3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

Transkript

1 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım: Teorem 1.1. Her sonlu boyutlu reel Lie cebiri, bağlantılı bir Lie grubu G nin Lie cebirine izormorfiktir. Proof. Knapp ın kitabının ek bölümü B ye bakınız. 2 g nin Otomorfizma Grubu Reel bir Lie cebiri g nin tüm otomorfizmalarının grubunu, Aut R (g) ile gösteririz. Herhangi bir eleman L Aut R (g), g üzerindeki braket operasyonunu korur, dolayısıyla Aut R (g) yi, GL(g) nin kapalı bir altgrubu olarak görebiliriz. Aut R (g) nin doğal bir Lie altgrubu, G nin g üzerine eşlek temsilinin görüntüsüyle verilir. (G Lie cebirine eşlentiyle etki eder.) Bu temsili Ad : G GL(g) ile gösteririz. Ad(G) Aut R (g) olduğu barizdir. Eşlek temsil ad : g End(g) nin görüntüsü ad g, Aut R (g) nin bir Lie altcebiridir. Aut R (g) nin Lie cebiri ad g olan bağlantılı Lie altgrubunu Int(g) ile gösteririz. 1

2 Eğer G bağlantılı ise Int(g), Ad(G) ye eşittir. içeren) parçasıdır. Aksi halde, Ad(G) nin birim (elemanı Tanım 2.1. Bir Lie cebiri g nin üzerindeki Killing form B = B g simetrik çifte doğrusal B(x, y) = Trace((ad x) (ad y)) şeklinde tanımlanan formdur, burada ad x : g g, x in eşlek operatörüdür; ad x(y) = [x, y]. Sıradaki önermeyi ispatlaması kolay. Önerme 2.2. g nin herhangi bir otomorfizması A ve a, b g için B(Aa, Ab) = B(a, b) olur. Açıklama 2.3. Bu açıklama ileride daha açık gelecek: Eğer g yarıbasit ise ad g, g üzerindeki tüm türevlemelerin uzayına (bir Lie cebir) eşittir. (Knapp ın kitabı - Önerme ) 2.1 Çifte Doğrusal Formlar Üzerine Ek Bölüm B(, ), V üzerinde bir çifte doğrusal form olsun (V, karakteristiği 2 den farklı olan bir cisim k üzerine bir vektör uzayı). İkinci dereceden form q : V k, q(u) = B(u, u) ile verilir. Tersine eğer asağıdaki iki koşul sağlanıyorsa, bir fonksiyon q : V k ya iki dereceden form deriz: q(cu) = c 2 q(u) (her c k ve u V için); B(u, w) := 1 (q(u + w) q(u) q(w)) ifadesi iki değişkene göre de doğrusal. 2 Bu durumda, B ye q nun çifte doğrusal formu denir ve q ya da B nin ikinci dereceden formu denir. İkinci dereceden bir formun çifte doğrusal formunun simetrik olduğuna dikkat ediniz. Eğer B(u, w), n boyutlu bir vektör uzayı V nin üzerinde bir çifte doğrusal form ise, bir matris gösterimi vardır (bir baz seçildikten sonra); B(u, w) = [u] M[v], burada [u], [v]; u ve v yi gösteren sütun vektörleridir ve M Mat n. dereceden formdan geliyorsa simetriktir. Eğer B bir ikinci 2

3 İyi bilinir ki simetrik matrisler köşegenleştirilebilir, dolayısıyla M bir köşegen matrise benzerdir M diag(λ 1,..., λ n ), ve dahası, λ i ların hepsi reel sayıdır. Eğer det M 0 ise ikinci dereceden form q ya (ya da çifte doğrusal form B ye) dejenere değil denir. Diyelim ki q dejenere değil. Eğer k = C üzerinde çalışıyorsak, uygun bir baz seçerek (ya da uygun bir dual baz demek daha doğru), ikinci dereceden form q(x 1,..., x n ) = x x 2 n şeklinde yazılabilir. Eğer k = R üzerinde çalışıyorsak, uygun bir baz seçerek, ikinci dereceden form q(x 1,..., x n ) = x x 2 r x 2 r+1 x 2 n şeklinde yazılabilir. Bu ifadedeki + ların sayısı r ye, q nun (ya da B nin) imzası denir. Eğer sıfırdan farklı her u V için, q(u) < 0 oluyorsa ikinci dereceden form q ya negatif tanımlı ve q(u) > 0 oluyorsa pozitif tanımlı denir. 3 Kompleksleştirme Bir vektör uzayı V nin kompleksleştirilmesi basitçe tensör çarpımı W = V R C dir. Bu yeni uzayın doğal bir C-modül (ve dolayısıyla bir vektör uzayı) yapısı vardır ve boyutu V nin gerçel boyutuna eşittir. Bu durumda, W = V C yazarız. Diğer taraftan, eğer W bir C-vektör uzayıysa bariz bir R-vektör uzayı yapısı vardır. Bu durumda altta yatan R-vektör uzayını W R ile gösteririz. Diyelim ki V, W nun öyle bir R-altmodülü ki W = V iv, burada iv, V nin R-doğrusal dönüşüm olan i C ile çarpma altında görüntüsü. Bu durumda V ye W nun reel formu denir. Dikkat ediniz ki tek bir V olmak zorunda değildir. 3

4 Bu operasyonlar R veya C üzerine tanımlı Lie cebirlerine de genişletilebilir; ya da, daha genel cisimler k K ye. Biz sadece reel ve kompleks sayılar için olan versiyon ile ilgileniyoruz. Killing form cisim genişletmede yukarı giderken korunuyor ancak diğer yönde korunmuyor. Diğer bir deyişle, B g C = B g. Bunun sebebi ad x ad y operatörünün matrisinin hem g hem de g C için aynı olması. Sırada bu gözlemin direkt bir sonucunu veriyoruz. g 0, (kompleks) Lie cebiri g nin bir reel formu olsun. Eğer B g0 dejenere değilse B g C de dejenere değildir. (Dolayısıyla g 0 yarıbasittir ifadesi g yarıbasittir ifadesini ima eder.) Ancak, aksi doğru olmak zorunda değildir. 4 Kompleks Bir Lie Cebirinin Kompakt Formu g kompleks bir Lie cebiri olsun. g nin bir reel formu g 0 a kompakt form denir eğer Killing formunun g den g 0 a kısıtlanışı negatif tanımlıysa. Önsav 4.1. G 0, (reel) Lie cebiri g 0 olan kompakt bir Lie grubu olsun. O zaman g 0 ın, Ad(G 0 )-sabit bir iç çarpımı (, ) vardır. Bu iç çarpıma göre ad X (X g 0 ) şeklindeki elemanlar g 0 a ters simetrik operatörler olarak etki eder ve Ad(G 0 ) grubunun elemanları g 0 a dik dönüşümler ile etki eder. Proof. Bu Knapp ın kitabındaki önerme 4.24 tür. İspat, tıkız bir gerçel Lie grubu sonlu boyutlu vektör uzayı V ye etki ettiğinde, V üzerinde G 0 -sabit Hermitsel bir iç çarpım olmasına dayanmaktadır. Teorem 4.2. Eğer g 0, kompleks Lie cebiri g nin kompakt formuysa o zaman Lie cebiri g 0 olan reel Lie grubu G 0 kompakttır. Öte taraftan, eğer G 0, Lie cebiri g 0 olan kompakt bir Lie grubuysa, g 0 kompleksleştirilmesinin kompakt formudur. Proof. (Bu teoremin daha iyi bir hali için Fulton-Harris önerme 26.4 e bakınız.) 4

5 G 0, Aut(g 0 ) daki birim elemanın olduğu parça olsun. Bu g nin eşlek grubunun kapalı bir altgrubudur ve reel vektör uzayı g 0 a birebir (faithful) etki eder. Bu etki çifte doğrusal form B g0 ı korur. Eğer B g0 negatif tanımlıysa, o zaman G 0, özel ortogonal grup SO(B g0 ) ın altgrubudur, dolayısıyla kompakttır. Öte taraftan, G 0, Lie cebiri g 0 olan kompakt bir Lie grubu olsun. Yardımcı önerme 4.1 den biliyoruz ki g 0 üzerinde Ad(G 0 )-sabit bir iç çarpım vardır ve dahası, ad X her X g 0 için ters simetriktir. Dolayısıyla ad X ın özdeğerleri tamamen sanaldır. Bu da (ad X) 2 nin özdeğerlerinin hep 0 olduğunu söyler. Bu yüzden, g 0 yarıbasit ise, (burada küçük bir detay) Killing formu dejenere değildir, görürüz ki B(ad X ad X) = Trace((ad X) 2 ) < 0 olur. 5 Kompakt Formların Varlığı g 0 yarıbasit bir Lie cebiri olsun (Cartan ın kriterinden bu Killing formun dejenere olmamasına denktir.) Bu varsayım, g 0 ın eşlenik devriğini alma altında kapalı olması için gereklidir. Bu yüzden, g 0, ters simetrik elemanları k 0 ve simetrik elemanları p 0 ın direkt toplamı k 0 p 0 a eşittir. k 0 ip 0 olarak tanımlanan reel vektör uzayı u 0, braket altında kapalıdır, dolayısıyla kompleksleştirilme g := g C 0 nin bir Lie altcebiridir. k ve p, sırasıyla k 0 ve p 0 ın kompleksleştirilmesi olsun. O zaman g = k p = u C 0 olur. Burada Killing formun u 0 a kısıtlanması negatif tanımlıdır ve bu yüzden, u 0 aradığımız kompakt formdur. 5.1 Üstelsıfır Lie Cebirleri Eğer bir Lie cebiri L için asağıdaki azalan merkezi seri biterse, L ye üstelsıfır denir. Daha açık bir ifadeyle, 5

