O xyz OXYZ. Düzgün Doğrusal Öteleme. O 1 in yörüngesi bir Doğru olacak

Transkript

1 3.14 Bağıl Hareket Bu ana kadar Newton un ikinci kanununu, enerji-iş eşitliklerini ve impuls-momentum eşitliklerini, sait ir eksen takımına göre uyguladık. Gerçekte hiç ir eksen takımı ise gerçekte sait değidir, saite en yaklaştığımız durum astronomik referans sisteminde eksen takımlarını ir takım yıldızlara iliştirmemizdir. Eğer güneşi sait kaul edersek dünyanın merkezi m/s, eğer dünyanın merkezini sait kaul edersek ekvatorda deniz seviyesindeki ir cismin m/s ir ivmesi vardır. Fakat m/s ve m/s ivmeleri g diğer mühendislik uygulamalarındaki ivmelere nazaran çok daha küçük olduğundan dünyaya ağlı ir eksen takımı sait ir eksen takımına denktir. Mekaniğin prensipleri GALILE eksen takımında geçerlidir. 1

2 Z xyz XYZ 1 = CPERNIC EKSEN TAKIMI X GÜNEŞ sait yıldız Düzgün Doğrusal Öteleme 1 in yörüngesi ir Doğru olacak V 1 = sait 1 Y D x 1 z y GALILE EKSEN TAKIMI sait yıldız a = 0 Düzgün doğrusal harekette ivme Sonsuz sayıda GALILE eksen takımı vardır. Yere ağlı ir eksen takımı GALILE eksen takımı değildir. Çünkü yer (dünya) güneşe göre düzgün doğrusal ir öteleme yapmaz. Buna rağmen, sapmalar oldukça küçük olduğundan YERE BAĞLI EKSEN TAKIMLARINI GALILE EKSEN TAKIMI LARAK ALIRIZ.

3 Teorem : Galileo eksen takımlarında ir maddesel cismin ivmesi AYNIDIR. X Z x 1 z Y Q. P y V 1 a = mutlak ivme, a = ağıl ivme, a = sürüklenme ivmesi m s am = a + as + ω a ' dir. (ispatı ileride verilecek) ω = 0 a c = 0 a c = 1 P = Mutlak hareket XYZ P = Bağıl (izafi) hareket 1xyz xyz = Sürüklenme hareketi XYZ 1 (Düzgün değişen ir öteleme) 3

4 as = a P = a Q = a 1 = 0 Düzgün doğrusal öteleme a m = a F = ma Bütün eksen takımlarında ivme aynıdır. alınailir. Yani yere ağlı eksen takımını Galileo eksen takımı olarak alailiriz. Buna sait yada Atalet eksen takımı da denir. a) Bağıl-Hareket Denklemi Şimdi m kütlesindeki ir noktasal cismin hareketli x-y-z ve sait X-Y-Z eksen takımına göre hareketini inceleyelim. x-y-x eksen takımı sait X-Y-Z eksen takımına göre öteleme hareketi yapsın, 4

5 Z z ΣF m A r = r + r = r + r A B A/B B V = V + V = V + V, Σ F = ma A B A/B B A a = a + a = a + a A B A/B B X r A r B ΣF = ma x B Y r A/B) =r ağıl =r y ÖTELEME 5

6 Σ F = maa = m( a B + a ) Newton'un Hareket Denklemi NT: ΣF ma olduğundan, Newton un hareket denklemi herhangi ir ivmeli sisteme göre geçersizdir. ağ ) Sait Hız Đle Ötelenen Sistemler Yukarıdaki şekilde eğer x-y-z sistemi X-Y-Z e göre sait hızla öteleme yapıyorsa sistemin B orijin ivmesi SIFIR olur. Buna göre hareket denklemi ( a B = 0 ) A Σ F = ma = ma = ma olur. Yani Newton un Hareket yasası sait hızla hareket eden A/B ağ sistemlerde geçerlidir. I 6

7 3.15 SABĐT HIZLA ÖTELEME YAPAN EKSENLERDE ĐŞ-ENERJĐ VE ĐMPULS-MMENTUM Sait hızla öteleme yapan eksenlere ağıl harekette iş: (x,y,z) sait hız ile öteleme yapıyor. V = r ɺ B B ( X,Y,Z'e göre) ΣF 'nin (x,y,z) e göre elemansel işi du = ΣF.d r ; Σ F = ma = ma idi B A ( a =0 olduğundan) dv dv ds dv at = = = V dt ds dt ds dv at = V et = a ds X Z r B z x ΣF B r Y A m y dr a A =a e t dr = dse t 7

8 dv du = madr = m V et.( ds et ) ds dv du = mv ds = mvdv = mvdv ds 1 du = d mv elde edilir. 1 x, y, z'e göre kinetik enerji Tağ = T = mv dir. halde du = dt veya U = U = T = T ulunur. ağ ağ Yani u özel hareketle ĐŞ-ENERJĐ denklemi sağlanır. II 8

9 3.16 IMPULS VE MMENTUM x-y-z e göre m maddesel cisminin impulsu dt oyunca Σ Fdt = ma dt = ma dt yazılır. a A = dv idi dv Σ F dt = m dt = mdv elde edilir. Σ F dt = d(mv ) m=s. dt Gağıl = G = mv şeklinde tanımlanır. Đmpulsta yazarsak Σ Fdt = d(m V ) = dg veya Σ Fdt = dt G elde edilir. III Sonuç: Sait referans sistemine göre yazılan impuls-momentum ağıntısı sait hız ile öteleme yapan eksenlere göre de geçerlidir. 9

10 3.17 HAREKET MMENTĐ (AÇISAL MMENTUM) B orijinli x-y-z e göre AÇISAL MMENTUM, H ağıl = H = r G Zamana göre türevi : şeklindedir. Hɺ = rɺ G + r Gɺ Hɺ = ΣM B elde edilir. IV Sonuç: MMENT-AÇISAL Momentum ağıntısı sait hızla öteleme yapan sistemler için de geçerlidir. 10

11 Prolem 3/8: Şekildeki asit sarkaç a sait ivmesi ile hareket eden araaya monte edilmiştir. θ = 0 konumundan serest ırakılan sarkacın ipindeki T gerilmesini ulunuz. θ = π/ ve π için T yi elde ediniz. Çözüm 3/8: a = a + a a mut. ivme ağ ağ ivmesi araayla eraer hareket eden ir gözlemciye göre ivmedir. aağ = a = a tet + a ne n, a t = rθ ɺɺ, a n = ɺ Σ Ft = ma t mgcosθ = m(r ɺɺ θ -a sin θ ) r ɺɺ θ = gcosθ + a sinθ rθ idi.... y T e t θ a 0 m a 0... x θ t θ θ mg 90-θ θ a 0 e n 11

12 ɺɺ 1 θ = (gcosθ + asinθ) r dθɺ ɺɺ 1 θ = θ ɺ = (gcosθ + a sin θ) dθ r 1 θdθ= ɺ ɺ (g cosθ + a sin θ)dθ r θɺ θ 1 θdθ ɺ ɺ = (gcosθ+ a sinθ) dθ r 0 0 ɺ = + cosθ)] r θ 1 [gsinθ a (1 rθ ɺ rθ ɺɺ a 0 dθ d dt dt dt ɺɺ dθ θ = = dθɺ dθɺ ɺɺ dθ θ = = dt dθ dt dθɺ ɺɺ θ = θɺ dθ ɺɺ θdθ = θdθ ɺ ɺ 1

13 rθɺ = [gsin θ+ a (1 cosθ)] n: Σ = ma T-mgsinθ = m(rθɺ -a cosθ) F n n 0 T-mgsin θ = m[g sin θ + a (1-cosθ)-a cosθ] T = m[3gsin θ + a ( 3cosθ)] ulunur. Cevap π θ = için Tπ/ = m[3g(1) + a 0( 0)] = m(3g + 00) Cevap θ = πiçin T = m[3g(0) + a (-3{-1})] = 5ma Cevap π

14 Prolem 3/9: Şekildeki düzlemsel araç V 0 sait hızı ile hareket etmektedir. M kütleli vagon, ir vinç ile sürtünmesiz olarak çekilmekte ve halattaki gerilme p = st ile gösterilmektedir. Vagon x=0 konumundan araca göre harekete aşladığı anda x=x 0 = dir. Đş-Enerji denklemini araçtaki ir gözlemciye uygulayınız ve ikinci olarak da yerdeki ir gözlemciye göre uygulayınız. Her iki incelemenin iririne uygunluğunu görünüz. X x 0 x P m. V 0 x Çözüm 3/9: ARADAKĐ GÖZLEMCĐYE GÖRE: Sadece p iş yapar. 14

15 X= X x 0 x x Uağ = pdx = px, p = st 0 kinetik enerji değişimi 1 1 = ɺ = 1 Tağ m(x -0) mx Đş-Enerji denklemi Uağ Tağ px = mx 1 ɺ ɺ 15

16 YERDEKĐ GÖZLEMCĐYE GÖRE: p nin işi U= p(x-) elde edilir. Kinetik enerji değişimi X U = pdx = px x 1 T = m(xɺ -V 0 ) Bu son denklemi hareketli gözlemciye göre yeniden ele almak için X = x + x Xɺ = v + x ɺ ; Xɺɺ = ɺɺ x değişimlerini kullanalım. 0 0 U = P(X-) = P(x + x-) = px + p(x -) ɺ ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ aracın yer değiştirmesi x = v t yazılır. 1 px = mx px = mxx = mx p = mx ulunur. Şekilden 0 0 U = px + (mx)(v ɺɺ 0t) = px + mv ɺɺ 0 x t ulunur. F = p = sait Σ F = ma a = sait olur. ɺɺ x = a = s. xɺ = at + c, t = 0 da xɺ = 0 xɺ = 0 = 0 + c c =

17 xɺ = at = ɺɺ xt elde edilir. p x 1 mxɺ = px xɺ = yazılır. m 1 1 nin sağ tarafı : p(x-) = m(xɺ -v 0) = m[(xɺ + v 0) -v 0] 1 1 p(x-)= m(x ɺ +xv ɺ 0+v0-v 0) = m(xɺ + v0x) ɺ yazılır. m px U = px + mv xɺ = mv xɺ + m Sait gözlemciye göre ĐŞ-ENERJĐ yeniden yazılırsa 0 0 px + mv xɺ = mv xɺ + px sağlanır. Yani; 0 0 U U = T T = mv xɺ ağ ağ 0 17