = g(y) şeklinde ifde edilirse; f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu elde edilir. Bir fonksiyonun tersinin lınilmesi için ireir ve örten olmlıdır. Özellikleri: ) f: IR IR, f(x) = x+ ise f -1 (x) = d ) f: IR- IR- x f ( x) ise x d f 1 x şeklindedir. dx ( x) şeklindedir. x ) y = f(x) in elirttiği eğri ile y = f -1 (x) in elirttiği eğri y = x doğrusun göre simetriktir. d) B IR olmk üzere f: [, ) B f ( x) x x ise, f 1 ( x) e) e) B IR olmk üzere f: (, 4x 4 4 ] B f ( x) x x ise, şeklindedir. f 1 ( x) 4x 4 4 şeklindedir.

6 F- FONKSİYONLARIN SINIFLANDIRILMASI 1) Polinom Fonksiyonlr: 0, 1,, n IR ve n 0 ve n N olmk üzere, P(x) = n x n + n-1 x n x+ 0 gii fonksiyonlr n. dereeden polinom (çok terimli) denir. n= 0 f(x) = 0 sit fonksiyonun d 0.dereeden polinom olrk kılilir. n= 1 f(x)= x fonksiyonun doğrusl fonksiyon denir. n= f(x)= x + x fonksiyonun ikini dereeden kudrtik fonksiyon denir. ) Ceirsel Fonksiyonlr P 0 (x), P 1 (x),, P n (x) ler x in polinomlrı olmk üzere, P n (x) y n + P n-1 (x) y n P 1 (x) y+ P 0 (x) = 0 denklemini sğlyn y=f(x) şeklindeki fonksiyonlr ve denklemin kökü oln fonksiyonlr eirsel fonksiyon denir. ) Rsyonel Ceirsel Fonksiyonlr : P(x) ve Q(x) irer polinom fonksiyon iken, şeklinde iki polinom ornı olrk ifde edileilen fonksiyonlrdır. Bu fonksiyonun tnım kümesi Q(x) = 0 denkleminin kökleri dışındki tüm reel syılr kümesidir. Örneğin 1) ) 3) Fonksiyonlrının her iri rsyonel fonksiyonlrdır. Bunlrdn irinisinin tnım kümesi IR-, ikinisinin IR- iken üçünü fonksiyonun tnım kümesi ise IRşeklindedir. ) İrrsyonel Fonksiyonlr İki polinom ornı olrk ifde edilemeyen fonksiyonlrdır. Bir diğer deyişle P(x) ve Q(x) iki polinom olmk üzere şeklinde yzılmyn fonksiyonlrdır. 3) Trnsndnt Fonksiyonlr: Ceirsel olmyn fonksiyonlr trnsndnt fonksiyonlr denir. Bu tür fonksiyonlr elementer işlemlerle x ğımsız değişkeninden elde edilemezler. Trigonometrik, ters trigonometrik, üstel, logritmik fonksiyonlr şlı trnsndnt fonksiyonlrdır.

7 ) Trigonometrik Fonksiyonlr Her ir x reel syısı için sinx ve osx değerleri hesplnilmektedir. Aynı zmnd x ir reel syı olmk üzere, (k Z) ise tn x ve x nπ (n Z) ise otx değerleri de hesplnilir. Özetle, Fonksiyon Tnım Kümesi Değer Kümesi Periyotu y= sin x IR [-1,1] π y= os x IR [-1,1] π y= tn x IR- IR π y= ot x IR- IR π y= se x= IR- IR-(-1,1) π y= ose x= IR- IR-(-1,1) π Mtemtikte verilmiş ir fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun tnımlı olduğu çıkış değerlerinin oluşturduğu kümedir. Mtemtikte verilmiş ir fonksiyonun tnım kümesi, fonksiyonun tnımlı olduğu girdi değerlerinin oluşturduğu kümedir. Trigonometrik Özdeşlikler 1) sin (-x) = - sin x os(-x) = os x ) sin x + os x = 1 3) 1+ tn x= = se x 4) 1+ ot x= = ose x 5) sin ( - x ) = os x os ( - x ) = sin x 6) sin ( + x ) = - os x os ( + x ) = sin x 7) sin ( π x) = sin x os ( π x) = - os x 8) sin ( x+y ) = sin x os y + os x sin y 9) sin ( x-y ) = sin x os y os x sin y 10) os ( x+y ) = os x os y sin x sin y 11) os ( x-y ) = os x os y +sin x sin y

8 1) 13) 14) sin x = sin x os x os x = os x sin x = os x-1 = 1- sin x 15) 16) sin x os y = [ sin (x+y) +sin (x-y) ] 17) os x os y = [ os (x+y) +os (x-y) ] 18) sin x sin y = [ os (x-y) - os (x+y) ] 19) sin x + sin y = 0) sin x - sin y = 1) os x + os y = ) os x - os y = ) Ters Trigonometrik Fonksiyonlr Fonksiyon Ters Fonksiyon Tnım Kümesi Temel Değer Bölgesi x = sin y y = rsin x [ -1,1 ] [- x = os y y = ros x [ -1,1 ] [ 0, π ] x = tn y y = rtn x IR [- x = ot y y = rot x IR ( 0, π ) x = ose x y = rose x (-, -1]U[1, + ) (- x = se y y = rse x (-, -1]U[1, + ) ( 0, π ) ) Üstel Fonksiyonlr > 0 ve 1 olmk üzere; y= x şeklindeki fonksiyonlr üstel fonksiyon denir. d) Logritmik Fonksiyonlr Üstel fonksiyonun ters fonksiyonun logritmik fonksiyon denir. Üstel fonksiyon x = y ( >0 ) olrk lınırs unun tersi y = log x ile gösterilen logritmik fonksiyon elde edilir. x= y üstel fonksiyonunun grfiği çizdirilir ve y = x doğrusun göre simetriği lınırsn logritmik fonksiyonun grfiği elde edilir.

9 Logritmnın Özellikleri 1) log (x y) = log x + log y ) log ( = log x - log y 3) log x p = p log x 4) log x = (Tn değiştirme özelliği) 5) log e x = ln x şeklindedir. Tnı e oln logritmdır. Doğl logritm olrk dlndırılır. 6) log 10 x = log x şeklindedir. Tnı 10 oln logritmdır. Byğı logritm olrk dlndırılır. 7) log 0 = log 10 0 tnımsızdır. 10 un hiçir üssü sıfır vermez. 8) log 1 = 0 ise 10 0 = 1 olur. 9) Log 0,1 = -1 ise 10-1 = 0,1 olur. 10) 0<x 1 ise <log x<0 olur. 11) log = 1 [ İspt: y=log x ise x= y ise 1 =] 1) log 1 = 0 [İspt: 1= 0 ] 13) log x log x = 1 [log x = ] 14) log = log (x 1/n ) = 15)

Benzer belgeler

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu