Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar
|
|
- Derya Dinçer
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x,y,z) sıralı üçlüsüne, f(x,y,z) ile gösterilen tek bir gerçel sayı karşı getiren bir kuraldır. Örneğin, Dünyanın bir noktasındaki T sıcaklığı, bu noktanın x boylamına, y enlemine ve t zamanına bağlıdır, bu nedenle T = f(x,y,t) yazabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 1/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 2/ 174 : f(x,y,z) = ln(z y)+xysinz fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. : f(x,y,z) = ln(z y)+xysinz fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: f(x,y,z) nin ifadesi z y > 0 olduğunda tanımlıdır, bu nedenle f nin tanım kümesi D = {(x,y,z) R 3 z > y} olur. Bu küme z = y düzleminin yukarısında kalan tüm noktalardan oluşan yarı uzaydır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 3/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 3/ 174
2 R n Limit ve Süreklilik Herhangi bir sayıda değişkene sahip fonksiyonlar da düşünülebilir. n değişkenli bir fonksiyon (x 1,x 2,...,x n ) sıralı n li gerçel sayılarına bir z = f(x 1,x 2,...,x n ) gerçel sayısı karşı getiren bir kuraldır. Böyle sıralı n lileri R n ile gösteririz. x ve y nin her ikisi birden sıfıra yaklaşırken (dolayısıyla (x,y) noktası başlangıç noktasına yaklaşırken) f(x,y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 ve g(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 fonksiyonlarının davranışlarını karşılaştıralım. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 4/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 5/ 174 Limit ve Süreklilik Limit ve Süreklilik Tablo 1: sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Tablo 2: g(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 6/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 7/ 174
3 Limit ve Süreklilik Limit ve Süreklilik Tablo 1 ve Tablo 2, başlangıç noktasına yakın (x,y) noktaları için f(x,y) ve g(x,y) nin değerlerini üçüncü basamağa kadar doğru göstermektedir. (Her iki fonksiyonunda başlangıç noktalarında tanımsız olduğuna dikkat ediniz.) (x,y), (0,0) a yaklaşırken f(x,y) değeri 1 e yaklaşıyor ancak g(x, y) değerleri hiçbir sayıya yaklaşmıyor gibi görünmektedir. Sayısal verilere dayalı olarak yapılan bu tahminler doğrudur, bu nedenle sin(x 2 +y 2 ) lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 = 1 ve diye yazarız. lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x 2 +y 2 yoktur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 8/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 9/ 174 Limit ve Süreklilik Limit ve Süreklilik Tanım: Eğer (x, y) noktasını (a, b) noktasına yeterince yakın ancak (a,b) den farklı alarak, f(x,y) nin değerini L ye istediğimiz kadar yakın yapabiliyorsak lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) yazarız ve (x,y), (a,b) ye yaklaşırken f(x,y) nin limiti L dir deriz. İki değişkenli fonksiyonlar için durum basit değildir, çünkü (x, y) yi (a,b) ye ((x,y), f nin tanım kümesinde kalmak koşuluyla) sonsuz değişik yönden yaklaştırabiliriz. Bu yönler boyunca f(x,y) fonksiyonunun farklı limitleri olacak şekilde iki farklı yaklaşım yolu bulabiliyorsak lim (x,y) (a,b) f(x,y) yoktur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 10/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 11/ 174
4 Limit ve Süreklilik Limit ve Süreklilik Eğer, L 1 L 2 olmak üzere, Eğer, L 1 L 2 olmak üzere, C 1 yolu boyunca (x,y) (a,b) iken f(x,y) L 1 ve C 1 yolu boyunca (x,y) (a,b) iken f(x,y) L 1 ve C 2 yolu boyunca (x,y) (a,b) iken f(x,y) L 2 ise yoktur. lim f(x,y) (x,y) (a,b) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 12/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 12/ 174 : lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 limitinin olmadığını gösteriniz. +y2 : lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 limitinin olmadığını gösteriniz. +y2 Çözüm: f(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 olsun. Önce (0,0) a x ekseni boyunca yaklaşalım. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 174
