Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -"

Transkript

1 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte teorem: üsts r a (azalmaya dizi) Teorem S rl ve arta her gerçel say dizisi Cauchy dizisidir, dolay s yla böyle bir dizii de limiti vard r. Ka t: Ka t aa fikri belli: E er dizi artasa ama her say y aflam yorsa, o zama dizii terimleri belli bir say y aflmamak içi giderek daha fazla birbirie sokulmal, yai dizi bir Cauchy dizisi olmal. Bu fikri uygulamaya sokal m. Teoremi do ru olmad varsay p bir çeliflki elde edelim. (a ), s rl ve arta ama Cauchy olmaya bir dizi olsu. (a ) Cauchy dizisi olmad da, öyle bir > 0 gerçel say - s vard r ki, her N içi, a a m

2 S rl ve Arta Diziler eflitsizli ii sa laya, m > N vard r. Dizi artt da, buu flöyle de yazabiliriz: Öyle bir > 0 gerçel say s vard r ki, her N içi, a a m sa laya > m > N vard r. Böyle bir u sabitleyip dizii ayyuka ç kmak zoruda oldu uu gösterelim. Yukardaki özelli e (*) ad verelim. (*) özelli ide N = 0 alal m. O zama, a 1 a 0 eflitsizli ii sa laya 1 > 0 > 0 vard r. (*) özelli ide N = 1 al rsak, a 3 a 2 eflitsizli ii sa laya 3 > 2 > 1 göstergeçleri buluruz. a 2 a 1 oldu uda, a 3 a 1 a 3 a 2 olur. Özetle: 3 > 1 içi, a 3 a 1. Ard da, (*) özelli ide N = 3 alarak, a 5 a 4 eflitsizli ii sa laya 5 > 4 > 3 buluruz. a 4 a 3 oldu uda, a 5 a 3 a 5 a 4 olur: Özetle: 5 > 3 > 1 içi, a 5 a 3. Buu böylece sürdürebiliriz: E er, her i = 1, 2,..., k1 içi, a 2i+1 a 2i1 eflitsizli ii sa laya 0 < 1 < 3 < 5 <... < 2k+1 göstergeçleri bulumuflsa, bir soraki aflamada, (*) özelli ide N = 2k+1 al p, a 2k+3 a 2k+2 eflitsizli ii sa laya 2k+1 < 2k+2 < 2k+3 göstergeçleri buluur. a 2k+2 a 2k+1 oldu uda, a 2k+3 a 2k+1 a 2k+3 a 2k+2 olur. fiimdi a 2k+1 i k ile birlikte çok büyüdü üü, her say y aflt gösterelim. Öce bulduklar m z altalta yazal m:

3 18. S rl ve Arta Diziler 381 a 3 a 1 a 5 a 3 a 7 a 5... a 2k+3 a 2k+1. Ve bular toplayal m. Sadelefltirmelerde sora flu kal r: a 2k+3 a 1 (k+1), yai a 2k+3 (k+1) + a 1 buluruz. Görüldü ü gibi, e er k yi yeterice büyük al rsak, a 2k1 terimi her say y aflar ve bu da dizii s rl olmas yla çeliflir. Souç S rl ve azala her gerçel say dizisi Cauchy dizisidir, dolay s yla böyle bir dizii de limiti vard r. Ka t: E er (a ), s rl ve azala bir diziyse, (a ), s rl ve arta bir dizidir, dolay s yla Cauchy dir. Dolay s yla (a ) dizisi de Cauchy dir. Al flt rmalar E er r(0, 1) ise (r ) dizisii azala ve altta s rl oldu uu ka tlay. Dizii limitii 0 oldu uu ka tlay. ( pucu: Limite diyelim. (r 2 ) dizisi hem ye hem 2 ye yak sar. Teorem 10.2 de buu içi ka tlam flt k, ama bu ka t de iflik.) (a ) arta ve a ya yak saya bir diziyse, her içi, a a eflitli ii ka tlay. 18.3*. Teorem 18.1 i Arflimet olmaya s ral cisimler içi yal fl oldu uu gösteri.

