SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras*

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras*"

Tülay Başer
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 SERBEST LİE EBİRLERİNDE ESAPLAMALAR * oputatio I Free Lie Algebras* Ebubekir TOPAK Mateatik Aabili Dalı Ahet TEMİZYÜREK Mateatik Aabili Dalı ÖZET Bu çalışada bir Serbest Lie cebirleride bilie bazı algoritalar içi bilgisayar prograı yazılıştır. F bir serbest Lie cebiri olduğuda F Lie cebirii () all bazıı, F i F, alt erkezi, F türetiliş ve F,, 1 2, polycetral k serilerii terileri içi serbest üreteç küelerii ve bazlarıı vere bilgisayar prograı yapılıştır. Aahtar Kelieler : all bazı, serbest Lie cebiri, Lydo kelieleri. ABSTRAT I this study, we have give a coputer progra which calculate the all bases of a free Lie algebra of F, free geerators sets ad bases for the ters of the lower cetral series F, the polycetral series F,, 1 2, k ad derived series () F of F. Key Words : all base, free Lie algebra, Lydo words. Giriş Bir serbest Lie cebirii all bazıı hesaplaya bir bilgisayar prograı Muthe.-Kaas ve Owre B tarafıda veriliştir.. Bu çalışada daha öce verile progralarda farklı olarak tekrarlaalı işleler yardıı ile verile bir F serbest Lie cebirii all bazıı bula bir progra yapılıştır. Ayrıca bizi prograıızda daha öce verilelerde farklı olararak bulua bir all keliesii F i hagi alt erkezi serisii teriii serbest üreteç küesie ait olduğuu gösterektedir. Buda başka F i policetral ve türetiliş serilerii terileri içi serbest üreteç küelerii ve bazlarıı da hesaplaaktadır. all bazıda bulua kelieleri hagi Lydo keliesie karşılık geldiğii tesbit eder. Taı 1 : X herhagi bir küe olsu.er bir pozitif tasayısı içi küesii aşağıdaki gibi taılayalı: X 1 X X bir * Yüksek Lisas Tezi-MSc. Thesis 54

2 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt: X ( X X ) 1 p p p1 buradaki işlei küelerdeki kartezye çarpıdır. M ( X ) X olsu. Bir all, M( X ) alt küesi aşağıdaki gibi taılaır. i) X ve X e ta sıralaa veriliş olsu. ii) M 2 ( X ) küesi x, y X ike x y olak üzere ( xy ) forudaki elealarda eydaa gelir. iii) M ( X ) 1,2,3,..., 1 içi taılaış ve uzuluğu koruya bir sıralaa veriliş olsu. Yai u, v M( X ) ve l( u) l( v) ise u v yazalı. Ayı uzuluktaki eleaları keyfi olarak yazalı. O zaa 1 k M ( X ) a( bc) a, b, c,( bc) M ( X ), i k 1, a b c, a bc k1 ve M ( X ) dersek o zaa olsu 1 M ( X ) 1 1 küesi F( X ) serbest Lie cebirii bir bazıdır. Bua,,..., küelerie all küeleri deir. Verile bir X all bazı deir ve 1 2 küesi üzeride farklı all küeleri taılaabilir. Kısaca X olak üzere all bazı şöyle ifade edilir. 1 X, X e ta sıralaa verilir. 2 ( xy) x, y X, x y a( bc) a, b, c, bc (... ), a b c, a bc Örek: X a, b, c 1 olsu X ve kabul edeli ki ab c olsu. 2 ab, ac, bc ve kabul edeli ki ab ac bc olsu. 55

3 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt: a( ab), b( ab), c( ab), a( ac), b( ac), c( ac), b( bc), c( bc) ve kabul edeli ki yazılış sırası gerçek sırası olsu. ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),( )( ),( )( ),( )( )} 4 { a a( ab), b a( ab), c a( ab), b b( ab), c b( ab), c c( ab), Taı 2: a a ac b a ac c a ac b b ac c b ac c c ac b b bc c b bc c c bc ab ac ab bc ac bc Eğer X solu bir küe ise i içideki eleaları sayısıı belirlidir. 1,2, içi L terileri tüevarıla aşağıdaki şekilde taılaır: L 1 = L, L 1 = [L, L] Böylece L i ideallerii azala bir serisi elde edilir. L = L 1 L 2 L L 1 Bu seriye L i alt erkezi serisi deir. L L, L L i 2 alt cebirie türetiliş ( koütatör) alt cebir deir. Eğer L k 1 {0} ve L k = {0} olacak şekilde bir k pozitif ta sayısı varsa L ye k yıcı derecede ilpotet Lie cebiri deir. Eğer L 2 ici derecede ilpotet yai [L,L] = 0 ise L ye abelye deir. Teore 3 (Sel ki, 1963): yi şöyle taılayalı. x a a a, a, l( x), x, l( a ) , F ( ) içi bir serbest üreteç küesidir. i taıı kullaılarak i açıklaası aşağıda daha iyi yapılıştır. { x x ( x (...( x x ))...) l( x), x (... ), 1 2 r1 r i 1 1 x x... x x, r 2, 1 2 r1 Eğer x b b ise x b r 1 2 r1 1 i elealarıı ürülerii oluşturarak F ( ) Lie cebiri içi serbest üreteçleri üzeride bir all bazı yapısıı kurarız. h, forudaki r } 56

4 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 eleaları bir kelie ise h i X-uzuluğuu X l( h) l( h) ile göstereceğiz. alıabilir. Şidi, i bir alt küesi olduğuda 1 a a a, a, a a aşağıdaki gibi sıradadır. h, g 2 h1, h2, g1, g2. Eğer X l( h) X l( g) ise h g h ve g ayı uzulukta olsu. O zaa h g h2 g2 h g dir. 1 1 Kabul edeli ki 1 1 ve -uzuluğuu da deki sıra deki ile ayı sırada, h h1h 2 ve g g1g2, yazılır. Kabul edeli ki veya h2 g2 ise,..., taılı ve sıralı olsu. Şuu yazarız; { x a ( a a ) l( x), a a a, a a a, a, a, a, a a (... ) } eşitsizliği işareti (yöü) ( ) i içideki sırasıa göredir. Şidi, 2 içi taılaış bezer bir sırada vereli. Artık bu sırayı gibi taılar ve j1 j i geişletiş olabiliriz. * Taı 4. ( Reuteauer, 1993): A ta sıralı ola bir alfabe olsu ve A alfabetik sıralı olsu. Bir Lydo keliesi, trivial sağ çarpaı olaya kelieleri tüüde daha küçük ola bir keliedir. Souç 5: Bir w keliesii Lydo keliesi olabilesi içi gerek ve yeter koşul priitif ve kojuge sııfıdaki e küçük kelie olasıdır. İspat: Lydo kelielerii küesi ola L, özel bir all küesidir. L, ilkel kelieleri kojuge sııflarıı tesilii bir küesidir. Şidi, eğer w bir Lydo keliesi w uv, u, v 1 ile w u bir kojugesi vu olsu. O zaa Lydo keliesii taııda w v olduğuu biliyoruz. v, w da daha kısa 57

5 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 olduğuda w, v i bir ö eki olaaz bu yüzde w vu olduğuu alarız. Bu edele her Lydo keliesi ou kojuge sııfıdaki eleaları e küçüğüdür. all ve Lydo Kelielerii bula Delpi7 Prograı : Aşağıda verdiğiiz Delphi7 prograı, rakı e fazla 20 ola bir serbest Lie cebirii all bazıı, e fazla 20 uzuluklu kelielerii bulaktadır. Bu progra daha öce yazıla progralarda farklı olarak alt erkezi serileri terilerii ve serbest üreteç küelerii de bulaktadır. Ayrıca all elealarıa karşılık gele Lydo kelielerii de bulaktadır. Prograda taıladığıız e öeli tip ALL_TYPE dır ve aşağıdaki gibi taılaıştır. ALL_TYPE = record idex:logword; // bu eleaı bu uzuluktaki idexi I1:logword; // birici bileşe idexi I2:logword; // ikici bileşe idexi L1:byte; // birici bileşe uzuluğu L2:byte; // ikici bileşe uzuluğu Aşağıdaki alt progra tü all elealarıı bularak All_all değişkeii içie ataa yapar procedure all_bul(); var i,k,j,p,t,sayac:logword; begi all_elea_sayisi:=0; EkraDegerleriiYeile; X_i_1_e_aktar(rakX); for k:=2 to ax_le do begi i:=1;j:=k-1; sayac:=0; while (i<=j) do begi for t:=1 to All_all[i,0].idex do begi for p:=1 to All_all[j,0].idex do begi if all_eleaii(all_all[i,t],all_all[j,p]) the begi ic(sayac); all_i(hbase,sayac,t,p,i,j); All_all[k,sayac]:=hbase; ic(all_elea_sayisi); i:=i+1; j:=j-1; 58

