Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Transkript

1 Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini ve bu denklemler yardımıyla çözülebilen problemleri, birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümünün bulunmasını, bir iki terimli ile bir üç terimlinin işaretinin incelenmesini, yüksek dereceden bazı denklemlerin çözümlerinin bulunmasını öğrenmiş olacaksınız. İçindekiler Giriş 37 Özdeşlikler ve Binom Açılımı 37 Denklemler 46 Eşitsizlikler 6 Yüksek Dereceden Denklemler 73 Değerlendirme Soruları 78

2 Çalışma Önerileri Üniteyi çok dikkatli okuyunuz Mutlaka yazarak çalışınız Çözümleri size bırakılan soruları kendiniz çözüp cevaplarınızı karşılaştırınız Benzer sorular yazıp çözmeye çalışınız Ezberlemeye değil öğrenmeye çalışınız Bu konuların büyük bölümü liselerde okutulduğu için lise bilgilerinizi hatırlayınız Zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyabilirsiniz, mümkünse, yanınızda bir hesap makinesi bulundurunuz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Giriş Günlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve dört işlemle çözmekte zorlandığımız hatta bazen çözemediğimiz problemleri denklemler yardımıyla kolayca çözebilmekteyiz. Ancak bundan daha önemlisi gerek matematik ve gerekse uygulamalı bilimlerde pek çok problemin çözümü bir denklemin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinin bilinmesi matematikçiler açısından oldukça önemli olmuş ve matematikçiler asırlar boyunca her tür denklemin çözümünde izlenebilecek bir yöntem bulmaya çalışmışlardır. Ancak her tür denklemin çözümünde izlenebilecek belirli bir yöntemin verilemeyeceği görülmüş ve denklemler sınıflara ayrılarak her bir sınıf için bir çözüm yöntemi verilmeye çalışılmıştır. Bugün dahi pek çok denklem için kesin çözüm yöntemi verilememektedir. Kesin çözüm yöntemi verilemeyen denklemlerin kökleri,günümüzde özellikle bilgisayarlar yardımıyla yaklaşık olarak istenilen hassasiyette bulunabilmektedir. Bu ünitede bazı özdeşlikleri ve Binom (iki terimli) eşitliğini hatırlattıktan sonra birinci ve ikinci dereceden (polinom) denklemler ile çözümleri bu tür denklemlerin çözümüne indirgenebilen bazı denklemlerden söz edeceğiz. Daha sonra matematiğin denklemler kadar önemli bir konusu olan ve denklemlerle çok yakından ilgili olan eşitsizlik çözümlerini ele alacağız.. Özdeşlikler ve Binom Açılımı Kısa kenar uzunluğu birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim olan bir dikdörtgenin alanının ise 7, birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dikdörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluklarını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gerekir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıflarında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden olmuştur. Dikdörtgenin alanının bulunması ile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarıçapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r şeklinde ifade edebiliriz. Alan formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin "bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne kadar değişir?" sorusuna kolayca cevap verebiliriz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 38 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER? Kenar uzunlukları x ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenarlarının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzunlukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan, bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından birisinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz. Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız. Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Kelimeler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha kolay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyeceğiz. Örneğin, xy, πr, x + 5, 3x - 4x +1, x + 1, x + 1 x + 1, 3x - y 3 +, x + y 3, 1 gt şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bulunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x - 4x +1 ifadesinin x = - için sayısal değeri 3(-) - 4(-) + 1 = = 1 dir. İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x - 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak, (x -1)(x + 1)= x.x + x.1-1.x -1.1 = x - 1 buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için x - 1 = (x - 1)(x + 1) dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz. Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir. İki ifadenin özdeşliği işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 39 x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır. Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım. (x + y) = (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x + xy + y olduğundan Her x, y IR için (x + y) = x + xy + y dir. x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y) sayısını, bir kenar uzunluğu x + y olan bir karenin, x ile y yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y olan karelerin alanları olarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağıdaki şekilden kolayca görülebilir. y x x xy x x y y xy y y x Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz. Her x, y IR için (x - y) = x - xy + y x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 40 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER y y y y y xy x - y x - y x x y xy y x Şekil.1 x Bir diğer özdeşlik, Her x, y IR için x - y = (x - y) (x + y) Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür. x x C y B x - y x - y D A y D C y x + y A B y x - y Şekil. Her x, y IR için (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için (x + y) 3 = (x + y) (x + y) = (x + xy + y )(x +y) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 41 çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz. Şekil.3 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 4 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa, Her x, y IR için (x - y) 3 = x 3-3x y + 3xy - y 3 bulunur. Her zaman karşımıza çıkan, Her x, y IR için x 3 + y 3 = (x + y)(x - xy +y ) Her x, y IR için x 3 - y 3 = (x - y)(x + xy +y ) özdeşliklerini de unutmamalıyız. Son iki eşitlikte sağ taraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatlanabilir. Bunlara benzer şekilde (x + y) 4 = (x + y)( x + y) 3 = (x + y)(x 3 + 3x y + 3xy + y 3 ) = x 4 +3x 3 y +3x y + xy 3 + yx 3 +3x y +3xy 3 + y 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 dır. O halde, Her x, y IR için (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 (x + y), (x + y) 3, (x + y) 4 ifadelerinin açılımları, n doğal sayı olmak üzere (x + y) n nin Newton Binom Açılımı nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım, x + y n = x n + n 1 xn-1 y + n n x n- y + n n - 1 n x n-3 y n n - 1 n - n n - k x n-k y k n n k n şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir. y n Burada olduğu gibi k IN olmak üzere k çarpımına k faktöriyel denir ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1..3 = 6, 5!= = 10 dir. 0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımını şöyle yazabiliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 43 x + y n = x n + n 1! xn-1 y + n n - 1! x n- y + n n - 1 n - 3! x n-3 y n n - 1 n - n n - k x n-k y k y n k! Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. Formülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda; i) terim sayısı n + 1 dir, ii) ilk terim x n dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer birer artar ve son terim y n olur, iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir, iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax n-k y k dır ve burada A katsayısının payı n den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, paydası ise k! dir. x + y 10 = x x9 y x8 y x7 y x6 y x5 y x4 y x 3 y x y xy 9 + y 10 = x x 9 y + 45 x 8 y + 10 x 7 y x 6 y x 5 y x 4 y x 3 y x y x y 9 + y 10. Örnek : x + y 4 = x x3 y x y x y y 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4x y 3 + y 4 (y) = y = 4y, (y) 3 = 3 y 3 = 8y 3, (y) 4 = 4 y 4 = 16y 4 olduğundan (x + y) 4 = x 4 + 8x 3 y + 4x y + 3xy y 4 dir. Bu açılımda ikinci terimin y olduğuna ve y nin kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 44 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek : x - y 5 = x + -y 5 = x ! ! x 4 -y + 5.4! x -y 4 + -y 5 x 3 -y ! = 3x 5 80 x 4 y + 80x 3 y - 40x y xy 4 y 5. x -y 3 Burada da birinci terimin x, ikinci terimin y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz = ( )(1000 ) =1000 = = Örnek : 47 = (50 3) = = =09, veya 47 = (40 + 7) = = = 09. Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır? Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50, xy = 481 olur. Diğer taraftan (x + y) = x + xy + y = (x + y ) + xy olduğundan 50 = (x + y ) olur. Buradan da x + y = = = 1538 bulunur. Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca n k dir. Özel olarak 4 0 dir. = n n - 1 n -... n - k k = 1, 4 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ n 0 = 4 1 = 4, 4 = 1 alınır. Buna göre örneğin n k = n n - 1 n -... n - k + 1 k! = = 6, 4 3 n n - 1 n -... n - k k şeklinde de gösterilir. Buna göre = = 4, 4 4 = = 1

