Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Transkript

1

2 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (460 sayfa) ANALİZ CEBİR 2 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman hazırlanmıştır.) KİTABIN ORJİNALİNDE BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. Bu dökümanda, KİTAPTA BULUNAN SORULAR BULUNMAKTADIR. Konuların içeriğini ve soruların çözümlerini MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz Cebir 2) ALTIN NOKTA YAYINLARI kitabında bulabilirsiniz. Bu kitap, Logaritma Trigonometri Karmaşık Sayılar Limit, Süreklilik, Türev Fonksiyonel Denklemler Eşitsizlikler (Aritmetik Geometrik Harmonik Ortalama Eşitsizliği, Cauchy Schwarz Eşitsizliği, Kuvvet Ortalamaları Eşitsizliği, Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği, Bernoulli Eşitsizliği, Yeniden Düzenleme veya Permütasyon Eşitsizliği, Chebysev Eşitsizliği, Jensen Eşitsizliği, Genelleştirilmiş Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği, Schur Eşitsizliği, Hölder Eşitsizliği, Minkowski Eşitsizliği, Muirhead Eşitsizliği, Geometrik Eşitsizlikler) konularında farklı, sıradışı ve kısmen zor problemler çözmek isteyen öğretmen ve öğrencilerimiz için, güzel bir kaynak olarak kullanılmaktadır. Bu konulardaki lise Matematik yarışmalarında sorulan sorular, kitaba ilave edilmiştir. Kitabın içeriğindeki konuları, Aşağıdaki İÇİNDEKİLER bölümünden inceleyebilirsiniz Mustafa Özdemir İrtibat İçin : mozdemir07@gmail.com veya Altın Nokta Yayınevi

3 İçindekiler BİRİNCİBÖLÜM Logaritma 11 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri 11 Logaritma Fonksiyonunun Grafiği 15 Karakteristik ve Mantis 15 Logaritmik Denklemler 16 Logaritmik Eşitsizlikler 20 Karışık Örnekler 22 İKİNCİBÖLÜM Trigonometri 31 Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları 31 Tanjant, Kotanjant, Sekant ve Kosekant Fonksiyonları 35 Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu 39 Toplam ve Fark Formülleri 40 Yarımaçı Formülleri 45 Üç Kat Formülleri 47 Dönüşüm Formülleri 52 Ters Dönüşüm Formülleri 56 Bir Üçgenin Elemanları ve Trigonmetrik Bağıntılar 57 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 73 Trigonometrik Denklemler 78 Trigonometrik Denklemlerin Bilinmeyene Göre İncelenmesi 89 Yardımcı Bilinmeyen Yardımıyla Çözülebilen Denklemler 91 Trigonometri Yardımıyla Denklem Çözümü 94 Trogonometrik Toplamlar 96 Trigonometrik Çarpımlar 106 Karışık Örnekler 108 Alıştırmalar 125 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM KompleksSayılarveDeMoivreFormülü 131

4 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Fonksiyonların Limit, Sürekliliği ve Türevi 147 Fonksiyonların Limiti 152 Belirsizlikler ve Limitlerinin Hesaplanması 157 Fonksiyonların Sürekliliği 161 Türev 165 Fonksiyonun Artan ve Azalan Olduğu Aralıkların Belirlenmesi 173 Türevi Kullanarak Bir Denklemin Köklerinin Yorumlanması 180 Bir Fonksiyonun Konveksliği ve Konkavlığı 187 Üslü Değişkenli Fonksiyonların Türevi 190 Fonksiyonların Grafiklerinin Çizilmesi 201 Taylor Formülü 202 İntegral 206 BEŞİNCİBÖLÜM Fonksiyonel Denklemler 209 Tamsayılar ve Rasyonel Sayılar Kümesinde Fonksiyonel Denklem Çözümü 213 Rasyonel Sayılar Kümesinden Reel Sayılar Kümesine Geçiş 220 Fonksiyonel Denklemlerin Polinom Denklem Çözümleri 223 Fonksiyonel Denklemin Çözümünün Varlığı 226 Fonksiyonel Denklemlerin Sürekli Fonksiyon Çözümleri 230 Fonksiyonel Denklemlerin Diferensiyellenebilir Fonksiyon Çözümleri 234 Özel Fonksiyonel Denklemler 236 Birinci Cauchy Denklemi 236 İkinci Cauchy Denklemi 240 Üçüncü Cauchy Denklemi 243 Dördüncü Cauchy Denklemi 244 Jensen Denklemi 245 Pexider Fonksiyonel Denklemleri 246 Problemler 251 Problemlerin Çözümleri 254 Alıştırmalar 272

5 ALTINCI BÖLÜM Eşitsizlikler 279 Üçgen Eşitsizliği 283 Toplam ve Çarpımlarda Basit Eşitsizliklerin Kullanımı Eşitsizliği 287 2( ) ( + )( + ) Eşitsizliği Eşitsizliği 296 Aritmetik Geometrik Harmonik Ortalama Eşitsizliği 300 Cauchy Schwarz Eşitsizliği 323 P notasyonu (Dairesel Toplam) 334 Kuvvet Ortalamaları Eşitsizliği 337 Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği 341 Bernoulli Eşitsizliği 343 Yeniden Düzenleme veya Permütasyon Eşitsizliği 345 Chebysev Eşitsizliği 353 Jensen Eşitsizliği 357 Genelleştirilmiş Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği 366 Schur Eşitsizliği 368 Hölder Eşitsizliği 373 Minkowski Eşitsizliği 374 Muirhead Eşitsizliği 375 Homojenleştirme 381 Geometrik Eşitsizlikler 383 Trigonometrik Fonksiyonlar Kullanarak Eşitsizlik Ispatı 406 Problemler 410 Problemlerin Çözümleri 416 Alıştırmalar 444 Kaynaklar 459

6 AŞAĞIDAKİ ÖRNEKLERİN ve PROBLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ. Mustafa Özdemir

7 Logaritma 1.1 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri Örnek 1 1 reel sayıları ve pozitif sayısı için, log =24 log =40 ve log =12olduğuna göre, log değeri kaçtır? (AIME) Örnek 2 ve aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere, 2 log log = ise + =? (AIME) Örnek 3 log 8 +log 4 2 =5 ve log 8 +log 4 2 =7olduğuna göre, değerini bulunuz. (AIME) Örnek 4 : Z + R olmak üzere, (1) = ve 1 için ½ log2 (); () 0 ise ( +1)= 0; () 0 ise olacak şekilde bir fonksiyon tanımlansın. () 1 olacak şekilde en küçük tamsayısını bulunuz. Örnek 5 Örnek 6 (AIME) Örnek 7 2 log log 6 18 ifadesini hesaplayınız. log 2 (log 8 )=log 8 (log 2 ) olduğuna göre (log 2 ) 2 değerini bulunuz sayısının tüm pozitif bölenlerin logaritmalarının toplamını bulunuz. Problem : Siz de sayısının kendisi haricindeki tüm pozitif bölenlerinin logaritmalarının toplamının 141 olduğunu görünüz. (AIME) 2 1 Örnek 8 () =log +3 2 fonksiyonunun en geniştanımaralığını bulunuz. 4 Örnek sayısı kaç basamaklıdır? (log )

8 8 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir 1.2 Logaritmik Denklemler Örnek 10 Örnek 11 Örnek 12 Örnek 13 Örnek 14 Örnek 15 log 2log 16 2=log 2 denklemini çözünüz. 64 (0 4) log2 +1 =(6 25) 2 log 3 denklemini çözünüz. log 3 ( 3 )+log2 3 =1denklemini çözünüz. log 3 3+log 27 3 = 43 denkleminin kökler toplamını bulunuz. log log (16) =7denklemini sağlayan değerini bulunuz. log (5 2) = 3 denkleminin kaç tane kökü vardır? Örnek log 1995 = 2 denkleminin pozitif köklerinin çarpımının son üç basamağı kaçtır? (AIME ) Örnek 17 ½ log225 +log 64 =4 log 225 log 64 = 1 denklem sisteminin çözümleri ( 1 1 ) ve ( 2 2 ) ise, log 30 ( ) değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 18 +log( )= +log( + p +1)= +log( )= denklem sisteminin tüm reel çözümlerini bulunuz. Örnek 19 Aşağıdaki denklem sisteminin çözümleri ( ) ve ( ) olduğuna göre, değerini bulunuz. (AIME) log (2000) (log )(log) =4 log (2) (log )(log) =1 log () (log )(log) =0 1.3 Logaritmalı Eşitsizlikler Örnek 20 log log eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Örnek 21 Örnek 22 log 12 +log 3 1 eşitsizliğini çözünüz. 1 log eşitsizliğini çözünüz. log 2 1