5 : lim (x,y) (0,0) Çözüm: f(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 olsun. x 2 y 2 x 2 limitinin olmadığını gösteriniz. +y2 Önce (0,0) a x ekseni boyunca yaklaşalım.bu durumda, y = 0, her x 0 için f(x,0) : lim (x,y) (0,0) Çözüm: f(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 olsun. x 2 y 2 x 2 limitinin olmadığını gösteriniz. +y2 Önce (0,0) a x ekseni boyunca yaklaşalım.bu durumda, y = 0, her x 0 için f(x,0) = x 2 /x 2 = 1 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ : lim (x,y) (0,0) Çözüm: f(x,y) = x2 y 2 x 2 +y 2 olsun. x 2 y 2 x 2 limitinin olmadığını gösteriniz. +y2 Önce (0,0) a x ekseni boyunca yaklaşalım.bu durumda, y = 0, her x 0 için f(x,0) = x 2 /x 2 = 1 olur. Şimdi de, x = 0 yazarak, y ekseni boyunca yaklaşalım. Bu durumda, x = 0, her y 0 için f(0,y) = y 2 /y 2 = 1 olur, dolayısıyla, y ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 dir. Dolayısıyla, x ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 14/ 174
6 ... Şimdi de, x = 0 yazarak, y ekseni boyunca yaklaşalım. Bu durumda, x = 0, her y 0 için f(0,y) = y 2 /y 2 = 1 olur, dolayısıyla, y ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 dir. : f(x,y) = xy x 2 +y 2 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) f iki farklı doğru boyunca iki farklı limite sahip olduğundan, bu limit yoktur. (Bu sonuç, bu bölümün başlangıcında, sayısal verilere dayanarak yapılan tahmini doğrular.) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 14/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 15/ 174 : f(x,y) = xy x 2 +y 2 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Eğer, y = 0 ise, f(x,0) = 0/x 2 = 0 dır. : f(x,y) = xy x 2 +y 2 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Eğer, y = 0 ise, f(x,0) = 0/x 2 = 0 dır.bu nedenle x ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 15/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 15/ 174
7 Eğer, x = 0 ise, f(0,y) = 0/y 2 = 0 dır. Eğer, x = 0 ise, f(0,y) = 0/y 2 = 0 dır.bu nedenle, y ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 16/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 16/ (0,0) a başka bir doğru, örneğin y = x boyunca yaklaşalım. Eğer, x = 0 ise, f(0,y) = 0/y 2 = 0 dır.bu nedenle, y ekseni boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 0 olur. Her ne kadar eksenler boyunca aynı limiti elde etmiş olsak da, bu sonuç, limitin 0 olduğunu göstermez. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 16/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ 174
8 (0,0) a başka bir doğru, örneğin y = x boyunca yaklaşalım. (0,0) a başka bir doğru, örneğin y = x boyunca yaklaşalım. Her x 0 için dir. f(x,x) = x2 x 2 +x 2 = 1 2 Her x 0 için dir. f(x,x) = x2 x 2 +x 2 = 1 2 Bu nedenle x = y doğrusu boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 2 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ (0,0) a başka bir doğru, örneğin y = x boyunca yaklaşalım. Her x 0 için dir. f(x,x) = x2 x 2 +x 2 = 1 2 : Eğer f(x,y) = xy2 x 2 +y 4 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Bu nedenle x = y doğrusu boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 2 olur. Farklı yollar boyunca farklı limitler elde ettiğimiz için, verilen limit yoktur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 174
9 : Eğer f(x,y) = xy2 x 2 +y 4 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Bir önceki örneği anımsayarak, başlangıç noktasından geçen ve düşey olmayan herhangi bir doğru boyunca (x, y) (0, 0) olduğunu düşünerek zaman kazanalım. Bu durumda, m eğim olmak üzere y = mx ve : Eğer f(x,y) = xy2 x 2 +y 4 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Bir önceki örneği anımsayarak, başlangıç noktasından geçen ve düşey olmayan herhangi bir doğru boyunca (x, y) (0, 0) olduğunu düşünerek zaman kazanalım. Bu durumda, m eğim olmak üzere y = mx ve f(x,y) = f(x,mx) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 174 : Eğer f(x,y) = xy2 x 2 +y 4 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Bir önceki örneği anımsayarak, başlangıç noktasından geçen ve düşey olmayan herhangi bir doğru boyunca (x, y) (0, 0) olduğunu düşünerek zaman kazanalım. Bu durumda, m eğim olmak üzere y = mx ve f(x,y) = f(x,mx) = x(mx)2 x 2 +(mx) 4 = m2 x 3 x 2 +m 4 x 4 = m2 x 1+m 4 x 2 olur. : Eğer f(x,y) = xy2 x 2 +y 4 ise lim f(x,y) var mıdır? (x,y) (0,0) Çözüm: Bir önceki örneği anımsayarak, başlangıç noktasından geçen ve düşey olmayan herhangi bir doğru boyunca (x, y) (0, 0) olduğunu düşünerek zaman kazanalım. Bu durumda, m eğim olmak üzere y = mx ve f(x,y) = f(x,mx) = x(mx)2 x 2 +(mx) 4 = m2 x 3 x 2 +m 4 x 4 = m2 x 1+m 4 x 2 olur. Dolayısıyla, y = mx doğrusu boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 174
10 Dolayısıyla, düşey olmayan her doğru boyunca f(x, y) aynı limite sahiptir. Dolayısıyla, düşey olmayan her doğru boyunca f(x, y) aynı limite sahiptir. Ancak bu, verilen limitin 0 olduğunu göstermez, çünkü x = y 2 parabolü boyunca da (x,y) (0,0) dır ve bu durumda, f(x,y) = f(y 2,y) = y 2 y 2 (y 2 ) 2 +y 4 = y4 2y 4 = 1 2 olduğundan, x = y 2 parabolü boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 2 bulunur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 19/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 19/ Dolayısıyla, düşey olmayan her doğru boyunca f(x, y) aynı limite sahiptir. Ancak bu, verilen limitin 0 olduğunu göstermez, çünkü x = y 2 parabolü boyunca da (x,y) (0,0) dır ve bu durumda, f(x,y) = f(y 2,y) = y 2 y 2 (y 2 ) 2 +y 4 = y4 2y 4 = 1 2 olduğundan, x = y 2 parabolü boyunca (x,y) (0,0) iken f(x,y) 1 2 bulunur. Çok değişkenli fonksiyonlarda da limit özelliklerinin kullanılması limitin hesaplanmasını oldukça kolaylaştırır. Tek değişkenli fonksiyonlardaki limit kuralları, iki değişkenli fonksiyonlara genişletilebilir. Toplamın limiti limitlerin toplamıdır, çarpımın limiti limitlerin çarpımıdır vb. Farklı eğriler farklı limit değerleri verdiğinden, aranan limit yoktur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 19/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 20/ 174
11 Özel olarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur. Özel olarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur. lim x = a (x,y) (a,b) lim x = a (x,y) (a,b) lim y = b (x,y) (a,b) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 174 Özel olarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur. Özel olarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur. lim x = a (x,y) (a,b) lim y = b (x,y) (a,b) lim c = c (x,y) (a,b) lim x = a (x,y) (a,b) lim y = b (x,y) (a,b) lim c = c (x,y) (a,b) Ayrıca sıkıştırma Teoremi de geçerlidir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 174
12 : Eğer varsa, lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 limitini bulunuz. +y2 : Eğer varsa, lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 limitini bulunuz. +y2 Çözüm: Bir önceki örnekteki gibi, başlangıç noktasından geçen her doğru boyunca limitin 0 olduğunu gösterebiliriz. Bu, verilen limitin 0 olduğunu kanıtlamaz, ancak y = x 2 ve x = y 2 parabolleri boyunca limitler de 0 bulununca, limitin var ve 0 a eşit olduğunu düşünmeye başlarız. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 22/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 22/ Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 = Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 3x 2 y = x 2 +y 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 174
13 Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 3x 2 y 3x 2 y = = x 2 +y 2 x 2 +y 2 Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 3x 2 y 3x 2 y = = x 2 +y 2 x 2 +y 2 y 2 0 olduğundan x 2 +y 2 x 2 dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 3x 2 y 3x 2 y = = x 2 +y 2 x 2 +y 2 y 2 0 olduğundan x 2 +y 2 x 2 dir.bu nedenle x 2 x 2 +y 2 1 Bunu kanıtlamak için f(x,y) den 0 a olan uzaklığa bakarız: 3x 2 y x 2 +y 2 0 3x 2 y 3x 2 y = = x 2 +y 2 x 2 +y 2 y 2 0 olduğundan x 2 +y 2 x 2 dir.bu nedenle x 2 x 2 +y 2 1 olur. olur.buradan bulunur. 0 3x2 y x 2 +y 2 3 y Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 174
14 Şimdi de sıkıştırma teoremini kullanalım. lim 0 = 0 (x,y) (0,0) Şimdi de sıkıştırma teoremini kullanalım. lim 0 = 0 ve lim 3 y = 0 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) olduğu için, Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 24/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 24/ Süreklilik Şimdi de sıkıştırma teoremini kullanalım. lim 0 = 0 ve lim 3 y = 0 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) Tanım: Eğer iki değişkenli bir f fonksiyonu için lim f(x,y) = f(a,b) (x,y) (a,b) olduğu için, sonucuna varılır. lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 +y 2 = 0 ise fonksiyon (a, b) de süreklidir denir. Eğer f, D nin her (a,b) noktasında sürekli ise f, D de süreklidir deriz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 24/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 25/ 174