11 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 45 n n n - k k = n n - 1 n -... n - k k. n - k n - k + 1 n - k +... n - n - n - n - 1 n - k n - k + 1 n - k +... n - n - n - n - 1 yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın n = n!, paydanın ise ( k)[ (n-k)] = k!. (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra, n şu şekilde yazılabilir: k n = n! k k! n - k!, n IN, k IN Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz. x + y n = n 0 x n + n 1 x n-1 y + n x n- y n k x n-k y k n n yn, n IN, k IN x + y 7 = 7 0 x x 6 y + 7 x 5 y x 4 y x 3 y x y xy y 7 = x 7 + 7! 1!.6! x 6 y + 7!!.5! x 5 y + 7! 3!.4! x 4 y 3 + 7! 4!.3! x 3 y 4 + 7! 5!.! x y 5 + 7! 6!.1! = x 7 + 7x 6 y + 1x 5 y + 35x 4 y x 3 y 4 + 1x y 5 + 7xy 6 + y 7. xy 6 + 7! 7!.0! y 7 (x + y) 11 in Binom açılımında x 4 y 7 teriminin katsayısı kaçtır? Binom açılımında x n-k y k teriminin katsayısı n dır. Burada k nın y nin kuvveti k olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x 4 y 7 nin katsayısı 11 = 11! = 330 dır. 7 7!.4! Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımları ile bu açılımlardaki katsayılara birlikte bir göz atalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 46 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER (x + y) = x + y 1 1 (x + y) = x + xy + y 1 1 (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y + 10x y 3 + 5xy 4 + y (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y + 0x 3 y x y 4 + 6xy 5 + y Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki ile nin solundaki 1 in toplamına, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşittir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımındaki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncı satırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci satırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu katsayılar, 1,7, 1, 35, 35, 1, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında oldukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci kuvvetinin açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuvvetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir özelliktir. 3. Denklemler Matematiğin önemli kavramlarından birisi olan denklem kavramı matematiğin gelişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bundan başka uygulamalı bilimlerde de pek çok problemin çözümü bir denklemin veya denklemler sisteminin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinde izlenebilecek kesin yöntemler bulmak matematik kadar uygulamalı bilimler açısından da önem taşımaktadır. Daha öncede ifade ettiğimiz gibi her tür denklemin çözümünde izlenebilecek kesin bir yöntem yoktur. Bu nedenle denklemler çeşitli sınıflara ayrılır ve her sınıf için izlenebilecek çözüm yöntemleri verilmeye çalışılır. Biz bu kesimde birinci ve ikinci dereceden polinom denklem çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Daha sonra yüksek dereceden bazı özel polinom denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair örnekler vereceğiz. Trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemlerin çözümlerini de ilgili bölümlerde açıklayacağız. Şimdi, aşağıdaki soruları ele alalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 47 Bir kişi cebindeki para ile 5 kiloluk karpuz alırsa parası lira eksik geliyor, bunun yerine bu kişi 3 kiloluk karpuz alıyor ve cebinde lira parası kalıyor. Buna göre karpuzun fiyatı kaç liradır? Uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı 481 birim kare olan dikdörtgenin kenarları kaç birimdir? Sorulardan birincisini, bazı kimseler biraz uğraşarak bazıları ise fazla uğraşmadan, dört işlemle çözebilir, ancak ikinci soruya dört işlemle ya da şekle bakarak doğru cevap vermemiz oldukça zordur. Bu sorulara denklem kavramını bildikten sonra daha kolay cevap verebiliriz. Sorulardan birincisinde, karpuz fiyatına x diyelim. Buna göre, 5x = 3x eşitliğini sağlayan x sayısını bulursak, karpuz fiyatını bulmuş oluruz. İkinci soruda ise, dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y dersek, x + y = 50, x.y = 481 eşitliklerinin her ikisini de sağlayan x ve y sayıları ya da x -50x = 0 eşitliğini sağlayan x sayısı ile y = 50 - x sayısı dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır. Bu örneklerde olduğu gibi x,y z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazı değerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapılan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Denklem, bilinmeyenlerinin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa bu durumda denklemin çözümü veya kökü yoktur denir. Bu durumda çözüm kümesinin boş küme olacağı açıktır. Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir? Özdeşlik bilinmeyenlerin her değeri için gerçeklenen eşitliktir. Denklem ise genellikle bilinmeyenlerin bazı özel değerleri için gerçeklenen eşitliktir. Örneğin x - y = (x - y)(x + y) eşitliğinde x ve y ye hangi değerler verilirse verilsin bu eşitlik sağlanır. Buna karşılık 5x = 3x eşitliği sadece x = için sağlanır, x + y = 50 eşitliği ise örneğin x = 15, y = 35 için sağlanırken x = 10 ve y = 0 için sağlanmaz.? Denklemler öncelikle bilinmeyen sayılarına göre sınıflara ayrılır. Eğer denklemde bir bilinmeyen varsa denkleme bir bilinmeyenli, iki bilinmeyen varsa iki bilinmeyenli,..., n tane bilinmeyen varsa n bilinmeyenli denklem denir. Örneğin 7x - 81 = 144, 3 x = 81 bir bilinmeyenli iken x + y = 50, x + y = 1 denklemleri birer iki bilinmeyenli denklemdir. Cebirsel ifadelerin eşitlenmesiyle elde edilen denklemlere cebirsel denklem denir. Örneğin x - 5 = 0, 4x - 5 x + 1 = 3, x - 5x + 6 = 0, 3x x = -1, x 3-4x + 5 = 0 birer cebirsel denklemdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 48 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Şimdi bir bilinmeyenli bazı denklemlerin çözümlerini inceleyelim Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a ve b bilinen gerçel sayılar, a 0 olmak üzere, ax + b = 0 biçiminde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli polinom denklem veya kısaca birinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli lineer (doğrusal) denklem, a ile b ye denklemin katsayıları, x e bilinmeyen denir.bu denkleme birinci dereceden veya lineer denklem denmesinin nedeni x in sadece birinci kuvvetinin bulunması ve başka hiçbir kuvvetinin bulunmamasıdır. Bu denklemi çözmek yani eşitliği sağlayan x i bulmak için şu işlemler yapılır. ax + b = 0, ax = - b. Burada a 0 olduğundan her iki tarafı a ile bölebiliriz. Bu işlemi yaparsak ax a = -b a, x = - b a bulunur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç= - b dır. a x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x + 4 = 0 ise x = - 4 buradan x = -4 x = -, Ç= { - } bulunur. x + 4 = x + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. İlk bakışta denklem ax + b = 0 biçiminde değildir. Ancak denklemi düzenlersek x - x = - 4, x = - elde ederiz. Denklemin kökü x = - olduğundan Ç = { - } olur. Yukarıdaki birinci problemin cevabı, 5x = 3x denkleminin kökü olduğuna göre bu denklemi çözelim. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 49 Çözüm : 5x = 3x x - 3x = x = x = bulunur. Ç = { }. a, b, c, d IR olmak üzere, ax + b = cx + d denkleminin çözüm kümesini araştıralım. ax + b = cx + d...(1) ax - cx = d - b (a - c) x = d - b...() Burada köklerin varlığı a, b, c ve d katsayılarına bağlıdır. Şimdi karşılaşabileceğimiz durumlara göre kökün varlığını inceleyelim. i.durum: a = c ve b = d ise ( ) e şitliği 0x = 0 şeklini alır. Bu eşitlik her gerçel x sayısı için doğru olduğundan Ç = IR dir. Aslında bu sonuç doğal bir sonuçtur. Çünkü a = c ve b = d ise ( 1) eşitliği, ax + b = ax + b demektir. Bu eşitlik de her gerçel sayı için doğrudur. ii. durum: a = c ve b d ise () eşitliği 0x = d - b şeklini alır. Burada sol taraf x in her değeri için daima 0 iken, sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıdır. Bu nedenle bu eşitlik hiçbir x gerçel sayısı için sağlanmaz, çözüm kümesi boş kümedir. Ç = Ø. iii.durum: a c olsun. Bu durumda () eşitliğinde x in katsayısı olan a - c sıfırdan farklı olacağı için her iki tarafı a - c ye bölebiliriz. bulunur. Ç = d - b a - c a - c x a - c = d - b a - c x = d - b a - c olur. Bu durumda b = d ise 0 ın kök olacağına dikkat ediniz. Bir tüccar liraya bir miktar kumaş alıyor. Kumaşın 1/4 ünü metresi liradan, geri kalanını da metresi liradan satıyor ve lira kar sağlıyor. Bu tüccar kaç metre kumaş almıştır? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 50 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Alınan kumaş miktarına x diyelim. Kumaşın 1/4 ünün satışından elde edilen x gelir = x lira, kalan kumaşın satışından elde edilen gelir 4 ise x - x liradır. Buna göre toplam gelir = 3x = x x = x liradır. Kar = gelir - gider olduğundan = x denklemi elde edilir. Bu denklemin kökü aradığımız kumaş miktarını verecektir = x = x = x 180 = x. Buna göre tüccar 180 metre kumaş almıştır. Ardışık 5 tamsayının toplamı 45 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü ve en büyüğü kaçtır? Sayıların en küçüğüne x diyelim. Ardışık tamsayı birbirini izleyen tamsayı demek olduğuna göre, diğer sayılar x +1, x +, x +3,... x + 4 olacaktır. Bu sayıların toplamı, x + (x +1) + (x + ) (x +4) = 5 x + ( ) = 5 x dir. Bu sayı 45 olduğuna göre, 5x = 45 5 x = 15 x = 5 bulunur. O halde en küçük sayı 5, en büyük sayı ise x + 4 = = 9 olarak bulunur. Bazı denklemlerin çözümleri birinci dereceden denklem çözümüne indirgenebilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 51 1 x + 3 x x + 1 = x + 1 x = 0 ve x = -1 için paydalar sıfır olduğundan x 0 ve x -1 olmalıdır. 1 x + 3 x x + 1 = x x + 3 x x x + 1 = 0 x x = 0. x x +1 Bir kesrin 0 olması için payın 0 olması gereklidir. Bu nedenle, (x +1) x = x = 0, buradan da x = 4 bulunur. Ç = { 4 }. Alkol oranı % 65 olan 40 litrelik bir çözeltinin alkol oranını % 80 e çıkarmak için ne kadar saf (mutlak) alkol ilave edilmelidir? Çözeltideki alkol oranı % 65 olduğuna göre, saf alkol miktarı 0,65.40 = 6 litredir. İlave edilecek saf alkol miktarı x litre olsun. Bu durumda alkol oranı 6 + x olur x Bu oranın % 80 olması istendiğine göre, 6 + x eşitliğini sağlayan x aradığımız sayıyı verecektir. Bu eşitlikte her iki tarafı 40 + x ile 40 + x = 0,80 çarparsak, 6 + x = (40 + x).0,8 6 + x = 3 + 0,8x 0,x = 6 x = 30 bulunur. Demek ki 30 litre saf alkol ilave etmek gerekmektedir. Bir denklemin kökü olarak bulunan sayının gerçekten kök olup olmadığını kontrol etmek için bu sayı denklemde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır, sonuçta bir özdeşlik elde edilirse, sayı denklemin köküdür. Bu işleme kökün denklemi sağlaması ya da denklemin sağlatılması denir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 5 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örneğin bir önceki örnekte 6 + x denkleminin kökü olarak 30 sayısını 40 + x = 0,80 bulmuştuk. Şimdi bu sayının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Diğer bir deyişle denklemi doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim. Bunun için denklemde x yerine 30 yazalım. 6 + x = 0,80, 56 = 0,8, 0,8 = 0,8 Buna göre, 30 sayısı denklemi sağlamaktadır, dolayısıyla denklemin köküdür 40 + x 70 diyebiliriz. x + 3 = 8 deklemini çözünüz. Bir sayının mutlak değeri 8 ise, bu sayı ya 8 ya da - 8 dir. Bu yüzden x + 3 = 8 veya x + 3 = - 8 olmalıdır. Buradan da x = 5/ veya x = - 11/ olmalıdır. Denklemim çözüm kümesi, dir. Ç = {5/, - 11/} x + 3 = x denkleminin çözüm kümesini bulalım. Bu denklemde, i) x 0, ii) x < 0 durumlarına göre kök arayacağız. i) x 0 ise, x = x olduğundan denklem, x +3 = x denklemine dönüşür. Buradan x = 3 bulunur. x in bu değeri x 0 koşulunu sağladığından, 3 denklemin bir köküdür. ii) x < 0 ise, x = -x olduğundan denklem, - x + 3 = x şekline dönüşür. Buradan x = 1 bulunur. Ancak bulunan 1 sayısı x < 0 koşulunu sağlamaz, bu nedenle kök olamaz. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = { 3} dir. 3.. İkinci Dereceden Denklemler a,b,c IR, a 0, olmak üzere ax + bx + c = 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 53 biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli veya kısaca ikinci dereceden denklem denir. x bilinmeyeninin en büyük kuvvetinin olması ve x in kesirli ve negatif kuvvetlerinin olmaması nedeniyle denkleme ikinci dereceden denklem denildiği açıktır. Burada a,b, c sayılarına denklemin katsayıları denir. Şimdi bu denklemin köklerinin nasıl araştırıldığını görelim. ax + bx + c = 0 denkleminde a 0 olduğundan bu denklem ax + b a x + c a = 0 şeklinde yazılabilir. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birisinin sıfır olması yeterlidir. Burada a 0 olduğundan x + b a x + c a = 0 olmalıdır. Bu denklemi çözmek için x in katsayısının yarısının karesini bir ekleyip bir de çıkaralım (bu işlemi yapmak için x nin katsayısının 1 olması gerektiğine dikkat ediniz) x + b a x + c a = x + b a x + b a x + b a - b a - b - 4ac = a + c a = x + b a - b 4a + c a = b - 4ac. Bu gösterimden sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı ve sayısı şu şekilde özetlenebilir. i) = b - 4ac > 0 ise (1) eşitliği şu şekilde yazılabilir. Burada daima x + b 0 dır. Buna karşılık b - 4ac nin işareti, 4a > 0 oldu- a 4a ğundan b - 4ac nin işaretine bağlıdır. Eğer b - 4ac negatif değilse (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan iki sayının farkı olur, dolayısıyla bu toplam x in bazı değerleri için sıfır olabilir, diğer bir deyişle denklemin kökü vardır. Eğer b - 4ac negatif ise (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan bir sayı ile negatif bir sayının farkı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle bu durumda denklemin kökü olamaz. Dikkat ederseniz ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı b - 4ac nin işaretine bağlıdır. Bu nedenle b - 4ac sayısına, denklemin diskriminantı denir ve ile gösterilir: x + b a - = x + b - 4a a a = x + b a - a x + b a + a bu eşitliğin sıfır olması için AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 54 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x + b a - a = 0 veya x + b a + a = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerden denklemin iki kökünün varlığı ve bu köklerin x = - b a - a = -b - a, x = - b a + a = -b + a olduğu kolayca görülebilir. Bu köklere x 1 ve x dersek, > 0 olduğunda ikinci dereceden denklemin farklı iki gerçel kökünün varlığı ve bu köklerin olduğu sonucuna ulaşırız. x 1, = - b ± a > 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve kökler, dır. x 1, = -b ± a? ax + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin kesinlikle gerçel kökü vardır diyebilir misiniz? Cevabınız evet olmalıydı. Çünkü bu durumda diskriminant kesinlikle pozitif olur. ii) = 0 ise (1) eşitliği x + b a olması için, her iki çarpan Bu durumda iki kök eşit olmaktadır: = x + b x + b a a = 0 x + b a olduğundan, x + b a = 0, x = - b a x 1 = x = - b a. şeklini alır. Bu eşitliğin sıfır olmalıdır. O halde ikinci dereceden denklemde = 0 ise denklemin tek kökü vardır diyebiliriz. Bu durumda kökler çakışıktır veya iki kat kök vardır da denir. = 0 ise denklemin tek kökü (iki kat kökü) vardır ve bu kök, dır. x 1 = x = - b a ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 55 iii) < 0 ise b - 4ac < 0, 4ac - b > 0 olur. (1) eşitliğinin sol tarafı, x + b a - a = x + b a - b - 4ac 4a = x + b a + 4ac - b 4a biçiminde, negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle denklemin gerçel kökü yoktur. < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. x - 3x + = 0 denkleminin çözümünü bulunuz. Bu denklemde a = 1, b = - 3 ve c = olduğundan = b - 4ac = (- 3) = 9-8 = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler, x 1, = - b ± a = --3 ± 1.1 = 3 ± 1, x 1 = 3-1 = 1, x = = bulunur. Çözüm kümesi Ç = {1, } dir. 1 ve sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz. 3x + x + 5 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.? a = 3, b = ve c = 5 olduğundan, = b - 4ac = = 4-60 = - 56 < 0 olduğundan denklemin gerçel kökü yoktur. Çözüm kümesi Ç = Ø dir. 4x - 4x +1 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz. = (- 4) = = 0 olduğundan denklemin tek (iki kat) kökü vardır. Bu kök x 1 = x = - b a = = 1 = 0,5 dir. Çözüm kümesi Ç = 1 dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 56 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x + x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız. a = b = c = 1 olduğundan = = -3 < 0 dır. Dolayısıyla gerçel kök yoktur. Ç = Ø dir. Bu kesimin başında sözünü ettiğimiz dikdörtgen problemini hatırlayalım. Problemde uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı ise 481 birim kare olan dikdörtgenin kenar uzunlukları soruluyordu. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y diyelim. Probleme göre, x + y = 50, x. y = 481 dir. Bu eşitliklerin birincisinden y = 50 - x bulup ikinci eşitlikte yerine yazarsak, x - 50 x = 0 denklemini elde ederiz. Böylece problem bu ikinci dereceden denklemin çözümüne indirgenmiş olur. Bu denklemde = = = 576 > 0 - (-50) ± ± 4 olduğundan iki gerçel kök vardır ve bu kökler, x 1, = = olup,.1 buradan da x 1 = 37, x =13 bulunur. x = 37 için y = = 13; x = 13 için y = = 37 bulunur. Buna göre söz konusu dikdörtgenin kenar uzunlukları 37 ve 13 birimdir. Bu problemde dikkatimizi çeken bir nokta var. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden x ve y sayılarının toplamı 50, çarpımı 481 dir ve bu sayılar x - 50x = 0 denkleminin kökleridir. Acaba bu her zaman doğru mudur? Yani iki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı x - px + q = 0 denkleminin kökleri midir? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışalım. Sayılara x 1 ve x diyelim. Bu durumda x 1 + x = p, x 1.x = q dur. x - px + q = 0 denkleminde p yerine x 1 + x ve q yerine x 1. x yazalım: x - (x 1 + x ) x + x 1. x = 0. Bu eşitliğin sol tarafı (x - x 1 ) (x - x ) dir (Bunun doğruluğunu görmek için buradaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir). Bu durumda denklem (x - x 1 ) (x- x ) = 0 şeklini alır. Buradan x- x 1 = 0 veya x x = 0, buradan da x = x 1 veya x = x bulunur. Buna göre tahminimiz doğrulanmaktadır. Yani: İki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı, x - px + q = 0 denkleminin kökleridir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 57 Bazı ikinci dereceden denklemleri yukarıda verdiğimiz formülü kullanmadan daha kolay çözebiliriz. Örneğin x - 9 = 0 denkleminin çözümü için formüle gerek yoktur. Bunun çözümü için sol tarafı çarpanlara ayırmak yeterlidir. (x -3) (x + 3) = 0, buradan x - 3 = 0 veya x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan da x = 3 ve x = -3 bulunur. Benzer şekilde x + 8x = 0 denklemi, x (x + 8) = 0 şeklinde yazılabilir, buradan x = 0, x = - 8 çözümleri elde edilir. ax + bx + c = 0 denkleminde > 0 ise bu denklemin kökleri, - b x 1, = ± b - ac a formülü ile de bulunabilir. Bu formülün doğruluğunu görmek istiyorsanız, x 1, = -b ± formülünde pay ve paydayı ile bölünüz. b nin çift sayı olması a durumunda oldukça kullanışlı olan bu formüle yarım formül denir. 4x - 4x - 13 = 0 denkleminin çözümünü bulalım. b çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz. x 1, = 1 ± 1-4. (-13) 4 1 ± 14 = 4, buradan x 1 = 6,5, x = - 0,5 bulunur. Ç = {6,5, -0,5} dır. Bir karenin kenarlarından birisi birim kısaltılıp, diğer kenar 4 birim uzatılırsa, elde edilen dikdörtgenin alanı 80 birim kare oluyor. Buna göre karenin kenar uzunluğu kaç birimdir? Karenin kenar uzunluğuna x dersek, dikdörtgenin kenar uzunlukları x - ve x + 4 birim olur. Dikdörtgenin alanı 80 birim kare olduğuna göre, (x - ). (x + 4) = 80 olmalıdır. Bu eşitliğin sol tarafını açarsak, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 58 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x + x - 8 = 80, x + x - 88 = 0 x x + 4 x - denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri, x = - 1 ± = - 1 ± 89 = - 1 ± 17 x 1 = - 18, x = 16 dır. Negatif bir sayı kenar uzunluğu olamayacağından karenin kenar uzunluğu 16 birimdir. Dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu cm olan eşit kareler kesilerek dikdörtgenler prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmıştır. Kutunun tabanının uzun kenarı, kısa kenarından 5 cm daha uzun ve kutunun hacmi 1000 cm 3 olduğuna göre, dikdörtgen biçimindeki kartonun kısa kenar uzunluğu kaç cm dir? Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm olsun. Buna göre kutunun tabanının kısa kenarının uzunluğu x - 4 cm, uzun kenarının uzunluğu x = x +1 cm, yüksekliği ise cm dir. Buna göre kutunun hacmi (x - 4)(x +1) cm 3 olur. Bu durumda (x - 4)(x +1) = 1000 eşitliğini sağlayan x sayısı kartonun kısa kenar uzunluğunu verecektir. x (x - 4)(x +1) = 1000 (x - 4)(x +1) = 500 x -3x - 4 = 500 x -3x = 0 Bu denklemin kökleri, x + 1 x - 4 x 1, = 3 ± = 3 ± 45 buradan da x 1 = 4, x = -1 bulunur. Negatif sayı kenar uzunluğu olamayacağından aradığımız cevap 4 cm dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 59 Bazı denklemlerin köklerinin bulunması, bir ikinci dereceden denklemin köklerinin bulunmasına indirgenebilir. Şimdi buna ait birkaç örnek verelim. x - 1 x = 5 6 denklemini çözünüz. Verilen denklemde x 0 olmak zorundadır, çünkü x = 0 için payda sıfır olmaktadır, bu nedenle denklem anlamlı olmaz. x 0 olmasının manası, kökleri IR de değil IR - {0} da arayacağız demektir. Yani denklemi çözmek için yapılan işlemler sonunda elde edilen "yardımcı" denklemin köklerinden birisi 0 ise, 0 esas denklemin kökü olamaz. x - 1 x = 5 6, x - 1 x = 5 6. Burada her iki tarafı 6x ile çarparsak, 6 (x - 1 ) = 5x, 6x - 5x - 6 = 0 elde ederiz. Bu denklemde = (-5) (-6) = 169 > 0 olduğundan farklı iki gerçel kök vardır: x 1 = = 3, x = = - 3, Ç = 3, - 3. Bir gün, ekmek fiyatlarına 5000 TL zam geliyor ve bir işçi, bir günlüğü ile alabildiği ekmek sayısından 10 ekmek daha az ekmek alabilir duruma düşüyor. İşçinin günlüğü TL olduğuna göre ekmeğin eski fiyatı kaç liradır? Ekmeğin eski fiyatına x diyelim. İşçinin ekmek zammından önce alabildiği ekmek sayısı x, ekmek zammından sonra alabildiği ekmek sayısı ise x dir. İkinci sayı birincisinden 10 eksik olduğundan AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