4 18A. ki Yak sak Gerçel Dizi Öre i Burada geçe bölümde ka tlad m z teoremi birkaç uygulamas görece iz. Teoremi a msayal m: S rl ve azalmaya her gerçel say dizisi Cauchy dizisidir, dolay - s yla böyle bir dizii de limiti vard r. Örek 18A.1. Her r içi, lim r /! = 0. Ka t: Buu Örek 10.5 te içi ka tlam flt k. Burada ay fleyi çok daha kolay biçimde içi yapaca z. Al flt rma 17.4 e göre, r yerie r alarak r 0 varsay m yapabiliriz. x = r /! 0 olsu. x +1 ile x aras da çok basit bir iliflki vard r: 1 r r r r x1 x. ( 1)! 1! 1 E er yi yeterice büyük, diyelim N de büyükeflit seçersek, r/(+1) say s 1 de küçük olur ve x +1 < x eflitsizli ii elde ederiz. Bu eflitsizlik her > N içi do ru oldu uda, buda, (x ) dizisii bir zama sora azala bir dizi oldu u alafl l r. Souç 17.2 ye göre dizii N ici terimde soraki kuyru u belli bir x say s a yak sar; dolay s yla dizii kedisi de x e yak sar. Bu x i bulmal y z. Yukarda ka tlad m z x r 1 x 1

5 384 18A. ki Yak sak Gerçel Dizi Öre i eflitli ii her iki taraf da sosuza giderke limitii al rsak, x = 0 x = 0 buluruz. Örek 18A.2. lim (1 + 1/) vard r ve 2 ile 3 aras da bir say d r. Birici Ad m. Her > 0 do al say s ve her x > 1 içi, (1 + x) 1 + x. Ka t üzerie tümevar mlad r ve çok kolayd r. kici Ad m. Her > 0 do al say s içi, 2 (1 + 1/) 3. Birici ad mda x = 1/ al rsak, 2 (1 + 1/) eflitsizli i heme ç kar. (1 + 1/) 3 eflitsizli i afla daki dikkatli hesapta ç kar i i i ( 1)...( i1) 1 1i i i 1 i i i i 1... i i i i i1 i i Üçücü Ad m. Her > 0 do al say s içi,

6 18A. ki Yak sak Gerçel Dizi Öre i 385 Sa daki ifadeyle biraz oyayal m ( 1) eflitli ide dolay, a = 1 + 1/ yazarsak, ka tlamak istredi imiz eflitsizlik, eflitsizli ie, yai eflitsizli ie, yai 1 1 a 1 a ( 1) a a( 1) ( 1) 2 eflitsizli ie döüflür. Ama dikkat edilirse bu aye x = 1/( + 1) 2 içi, birici ad mdaki eflitsizliktir bu: ( 1) ( 1) 1 1 Art k ka t m z tamamlam flt r. Aaliz ders otlar da [GA] bu dizii e ad verile matemati i ve evrei çok öemli bir sabitie yak sad gösterece iz.

7 19. E Küçük Üsts r i taml, yai i her temel dizisii yak sak oldu uu gösterdik. Bu, de olmaya bir özellikti. Bu bölümde i de olmaya bir baflka öemli özelli ii gösterece- iz. Bir baflka y t rak içide yazmam z edei, gösterece- imiz bu yei özelli i asl da i taml a eflde er olmas yai asl da gerçekte bir baflka özellik olmamas... Öce teoremi yazal m, teoremde geçe terimleri heme akabide ta mlayaca z. Teorem i bofl olmaya ve üstte s rl ola her altkümesii bir e küçük üsts r vard r. Öce teoremdeki terimleri aç klayal m. R tams ral bir küme olsu, öre i R = ya da olabilir (bildi imiz s ralamayla). A R ve r R olsu. E er her a A içi, a r ise, r ye A ad verilir. E er s R, A üsts rlar e küçü üyse, yai s, A bir üsts r ysa ve A her r üsts - r içi s r eflitsizli i sa la yorsa, o zama s ye A (R de) ad verilir. Herhagi bir A ve R içi, A A e küçük üsts r, sup A s bir üsts r r R

8 E Küçük Üsts r üsts r olmayabilir. Ayr ca bir üsts r oldu uda da üsts rlar e küçü ü olmayabilir. Öre i, A = ve R = ya da ise, A R de üsts r yoktur. E er R = ve B = {a : a 2 < 2} ise B i ( de) üsts r vard r ama ( de) e küçük üsts r yoktur (bkz. Al flt rma 3). Öte yada lise y llar da beri bilidi i üzere B i de e küçük üsts r vard r (ve bu e küçük üsts r 2 diye yaz la gerçel say d r.) Bu bölümde buu matematiksel olarak ka tlayaca z. Bir A altkümesii e küçük üsts r, varsa, biriciktir elbette (ede elbette?) ve bu elema sup A ya da eküs(a) diye yaz l r. E er e küçük üsts r R de al d illa belirtilmek isteiyorsa, o zama sup R A yaz l m ye leir. Al flt rmalar S tams ral bir küme ve A R S olsu. sup S A ve sup R A varsa sup S A sup R A eflitsizli ii ka tlay Öyle tams ral bir S ve ARSaltkümeleri bulu ki, a. sup R A olsu ve A bir elema olsu. b. sup R A olsu ama A bir elema olmas. c. sup R A olmas ama sup S A olsu. d. sup S A olmas ama sup R A olsu B = {a: a 2 < 2} kümesii de bir e küçük üsts r olmad ka tlay Bir kümei e fazla bir tae e küçük üsts r olabilece ii ka tlay. Teorem 1 i Ka t : A, i bofl olmaya ve üstte s rl bir altkümesi olsu. Amac m z, bir azalmayarak di eri artmayarak üsts ra yak saya (a ) ve (b ) dizileri bulmak. Bu dizileri ortak limiti A üsts r olacak.

