Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Transkript

1 Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α = f f ( ϕ) ( λ) Gerçek Projeksiyon m = α = f f ( ϕ, λ) ( ϕ, λ) Yalancı Projeksiyon

2 Deformasyon Elipsi veya Tissot Endikatrisi R: dünyanın yarıçapı = 1 (birim küre) X: meridyen ve y : paralel doğrusu

3 Deformasyonların Hesabı a b sin( t t) = sin( t + a + b t) Doğrultu deformasyon eşitliği o ( t + t) = 90 sin( t + t) = 1 Maksimum Doğrultu deformasyonu sin( t + t) = sinϖ = max a a + a = b Açı koruma şartı F a b π = = a b = 1 Alan korumaşartı F 1 π b b Maksimum Doğrultu deform. eşitliği

4 Ortodrom ve Loksodrom Ortodrom: Küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, iki noktadan geçen büyük dairenin kısa olan parçasıdır. Bu eğri ortodrom olarak adlandırılır. Loksodrom:Küre üzerinde tüm meridyenleri sabit açı altında kesen eğridir. Deniz ve hava ulaşımında önemlidir. İki nokta arasında (1 ve ) Loksodrom eğrisinin azimutu ve boyunun hesabı: tan α = π ln tan + 4 R l1 = 1 cos α ( ϕ ϕ ) λ λ1 ϕ π ln tan + 4 ϕ1

5 Küre Üzerinde Alan Hesabı Alan koruyan projeksiyonların eşitliklerini çıkartılmasında, alan deformasyonu ile ilgili problemlerin çözümünde küre kapağı, kuşak ve küre üzerindeki paralel daire ve meridyenlerinle sınırlanan trapez (coğrafi grid) gibi yüzeylerin alanlarının hesaplanması gereklidir. h: küre kapağın yüksekliği R: küre yarıçapı Küre Alanı = F = πrh Veya enlem derecesine bağlı olarak, F = πr (1- sinϕ) Enleme bağlı olarak küre kuşağı eşitliği ise, F = πr (sinϕ -sinϕ 1 ) Küre üzerinde trapez yüzeyinin alanı ise, o λ F = πr ( sin ϕ sin ϕ1) 0 360

6 Örnek: Soru: Güney kenarının enlemi 41 o, batı kenarının boylamı 7 o olan 1: ölçekli paftanın, a) Köşelerinin coğrafi koordinatlarını, b) Yerküre üzerinde alanını, c) Köşegen uzunluğunun yerküredeki değerini hesaplayınız (R=6370 km). Çözüm: Verilenler: Ölçek : 1: o x1.5 o ( ϕ = 1 o, λ = 1 o 30 ) a) Paftanın güneybatı köşesinin coğrafi koordinatları: ϕ 1 =41 o,λ 1 =7 o Paftanın güneydoğu köşesinin coğrafi koordinatları: ϕ = 41 o, λ = 8 o 30 Paftanın kuzeydoğu köşesinin coğrafi koordinatları: ϕ 3 = 4 o, λ 3 =8 o 30 Paftanın kuzeybatı köşesinin coğrafi koordinatları: ϕ 4 = 4 o, λ 4 =7 o

7 b) Paftanın alanı aşağıdaki bağıntıdan hesaplanır; F F λ o = πr (sinϕ sinϕ ) 1 o = km 360 c) Köşegen uzunluğunun yerküredeki değeri, iki nokta arasındaki ortodrom uzunluğunu veren ifade yardımıyla hesaplanır. cosδ = sinϕ sinφ + cosϕ cosϕ cos λ 1 1 δ = o πδ P P = 6370 = km 1 180

8 AZİMUTAL (DÜZLEMSEL) PROJEKSİYONLAR Azimutal projeksiyonlarda: Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan (kutup noktasından dağılan ışın demetleri, paralellerinin izdüşümleri ise bu noktayı merkez alan daireler biçimindedir. Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar: α ve küre üzerindeki açılar: λ ile aynıdır. Böylece; 1) α = λ δ : kutup uzaklığı açısı, yani δ = (90 - ϕ) ve m: paralel dairelerin yarıçapı olmak üzere ) m = f(δ) olmak üzere adet projeksiyon eşitliği (denklemi) yazılır.

9

10 1. Meridyen Uzunluğu Koruyan Azimutal Projeksiyon α = λ ve δ ) m =

11 . Alan Koruyan Azimutal Projeksiyon Alan koruma şartının gerçekleşmesi için paralel dairelerin izdüşümlerinin yarıçapı, bir paralel dairenin kapladığı harita alanı, bu paralel daire tarafından sınırlanan küre kapağının alanına eşit olacak şekilde seçilmelidir. m yarıçapını bulmak iiçin, bir önceki şekilde verilen P noktasından geçen paralel dairenin düzlemde sınırladığı daire alanı ile, kürede sınırladığı küre kapağının alanı birbirine eşitlenir. F = π (1 cosδ ) F F = α = = πm = 4π sin δ F 4π sin = πm δ λ, m = sin δ

12 3. Konform Azimutal Projeksiyon (Stereografik Projeksiyon) Stereografik projeksiyonda sadece deformasyon elipsi daireye dönüşmez aynı zamanda küre üzerinde tüm dairelerin izdüşümleri de dairedir. Kutuptan uzaklaştıkça alanların çok hızlı büyümesi nedeniyle, bu projeksiyon Atlas Haritalarında tercih edilmez. Konform özelliği ve dairelerin şekillerinin korunmasından dolayı astronomik amaçlar için tercih edilir. Referans yüzeyi elipsoit alınarak Kutup bölgelerinin 1: ölçekli topoğrafik haritalar için de kullanılmaktadır. Bu nedenle projeksiyon UPS (Universal Polar Stereografik) olarak da adlandırılır. α m = = λ, tan δ

13 4. Gnomonik Projeksiyon (Merkezi Projeksiyon) Gerçek perspektif özelliğinde olup, projeksiyon merkezi referans küresinin merkezidir. Bu özelliğinden dolayı küre üzerindeki büyük daire yaylarının izdüşümleri doğru şeklindedir. Başka bir ifadeyle, Gnomonik projeksiyonda ortodromların izdüşümleri doğru şeklindedir. α = λ m = tanδ

14 5. Ortografik Projeksiyon Ortografik projeksiyon gerçek perspektif özelliği taşıyan projeksiyonlar içerisinde projeksiyon merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem durumdur. Paralel Projeksiyon da denilir. α = λ ve m = sinδ

15 Normal Konumlu Azimutal Projeksiyonlar İçin Formül Özeti Projeksiyon Türü m Y = m sin λ X = m cos λ Meridyen boyu ) ) R δ R δ sin λ R δ cos λ koruyan Alan koruyan δ R sin R sin δ sin λ R sin δ cos λ Konform δ R tan R tan δ sin λ R tan δ cos λ Gnomonik R tanδ R tanδ sin λ R tanδ cos λ Ortografik R sinδ R sinδ sin λ R sinδ cos λ