26 60 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x - 10 = x eşitliğini sağlayan x sayısı ekmek fiyatını verecektir. Bu eşitliğin her iki tarafını x (x ) ile çarparsak, (x )-10x(x ) = x, buradan -10 x x = 0 x x = 0 elde ederiz. Bu denklemin köklerini bulalım. b = çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz. x 1, = ± = ± = ± = ± = ± , buradan x 1 = , x = bulunur. Ekmek fiyatı negatif olamayacağından aradığımız cevap TL dir. 4x x = -1 denkleminin çözüm kümesini bulalım Bu denklemin (varsa) kökünü bulmak için kareköklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve her iki tarafın karesi alınır. 4x + 1 = x - 1, 4x + 1 = (x - 1), 4x + 1 = x - x + 1, x - 6x = 0, buradan da x = 6 ve x = 0 bulunur. Ancak bulunan bu sayıların esas denklemin kökü olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 6 nın verilen denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

27 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER = -1, 5-6 = -1, bu eşitlik doğru olduğundan 6 verilen denklemin köküdür. Şimdi de 0 ın denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım = -1 1 = -1 Bu eşitlik doğru olmadığından 0 kök değildir. O halde çözüm kümesi Ç = {6} dır. Denklemlerde bulunan sayıların denklemin kökü olup olmadığını mutlaka kontrol ediniz. Bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarından 7 cm, köşegeninden 8 cm kısa olduğuna göre, dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç cm dir? Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir kapalı dairesel dik silindirin toplam yüzey alanı S = πr + πrh dir. Yüksekliği 10 cm, toplam yüzey alanı 88π cm olan bir silindirin taban yarıçapı kaç cm dir? Cevaplarınız birinci problem için, 5 cm, ikinci problem için 8 cm olmalıydı. Bir ikinci dereceden denklemi çözmeden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulabilir misiniz???? Cevabınız evet olmalıydı. a x + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı - b a, kökler çarpımı c a dır. Kökler farkı, köklerin kareleri toplamı, köklerin sıfırdan farklı olması halinde köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını katsayılar türünden ifade edebilir misiniz?? Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı. x 1 - x = a, x 1 + x = b - ac a, 1 x1 + 1 x = - b c. a, b, c IR, a 0, olmak üzere, ax + bx + c ifadesine bir ikinci derece üç terimlisi denir. ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri var ve kökler x 1, x ise, üçterimli a(x - x 1 )(x- x ) biçiminde yazılabilir, diğer bir deyişle çarpanlarına ayrılabilir. Yani ax + bx + c = a(x - x 1 )(x - x ) dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

28 6 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 3x + 5x - üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. 3x + 5x - = 0 denkleminin kökleri x 1 = 1/3, x = - olduğundan, 3x + 5x - = 3 x x + dir.? 6x + x - 1 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. 5x - 30x + 9 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. Cevaplarınız 6 x + 1 x - 1 3, 5 x olmalıydı.? ax + bx + c = 0 denkleminin tek kökü varsa, yazılabilir mi? Cevabınız evet olmalıydı. ax + bx + c = a x + b a ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri yoksa, ax + bx + c = a x + b a + - a yazılabilir. 4. Eşitsizlikler 4.1. Birinci Dereceden Eşitsizlikler a, b IR, a 0 olmak üzere, ax + b ifadesine bir iki terimli denir. Bir iki terimli x değişkenine verilecek gerçel değerlere göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alır. Örneğin - 4x + 7 iki terimlisi x = 0 için pozitif bir değer, x = için negatif bir değer alırken x = 7/4 için 0 değerini almaktadır. Bazı problemlerin çözümü, böyle bir iki terimlinin x in hangi değerleri için sıfır, x in hangi değerleri için pozitif veya x in hangi değerleri için negatif değerler aldığını bilmemizi gerektirebilir. ax + b iki terimli sinin, sadece ax + b = 0 denkleminin kökü olan x = - için sıfır değerini aldığını a b biliyoruz. Böyle bir iki terimlinin pozitif değerler alması demek x in bazı değerleri için ax + b > 0 eşitsizliğinin sağlanması, benzer şekilde negatif değerler alması da bazı x ler için ax + b < 0 eşitsizliğinin sağlanması demektir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

29 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 63 a, b IR, a 0 olmak üzere, ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0 biçiminde yazılabilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik veya kısaca birinci dereceden eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayılarının kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi,bu kümenin bulunması işlemine de eşitsizliğin çözülmesi denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözüm kümesinin nasıl bulunacağını görelim. ax + b > 0 eşitsizliğini ele alalım. Diğer eşitsizliklerin çözümleri benzer yolla bulunabilir. Sadece, > yerine "<", " ", " " işaretleri gelir. 1. yol: ax + b > 0 ax > - b, şimdi burada her iki tarafı a ya böleceğiz. Ancak biraz dikkatli olmamız gerekiyor. Çünkü bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişmez, ancak negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişir. Bu nedenle eğer a > 0 ise x > - b a a < 0 ise x < - b a elde edilir. Birinci durumda çözüm kümesi Ç = - b a, aralığı, ikinci durumda ise Ç = -, - b a aralığıdır. x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. x + 4 > 0 x > - 4, x > - 4, x > -. Buna göre çözüm kümesi Ç = ( -, ) dır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

30 64 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER - 3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Bu eşitsizliğin bir önceki eşitsizlikten farkı, > işareti yerine gelmiş olmasıdır. Ancak bu değişiklik çözüm yönteminde önemli bir değişikliği gerektirmemektedir, sadece > işareti yerine işareti gelecektir. -3x x x -1, x -1-3, x 1 3. Buna göre çözüm kümesi, Ç = -, 1 3 dır. Burada her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yön değiştirdiğine dikkat ediniz.. yol: ax + b > 0 eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için ax + b ifadesinin, x in hangi değerleri için pozitif, hangi değeri için sıfır veya hangi değerleri için negatif olduğunu belirlememiz gerekmektedir. ax + b ifadesini a x + b a biçiminde yazabiliriz. ax + b = a x + b a eşitliğinde x < - b a ise x + b a < 0 olacağından a x + b a, dolayısıyla ax + b, a ile ters işaretli bir değer olur. Yani a pozitif ise ax + b negatif bir değer, a negatif ise pozitif bir değer olur. x = - b a ise ax + b = 0 olduğunu biliyoruz. Eğer x > - b a ise x + b a > 0 olacağından a x + b a, dolayısıyla ax + b, a ile aynı işaretli bir değer olur. Kısaca, a > 0 iken x < - b a ise ax + b negatif (yani a ile ters ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

31 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 65 işaretli), x > - b a ise ax + b pozitiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu tablo ile şöyle ifade edebiliriz. a > 0 ise x - b a ax + b Negatif bir değer 0 Pozitif bir değer Benzer şekilde, a < 0 iken x < - a b ise ax + b pozitif (yani a ile ters işaretli), x > - b ise ax + b a negatiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu da tabloda şu şekilde gösterebiliriz. a < 0 ise x - b a ax + b Pozitif bir değer 0 Negatif bir değer Dikkat ederseniz, a nın işareti ne olursa olsun, x değişkeni negatif ve yeteri kadar küçük değerlerden pozitif ve yeteri kadar büyük değerlere doğru değiştikçe, yani x değişkeni - dan + a doğru değiştikçe, ax + b ifadesi ancak bir kez işaret değiştirmektedir. Tablo ile çözümün basit olmasının nedeni de budur. Yukarıdaki iki tabloyu tek bir tablo ile kısaca şöyle ifade edebiliriz. x - b a ax + b a ile ters işaretli bir değer 0 a ile aynı işaretli bir değer Bu tabloya ax + b ifadesinin işaret tablosu denir. Birinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, ax + b nin işaret tablosu hazırlanır ve çözüm kümesi belirlenir. Şimdi yukarıda çözdüğümüz örnekleri bir de bu yöntemle çözelim. x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

32 66 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Önce x + 4 ifadesinin işaret tablosunu hazırlayalım. Bunun için işaretin değişim noktası olan x + 4 = 0 denkleminin kökünü bulmamız gerekiyor. Bu kökün - olduğu açıktır. a = > 0 olduğundan tablo aşağıdaki şekildedir. x - x + 4 _ 0 + Tabloya göre x > - için x + 4 >0 olduğundan çözüm kümesi Ç = (-, ) dır. -3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. - 3x ise - 3x dır. - 3x +1 = 0 denkleminin kökü a = - 3 < 0 olduğundan - 3x + 1 in işaret tablosu aşağıdaki şekildedir. x = 1 3 dir. x 1/3-3x _ x 1 3 için -3x olduğundan çözüm kümesi Ç = ( -, 1 3 ] dir. x - > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 3 - x? Eşitsizliğe bakar bakmaz aklımıza şu soru gelmektedir. Burada her iki tarafı (3 - x) ile çarpabilir miyiz? Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez, ancak negatif bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Burada 3 - x in işareti x e bağlıdır. x üzerine "x < 3 veya x > 3 olsun" gibi bir koşul bindirmeden her iki ta- ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

33 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 67 rafı 3 - x ile çarpamayız. Bu koşulları bindirdikten sonra koşullara göre çözüm kümelerini bulup bu çözüm kümelerinin birleşimlerini almamız gerekir. Ancak böyle bir soruya yukarıda verdiğimiz tablo yöntemi ile daha kolay cevap verebiliriz. Bunun için önce 1 i eşitsizliğin sol tarafına alıp toplama işlemini yapmamız gerekmektedir. x x > 1, x x -1 > 0, x x > 0, x x 3 - x > 0 Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, pay ve paydanın işaretlerine göre bölümün işareti incelenir. Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi pay ve paydanın işaretlerini inceleyelim. Bunun için öncelikle pay ve paydanın köklerini bulmamız gerekiyor. x - 5 = 0, x = 5 ; 3 - x = 0, x = 3 Buna göre tabloyu oluşturalım. x 5/ 3 x x _ _ x x _ 0 + _ Tablodan görüldüğü gibi, x < 5/ için x - 5 < 0 ve 3 - x > 0 olduğundan x x < 0 ; 5/ x < 3 için x ve 3 - x > 0 olduğundan x x 0 ; 5/ x < 3 için x ve 3 - x > 0 olduğundan x x < 0. x = 3 için payda sıfır olduğundan x - 5 tanımsızdır, bu durumu düşey çift 3 - x çizgi ile belirtiyoruz. Bu sonuçlara göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( 5/, 3) aralığıdır. Burada x = 5/ için kesir 0 olduğundan 5/ çözüm kümesine dahil değildir. 3x + 4 x - gösteriniz? 0 eşitsizli ğinin çözüm kümesinin (-, - 4/3] (, ) olduğunu? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

34 68 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Bir a sayısının mutlak değeri 7 den küçük veya eşit ise, -7 a 7 olmalıdır. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle, 3x x dir. Bu son eşitsizliğin çözüm kümesi aradığımız çözüm kümesidir. -7 3x - 8 7, x x 15, 1 3 x 5, buna göre çözüm kümesi Ç = [ 1/3, 5] kapalı aralığıdır. - 4x + 7 > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Bir gerçel sayının mutlak değeri 5 den büyük ise o sayı ya 5 den büyüktür veya 5 den küçüktür. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle, - 4x + 7 > 5-4x + 7 > 5 veya - 4x + 7 < -5 dir. Bu iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi aradığımız çözüm kümesi olacaktır. - 4x + 7 > 5-4x > - x < 0,5 Ç 1 = (-, 0,5), - 4x + 7 < -5-4x < -1 x > 3 Ç = (3, ),? buna göre, çözüm kümesi Ç = (-, 0,5) (3, ) dır. 1) x + x ) x - 4 > 3x eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz. Cevaplarınız ( -, - 1] ve ( -, 1) aralıkları olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

35 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER İkinci Dereceden Eşitsizlikler a, b, c IR ve a 0 olmak üzere, ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c < 0, ax + bx + c 0 biçiminde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsiz likler veya kısaca ikinci dereceden eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulmak için ax + bx + c üç terimlisinin işaretini incelememiz, yani bu ifadenin x in hangi değerleri için pozitif, x in hangi değerleri için negatif bir değer aldığını belirlememiz gerekir. Bu işaret ise, a nın işareti ile birlikte ax + bx + c = 0 denkleminin köklerine bağlıdır. i. > 0. Yani, ax + bx + c = 0 denkleminin x 1 < x olmak üzere x 1 ve x gibi farklı iki gerçel kökü olsun. Bu durumda ax + bx + c = a (x x 1 ) (x x ) yazılabileceğini biliyoruz. Şimdi x değişkeni - dan kadar tüm gerçel sayıları tarasın. Eğer x < x 1 ise x x 1 < 0 ve x - x < 0 olacağından (x x 1 ) (x x ) > 0 olur. Bu durumda a (x x 1 ) (x x ) ve dolayısıyla ax + bx + c üçterimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Eğer x 1 < x < x ise x x 1 > 0 ve x x < 0 olacağından (x x 1 ) (x x ) < 0 olur. Bu nedenle a (x x 1 ) (x x ) ve dolayısıyla ax + bx + c üç terimlisi a ile ters işaretli bir değer alır. Eğer x>x ise x x 1 ve x x çarpanlarının her ikisi de pozitif olacağından a (x x 1 ) (x x ) = ax + bx + c üç terimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumları bir tablo ile kısaca ifade edebiliriz. x x 1 x ax + bx + c a ile aynı işaretli a ile ters işaretli a ile aynı işaretli bir değer 0 bir değer 0 bir değer Böyle bir tabloya ax + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu denir. ii. = 0, yani a x + bx + c = 0 denkleminin tek kökü olsun. Bu durumda ax + bx + c üç terimlisinin, a x + b a biçiminde yazılabileceğini biliyoruz. Burada x + b a ifadesi x = - b a için sıfır, diğer durumlarda daima pozitif olduğundan a x + b a dolayısıyla a x + bx + c üç terimlisi daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekilde olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

36 70 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x - b a ax + bx + c a ile aynı işaretli a ile aynı işaretli bir değer 0 bir değer iii. < 0, yani ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü olmasın. Bu durumda ax + bx + c = a x + b a + 4ac - b 4a yazılabileceğini biliyoruz. Burada = b 4ac < 0 olduğundan 4ac b > 0 dır, dolayısıyla köşeli parantezin içi daima pozitiftir. Bu nedenle ax + bx + c daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekildedir. x ax + bx + c a ile aynı işaretli bir değer x 3x + 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için x 3x + üç terimlisinin işaret tablosunu hazırlamamız gerekmektedir. Bunun için de x 3x + = 0 denkleminin köklerini araştırmalıyız. = (-3) 4.1. = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve bu kökler x 1, = 3 ± 1, x 1 = 1, x = dir. Buna göre işaret tablosu şu şekildedir. x 1 x - 3x + + _ Tabloya göre x e 1 den küçük veya den büyük bir değer verirsek x 3x + üç terimlisi pozitif bir değer, x e 1 ile arasında bir değer verirsek bu üç terimli negatif bir değer, x = 1 ve x = için 0 değerini aldığından eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = (-, 1] [, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

37 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 71 dır. Burada eşitsizlik biçiminde olduğundan üç terimlinin sıfır olduğu 1 ve nin de çözüm kümesine dahil olduğuna dikkat ediniz. Üç terimlinin kökleri içermeyen herhangi bir açık aralıktaki işareti, bu aralıktan seçilen herhangi bir noktada üç terimlinin aldığı değerin işareti ile aynıdır. Örneğin x - 3x + üç terimlisinin (-, 1) aralığında işaretini belirleyelim. Bunun için bu aralıktan keyfi bir nokta seçelim, işlem yapması kolay olduğu için 0 noktasını seçelim, (siz isterseniz veya seçebilirsiniz). 0 için üç terimli + değerini almaktadır. Dolayısıyla (-, 1) aralığında x - 3x + üç terimlisinin işareti + dır. Bunun doğruluğu yukarıdaki tablodan da açıkça görülmektedir. - 9x + 6x 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. tür. Buna göre, a = - 9 < 0 oldu- = 0 olduğundan tek kök vardır ve bu kök ğundan, işaret tablosu aşağıdaki gibidir. 1 3 x 1/3-9x + 6x -1 _ 0 Tablodan görüldüğü gibi, - 9x + 6x 1 üçterimlisi sadece x = 1/3 noktasında sıfır olmakta, bunun dışındaki noktalarda ise daima negatif değer almaktadır. Buna göre eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = IR {1/3} = (-, 1/3) (1/3, ) dir. Bu cevabın doğruluğunu aşağıdaki eşitliğe bakarak kontrol ediniz. -9x + 6x - 1 = -9 x x 4x + 5 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. = 16 0 = - 4 < 0 olduğundan üçterimli daima a ile aynı işaretli bir değer alır. a = 1 > 0 olduğundan üç terimli daima pozitif değer alır, hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir: Ç =. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