6 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 All_all[k,0].idex:=sayac; Aşağıdaki foksiyo verile bir keliei all küesie ait olup oladığıı test eder. fuctio all_eleaii(h1,h2:all_type) : boolea; begi all_eleaii:=false; if X_le(h1)>X_le(h2) the exit; if X_le(h1)=X_le(h2) the if (h1.idex<h2.idex) the begi all_eleaii:=true; exit ed else exit; // deekki küçük yai le(h1)<le(h2) if (X_le(h1) < h2.l1) the exit; if (X_le(h1) > h2.l1) the begi all_eleaii:=true; exit // deekki eşit ozaa idexlerie bakalı if h1.idex>=h2.i1 the all_eleaii:=true; // değilse zate false idi. ve çıkar. Aşağıdaki foksiyo bulua all eleaıı agi alt erkezi seriye ait olduğuu belirler. fuctio 1_le(h:ALL_TYPE):logword; // h i 1 uzuluğuu verir var h1,h2:all_type; uz:logword; begi uz:=0; if X_le(h)<1 the uz:=0 else if X_le(h)=1 the uz:=1 else begi // X_le(h)> 1 olur h1:=all_all[h.l1,h.i1]; if X_le(h1)>=1 the uz:=1_le(h1); h2:=all_all[h.l2,h.i2]; if X_le(h2)>=1 the uz:=uz+1_le(h2); 1_le:=uz; 59

7 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 Aşağıdaki altprogra elde edile all keliesie karşılık gele Lydo keliesii verir. procedure alltolydo(h:all_type; var elea:strig); // halltype ıdaki bir h eleaıı Lydo keliesie çevirir var h1,h2:all_type; i,j:iteger; gec:char; ielea:strig; begi if (h.l1=1)ad (h.l2=0) the elea:=x[h.i1]; if (h.l1=1)ad (h.l2=1) the elea:=elea+x[h.i1]+x[h.i2]; if (h.l1=1)ad (h.l2>1) the begi elea:=elea+x[h.i1]; h1:=all_all[h.l2,h.i2]; alltolydo(h1,elea); elea:=elea; if (h.l1>1) the begi elea:=elea; h1:=all_all[h.l1,h.i1]; alltolydo(h1,elea); elea:=elea; h2:=all_all[h.l2,h.i2]; alltolydo(h2,elea); elea:=elea; { all eleaı assosiyatif sapport halie geldi öregi: [a,[b,c]] eleaı abc gibi oldu şidi bu keliede Lydo keliesi bulalıyız. Buu devirli perütasyouda faydalaarak assosiyatif supportlarıda e küçüğüü yai priitif olaıı bulacağız } ielea:=elea; for j:=2 to legth(elea) do begi gec:=elea[1]; for i:=2 to legth(elea) do begi elea[i-1]:=elea[i] elea[legth(elea)]:=gec; if ielea>elea the ielea:=elea; elea:=ielea; 60

Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 Örek: Prograı derleyip çalıştırdığıızda üç üreteçli bir serbest Lie cebirii all eleaları, alterkezi serii üreteçleri ve Lydo kelieleri Şekil 1.

8 Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 Örek: Prograı derleyip çalıştırdığıızda üç üreteçli bir serbest Lie cebirii all eleaları, alterkezi serii üreteçleri ve Lydo kelieleri Şekil 1. de veriliştir. Şekil 1. Bir serbest Lie cebirii all eleaları. Kayaklar MUNTE.-KAAS AND OWREN B. oputatios i a free Lie algebra Philosophical Trasactios of the Royal Society A: Matheatical, Physical ad Egieerig Scieces Volue 357, Nuber 1754/April 15, 1999 REUTENAUER. Free Lie algebras. The laredo Press Oxford Uiversity Press, New York, Oxford Sciece Publicatios. SMEL KİN, A.L. Free polyilpotet groups Tras. Aer. Math. Soc. (Egl. tras.) (1966)

Benzer belgeler

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET