Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Transkript

1 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki döemde aaparaya eklemiyordu. Bileşik faiz hesabı ise, uzu vadeli(1 yılda çok) kredi işlemleride uygulaa bir metottur. Bu hesaplamada sermaye sabit kalmaz. Yai her döem souda hesaplaa faiz tutarı o döem başıda yatırıla aaparaya ekleerek bir soraki döeme ait aapara oluşturulur. Yai bir döemi baliğ değeri bir soraki döemi aaparasıdır. Böylelikle her döem elde edilecek faiz tutarı basit faizdeki gibi ayı olmayıp artarak gider. Çükü her döem elde edile faiz tutarıa, bir soraki döem de faiz işletilmektedir. Bileşik faiz uygulamasıyla, yapıla yatırım her türlü oluşabilecek riske karşı basit faize göre daha çok garati altıa alımış olur. Bileşik faiz hesaplaması belirli döemler(aylık, 2 aylık, 3 aylık, 4 aylık, 6 aylık, gibi) itibariyle yapılıyor ise bua kesikli bileşik faiz hesaplaması, çok küçük zama aralıklarıyla sürekli veya alık olarak hesaplaıyor ise bua da sürekli veya alık bileşik faiz hesaplaması deir. Bileşik faiz hesaplamalarıda kullaıla semboller basit faizdeki ile ayıdır. Temel formüller ise şöyledir: *Aaparaı kesikli bileşik faiz hesaplaması ile döem souda ulaşacağı toplam miktar(baliğ): A=a(1+t) *Aaparaı sürekli veya alık bileşik faiz hesaplaması ile döem souda ulaşacağı toplam miktar: A=a.e.t, e=2,718281

2 2 Bu kısımda çözülecek bazı sorularda matematikteki logaritma kavramıı bilimesi gerektiğide, kısaca logaritma işlemii ve öemli özelliklerii hatırlayalım: Örek 10: Yıllık %20 faiz oraı üzeride bakaya yatırıla 1000 TL i, 3. yıl souda ulaşacağı değeri basit ve bileşik faiz hesaplama yötemleriyle hesaplayarak karşılaştırıız. çözüm: t=0,20 a=1000 TL =3 yıl A=? Basit faiz hesaplama yötemi ile: A=a(1+t) 1000(1 3.0,20) A 1 A TL Bileşik faiz hesaplama yötemi ile: A a(1 t) A (1 0,20) 3 A TL A1 2 A TL fark, 3 yıl içeriside faizi kazadırdığı faizdir. Yai, aapara faizii dışıda faizi faizidir. Örek 11: Bir yatırımcı TL sii yıllık %30 faiz oraı üzeride 5 yıl içi bileşik faize yatırmıştır. Yatırımcıı vade souda elie geçecek para e kadardır? çözüm: a=28500 TL =5 yıl t=0,30 A=? A=a(1+t) A 28500(1 0,3) 5 =28500(1,3) 5 =105818,505 TL buluur.

3 3 Örek : Bir miktar para yıllık %25 faiz oraı ile bileşik faiz işlemi gördüğüde 2 yıl sora faizi ile birlikte 5625 TL ye ulaştığıa göre bakada işlem göre aapara kaç TL dir? çözüm: t=0,25 =2 yıl A=5625 TL a=? A=a(1+t) 5625 a(1 0,25) a (1,25) TL buluur. Örek 13: Yıllık %50 bileşik faiz vere bir bakaya yatırıla belli miktar para, kaç yıl sora 10 katıa ulaşır?(log 1,5=0,176) çözüm: t=0,50 A=10a =? A=a(1+t) 10a a(1 0,5) 10 (1,5) So bulduğumuz eşitlikte, üs olarak yer ala değerii bulmak içi eşitliği her iki tarafıa logaritma foksiyouu uygulayalım: log 10=log(1,5) log log(1,5) 1.0, ,7 yıl buluur. 0,176

4 4 Örek 14: Bakaya yatırıla TL, 4 yılda bileşik faiz uygulaarak TL ye ulaşıyor. Bua göre bakaı uyguladığı yıllık faiz oraı edir? çözüm: a=30000 TL =4 yıl A= TL t=? A=a(1+t) (1 t) 4 (1 t) t=2 t=1 %100 faiz oraı buluur. DÖNEMSEL FAİZLENDİRME: Döemsel faizledirme, bir devrede(1 yıl olabilir) sabit aapara içi birde fazla eşit aralıklarla faiz hesaplaması yapılması işlemidir. Bakalar tarafıda daha öceki yıllarda tasarruf mevduatlarıa uygulamakla birlikte güümüzde daha çok, özellikle orta ve küçük ölçekli işletmeleri desteklemek amacı ile yatırımcılara verile uzu vadeli, düşük faizli kredileri faizledirilmeside kullaılmaktadır. Vade uzu, faiz düşük olduğuda ve ayrıca işletme riskli görülüyorsa, bakalar verdikleri kredii faiz ödemelerii döemsel olarak almak isterler. Bakalar, kısa vadeli baka kredilerii döemsel olarak ödemeside müşteriyi desteklemek ve ödemeleri cazip hale getirmek içi efektif faiz oraıı kullamayı tercih etmektedirler. Ayrıca döemsel faizledirme, para ve sermaye piyasaları kapsamıda ola kurum ve kuruluşlarca da kullaılmaktadır. Öreği, tahvil(=devlet ve şirketler tarafıda çıkarıla faizli borç seedi) sahiplerie yapıla ödemeler de döemseldir. Faiz ödemelerii döemleri ve faiz oraları tahviller üzeride yazılıdır. Faiz ödemeleri belirli eşit aralıklarla yapılır. Tahvili vadesi dolduğuda tahvil sahibie aapara da ödeir. Tahvilleri faiz ödemeleri döemsel faizledirme işlemlerie güzel bir örektir. Acak tahvilleri çeşitleri buluduğuda ve farklı ödeme yötemleri olduğuda burada bu kısımlarıyla

5 5 ilgilemeyeceğiz. Biz sadece dersimizde kullaacağımız kısmıa ve özellikle de 1 yıl içide 3, 4, 6 ay gibi aralıklarla yapıla faiz ödemelerie değieceğiz. Not 2: Bu kısımda yapacağımız işlemler içi şu şekilde bir özet bilgi verebiliriz: Bileşik faiz hesabıyla ilgili problemlerde eğer faizledirme devresi, 1 yılda daha kısa bir süre veya süreleri içeriyorsa ve faiz oraı yıllık olarak verilmiş ise; t faiz oraı ve döem sayısı düzeleerek birbirie uygu hale getirilmelidir. Örek 15: Bir şirket TL sii her 3 ayda bir faizledirmek üzere yıllık %56 faiz oraı üzeride 2 yıllığıa bakaya yatırıyor. Bua göre 2 yılı souda şirketi elie geçecek toplam para miktarı e kadardır? çözüm: a=60000 TL A=? 3 ayda bir faizledirme olduğuda, 1 yıldaki döem sayısı: 4 tür. Para bakada 3 2 yıl kalacağı içi: Faizledirme döem sayısı: =2.4=8 olur. 1 yıldaki döem sayısı 4 olduğuda, yıllık faiz oraı 4 e bölüerek döemlik faiz oraı buluur. 0,56 Döemlik Faiz Oraı: t = % 14 4 A=a(1+t) A 60000(1 0,14) 8 = 60000(1,14) ,19 TL buluur.

6 6 Örek 16: Bir tasarruf sahibi 3 yıl vadeli mekul kıymet almıştır. Mekul kıymet üzeride faiz ödemelerii 6 ayda bir yapılacağı ve faiz oraıı %72 olduğu belirtilmiştir. Vade souda tasarruf sahibii aapara ile birlikte elie geçecek miktar TL olduğua göre tasarruf sahibii mekul kıymete bağladığı aaparası e kadardır? çözüm: =2.3=6 0,72 t= % 36 2 A= TL a=? A=a(1+t) a(1 0,36) a 6 (1,36) a 24654,21 TL buluur. Örek 17: TL yıllık % faiz oraı üzeride 5 yıl süre ile: a)1 er yıllık b)6 şar aylık c)3 er aylık d)1 er aylık e)1 er gülük f) alık döemler kullaılarak bileşik faize verilirse kaç TL ye ulaşır? çözüm: a=10000 TL, t=0,, =5 yıl, A=? t 0, a) A a(1 t) 5 5 A 10000(1 0,)

7 7 =10000(1,) ,42 TL 0, t 0,06 b) 2 A a(1 t) A 10000(1 0,06) (1,06) ,48 TL 0, t 0,03 c) 4 A a(1 t) A 10000(1 0,03) 20 =10000(1,03) ,11 TL d) 0, t 0, A a(1 t) A 10000(1 0,01) 60 =10000(1,01) ,97 TL 0, t 0,00033 e) 360 A a(1 t) A 10000(1 0,00033) 1800

8 8 =10000(1,00033) ,41 TL t 0, f) A ae 5 t A e 5.0, =10000.e 0, ,19 TL buluur. TEORİK FAİZ: Bu kouda söz sahibi ola bazı teorik yaklaşımcılar; faiz tutarı, ister gerçek ister pratik(ticarî) faiz metotlarıa göre hesaplamış olsu, her iki metodu da hatalı olduğuu ileri sürmektedirler. Olara göre t faiz oraıı katıldığı bir oratı yoluyla a kapitali içi süresie göre hesaplaa faiz tutarı ola F i devre souda ele geçmesi gerekir. Oysa, uygulamada faiz tutarı ola F, a kapitali ile birlikte sürei souda tahsil edilmektedir. Olara göre söz kousu hataı ortada kalkması içi, kapital sahibi sürei souda kapitalii geri alarak, faiz tutarıı alabilmek içi devre souu beklemelidir. Faiz tutarı kapitalle birlikte alııca kapitali kullaa kişi, olması gerekede daha fazla faiz ödemek zoruda kalmaktadır. Bu durumu daha alaşılır kılmak içi bir sayısal örek verelim: Bir kapital sahibi 1000 TL ola aaparasıı, %20 faiz oraı üzeride 1 yıllığıa faize vermiş olsu. Bu durumda: 1000 TL i 1 yıllık faiz tutarı: F= ,20=200 TL elde edilir. Kapital sahibi 1000 TL sii 1 yıllığıa bir defada faize vermek yerie 6 aylık sürelere göre iki defada da faize verebilirdi. Bu durumda:

9 , TL i ilk 6 aylık faiz tutarı: F= 100TL İlk 6 ay souda aaparaı ulaştığı değer: =1100 TL , TL i soraki 6 aylık faiz tutarı: F= 110TL 1 yıl souda elde edilecek faiz tutarları toplamı: =210 TL olur. Halbuki faiz tutarı sürei souda değil de, devre souda alımış olsaydı, 1000 TL i %20 de bir yıl süreyle faize verildiği durumda elde edilecek faiz tutarı ile 6 şar aylık süreleri değerledirerek 1 yıllığıa verilmesi durumuda elde edilecek faiz tutarı ayı olacak, farklı bir souç ortaya çıkmayacaktı.(süre bitimide faiz tutarı alıamayacağı içi aapara ayı biçimde kullaılmış olacağıda.) Faiz tutarıı devrei souda değil de, sürei souda alıması edeiyle ortaya çıka fark, pratik veya gerçek faizi hatasıı göstermektedir. Bu hata, süre souda hesaplaa faiz tutarıı devre soua kadar ola faizie eşittir. Hataı giderilmesi içi süresie göre hesaplaa faiz tutarıda F i devre soua kadar ola faizii düşülmesi veya F i devre souda ele geçmesi gerekir. Söz kousu hataya yol açmada hesaplaa faize teorik faiz deir. Teorik Faiz= F ' =F F.(1 ).t F ' =at at(1 )t F ' =at1 (1 )t Örek 18:30000 TL i %15 te 8 aylık teorik faiz tutarı kaç TL dir? çözüm: at. 1 (1 ).t F ' =

10 10 ' ,15 8 F 1 1.0,15 F ' =2850 TL buluur. PRATİK FAİZ İLE GERÇEK FAİZ ARASINDAKİ FARK: Devre yıl olarak seçilir ve süre gü birimide ifade edilirse, pratik faiz tutarı ve gerçek faiz tutarı arasıda bir fark olduğu görülür. Bu fark(d 1 ): Pratik Faiz Formülü: F 1 at 360 Gerçek Faiz Formülü: F 2 at 365 olarak alıırsa: d 1 = F1 F2 at 360 at 365 d 5at şeklidedir. Örek 19: TL i yıllık %5 te, 6 aylık pratik ve teorik faiz tutarları arasıdaki fark kaç TL dir? çözüm: d 2 =F F ' d F F F(1 )t 2 d 2 = F(1 )t