9 19. E Küçük Üsts r 389 A varl gösterilecek ola e küçük üsts r, sup A a b A boflküme olmad da, A da bir a 0 elema alabiliriz. b 0 da A bir üsts r olsu. Elbette a 0 b 0. A a 0 b 0 fiimdi a 0 la b 0 orta oktas ola (a 0 + b 0 )/2 ye bakal m. E er bu say A bir üsts r de ilse a0 b0 a1 2 b 1 b0 olsu. E er bu say A bir üsts r ysa, a a 1 0 a0 b0 b1 2 olsu. Bir soraki aflamay ay biçimde a 0 ve b 0 yerie a 1 ve b 1 le devam ettirelim. Geel olarak, b i+1 a i+1 = (b i a i )/2, A da a i de büyükeflit bir elema vard r, b i, A bir üsts r d r özelliklerii sa laya bir a 0 a 1... a b... b 1 b 0 dizisi buldu umuzu varsayal m. Yukardaki yötemle diziyi bir ad m daha götürebiliriz: a ile b i orta oktas ola (a + b )/2 say s a bakal m. E er bu say A bir üsts r de ilse o zama a b a1 2 b 1 b olsu. E er bu say A bir üsts r ysa,

10 E Küçük Üsts r a b b 1 2 olsu. stee tüm özellikler sa la r. a 1 a A a 0 a 2 b 3 b 1 b 0 Her a i+1, ya a i ye eflit ya da a i ve b i i orta oktas. Her b i+1, ya b i ye eflit ya da a i ve b i i orta oktas. (a ) arta ve üstte (b ler taraf da) s rl bir dizi oldu- uda bir limiti vard r (Teorem 18.1.) Bu limite a ad verelim. Bezer edede (b ) dizisii de bir limiti vard r; bu limite de b diyelim. Elbette, her içi, a a b b eflitlikleri do rudur (Al flt rma 18.2). Ama b i+1 a i+1 = (b i a i )/2 eflitli ide dolay, her içi, b a = (b 0 a 0 )/2 eflitli i de do rudur. Demek ki, 0 b a = (b 0 a 0 )/2 < (b 0 a 0 )/ ve taraflar limitii al rsak, sa taraf 0 a gitti ide, Sadviç Teoremi de dolay (Teorem 9.10) b = a buluruz. lim a = a = b = lim b A a 0 a 2 b 3 b 1 b 0 a a = b b fiimdi a A e küçük üsts r oldu uu ka tlayal m. Her fleyde öce a, A bir üsts r oldu uu ka tlamal y z. Afla daki flekilde takip edi. E er x A, a da büyük olsayd, o zama, (b ) dizisi azalarak (daha do rusu artmayarak) b = a ya yak sad da, belli bir içi, a b < x olurdu ki, b bir üsts r oldu uda bu imkâs zd r.

11 19. E Küçük Üsts r 391 a = b a b a da büyük bir x A olabilir mi? Olamaz, çükü yoksa b lerde biri x i alt a ierdi. a a = b b a da küçük bir c, A bir üsts r olabilir mi? Olamaz, çükü yoksa a lerde biri c yi geçerdi. Peki a, A e küçük üsts r m d r? E er c, a da küçük A bir baflka üsts r olsayd, (a ) dizisi artarak (daha do rusu azalmayarak) a ya yak sad da, belli bir içi, c < a a olurdu ki, bu da c i A üsts r olmas yla çat fl rd. (Çükü A da a de büyükeflit bir elema vard r ve bu elema c de de büyük olurdu...) Alts r ve e büyük alts r kavramlar ta mlamay ve afla daki soucu teoremde ç karmay okura burak yoruz. Souç i altta s rl ola ama bofl olmaya her altkümesii bir e büyük alts r vard r.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. 21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Her üei iyis ralaabilece ii a tla flt (Teore 24.1). Özel iyis ral üeler ola ordialleri de Bölü 10 da ta la flt. Ordiallerde iyis ralaa iliflisiyle verilir, yai bir

Detaylı

Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -

Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - 15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k 8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.

Detaylı

yis ralamalar Hissetmek

yis ralamalar Hissetmek Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik

Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say

Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz

Detaylı

Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz, ancak uygulamada

Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz, ancak uygulamada Matematik Düyas, 2008-I E Basit Yaz -Tura Oyular Üzerie Ali Nesi* / aesi@bilgi.edu.tr, 3 0, 4, 3 3, 0, 4 0, 4, 3 3, 3, * stabul Bilgi Üiversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Yazar Matematik ve Oyu

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

Yeniflemeyen Zarlar B:

Yeniflemeyen Zarlar B: Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,

Detaylı

Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu

Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,

Detaylı

22. Zorn Önsav na Girifl

22. Zorn Önsav na Girifl 22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns

Detaylı

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç

Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80

O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80 Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

1. Her fiey S ralanamaz

1. Her fiey S ralanamaz Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B

Detaylı

Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians

Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek

Detaylı

Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz?

Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz? Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (1) Asal Say n n Ne Oldu unu Gerçekten Biliyor musunuz? Asal say, kendinden ve 1 den baflka say ya bölünmeyen say olarak bilinir. Buna bir de say n n 1

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Özdeflleflme ve Direkt Limit

Özdeflleflme ve Direkt Limit Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu

Detaylı

Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin

Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Matematik Dünyas n n geçen say s nda

Matematik Dünyas n n geçen say s nda Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd.

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye

Detaylı

Matematik bölümlerinin birinci s -

Matematik bölümlerinin birinci s - Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,

Detaylı

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu 30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

çindekiler I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar kinci K s m: Ordinal Say lar Üçüncü K s m: Seçim Aksiyomu ve Zorn Önsav

çindekiler I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar kinci K s m: Ordinal Say lar Üçüncü K s m: Seçim Aksiyomu ve Zorn Önsav çindekiler Önsöz...i I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar Hafta 1-2-3: 1. Her fiey S ralanamaz...3 2. S ralama...11 Hafta 4: 3. Say labilir Yo un S ralamalar...43 Hafta 5: 4. yis ralamalar Hissetmek...59

Detaylı

Bilgisayar Bilimi Köflesi

Bilgisayar Bilimi Köflesi Bilgisayar Bilimi Köflesi Chris Stephenson ve Ali Nesin* cs@cs.bilgi.edu.tr, anesin@bilgi.edu.tr Say lar Tepeleyerek S ralamak S ralama. Bilgisayar programc l n n en önemli konular ndan biri s ralamad

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz.

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. 26. Zorn Önsav n n Birkaç Cebirsel Uygulamas Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. Seviyesi teoremi anlamaya yetmeyen okur, sorun etmeden o bölümü atlas n, nas l olsa ileride kullan

Detaylı

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi 139 5A. Say lar Yaratmak Geçen k s mda boflkümeden, yani hiç yoktan (!) yola ç - karak 0, 1, 2, 3, 4 gibi say lar içeren do al say lar kümesini yaratt

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

Latin Kare nfla Etmek Sibel Özkan* /

Latin Kare nfla Etmek Sibel Özkan* / Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik * Auburn Üniversitesi Matematik Bölümü doktora ö rencisi. Bu yaz için [And] ve [Wal] kitaplar ndan yararlan lm flt r. Ayr - ca Auburn Üniversitesi nden Charles Lindner

Detaylı

4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k

4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k 4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k P1, nin altkümelerinden hiç sözetmeyen, nin sadece elemanlar ndan sözeden ve sadece 0 ve S simgeleri kullan larak yaz labilen bir önerme. Nitekim S nin 0 de erini almayan

Detaylı

Beflinci K s m: Ekler

Beflinci K s m: Ekler Beflinci K s m: Ekler 437 Ek 1. Bölüm Cisimleri ve Yerellefltirme 1. Örnekler. Yaz m za örneklerle bafllayal m, ne yapmak istedi imizi en iyi örneklerle anlatabilece iz. a) Tamsay lar kümesi de iflmeli

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

Hiç K salmadan K salan Yol

Hiç K salmadan K salan Yol Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir

Detaylı

Tasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** /

Tasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** / Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Tasar mlar Sibel Özkan* / ozkansi@auburn.edu Selda Küçükçifçi** / skucukcifci@ku.edu.tr v çocu un bulundu u bir anaokulunda ö retmen çocuklara ayn anda k çocu un oynayabilece

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı