ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

Transkript

1 ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olmadığını gösteriniz. Çözüm: w=k u+k v olmalıdır. ya da (9 7)= k ( -)+k (6 ) =(k +6k, k +k, -k +k ) k +6k =9 k +k = -k +k =7 Sistem çözüldüğünde k =- ve k = sonuç olarak, w=-u+v. Benzer olarak, z=k u+k v olmalıdır. ya da ( - 8)= k ( -)+k (6 ) =(k +6k, k +k, -k +k ) k +6k = k +k =- -k +k =8

2 Sistem tutarsızdır. k ve k bulunamaz.. Verilen üç vektörün v =( ), v =( ), v =( ) vektör uzayını türetip türetemeyeceğini araştırınız. Çözüm: vektör uzayındaki her hangi bir b=(b b b ) vektörünün bu üç vektörün doğrusal kombinasyonu olarak, b=k v +k v +k v ifade edilip edilemeyeceği araştırılmalıdır. (b b b )=k ( )+k ( )+k ( ) ya da =(k +k +k, k +k, k +k +k ) k +k +k =b k +k =b k +k +k =b sistemin, Ax=b, tutarlı olabilmesi için katsayı matrisinin, A = tersi alınabilmelidir. Diğer bir ifade ile A olmalıdır. Fakat verilen sistem için A = olduğundan, v, v, v vektörleri vektör uzayını türetemez.

3 . Verilen üç vektörün v =( - ), v =(5 6 -), v =( ) doğrusal bağımlı olup olmadıklarını araştırınız. Çözüm: Doğrusal bağımsızlık için, c v + c v + c v = vektör denklemi sadece c = c = c = için sağlanmalıdır. c ( - )+c (5 6 -)+c ( )=( ) ya da c +5c +c = -c +6c +c = c -c +c = denklem sisteminin çözümü, c =(-/)t c =(-/)t c =t olduğundan vektörler doğrusal bağımlıdır. İkinci bir yöntem katsayı matrisinin determinatını hesaplamaktır. A ise vektörler doğrusal bağımsız, A = ise vektörler doğrusal bağımlıdır. 5 A = 6 =

4 .Teorem 6. için ispat yapınız. Çözüm: S kümesi V vektör uzayını türettiği için V uzayındaki her vektör S kümesindeki vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir: v = c v + c v + L + c v n n İkinci bir doğrusal kombinasyon, v = k v + k v + L + k v n n olsun. İkinci denklem ilk denklemden çıkartılarak, ( c k ) ( c k ) L ( c k ) v = v + v + + v n n n S kümesi baz olduğundan içerdiği vektörler doğrusal bağımsız olmalıdır: c k =, K, cn kn = Sonuç olarak v vektörü için her iki ifade eşit olmak zorundadır. 5. Üç vektörden v =( ), v =( 9 ), v =( ) oluşan bir {,, } S = v v v kümesinin vektör uzayı için bir baz tanımladığını gösteriniz. Çözüm: S kümesinin vektör uzayı için bir baz oluşturduğunu göstermek için ilk olarak, her hangi bir b=(b b b ) vektörünün bu üç vektörün doğrusal kombinasyonu olarak,

5 b=k v +k v +k v ifade edilip edilemeyeceği araştırılmalıdır (b b b )=k ( )+k ( 9 )+k ( ) =(k +k +k, k +9k +k, k +k ) ya da doğrusal denklem sistemi k +k +k =b k +9k +k =b k +k =b b vektörünün tüm seçimleri için bir çözüme sahip olmalıdır. İkinci olarak S kümesindeki vektörler doğrusal bağımsız olmalıdır. Diğer bir ifade ile k v +k v +k v = homojen denklem sisteminin tek çözümü sıfır çözüm, k = k = k = olmalıdır: k +k +k = k +9k +k = k +k = Her iki sistemde aynı katsayı matrisine, A = 9

6 sahiptir. Bu katsayı matrisinin tersi alınabiliyor (determinantı sıfırdan farklı) ise S kümesi vektör uzayı için bir baz tanımlar, (türetir ve bağımsızdır). Sonuç olarak A bulunduğundan S kümesi vektör uzayı için bir baz tanımlar. 6. Bir önceki örnekte {,, } S = v v v kümesinin vektör uzayı için bir baz tanımladığı gösterilmişti. a. v=(5-9) vektörünün S kümesine göre koordinat vektörünü bulunuz. b. S bazına göre koordinat vektörü ( v ) = (,, ) olan vektör S uzayındaki vektörü bulunuz. Çözüm: a. k v +k v +k v =v eşitliğini sağlayan skalerler bulunmalıdır. (5-9)=k ( )+k ( 9 )+k ( ) k +k +k =5 k +9k +k =- k +k =9 sonuç olarak, k =, k =-, k = ve ( v ) (,, ) S = b. Koordinat vektörü tanımı kullanılarak, v= (-)v +()v +()v = (-)( )+ ()( 9 )+ ()( )

7 v=( 7) bulunur. 7. Aşağıdaki homojen doğrusal denklem sisteminin x + x x + x = 5 x x + x x + x = 5 x + x x x = 5 x + x + x = 5 a. Çözümünü bulunuz. b. Çözüm uzayının boyutunu bulunuz. Çözüm: a.sistemin satır Echelon matrisi ve sistem olarak, x + x + x = 5 x 5 x + x = = Çözüm yapısı,

8 x = x x x x 5 = x 5 = Parametrik değişken olarak x =s ve x 5 =t alınarak, çözüm kümesi: x s t x s x = t x t x 5 Sıfır çözüm s=t= için elde edilir. b. Çözüm vektörü yapay (parametrik) değişkenlere göre ayrıştırılarak, x s t s t x s s x = t = + t = s + t x x t t 5 Çözüm uzayını türeten vektörler:

9 v =, v = Olup birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle çözüm uzayının bazını tanımlarlar. Çözüm uzayı iki boyutludur. 8. Aşağıdaki vektörlerin türettiği uzayın bazını bulunuz. v = ( ), v = ( ), = ( ),,,, ( ) v =,6,8,8,6., 5,,,6 v,5,5,,, Çözüm: Bu vektörlerin türettiği uzay aşağıdaki matrisin satır uzayıdır: Bu matrisin satır echelon matrisi, Sıfırdan farklı satır vektörleri:

10 w = ( ), w = ( ), w = ( ),,,,,,,,,,,, v, v, v, v vektörlerinin türettiği uzay için baz oluştururlar. Bu aynı zamanda satır uzayıdır. Not: Bulunan baz vektörlerin tümü orijinal matristeki sıra vektörleri ile aynı değildir. 9. A matrisinin sütun uzayının bazını bulunuz. A = 6 7 Çözüm: Matrisin satır echelon yapısı, R = Bu matrisin içerdiği birim vektörler, = c, c =, c = R matrisinin sütun uzayı için bir baz oluşturur. Teoreme göre A matrisinin karşılık gelen vektörleri de

11 = c, 5 c =, c 6 = 7 A matrisinin sütun uzayı için bir baz oluşturur.. A matrisinin sütun uzayının bazını bulunuz. A 5 6 = Çözüm: Matrisin satır echelon yapısı, R = R matrisinin ilk üç sütunu pivot değerini vermektedir. Bu üç sütun R matrisinin sütun uzayı için bir baz oluşturur. A matrisinin sütun uzayının bazı ise karşılık gelen sütun vektörleridir: = c, 5 c =, c 5 6 = 5 8

12 . A matrisinin satır uzayının bazını bulunuz. A 5 6 = Çözüm: A matrisinin transpoz matrisi, A T = İndirgenmiş satır echelon matris, 5 R = A T matrisi için sütun uzayının bazı: c =, 5 c =, c 6 6 =8 8 6

13 A matrisinin satır uzayı için baz vektörler: r = [ ], r = [ ] [ ] r = Aşağıdaki vektörler için; v = [ ], v = [ ], v = [ ] 5 6 v = [ ], v = [ ] a. Türetilen uzayın bazını bulunuz. b. Baz olmayan vektörleri, baz vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak bulunuz. Çözüm: a. Yukarıdaki vektörleri, sütun vektörleri olarak kullanan matris; v v v v v indirgenmiş satır echelon matrisi,

14 w w w w w 5 R = Sütun uzayı için baz vektörler {,, } matris için, {,, } v v v. w w w olup orijinal b. R matrisi kullanılarak, baz olmayan w ve w 5 vektörleri, baz vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak, w = w w v = v v w5 = w + w + w v5 = v + v + v yazılır. Not: w vektörü kendinden önceki baz vektörlere göre, (w, w ). w 5 vektörü de kendinden önceki baz vektörlere göre, (w, w, w ).. A matrisinin rankını ve boş uzayını bulunuz. 5 7 A =

15 Çözüm: A matrisinin satır echelon matrisi, R = Sıfırdan farklı iki satır olduğu için satır uzayı (aynı zamanda sütun uzayı) iki boyutludur ve r(a)=. Matrisin boş uzayını bulmak için Ax= homojen doğrusal denklem sisteminin çözüm uzayının boyutu bulunmalıdır. İndirgenmiş (echelon) matris kullanılarak denklem sistemi, x x 8x 7x + x = 5 6 x x x 6x + 5x = 5 6 Asal değişkenlere (x,x ) göre; x = x + 8x + 7x x 5 6 x = x + x + 6x 5x 5 6 Sistemin genel çözümü; x = r + 8s + 7t u x = r + s + 6t 5u x x x5 x6 = r = s = t = u

16 Çözüm uzayı için baz vektörler: x 8 7 x 6 5 x = r + s + t + u x x 5 x 6 Dört adet olduğu için n(a)=.. Ax=b doğrusal denklem sistemi, x x = 9 x ise b vektörünün A matrisinin sütun uzayında olduğunu gösteriniz ve b vektörünü A matrisinin sütun vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak ifade ediniz. Çözüm: Sistemin çözüm kümesi, x =, x =-, x = sistem tutarlı olduğu için b vektörü A matrisinin sütun uzayındadır. c -c +c =b

17 5. Teorem 6. yi ispatlayınız. Çözüm: x vektörü Ax=b sisteminin belirli bir çözümü x vektörü ise aynı sistemin her hangi bir çözümü olsun. Ax =b ve Ax=b İki denklem birbirinden çıkarılarak, Ax-Ax = ya da A(x-x )= Bu durumda x-x vektörü Ax= homojen denklem sisteminin bir çözümüdür. Bu sistemin çözüm uzayının bazı v,,v k vektörleri ise x-x vektörü baz vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir: x x = + c v + L + c v k k x = x + c v + L + c v İspat tamamlanır. k k 6. Aşağıdaki denklem sisteminin özel çözümünü ve genel çözümlerini bulunuz. x + x x + x = 5 x + 6x 5x x + x x = 5 6 5x + x + 5x = 5 6 x + 6x + 8x + x + 8x = Çözüm: Denklem sisteminin çözüm kümesi,

18 x =-r-s-t, x =r, x =-s, x =s, x 5 =t, x 6 =/ vektör yapısında çözüm kümesi, x r s t x r x s = = + r + s + t x s x 5 t x 6 Özel çözüm: x = Ax= için genel çözüm: x = r + s + t Ax=b ve Ax= sistemlerinin genel çözümleri aynı sayıda yapay değişkene sahiptir.