9 Logaritma Karışık Örnekler Örnek 23 log( +1+1) log 3 40 =3denklemini sağlayan değerlerini bulunuz. Örnek 24 Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları log 12 log 75 ve log olduğuna göre, pozitif sayısının alabileceği değerlerin sayısı kaçtır? (AIME) Örnek 25 log 2 ( + ) log 3 ( ) =1ve 2 2 =2denklemlerini sağlayan tüm ( ) reel sayı ikililerini bulunuz. Örnek 26 (1 64) olduğuna göre, (log 2 ) 4 +12(log 2 ) 2 log 2 (8) ifadesinin en büyük değerini bulunuz. Örnek 27 bulunuz. log 3 27 log 7=log 27 log 7 3 ise, in alabileceği en küçük değeri Örnek 28 3 reel sayıları için, log 2 (log 3 ) log 3 (log 2 )=0denkleminin kaç kökü vardır? Örnek 29 pozitif reel sayılar olmak üzere, log 3 7 =27 log 7 11 =49 ve log = 11 ise, = (log 3 7)2 + (log 7 11)2 + (log 11 25)2 değeri kaçtır? (AIME) Örnek 30 1 ve =log +log +log olsun. nin alabileceği en küçük değeri bulunuz. Örnek 31 olacak şekildeki ( ) pozitif tamsayı ikilileri için log log log eşitsizliğini sağlayan tam 50 farklı pozitif tamsayı olduğuna göre, çarpımının alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır? (AIME) Örnek 32 Z + için =10 81 ve (log )(log)+(log )(log)=468 ise q (log ) 2 +(log) 2 +(log) 2 değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 33 Artan geometrik bir dizi oluşturan pozitif tamsayıları için bir tamsayının karesivelog 6 +log 6 +log 6 =6ise + + değerini bulunuz. (AIME)

10 10 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 34 db ce sayısında büyük olmayan en büyük tamsayıyı göstersin. Her pozitif tamsayısı için, () = 100 P db log () ce biçiminde tanımlanıyor. () 300 =1 olacak şekildeki en büyük tamsayısını bulunuz. (AIME) Örnek 35 vardır? Örnek 36 log 5 +3 log 3 =5ve =5 6 denklemlerini sağlayan kaç ( ) ikilisi log 2 +log 4 +log 4 =2 log 3 +log 9 +log 9 =2 log 4 +log 16 +log 16 =2 denklem sistemini çözünüz. Örnek ve olmak üzere, log +log =5 denklemini sağlayan ( ) tamsayı ikililerini sayısını bulunuz. (AIME) Örnek 38 ve pozitif tamsayılar ve 1 = olmak üzere, 1 2 ortak çarpanı olan bir geometrik dizi olsun. log 8 1 +log log 8 12 = 2006 ise, ( ) ikililerinin sayısı kaçtır? (AIME) Örnek 39 de ve bc sırasıyla sayısından küçük veya eşit olan en büyük tamsayı ile sayısından büyük veya eşit olan en küçük tamsayıyı göstersin. Buna göre, = 1000 P log 2 log 2 =1 toplamının 1000 e bölümünden kalan kaçtır? (AIME) Örnek 40 db ce sayısından büyük olmayan en büyük tamsayıyı gösterdiğine göre, db log 2 1 ce + db log 2 2 ce +db log 2 3 ce + + db log 2 ce = 1994 eşitliğinin sağlanması için kaç olmalıdır? (AIME ) Örnek 41 (log log ) 2 +(log 12 log 2 ) 2 + +(log 12 log 2 ) 2 ifadesini sadeleştiriniz. Örnek 42 3 ün kuvvetlerinden oluşan artan geometrik dizisi veriliyor. µ 7P 7P log 3 ( ) = 308 ve 56 log 3 57 =0 =0 olduğuna göre, log 3 ( 14 ) değerini bulunuz. (AIME )

11 Trigonometri 2.1 Trigonometrik Fonksiyonlar Örnek 43 gösteriniz. Z için, =sin +cos olduğuna göre, =1olduğunu Örnek 44 log sin +logcos = 1 ve log (sin +cos) = 1 (log 1) olduğuna göre değerini bulunuz. 2 (AIME) Örnek 45 Bir altıgeni, şekildeki gibi 5 tane ve eşkenar dörtgenine parçalanıyor. eşkenar dörtgenleri eştir ve her birinin alanları 2006 dır. eşkenar dörtgeninin alanının olabileceği tamsayı değerlerin sayısı kaçtır? (AIME) P R K T S Örnek 46 (1 + sin )(1+cos) =54 ve ( ) =1olacak şekildeki pozitif tamsayıları için, (1 sin )(1 cos ) = eşitliği sağlanıyorsa, + + toplamını bulunuz. (AIME) Örnek 47 bulunuz. Örnek 48 bir dar açı olmak üzere, sec 2 +tan 2 =4ise, csc 2 +cot 2 değerini [ 512 3] olmak üzere, =tan( ) tan( + 6 )+cos( + 6 ) ifadesinin maksimum değerini bulunuz.(çin Ulusal M.O.) Örnek 49 sec +tan =227, csc +cot = ve ile aralarında asal ise + =? (AIME) Örnek 50 Örnek 51 () =5cos 4 (7 +30 )+21fonksiyonunun periyodunu bulunuz. Periyodu 1 olan bir fonksiyon yazınız.

12 12 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir 2.2 Toplam ve Fark Formülleri: Örnek 52 gösteriniz. Örnek = ise, tan tan +tan tan +tan tan =1olduğunu = 2 ise tan2 +tan 2 +tan 2 1 Örnek 54 tan tan 2 tan 3 =12ise, tan +tan2 tan 3 =? Örnek 55 tan +tan =25 ve cot +cot =30olduğuna göre tan ( + ) değerini bulunuz. (AIME) Örnek 56 Bir üçgeninde olduğunu ispatlayınız. Örnek 57 olduğunu ispatlayınız. tan 2 tan 2 +tan 2 tan 2 +tan 2 tan 2 =1 sin = sin ( + ) ise, tan ( + ) = sin cos Örnek 58 Z için, + + = ise tan +tan +tan =tan tan tan Örnek 59 tan ve tan, =0denkleminin kökleri olduğuna göre, =sin 2 ( + )+sin ( + ) cos ( + )+cos 2 ( + ) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? Örnek 60 3sin =sin(2 + ) ve tan =5ise, tan ( + ) ifadesinin değerini hesaplayınız. Örnek 61 Bir karesinin merkezi olsun. = 900 ve [] üzerinde öyle iki nokta ki, noktasıile arasında ve dir. () b = 45 ve = 400 olduğuna göre, Z + için, herhangi bir tamsayının karesine bölünmemek koşuluyla = + ise + + değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 62 Bir üçgeninde, tan b =227 dir. dan [] doğru parçasına inilen yükseklik, [] yi 3 ve 17 br lik parçalara ayırmaktadır. Buna göre, üçgeninin alanını bulunuz. (AIME)

13 Trigonometri Yarım Açı Formülleri Örnek =0ikinci dereceden denkleminin kökleri sin 15 ve cos 15 ise 4 4 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek 64 sin 10 sin 50 sin 70 =? Örnek 65 tan tan tan tan9 ifadesi neye eşittir? Üç kat Formülleri 1) sin 3 =3sin 4sin 3 veya sin 3 = sin 3 +3cos 2 sin eşitlikleri vardır. İspat : 2) cos 3 =4cos 3 3cos veya cos 3 =cos 3 3cossin 2 eşitlikleri vardır. İspat : 3) tan 3 = 3tan tan3 1 3tan 2 eşitliği sağlanır. İspat : Örnek 66 tan 20 tan 40 tan 80 çarpımınındeğerini bulunuz. Problem : En genel halde, tan tan( 3 )tan( + ) =tan3 3 Örnek 67 sin () ve cos () ifadelerinin açılımlarının, cos () = 0 cos 2 cos 2 sin cos 4 sin 4 ve sin = 1 cos 1 sin 3 cos 3 sin cos 5 sin 5 Örnek 68 sin 3 sin 3 +cos3 cos 3 =cos 3 2 Problem : Siz de, cos 3 sin 3 +sin 3 cos 3 = 3 sin 4 4 Örnek 69 sin 3 nin değerini köklü sayılarla ifade ediniz. (BALTIK WAY M.O.)

14 14 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek = 0denkleminin bir kökünün 2cos(7) olduğunu ispatlayınız. fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır? (Un. South Car Örnek 71 cos + olina Math. Contest) cos (3) cos 2.5 Dönüşüm Formülleri Örnek 72 sin 2 sin 2 =sin( + )sin( ) Örnek 73 cos 5 cos 2 5 ifadesinin değerini hesaplayınız. Örnek 74 ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre, cos 2 +cos2 +cos2 +4coscos cos ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? Örnek 75 ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre, cos +cos +cos =1+4sin(2) sin (2) sin (2) Örnek 76 ve bir üçgenin iç açıları ve sin sin sin =512 olduğuna göre, sin 2 +sin2 +sin2 ifadesinin değerini bulunuz. Örnek 77 cos 2 7 +cos4 7 +cos6 7 ifadesinin değerini bulunuz. Örnek 78 ve bir dörtgenin iç açıları olduğuna göre, sin +sin +sin +sin =4sin + sin + sin bağıntısınındoğruluğunu gösteriniz. Örnek 79 tan 19 = cos 96 +sin96 cos 96 denklemini sağlayan en küçük pozitif sin 96 tamsayısı kaçtır? (AIME 1996) 2.6 Ters Dönüşüm Formülleri Örnek 80 tan 20 tan 40 tan 80 = 3 olduğunu ispatlayınız.

15 Trigonometri Bir Üçgenin Elemanları ve Trigonometrik Bağıntılar Sinüs Teoremi : Köşeleri R yarıçaplı çember üzerinde olan bir üçgenin kenar ve açıları arasında, sin = sin = sin = 1 2 bağıntısı vardır. Bu çembere üçgenin çevrel çemberi denir. İspat : Kosinüs Teoremi : Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarıyla açıları arasındaaşağıdaki bağıntılar vardır. 2 = cos 2 = cos 2 = cos İspat : Tanjant Teoremi : Bir üçgende iki kenarın toplamının bu kenarların farkına oranı, bu kenarlar karşısındaki açıların yarılarının toplamlarının tanjantıyla, farklarınıntanjantı oranına eşittir. Yani, aşağıdaki üçgen göz önüne alınırsa, + + tan = 2 tan 2 eşitliği sağlanır. İspat : Örnek 81 üçgeninde, 3sin +4cos =6 ve 4sin +3cos =1 olduğuna göre açısının ölçüsü en fazla kaç olabilir? Örnek 82 Kenarları ardışık tamsayı ve en büyük açısı, en küçük açının ikikatı olan sadece bir üçgen (IMO) Örnek 83 gösteriniz. Bir üçgeninde cot 2 = + ise, bu üçgenin dik üçgen olduğunu Örnek 84 Bir üçgeni için, sin 2 +sin 2 +sin 2 cos 2 +cos 2 +cos 2 =2 olduğuna göre, bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu ispatlayınız.(imo Shortlist) Örnek 85 Bir üçgeninin alanı olduğuna göre

16 16 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir a) = 1 2 sin sin sin sin b) = 2sin( ) eşitliklerinin sağlandığını gösteriniz. Örnek 86 Bir üçgeninde, cos + cos + cos = 2 varlığını ispatlayınız. bağıntısının Örnek 87 dar açılı üçgeninin alanı olmak üzere, p p p = eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. Örnek 88 Bir üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin yarıçapı ve 2 = + + ise, tan 2 = tan 2 = ve tan 2 = 2 Örnek 89 Yandaki ikizkenar üçgeninde = b = 106 ( b ) = 7 ve ( b ) =23 olduğuna göre, b açısı kaç derecedir? (AIME) P A Örnek 90 Bir üçgeninde = cot ise değeri kaçtır? (AIME) cot +cot B C Örnek 91 Bir üçgeninde, eğer cot 2 cot 2 ve cot 2 değerleri bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, üçgenin ve kenarlarının da bir aritmetik dizi oluşturacağını gösteriniz. Örnek 92 Bir üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin yarıçapı ve 2 = + + ise, a tan 2 tan 2 tan 2 = b) tan 2 +tan 2 +tan 2 = 4 +

17 Trigonometri 17 Trigonometrik Ceva Formülü : Bir üçgeninde, ve köşesinden kenarlara [ ] [] ve [] doğru parçaları çiziliyor. Bu doğru parçaları bir noktada kesişiyorlar. Üçgenin köşelerinde oluşan açılar şekilde gibi belirtilmiştir. Buna göre, sin 1 sin 1 sin 1 =1 sin 2 sin 2 sin 2 eşitliği sağlanır. İspat : A c 2 R c 1 B β 1 β 2 O a 2 γ 1 α γ 2 2 α 1 b Q b 2 1 P a 1 C Örnek 93 Bir üçgeninde, b =40 ve b =60 olarak veriliyor. ve sırasıyla ve kenarları üzerinde, b =40 ve b =70 olacak şekildeki noktalar olsun. noktası ve nin kesişim noktası olduğuna göre, nin ye dik olduğunu ispatlayınız. (KANADA) Örnek 94 Herhangi bir üçgeninde, 2 2 sin ( ) 2 = sin ( + ) eşitliğinin sağlanacağını gösteriniz. Örnek 95 Herhangi bir üçgeninde, = tan tan eşitliğini sağlanacağını gösteriniz. Örnek 96 Kenarları ve olan bir kirişler dörtgeninin alanının, 2 = olmak üzere, () = p ( )( )( )( ) Örnek 97 Kenarları olarak verilen bir kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin yarıçapını hesaplayınız. Örnek 98 Bir üçgenin de, dış teğet çemberlerin yarıçapları ve iç teğet çemberin yarıçapı olmak üzere, = ise, bu üçgenin dik üçgen Örnek 99 Bir konveks dörtgeninde, b = b = = 180 ve 6= olarak veriliyor. Dörtgenin çevresi 640 ise, db 1000 cos ce değerini bulunuz. (AIME)

18 18 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 100 Kenar uzunlukları =13 =15ve =14olan bir üçgeninde, [] üzerinde, =6ve b = b olacak şekilde bir noktası alınıyor. ( ) =1olmak üzere, = ise =?(AIME) Örnek 101 Kenar uzunlukları olan bir üçgeninde, iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin yarıçapı ve 2 = + + ise ) =4 ) + + = ) = ) = eşitliklerinin sağlandığını gösteriniz. Örnek 102 olduğunu ispatlayınız. Bir üçgeninde, cos +cos +cos = Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Örnek 103 2arctan 1 3 +arctan1 7 = 4 eşitliğinin doğru Örnek 104 sin (arccos ) = 1 ise, =? Örnek 105 sin 1 µarcsin 5 1 +arcsin 2 5 değerini hesaplayınız. 2 Örnek 106 arcsin µcos 295 değerini hesaplayınız. Örnek 107 arctan 1 3 +arctan1 5 +arctan1 7 +arctan1 8 değerini hesaplayınız. arcsin (cos arcsin ) ve arccos (sin arccos ) arasında bir bağıntı bu Örnek 108 lunuz. Örnek cot (arccot 3 + arccot 7 + arccot 13 + arccot 21) değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 110 arctan 1 3 +arctan1 4 +arctan1 5 +arctan1 = 4 pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME) eşitliğini sağlayan

19 Trigonometri Trigonometrik Denklemler Örnek 111 Örnek 112 Örnek 113 Örnek 114 sin 2 +cos2 = 2sin denklemini çözünüz. 1+sin +cos +sin2 +cos2 =0denklemini çözünüz. sin +sin2 +sin3 +sin4 =0denklemini çözünüz. 2(sin +cos) =sec denklemini çözünüz. Örnek 115 cos + sin 1 =0ve cos sin +1+ =0denklemleri veriliyor. Bu denklemlerin ortak bir kökünün olması için ne olmalıdır. Bu ortak kökü bulunuz. Örnek 116 Örnek 117 Örnek 118 Örnek 119 Örnek 120 Örnek 121 vardır? 8sin 6 +3cos2 +2cos4 +1=0denklemini çözünüz. tan 2 +cot =8cos 2 denklemini çözünüz. sin 2 +2sincos 2cos 2 = 1 denklemini çözünüz. 2 cot tan =sin +cos denklemini çözünüz. tan (cot ) =cot(tan) denklemini çözünüz. (sin + 3cos)sin4 =2denkleminin [0 2] aralığında kaç çözümü Örnek olmak üzere, cos 3 3 +cos 3 5 =8cos 3 4 cos 3 eşitliğini sağlayan tüm değerlerinin toplamını bulunuz. (AIME) Örnek 123 ve reel sayıları ½ sin +cos =1 cos +sin = 1 denklem sistemini sağladığına göre cos 2 =cos2olduğunu ispatlayınız. (ESTONYA M.O.) Örnek 124 sin + cos = denklemini çözünüz Örnek 125 sin + cos =4denkleminin çözümü olacak şekilde kaç tamsayısı vardır?

20 20 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 126 Örnek 127 Örnek 128 Örnek 129 Örnek 130 sin +cos =2denkleminin çözümlerini bulunuz. tan + cot = denklemini çözünüz. tan +2cot =3denklemini çözünüz. 2sin11 + 3cos5 +sin5 =0denklemini çözünüz. sin 2 + sin cos + cos 2 = denklemini çözünüz. Örnek 131 sin 2 +sincos + cos 2 =2denkleminin çözümünün olabilmesi için sayısı nasıl seçilmelidir? =8için denklemi çözünüz. Örnek 132 (sin +cos)+ sin cos = denklemini çözünüz. 2 Örnek 133 sin 3 +cos 3 = denklemini çözünüz Trigonometrik Denklemlerin Bilinmeyenlere Göre İncelenmesi Örnek 134 cos +cos2 cos ( +2) =1denklemini çözünüz ve ve değerlerine göre inceleyiniz. Örnek 135 sin 2 +sin 2 ( ) = denklemini çözünüz ve ile ye göre inceleyiniz. b) =60 alınırsa, sayısı hangi aralıktan alınmalıdır? c) =65alınırsa, sayısının ve 120 değerlerinden hangisi için denklemin çözümü yoktur? 2.11 Yardımcı Bilinmeyen Yardımıyla Çözülebilen Denklemler Örnek 136 Her R { Z} için 1 sin = cot 2 + cot eşitliğini sağlayan kaç ( ) reel sayı ikilisi vardır? Örnek 137 cos ( +1)sin = denkleminin 1 ve 2 köklerinin farkının 2 olması için ne olmalıdır?

21 Trigonometri 21 Örnek 138 Örnek 139 (sin 4 +cos 4 )2 =sin 2 cos 2 +sin cos denklemini çözünüz. sin 8 +cos 8 =18 denklemini çözünüz. Örnek 140 sin 5 cos 5 = 1 cos 1 denklemini çözünüz. sin 2.12 Trignometri Yardımıyla Denklem Çözümü q Örnek için, 2+ p q 3 2 p = 2 denklemini çözünüz. (Kanada M. Soc. MOCP) Örnek = +2denkleminin köklerini bulunuz. Örnek p p (1 2 )(1 2 ) ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz. (BALTIK WAY M.O. ) 2.13 Trigonometrik Toplamlar Örnek 144 = sin +sin( + ) +sin( +2) + +sin[ +( 1) ] toplamını hesaplayınız. Problem : sin 1 + sin 3 + sin sin 101 toplamını, yukarıdaki formülü uygulamadan, aynı yöntemle çözünüz. Örnek 145 = cos +cos( + ) +cos( +2) + +cos[ +( 1)] toplamını hesaplayınız. Örnek 146 = cos 1 + cos 3 + cos cos 1001 toplamını hesaplayınız. Problem : = cos 3 + cos 7 + cos cos 99 toplamını hesaplayınız. Örnek 147 a) =cos 2 +cos 2 ( + )+ +cos 2 [ +( 1) ] ve b) =sin 2 +sin 2 ( + )+ +sin 2 [ +( 1) ] toplamlarını hesaplayınız. Örnek 148 =sinsin 2 +sin2sin 3 + +sin sin ( +1) toplamını hesaplayınız. Örnek 149 2sin2 4sin4 6sin6 180 sin 180 sayılarının ortalamasının cot 1 olduğunu ispatlayınız. (USAMO)

22 22 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Toplamdaki her bir ifadeyi iki trigonometrik fonksiyonun farkı olarak yazma Örnek 150 Z + ve N için 6= 2 olmak üzere, = 1 sin sin sin sin 2 =cot cot 2 (IMO 1966) 1 Örnek 151 = sin 30 sin sin 32 sin sin 148 sin 149 toplamını hesaplayınız. 1 Örnek 152 = cos cos cos 2 cos cos cos ( +1) toplamını hesaplayınız. 1 Örnek 153 sin 45 sin sin 47 sin sin 133 sin 134 = 1 sin eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME) Örnek 154 =tan tan tan toplamını hesaplayınız. 2 Örnek 155 = 2008 olmak üzere, 2 cos sin +cos4sin 2 +cos9sin 3 + +cos 2 sin 2 ifadesi tamsayı olacak şekilde en küçük pozitif tamsayısını bulunuz. (AIME) Örnek 156 Örnek 157 tan 2010 tan P tan tan ( +1)ifadesinin değerini bulunuz. =1 ve aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere, 0 ve =sin5+sin10+sin15+ + sin 175 = tan iii) Toplamdaki terimleri gruplayarak toplamı hesaplama Örnek 158 cos 1 +cos2 + + cos 180 toplamını hesaplayınız. Örnek 159 = (AIME) cos 1 + cos cos 44 sin 1 + sin 2 + +sin44 olduğuna göre, db 100 ce kaçtır?

23 Trigonometri Trigonometrik Çarpımlar Örnek 160 =cos cos 2 cos 2 2 cos çarpımınındeğerini hesaplayınız. Örnek 161 = 2 olmak üzere 1999 =coscos 2 cos 3 cos 999 çarpımınındeğerini hesaplayınız. (103 Trig. Prob. Andrescu Feng.) Örnek 162 (1 + tan 1 )(1+tan2 ) (1 + tan 45 )=2 olduğuna göre, değerini bulunuz. (AMC 12) 2.15 Karışık Örnekler Örnek lik bir açı arasında öyle bir ışın çiziliyor ki, yeni oluşan açıların sinüsleri oranı 3+1oluyor. Bu açılar kaçar derecedir? Örnek lik bir açı öyle iki parçaya ayrılıyor ki, bu açıların tanjantları oranı oluyor. Buna göre, sayısı hangi aralıkta olabilir? Örnek 165 ve bir üçgenin iç açıları ve cos cos cos =38olduğuna göre, cos 2 +cos 2 +cos 2 ifadesinin değerini bulunuz. Örnek 166 tan +tan +tan =tantan tan eşitliği sağlanıyorsa, ve açıları arasında nasılbirbağıntı vardır? Örnek 167 sin = 2 sin ( + ) ve sin =35ise, tan ( + ) =? 3 Örnek 168 cot 2sin2 =1denklemini çözünüz. Örnek = ise, sin 2 +sin 2 +sin 2 =2+2coscos cos Örnek 170 sin 100 +cos 100 = 1 denkleminin [0 2) aralığında sadece dört kökünün bulunduğunu gösteriniz. Örnek 171 Örnek 172 tan 10 tan 50 tan 70 çarpımınındeğerini hesaplayınız. P 1 arctan( 2 ) değerini hesaplayınız. +1 =1

24 24 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir ( 1) ( 1) Örnek 173 = cos olduğuna göre, 2 2 = değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 174, pozitif terimli bir aritmetik dizi oluşturduğuna göre, sin sin =sin sin denklemini çözünüz. Örnek 175 Örnek 176 ) cos 3 ün irrasyonel sayı olduğunu ispatlayınız. cos 1 (13) sayısının irrasyonel olduğunu ispatlayınız. (Putnam M.O. Örnek 177 R olmak üzere, sin (cos ) ve cos(sin ) ifadelerinden hangisi daha büyüktür?. Örnek 178 log sin 2 log sin 2 +1=0denklemini çözünüz. ½ =cot +tan Örnek 179 denklem sistemindeki yı yokederekederekdenklemi ve tarafından sağlanan bir polinom denklemi yapınız. (Kanada M. Soc. =sec cos MOCP) Örnek 180 cos +sin = denkleminin 2 1 = 2 bağıntısını gerçekleyen 1 ve 2 gibi iki kökünün olması için ne olmalıdır. Bu durumda 1 ve 2 köklerini bulunuz. Örnek 181 Örnek 182 (sin +cos) 2=tan +cot denkleminin köklerini bulunuz. ve bir üçgenin iç açıları olduğuna göre, sin +sin +sin =4cos 2 cos 2 cos 2 Örnek 183 sin sin 3 +sin5 =cos cos 3 +cos5 trigonometrik denkleminin tüm çözümlerini bulunuz. (Kanada M. Soc. MOCP) Örnek 184 reel sayılar olsun. ( + + 1) olduğunu ispatlayınız. (Andreescu Feng 103 Trig. Problems)