6 L 0 := L L 1 := [L, L 0 ] L 2 := [L, L 1 ]. L i+1 := [L, L i ]. şeklinde verilen bir seride eğer bir i > 0 için L i = 0 ise L ye üstelsıfır denir. Açıklama 5.1. Bu açıklama daha sonra belirginleşecektir: eğer L üstelsıfır ise çözülebilirdir. Tersi yanlıştır: n n mutlak üst üçgensel matrisler olsun. O zaman n n üstelsıfırdır (azalan merkezi seri, seviyeyle belirlenir.) Ancak, n n çözülebilir değildir. Bir Lie cebiri L için, L nin merkezini Z(L) ile gösteririz: L nin diğer tüm elemanlar ile değişmeli (braket 0) olan elemanlarının kümesi. Üstelsıfırlık asağıdaki özelliklere sahiptir: Önerme 5.2. L bir Lie cebiri olsun. 1. Eğer L üstelsıfır ise bütün altcebirleri ve homomorfik görüntüleri de üstelsıfırdır. 2. Eğer L/Z(L) üstelsıfırsa, L de üstelsıfırdır. 3. Eğer L üstelsıfır ve L 0 ise Z(L) 0 olur. Proof. Kolay. ad x(y) = [x, y] olduğundan, L nin üstelsıfır olması ancak ve ancak her x 1,..., x n, y L için ad x 1 (ad x 2 ( (ad x n (y)) ) = 0 olacak şekilde bir n var olduğunda olması şaşırtıcı değildir. 6

7 Bir x L için ad x operatörünün bir kuvveti sıfır operatörü olduğunda x e eşlek-üstelsıfır denir. Engel in meşhur teoremi der ki Teorem 5.3. L üstelsıfırdır ancak ve ancak her x L için x L eşlek-üstelsıfırsa. Üstelsıfırlığı eşlek-üstelsıfırlılıktan ayırmak önemlidir. Bir x L üstelsıfır olmadan eşleküstelsıfır olabilir. Örnek olarak, gl(v ) deki birim operatörü eşlek-üstelsıfırdır ancak üstelsıfır değildir. Ancak tersi doğrudur ve ispatı şirindir: Önsav 5.4. Eğer x gl(v ) üstelsıfırsa, o zaman eşlek-üstelsıfırdır. Proof. ad x i sol ve sağ ötelemelerin farkı olarak yazın; λ x ve ρ x, burada λ x (y) = xy ve ρ x (y) = yx. O zaman λ x ve ρ x in birbiriyle değişmeli olduğunu görmek ve ikisinin de üstelsıfır olduğunu görmek kolaydır. Değişmeli üstelsıfır elemanların farkı da her zaman üstelsıfırdır. 5.2 Cartan Altcebirleri Bir altcebir k g nin normalleyeni tanım olarak N g (k) := {g g : [g, k] k} olur. Jacobi özdeşliğini kullanarak görebiliriz ki N g (k), g nin bir altcebiridir. Aslında, N g (k), g nin k yi ideal olarak içeren en büyük altcebiridir. Eğer k kendi normalleyenine eşitse ve üstelsıfırsa, o zaman k ye Cartan altcebiri denir. 6 Kompleks Bir Lie Cebirinin Ayrık Formu g bir reel Lie cebiri ve B de onun Killing formu olsun. Tekrar g nin yarıbasit olduğunu ve dolayısıyla B nin dejenere olmadığını varsayacağız. g üzerindeki bir kıvrılma (involution) θ ya, Cartan kıvrılması denir eğer B θ (X, Y ) := B(X, θy ) 7

8 bir pozitif tanımlı çifte doğrusal form ise. Açıklama 6.1. Eğer iki kıvrılma θ 1 ve θ 2 nin arasındaki fark sadece bir içsel otomorfizmaysa denk sayılırlar. Her reel yarıbasit Lie cebirinin bir Cartan kıvrılması vardır, ve herhangi ikisi birbirine denktir. Açıklama 6.2. g, reel yarıbasit Lie cebiri g 0 ın kompleksleştirilmesi olsun, o zaman g üzerindeki kompleks eşlenik alma g üzerinde bir kıvrılmadır. Bu bir Cartan kıvrılmasıdır ancak ve ancak g 0 kompakt bir Lie grubunun Lie cebiriyse. θ, g üzerinde bir Cartan kıvrılması olsun ve k ve p, sırasıyla +1 ve -1 özuzaylarını göstersin. Bu yüzden, g = k p olur. θ bir Lie cebir otomorfizması olduğundan, özdeğerler çarpımsaldır. Bu da [k, k] k, [k, p] p, ve [p, p] k demektir. Bu yüzden k bir Lie altcebirdir. Kompleks yarıbasit bir Lie cebiri g nin gerçel formu g 0 a ayrık denir eğer g 0 ın öyle bir Cartan altcebiri h 0 g 0 varsa öyle ki h 0 ın g 0 üzerindeki etkisi sadece reel özdeğerlere sahip olsun. Cartan göstermiştir ki herhangi bir kompleks yarıbasit Lie grubunun ayrık reel tek bir formu vardır. Bu argümanların bazılarını sıradaki iki derste göreceğiz. References [1] Humphreys, J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory [2] Knapp, A. Lie Groups Beyond an introduction 8