11 ,05 6 d 2 = (1 )0, 05=30 TL olarak buluur. Aapara(a) ve faiz oraı(t) sabit kalmak üzere, 1 yılda az ola her türlü süreye() karşılık buluacak e büyük fark 30 TL dir., 6 ayda(yarım devrede) uzaklaştıkça, d 2 küçülür. NOMİNAL FAİZ ORANI VE EFEKTİF FAİZ ORANI: Eflasyo, paraı alım gücüü düşmesi olarak taımlaabilir. Bakaları krediler içi belirli vadelere göre açıkladıkları faiz oraları omial faiz oralarıdır. Nomial faiz oraıa göre elde edilecek faiz tutarıı eflasyou etkisi dışıda kala kısmı da reel faiz oraıı belirler. Öreği, paramızı bakaya 1 yıl süre ile %40 faiz oraı üzeride mevduat hesabıa yatırmış olsak, paramızı %40 ı 1 yıl souda alacağımız omial faiz tutarıdır. Varsayalım ki, bir yılı souda yıllık eflasyo %40 seviyeside gerçekleşmiş olsu. Bu durumda reel kazacımız sıfır olur. Yai reel faiz oraı %0 dır. Bakalar faiz oralarıı yıllık olarak belirlemektedir. Öreği; 1 aylık mevduata %60 faiz oraı belirlemiş ise aylık mevduata verile gerçek faiz; %60:=%5 olur. 3 aylık mevduata %36 faiz oraı belirlemiş ise 3 aylık mevduata verile faiz, 1 yılda 4 tae 3 aylık döem olduğuda; %36:4=%9 olur. 6 aylık mevduata %48 faiz oraı belirlemiş ise 6 aylık mevduata verile faiz, 1 yılda 2 tae 6 aylık döem olduğuda; %48:2=%24

12 olur. Bu öreklerde kulladığımız yıllık %60, %36 ve %48 faiz oraları, yıllık omial faiz oralarıdır. Efektif faiz oraı(e.f.o) ise; aylık, 3 aylık, 4 aylık, 6 aylık döemlerle faize yatırıla paraı yıllık bileşik olarak getiri oraıdır. Öreği; aylık mevduata yıllık %84 omial faiz oraı belirlemiş ise efektif faiz oraı şu şekilde buluur: Aylık faiz getirisi: %84:=%7(döemlik faiz oraı) Her ay %7 faiz oraı ile aylık bileşik getirisi: (1 0, 07) 1 1, 25 %5 olur. Bazı bakalar, durumuu riskli gördükleri işletmeler kedileride kredi almak istedikleride, bu işletmeleri belli miktar paralarıı bakada bırakmalarıı (bir güvece olarak) zorulu kılarlar. Bu durumda, işletmei reel alamda kullaabileceği kredi miktarı, bakaı işletmeye açmış olduğu, görüe kredi miktarıda daha küçüktür. Bakaları krediler içi belirli vadelere göre açıkladıkları omial faiz oraları, işletmei eğer bakada alıkoulmuş bir miktar parası varsa düşebilecektir. Bu durumda E.F.O, omial faiz oraıda daha düşük olacaktır. Fakat bakaları cari hesap sözleşmelerie göre, her üç ayda bir gerçekleştirdikleri faizleri almaları ya da aa borca eklemeleri, bakaları yıllık efektif faiz oralarıı, açıklaa oraları üstüe çıkarmaktadır. Bakalarda E.F.O, faiz ödeme döemlerii 1 yılda kısa olması durumuda: Yıllık Döem Sayısı E.F.O = 1+Yıllık Nomial Faiz Ora 1 Yıllık Döem Sayısı veya Yıllık Döem Sayısı E.F.O = 1+Döemlik Faiz Oraı 1

13 13 formülleri ile hesaplaır. Örek 20: 6 aylık mevduatı faiz oraı %60 olduğua göre 6 ayda mevduata verile yıllık efektif faiz oraı edir? çözüm: Yıllık Döem Sayısı= 2 6 Bir yılda 2 tae 6 aylık döem olduğuda: 0,60 Döemlik Faiz Oraı= % 30 dur. Burada: 2 Yıllık Döem Sayısı E.F.O = 1+Döemlik Faiz Oraı 1 = (1+0,30) 2 1 = 0,69 O halde, 6 ayda mevduata verile yıllık efektif faiz oraı %69 olarak buluur. Örek 21: 3 aylık mevduatı faiz oraı %40 olduğua göre 3 ayda mevduata verile yıllık E.F.O e kadardır? çözüm: Yıllık Döem Sayısı= 4 3 Bir yılda 4 tae 3 aylık döem olduğuda:

14 14 0,40 Döemlik Faiz Oraı= % 10 dur. Burada: 4 Yıllık Döem Sayısı E.F.O = 1+Döemlik Faiz Oraı 1 =(1+0,10) 4 1 =0,4641 0, 46 %46 buluur.