25 Trigonometri 25 Örnek 185 sec ( + ) +sec( ) =2sec denkleminin, =60 =90, = 180 = 250 ve = 120 değerlerinden hangileri için çözümü vardır. Örnek 186 Bir üçgeninde sin +sin =2sin bağıntısı varsa, tan 2 tan 2 ifadesinin değerini bulunuz. Örnek 187 Bir üçgeninde, kenarları, ise açıları gösteriyor. Elemanları arasında tan + tan =( + )tan + 2 bağıntısı olan ve tüm açıları tamsayı olan kaç üçgeni vardır? Örnek 188 Bir ikizkenar üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ve iç çemberin yarıçapı da olsun. Bu iki çemberin merkezler uzaklığı ise, = p ( 2) (IMO) Örnek 189 sin +cos = denkleminin her reel sayısı için çözümünün bulunacağını gösteriniz. Örnek = ve sin sin = denkleminin çözümünün olması için, ile arasında nasılbirbağıntı olmalıdır? Örnek 191 Verilen bir dik üçgeninde, uzunluğu olan [] hipotenüsü, bir tek sayı olmak üzere, eşit parçaya bölünüyor. Bölünmüşdoğru parçaları arasındaki, hipotenüsün orta noktasını içeren doğru parçasını gören, köşesi olan dar açı olsun. Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu da ise 4 tan = ( 2 1) olduğunu ispatlayınız. (IMO) Örnek 192 bir pozitif tamsayı olmak üzere cos sin = 1 denklemini çözünüz. (IMO) Örnek 193 Örnek 194 cos 2 +cos 2 2 +cos 2 3 =1denklemini çözünüz. (IMO) Bir üçgeninin kenar uzunlukları olsun. Eğer + =tan 2 ( tan + tan ) ise üçgenin ikizkenar üçgen olduğunu ispatlayınız. (IMO)

26 26 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir BU ÖRNEKLERİN ÇÖZÜMLERİNİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ. Mustafa Özdemir 2.16 Alıştırmalar 1. (02) ise, arctan 1 + arctan 3 değerinin sin 36 sin 72 sin 108 sin 144 çarpımının değerinin cos cos cos cos 288 toplamının (02) ise, sin ( + + ) sin +sin +sin 5. (02) ise, arcsin (45) + arcsin (513) + arcsin (1665) değerinin 2 sin 6. sin olmalıdır? =1+2cos2 +2cos4 +2cos6 eşitliğinin sağlanması için kaç 7. 2sin 2 3 +sin 2 6 =2denklemini çözünüz. 8. sin ( cos ) =cos( sin ) denklemini çözünüz. 9. ½ sin +sin =1 cos cos =34 denklem sistemini çözünüz. 10. ½ tan +tan =1 tan 2+tan2 =2 denklem sistemini çözünüz = olmak üzere, sin sin = sin denklemini sağlayan ve sin değerleri için, cot cot =cot cot olduğunu ispatlayınız. 12. ve üçgenlerinde, ( b )+( b )= ve ( b )+( b ) ise, üçgenlerin kenarları arasında = + bağıntısı olduğunu ispatlayınız.

27 Trigonometri Bir üçgeninde, = ise, cot( )= 2 gösteriniz. 1+ cos sin olduğunu 14. Bir üçgeninde, cos +cos +cos = Bir üçgeninde, cot cot ve cot değerleri bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu üçgenin kenarlarının karelerinin de bir aritmetik dizi oluşturacağını gösteriniz. 16. (0 45 ) olmak üzere, =(tan) tan =(tan) cot =(cot) tan =(cot) cot sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız olmak üzere, sin sin olduğunu ispatlayınız. 32 içinde bu eşitsizlik geçerli olur mu? (BREZİLYA 1979) 18. Her R için, cos + cos 2 12 Bu eşitsizlikten yararlanarak, cos + cos 2 + cos cos 2 4 olduğunu ispatlayınız. 19. bir konveks dörtgen olmak üzere, ( b ) = ( b ) = 30 ( b ) =20 ve ( b ) =50 olarak veriliyor. Köşegenler noktasında kesişiyorlarsa, = olduğunu ispatlayınız. (BREZİLYA 1993) 20. Bir üçgeninin açısının açıortayı, [] kenarını noktasında kesiyor. 2 cos 2 = olduğunu ispatlayınız. (KANADA 1969) dörtgeninde = olarak veriliyor. ( b ) ( b ) olduğuna göre, olduğunu ispatlayınız. (KANADA 1971) 22. üçgeninin bir iç noktası için, b =10 b =20 b =30 ve b =40 açıları oluşuyorsa, üçgeninin ikizkenar olduğunu ispatlayınız. (USA 1996) bir tamsayı olmak üzere,

28 28 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Q =1 tan µ1+ 3 Q 3 3 = cot µ1 3 1 = olduğunu ispatlayınız. (Asya Pasifik 1982) 24. çevrel çemberinin merkezi olan dar açılı bir üçgen olsun. noktasından ye indirilen dikmenin ayağı olmak üzere, b b +30 eşitsizliği varsa, b + b 90 olduğunu ispatlayınız. (IMO 2001) 25. R + olmak üzere, (0 1] veya 3 ise, eşitsizliğini ispatlayınız. (103 Trigo. Problem) 26. ( ) 1 ve ( ) 1 reel sayı dizileri olsunlar. 1 için, 1 = 1 = 3 +1 = + p = 1+ p 1+ 2 olduğuna göre, 1 için 2 3 eşitsizliğinin sağlandığını ispatlayınız. (BEYAZ RUSYA 1999) (İpucu : =tan ) 27. üçgeninin çevrel ve iç teğet çemberinin yarıçapları ve üçgeninin çevrel ve iç teğet çemberinin yarıçapları da 0 ve 0 olsunlar. b = b ve 0 = 0 ise, üçgenlerin benzer olduğunu ispatlayınız. (KORE 1999) 28. Bir üçgeninde, 2 sayısı, 2 ve 2 değerlerinin aritmetik ortalaması olduğuna göre, cot 2 cot cot olduğunu ispatlayınız. (BALTIK WAY 1999) 29. Bir üçgeninde, olduğunu ispatlayınız. (ESTONYA 1994) = cot 2+cot2 2sin 30. Konveks bir ABCD dörtgeninin açılarından hiçbirisi dik açı değilse, tan +tan +tan +tan =cot +cot +cot +cot tan tan tan tan olduğunu ispatlayınız. 31. Bir üçgeninde, ve köşelerinden çizilen kenarortaylar birbirine dik ise, cot +cot 23 olduğunu ispatlayınız. (İSVEÇ 1994)

29 Trigonometri bir dikdörtgen ve köşegeni üzerinde b =15 olacak şekilde bir nokta olsun. üzerinde olacak şekilde noktasını alalım. = 2 ve = olduğu biliniyor. Buna göre, b açısını ve uzunluğunu bulunuz. (KANADA MOCP 2001) 33. Her bir kenarının uzunluğu olan kenarlı regüler bir poligon veriliyor. Bu poligonun bir iç noktasının köşelere uzaklıklarını 1 2 ile gösterelim P 1 2 =1 olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP 2002) 34. R için, sin sin sin sin ve sin sin sayılarından en az birinin 12 den büyük olmadığını gösteriniz. 35. ikizkenar üçgeninde ( b ) = 100 ve = olsun. köşesinden çizilen açıortayın yi kestiği nokta ise, + = olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP 1998) 36. bir üçgen, ve üçgenin dışındaki noktalar olmak üzere,. () b =() b =15 ()=( b )=30 b ( ) b =( ) b =45 ise, i) = ii) ( b ) =90 olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP 1998) 37. (02) olmak üzere, sec 6 +csc 6 +sec 6 csc 6 80 olduğunu ispatlayınız. (USA M. TALENT SEARCH 1999) 38. Bir üçgeninde, ve, kenarortay ve yüksekliktir. ( b ) =( b ) =17 ise, ( b ) =? (USA M. TALENT SEARCH 2001) cos [02] olmak üzere, cos = 1 sin 3 olacak şekildeki için, 3 sin değerini bulunuz. (USA M. TALENT SEARCH 2002)

30 30 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir 40. cos 2 ( ) 2cos ( )+cos 3 ³ 2 cos =0denkleminin 3 sadece bir reel kökü olacak şekildeki en küçük doğal sayısını bulunuz. (BULGARİSTAN 1997) 41. üçgeninin ağırlık merkezi olmak üzere, doğrusu, üçgeninin çevrel çemberinin teğetiyse, sin b +sin b 2 3 olduğunu ispatlayınız. (BULGARİSTAN 1997) 42. Bir üçgeninde, =3 ise, 2 2 ( ) = 2 olduğunu ispatlayınız. (ÇEKveSLOVAK 1997) 43. Bir üçgeninde, = ve den ye çizilen açırotayın yi kestiği nokta dir. = + ise, açısını bulunuz. (KANADA 1996) 44. Alanı, kenar uzunlukları ve açı ölçüleri (derece cinsinden) rasyonel olacak şekilde tüm üçgenleri bulunuz. (Türkiye 2006)

31 Kompleks Sayılar ve De Moivre formülü Örnek 195 bulunuz. = 1+cos 32+2 cos 16+ sin 32 karmaşıksayısının esas argümentini Örnek 196 =1+ 3 ise 10 karmaşıksayısının bulunuz. Örnek 197 Örnek 198 Örnek 199 =1+ 3 sayısının küpkökünü bulunuz. 4 1=0 denkleminin köklerini bulunuz =0denkleminin köklerini bulunuz Örnek 200 bir reel sayı ve bir pozitif tamsayı olmak üzere, =4 ise kaçtır? (AIME) Örnek 201 bir pozitif bir reel sayı olmak üzere, =9+ karmaşıksayısı veriliyor. 2 ve 3 sayılarının sanal kısımları aynı olduğuna göre, kaçtır? (AIME) Örnek 202 (AIME) 2 çarpımı Örnek nı hesaplayınız. pozitif tamsayılar olmak üzere, =( + ) ise kaçtır? ³ ³ ³ Örnek den küçük veya eşit kaç pozitif tamsayısı için, (sin + cos ) =sin + cos eşitliği her R için sağlanır. (AIME) Örnek = 0denkleminin argümenti 90 ile 180 arasında olan kökünün argümentini bulunuz. (AIME) Örnek =2cos3 eşitliğini sağlayan karmaşıksayısı için, sayısından büyük olan en küçük tamsayı kaçtır? (AIME) Örnek = 0denkleminin pozitif sanal kısımlı köklerinin çarpımı olsun. 0 ve olmak üzere, = (cos + sin ) ise kaçtır? (AIME 1996)

32 32 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 208 : C {} C, () = + fonksiyonu ve 1 N için = ( 1 ) dizisi göz önüne alınıyor. 0 = ve 2002 = + ise, + =? (AIME) Örnek =1 eşitliğini sağlayan karmaşık sayısının uzunluğu maksimum kaçtır? Örnek 210 ve aralarında asal positif tamsayılar olmak üzere, 0 ve =sin5+sin10+sin15+ + sin 175 = tan ise, + değerini hesaplayınız. (AIME) Örnek 211 karmaşıksayısı + 1 =2cos( ) denkleminin bir çözümü ise ifadesinin değeri kaçtır? (Un. South Carolina Math. Contest) Örnek 212 sin () ve cos () ifadelerinin açılımlarının, cos () = 0 cos 2 cos 2 sin cos 4 sin 4 ve sin = 1 cos 1 sin 3 cos 3 sin cos 5 sin 5 Örnek 213 bir pozitif tamsayı ve = (2 +1)olsun =0 denkleminin köklerinin cot 2 cot 2 2 cot 2 olduğunu ispatlayınız. (Kanada M. Soc. MOCP) Örnek 214 Karmaşıksayıları kullanarak sin 10 sin 50 sin 70 değerini hesaplayınız. (Kanada M. Soc. MOCP) Örnek 215 cos 7 cos 2 7 +cos3 7 = 1 olduğunu ispatlayınız. (IMO 2 Soru : İmajiner kısımlarının toplamının da sıfır olduğunu kullanarak, bu açıların sinüsleri arasında bir bağıntı bulunuz.

33 Kompleks Sayılar ve De Moivre formülü 33 Örnek 216 (sin 5 )(sin 2 5 )(sin 3 5 )(sin 4 5 Carolina Math. Contest) ) çarpımının değeri kaçtır? (Un. South Örnek 217 = cos5 + cos 77 + cos cos cos 293 toplamını hesaplayınız. (Kanada M. Soc. MOCP) Örnek 218 = 1 sin + 2 sin sin ve = 1 cos + 2 cos cos toplamlarını hesaplayınız. Örnek 219 tan 2 1 +tan 2 3 +tan tan 2 89 toplamını hesaplayınız. Örnek 220 sin 1 sin 2 sin 89 sin 90 çarpımını hesaplayınız. BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİMATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ. Mustafa Özdemir

34 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi Örnek 221 () =cos 2 +cos 2 ( + ) cos cos ( + ) fonksiyonu in bir sabit fonksiyonu olacak şekilde bir değeri bulunuz.(kanada MOCP) Örnek 222 : R R, () =ln( ) fonksiyonunun tek fonksiyon Alıştırma : 1. :( 11) R () =ln 1 fonksiyonunun tek fonksiyon : R\{0} R () = (2 +1) 2 fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu 1 gösteriniz. 1+sin cos 3. :( 22) R () = fonksiyonunun tek fonksiyon 1+sin +cos () =sin 4 +cos 4 fonksiyonunun periyodik olup olmadığını ince Örnek 223 leyiniz. Örnek 224 : R R bir tek fonksiyon ve : R R bir periyodik fonksiyon olmak üzere, () = 2 fonksiyonunun ()+() şeklinde yazılamayacağını gösteriniz. Alıştırma 1. : () = db ce fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz. 2. : R R fonksiyonu, her R için, 1+ () ( + ) = 1 () eşitliğini sağlıyorsa, nin periyodik olduğunu gösteriniz 3. : R R ve : R R olmak üzere, her R için, () = ()+sin () olmak üzere, () fonksiyonu periyodik ise fonksiyonunun da periyodik olacağını gösteriniz. 4.1 Fonksiyonların Limiti ½ ise Örnek 225 : R R () = ise noktasında limitinin olmadığını gösteriniz. fonksiyonunun =1

35 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi 35 parçalı fonksiyonun =1nok ise, Örnek 226 () = 4 = ise, tasında limitini bulunuz? Örnek 227 Örnek 228 lim 2 1 limitinin olmadığını gösteriniz. 0 1 lim sin limitinin olmadığını gösteriniz. 1 1 Örnek 229 () = 2 +2fonksiyonu için, lim () =3olduğunu, limit tanımını 1 kullanarak gösteriniz. Örnek 230 lim () =12 olacak şekilde bir : N Q fonksiyonu bulunuz. Örnek 231 lim () = 2+1olacak şekilde bir : N Q fonksiyonun var Örnek 232 {} ifadesi, in kesir kısmını göstermek üzere, lim { ()} = lim { ()} =0 olacak şekilde, : N R ve : N R fonksiyonları göz önüne alınıyor. ) lim { + } =0eşitliği doğru mudur? ) lim { } =0eşitliği doğru mudur?? (İSVEÇ M.O.) 1) 0 0 belirsizliği 4.2 Belirsizlikler ve Limitlerinin Hesaplanması Örnek 233 Örnek 234 Örnek lim =? 2 1 lim =? 0 ln (1 + ) lim 0 2 = 1 olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız. 1 ln 2 Alıştırma 1. lim =ln olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız. 0

36 36 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir ln (tan ) Alıştırma 2. lim =1olduğunu türevi kullanmadan hesaplayınız. 4 1 cot 2) belirsizliği Örnek 236 lim limitini hesaplayınız ) belirsizliği Örnek 237. Örnek 238 lim ( 2 +1+) limitini hesaplayalım. lim 0 (csc cot ) limitini hesaplayınız. 4) 0 belirsizliği Örnek 239 lim (1 tan ) (tan 2) =? 4 Alıştırma : lim sin 2 sec değerini hesaplayınız Trigonometrik Fonksiyonların Limiti Örnek 240 Örnek 241 sin lim =1olduğunu kanıtlayınız. 0 1 cos cos 2 lim limitini hesaplayınız. 0 2 Alıştırma : sin ( 6) lim = cos 4.3 Fonksiyonların Sürekliliği Örnek 242 : R R olmak üzere, her 1sayısı için, ()+ () fonksiyonu sürekli ise, () fonksiyonunun da sürekli (RUSYA M.O.) Örnek 243 Tüm irrasyonel sayılarda sürekli, fakat rasyonel sayılarda sürekli olmayanbirfonksiyonörneği veriniz.

37 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi 37 Örnek 244 () = ( +1) 1 fonksiyonu veriliyor. nin bütün reel sayılar kümesinde sürekli olması için, (0) kaç olmalıdır? Sürekli Fonksiyonların Özellikleri Örnek 245 {} reel sayısınınkesirkısmını göstermek üzere, () ={ +sin} fonksiyonu periyodik olacak şekilde, tüm R sayılarını bulunuz. (BEYAZ RUSYA 1999) Örnek 246 : R R fonksiyonu sürekli ve monoton artan bir fonksiyon olmak üzere, ( + ) = () () ise, 1 () = 1 () + 1 () 4.4 Türev Örnek 247 inceleyelim. : R R +, () = fonksiyonun 0 =0noktasındaki türevini Teorem : R olmak üzere, : R = () fonksiyonu 0 için türevlenebilirse, = 0 noktasında süreklidir. İspat : Örnek 248 gösteriniz. : R R Z + için, () = ise, 0 () = 1 olduğunu Örnek 249 () =3 3 ve () = 2 +2eğrileri arasındaki açıyı bulunuz. Örnek 250 () ve () türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere, bu fonksiyonlarınçarpımının türevi, yani, () = () () fonksiyonunun türevinin, 0 () = 0 () ()+() 0 () Örnek 251 () ve () fonksiyonları noktasında türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere, () 6= 0ise, () = () () bölüm fonksiyonunun türevinin 0 () = 0 () () () 0 () [ ()] 2

38 38 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 252 ve R olmak üzere, : : R fonksiyonları verilsin, fonksiyonu 0 noktasında, fonksiyonu da ( 0 ) noktasında türevlenebiliyorsa, fonksiyonu da = 0 noktasında türevlenebilir. fonksiyonunun noktasındaki türevi, ( ) 0 ( 0 )= 0 ( 0 ) 0 ( ( 0 )) ile bulunur. Örnek 253 : R R fonksiyonu, her R için ( + ) = ()+ ()+2 denklemini sağlasın. 0 (0) = 5 olduğuna göre, () fonksiyonunu bulunuz Ters Fonksiyonun Türevi Kural :, R ve : fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. fonksiyonu 0 noktasında türevlenebiliyorsa ve 0 ( 0 ) 6= 0ise, 1 fonksiyonu da 0 = ( 0 ) noktasında türevlenebilir ve 1 0 (0 ) 0 1 = 0 ( 0 ) ile bulunur. İspat : Örnek 254 sayıları reel sayılar olmak üzere () = 1 sin + 2 sin sin olsun. () fonksiyonu tüm reel sayıları için () sin şartını sağlıyorsa, Örnek 255 : R R, () = 2 fonksiyonunun = 0 ve = 1 noktalarında türevi var mıdır? Kapalı Fonksiyonların Türevi Örnek =0kapalı fonksiyonun türevini bulunuz Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Kural : () =arcsin () ise 0 0 () () = p ile bulunur. 1 2 () İspat :

39 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi Logaritma Fonksiyonunun Türevi Kural : R + ve 6= 1olmak üzere, : R + R() =log ise, 0 () = 1 log olur. İspat : Üstel Fonksiyonun Türevi Kural : Alıştırmalar 1. () =sin 2 (ln ) ise 0 () =? 2. () = ise 0 (1) =? 3. () =ln 2 2 sin 2 2 ise 0 () =? 4. () = arctan ln sin ise 0 () =? 5. () =3 ln 3 ise 0 () =? 6. () = 2 sin 2 2 ise 0 () =? 7. () =cos ise, (11) () =? 8. () = 1 1+ ise, (11) () =? 9. () =ln ise, (11) () =? 4.5 Fonksiyonun Artan ve Azalan Olduğu Aralıkların Belirlenmesi Örnek ve sayılarından hangisi daha büyüktür? Örnek 258 Örnek olmak üzere, tan tan olduğunu ispatlayınız. Her (02) için, 3 4 cos olduğunu ispatlayınız. sin Örnek 260 Toplamları 60 olan iki sayının birincisinin küpü ile ikincisinin çarpımının maksimum olabilmesi için, sayılar kaç olmalıdır? Örnek 261 yarıçaplı çember içine çizilebilecek maksimum alanlı dikdörtgenin boyutlarını cinsinden bulunuz. Örnek 262 Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan birinin karesi ile diğerinin küpünün çarpımı maksimum kaç olabilir?

40 40 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 263 Düzlemde, =(20) noktasının 2 2 =1hiperbolüne en yakın olan noktasının koordinatlarını bulunuz. Örnek 264 [ 2 2) olmak üzere, ( +2) 2 ( 1) 4 ifadesinin alabileceği maksimum değeri bulunuz. Örnek 265 [2 ] olmak üzere, () = polinomunun alabileceği minimum değer kaçtır? Örnek 266 :(0 ) R kesin artan fonksiyonu her (0 ) için, ) Her için, () 1 ) Her için, () ( ()+1) =1 koşullarını sağladığına göre, (1) değerini bulunuz. (Yunanistan M.O. ) Örnek 267 :(06) R, () =3+ 1 sin 3 gösteriniz. fonksiyonunun tersinin olduğunu Örnek 268 R olmak üzere, () sayısı, : R R, () = sin sin + fonksiyonunun maksimum değerini gösteriyorsa, () nin alabileceği minimum değer kaç olur? (Bulgaristan M.O.) Alıştırmalar 1. Her (02) için, 0 sin sin 2 2 ( 1) 2 olduğunu ispatlayınız. 2. R için, ( 1 ) ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük değer arasındaki farkı bulunuz. Bu farkın en küçük olması için kaç olmalıdır? =4denklemiyle verilen eğrinin, orjine en yakın noktasının koordinatlarını bulunuz. 4. () =2sin2 +sin4 fonksiyonunun extremum noktalarını bulunuz. 5. R + için, (5 sin ) (4 + cos )

41 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi Türevi Kullanarak Bir Denklemin Köklerinin Yorumlanması Örnek 269 Örnek 270 Örnek 271 () = polinomu fonksiyonunun kaç reel kökü vardır? =0denkleminin kaç tane reel kökü vardır? =0denkleminin kaç reel kökü vardır? Örnek = 0 denkleminin tam iki reel kökü olduğunu ispatlayınız. (KANADA MOCP ) Örnek 273 Bir () = fonksiyonu için 0ve =9ise, nin tam üç farklı köke sahip olduğunu ispatlayınız. (BaltıkWay) Örnek 274 gösteriniz. Örnek 275 nedir? =0denkleminin üç reel kökü varsa, 2 3 olduğunu polinomunun iki katlı kökü varsa ile arasındaki bağıntı polinomunun katlı kökünün bulun Örnek 276 () =1+ 1! + 2 2! madığını gösteriniz. + +! Örnek 277 farklı reel sayılar olsun. 0 = ( )( )( )( )+( )( )( )( ) +( )( )( )( )+( )( )( )( ) +( )( )( )( ) denkleminin 4 farklı reel çözüme sahip olduğunu ispatlayınız. (BaltıkWay) Örnek 278 Bir sabiti için, 0 () 2 = () 00 () eşitliğini sağlayan tüm () polinom fonksiyonlarını bulunuz. (İSVEÇ M.O.) Örnek 279 () = olsun. reel sayısı () =1denkleminin ve reel sayısı () =5denkleminin bir kökü olduğuna göre, + aşağıdakilerden hangisine eşittir? (SSCB 1991) Örnek ise, =0denkleminin tüm köklerinin reel olamayacağını gösteriniz.

42 42 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir Örnek 281 Örnek =55 denkleminin çözümlerini bulunuz. =1denkleminin kökünün bulunmadığını gösteriniz. Örnek 283 () = ! + 3 3! bulunmadığını gösteriniz polinomunun reel kökünün (2)! 4.7 Bir Fonksiyonun Konveksliği ve Konkavlığı Örnek 284 Örnek 285 () = 2 ln fonksiyonunun konveks olduğu aralığı bulunuz. Her R + olmak üzere, + 2 Örnek 286 olduğunu ispatlayınız. (0) olmak üzere, sin +sin +sin 3 sin Örnek 287 [0 1] olmak üzere, p eşitsizliğini ispatlayınız. (RUSYA M.O.) 4.8 Üslü Değişkenli Fonksiyonların Türevi Örnek 288 :(0 ) R () = 1 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. Örnek ve sayılarından hangisi daha büyüktür? Örnek 290 ve sayılarından hangisi daha büyüktür? F İkinci Türev Testiyle Maksimum ve Minimumun Belirlenmesi Örnek 291 R + olmak üzere, ifadesinin minimum değerini bulunuz.

43 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi Türevle İlgili Önemli Teoremler Örnek 292 Örnek 293 Örnek 294 arctan reel sayısının 1+ 2 ile arasında 0 için µ 1+ 1 ve ln(1 + ) 1+ µ 1+ 1 sayılarından hangisi büyüktür? Örnek için, tan Örnek arctan Örnek için 1 sin 2 Örnek ise ln Alıştırmalar : Aşağıdaki eşitsizliklerin doğru olduğunu ispatlayınız. 1 a) (0 1) için, ln 1 1 b) ( 1) için, 1 1 c) ( 1) \{0} için, 1 1 d) (0 ) için, ln(1 + ) 1+ e) (0 ) \{1} için, ln 1 5sin f) (0 ) için, 4+cos Örnek 299 R + için, () = gösteriniz. µ +3 fonksiyonunun artan olduğunu +2 Örnek 300 ( +3) = +2 P =3 denklemini sağlayan tüm pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz. (FRANSA M.O.)

44 44 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir L Hospital Kuralı Örnek 301 µ 1 ln ( +1) lim 0 ( +1) ve 0 0 belirsizlikleri =? Örnek 302 Örnek 303 lim 0 sin limitini hesaplayınız. + lim 0 µ tan 1 2 limitini hesaplayınız. Alıştırma : lim 0 ln(cos ) limitinin 1 Örnek 304 Q cos 2 sonsuz çarpımını hesaplayınız. = Asimptotlar Örnek 305 () = ln(1 + 1 ) fonksiyonunun yatay asimptotunu bulunuz. 4.9 Fonksiyonların Grafiklerinin Çizilmesi Örnek 306 gösteriniz =sin denkleminin köklerinin olmadığını grafik çizerek 4.10 Taylor Formülü Örnek 307 () =ln( +1) in seri açılımını bulunuz. ln 2 için bir seri yazınız. Örnek 308 () = 1 1+ bulunuz. fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımını Alıştırma : () = 1 1 fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımının

45 Fonksiyonların Limiti, Sürekliliği ve Türevi = Alıştırma : () =sin fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımının sin = 3 3! + 5 5! 7 7! + 9 9! + ( 1) (2 +1)! Alıştırma : () =cos fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımının cos =1 2 2! + 4 4! 6 6! + 8 8! + ( 1) 2 + 2! Alıştırma : () = fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımının = ! + 3 3! !! + Bu açılımdan yararlanarak sayısının yaklaşık değerini bulunuz. Örnek 309 () = arctan fonksiyonunun =0noktasındaki Taylor açılımını bulunuz. sayısı için bir seri açılımı elde ediniz. Örnek 310 Örnek olduğunu ispatlayınız. 2 Z + için, P 2 1 değerini hesaplayınız. = İntegral Örnek 312 : R + {0} R fonksiyonu sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. (0) = 1 0 (0) = 0 ve ( ()+1) 00 () = +1 olduğuna göre, fonksiyonunun artan olduğunu ve (1) 43 olduğunu ispatlayınız. (İSVEÇ M.O. ) Örnek 313 ispatlayınız. =arctan olsun. =1 2 için olduğunu

46 46 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir BU SORULARIN ÇÖZÜMLERİNİMATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (Analiz Cebir 2) KİTABINDA BULABİLİRSİNİZ. Mustafa Özdemir

47 Fonksiyonel Denklemler Örnek 314 Her R için, ( + ) = + () eşitliğini sağlayan tüm : R R fonksiyonlarını bulunuz. Örnek 315 : R\{0} R\{0} ()+2( 1 )=3denklemini sağlayan tüm fonksiyonları bulunuz. Örnek 316 : R {0} R {0} fonksiyonu (1) +(1) ( ) =3 koşulunu sağlıyorsa, () =? Örnek ()+3 (1 ) = 2 ise, () =? Örnek 318 ()+( 1 )=2denklemini sağlayan tüm fonksiyonları bulunuz. Örnek 319 : R R R olmak üzere, ) ( )+ = ( + + ) ) (0+ ) = (0)+ (0) koşulları sağlanıyorsa, ( ) =? Örnek 320 Her R için, ( ) = () () eşitliğini sağlayan tüm : R R fonksiyonları bulunuz. Örnek 321 ve pozitif tamsayılar olmak üzere, : R + R + fonksiyonu ( ()) = eşitliğini sağladığına göre, = 2 (İsrail ) Örnek 322 Her R için, ( ()) = 1 fonksiyonel denklemini sağlayan tüm : R R fonksiyonlarını bulunuz. (Slovenya) Örnek 323 Aşağıdaki koşulları sağlayan bir : Z + R + fonksiyonu bulunuz. ) (4) = 4 1 ) (1) (2) + 1 (2) (3) + 1 (3) (4) () ( +1) = () ( +1) (Kanada MOCP. ) Örnek tane olmak üzere, ( ( ( ()))) = olacak şekilde bir () fonksiyonu bulunuz.

48 48 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir 5.1 Tamsayılar ve Rasyonel Kümesinde Fonksiyonel Denklem Çözümü Örnek 325 : Z + Z + fonksiyonu için, (1) = 1 ve () = ( 1) + biçiminde tanımlanıyor. () fonksiyonunu bulunuz. Örnek 326 : Z + Z + Z + fonksiyonu için, ( + ) = ( ) ( ) ( + 1) = ( 1) + (1) ( + 2) = ( 2) + 4 ( 1) + (2) olduğuna göre, ( ) fonksiyonunu bulunuz. Örnek 327 : Z Z Z fonksiyonu, ) (2 ) =2 ( ) ) ( +1)= ( ) ) (1 0) = 1 koşullarını sağladığına göre, ( ) =? Örnek 328 : N N olmak üzere, ) Her N için ( + ()) = () ) Bir 0 N için, ( 0 )=1 koşulları sağlanıyorsa, her N için () =1olmalıdır, gösteriniz. (Kore ) Örnek 329 Pozitif tamsayı ikililerinden tanımlanan ( ) :Z Z R fonksiyonu ) (1 1) = 2 ) ( +1)=2( + )+ ( ) ) ( +1)=2( + 1) + ( ) özelliklerini sağladığına göre ( ) = 402 olacak şekilde ve tamsayılarını bulunuz. Örnek 330 Negatif olmayan tamsayılarda tanımlı, fonksiyonu, her için, ()+ () =( + ) eşitliğini sağlıyorsa, nin sabit fonksiyon Örnek 331 Her Z için, ( + ()) = ()+ denklemini sağlayan tüm : Z Z fonksiyonlarını bulunuz. (Güney Afrika C.)

49 Fonksiyonel Denklemler 49 Örnek 332 Her Q + için, aşağıdaki koşulları sağlayan tüm : Q + Q + fonksiyonlarını bulunuz. (Ukrayna) ) ( +1)= ()+1 ) 2 = () 2 Örnek 333 () :Z + Z + olsun. Eğer her pozitif tamsayısı için ( +1)[ ()] ise, her için () = (IMO ) Örnek 334 Her Z için, ( + )+ () = () ()+1 eşitliğini sağlayan tüm : Z Z fonksiyonlarını bulunuz. 5.2 Rasyonel Sayılar Kümesinden Reel Sayılar Kümesine Geçiş Örnek 335 ( + ) ( ) =2 () denkleminin tüm çözümlerini bulunuz. Örnek 336 Her R için, ( + )+ ( ) =2[ ()+ ()] denklemini sağlayan tüm : R R fonksiyonlarını bulunuz. Örnek 337 Her R için, ( + )+ ( ) =2 () denklemini sağlayan tüm : R R fonksiyonlarını bulunuz. Örnek () = ( + ) ( ) denklemini sağlayan tüm : R R fonksiyonlarını bulunuz. 5.3 Fonksiyonel Denklemlerin Polinom Fonksiyon Çözümleri Örnek 339 bir pozitif tamsayı olmak üzere, ( ()) = ( ()) eşitliğini sağlayan tüm reel sayı katsayılı polinomları bulunuz. (KANADA M.O.) Örnek 340 () ve () reel sayılarda tanımlı polinomlar olsunlar. ( ()) = ( ()) ve () = () eşitliklerini sağlayan bir değeri yoksa, ( ()) = ( ()) eşitliğinin çözümü olmadığını gösteriniz. (KANADA M.O.)