15 Süreklilik Süreklilik Sürekliliğin sezgisel anlamı, (x, y) deki küçük bir değişimin, f(x, y) de küçük bir değişime yol açmasıdır. Bu da, sürekli fonksiyonun grafiği olan yüzeyde delik veya yırtılma olmaması anlamına gelir. Limitin özelliklerini kullanarak, sürekli fonksiyonların toplam, fark, çarpım ve bölümlerinin tanım kümelerinde sürekli olduklarını görebilirsiniz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 26/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 27/ 174 : lim (x,y) (1,2) x2 y 3 x 3 y 2 +3x+2y limitini hesaplayınız. : lim (x,y) (1,2) x2 y 3 x 3 y 2 +3x+2y limitini hesaplayınız. Çözüm: f(x,y) = x 2 y 3 x 3 y 2 +3x+2y polinom olduğundan her yerde süreklidir, bu nedenle limitini doğrudan yerine koyma ile bulabiliriz: lim (x,y) (1,2) x2 y 3 x 3 y 2 +3x+2y = = 11 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 28/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 28/ 174
16 : f(x,y) = x2 y 2 x 2 fonksiyonu nerede süreklidir? +y2 : f(x,y) = x2 y 2 x 2 fonksiyonu nerede süreklidir? +y2 Çözüm: f fonksiyonu (0, 0) da tanımlı olmadığından orada süreksizdir. f, bir rasyonel fonksiyon olduğundan, tanım kümesinde süreklidir, bu da kümesidir. D = {(x,y) (x,y) (0,0)} Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 29/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 29/ 174 : g(x,y) = x 2 y 2 x 2 +y2, (x,y) (0,0) 0, (x,y) = (0,0) olsun. Burada g, (0, 0) da tanımlı ancak yinede süreksizdir, çünkü yoktur. lim g(x,y) (x,y) (0,0) : f(x,y) = 3x 2 y x 2 +y2, (x,y) (0,0) 0, (x,y) = (0,0) olsun. (x, y) (0, 0) için, bir rasyonel fonksiyona eşit olduğundan f sürekli olduğunu biliyoruz. Ayrıca lim f(x,y) = (x,y) (0,0) olduğunu biliyoruz. lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 +y 2 = 0 = f(0,0) Bu nedenle, f, (0,0) da sürekli, dolayısıyla R 2 de süreklidir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 30/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 31/ 174
17 Süreklilik Bir değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, iki sürekli fonksiyonu birleştirerek üçüncü bir fonksiyon elde etmenin bir yolu da bileşke işlemidir. Gerçekten de, f iki değişkenli sürekli bir fonksiyon ve g, f nin görüntü kümesinde tanımlı bir değişkenli sürekli bir fonksiyon ise, h(x,y) = g(f(x,y)) ile tanımlı h = g f bileşke fonksiyonu da sürekli bir fonksiyondur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 32/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 33/ 174 : h(x, y) = arctan(y/x) fonksiyonu nerede süreklidir? : h(x, y) = arctan(y/x) fonksiyonu nerede süreklidir? Çözüm: f(x, y) = y/x fonksiyonu, bir rasyonel fonksiyon olduğundan, x = 0 doğrusu dışında süreklidir. g(t) = arctan t fonksiyonu her yerde süreklidir. Bu nedenle, g(f(x,y)) = arctan(y/x) = h(x,y) bileşke fonksiyonu, x = 0 dışında süreklidir. Şekil 1 deki grafik, h nin garfiğinin y ekseninin üstünde yırtıldığını göstermektedir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 34/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 34/ 174
18 ... Limit ve Süreklilik İki değişkenli fonksiyonlar için öğrendiğimiz her şey üç ve daha fazla değişkenli fonksiyonlara genişletilebilir. lim f(x,y,z) = L (x,y) (a,b,c) gösterimi, (x, y, z) noktası, f nin tanım kümesi içinde herhangi bir yol boyunca, (a,b,c) noktasına yaklaşırken, f(x,y,z) nin L sayısına yaklaşması anlamına gelir. Şekil 1: arctan(y/x) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 35/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 36/ 174 Limit ve Süreklilik Kısmi Türevler Eğer ise f, (a,b,c) de süreklidir. Örneğin lim f(x,y,z) = f(a,b,c) (x,y) (a,b,c) f(x,y,z) = 1 x 2 +y 2 +z 2 1 fonksiyonu, üç değişkenli bir rasyonel fonksiyondur ve bu nedenle de, x 2 +y 2 +z 2 = 1 dışında R 3 ün her noktasında süreklidir. Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise kısmi türevleri f x ve f y aşağıda tanımlanan fonksiyonlardır: f x (x,y) = lim h 0 f(x+h,y) f(x,y) h f y (x,y) = lim h 0 f(x,y +h) f(x,y) h Diğer bir deyişle, başlangıç noktası merkezli ve 1 yarıçaplı küre üzerinde süreksizdir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 37/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 38/ 174
19 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Kısmi türevler için gösterimler z = f(x,y) ise f x (x,y) = f x = f x = z f(x,y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x,y) = f y = f y = z f(x,y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f yazarız. z = f(x, y) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulma kuralı 1. f x i bulmak için y değişkenini sabit olarak düşünüp f(x,y) nin x e göre türevini alınız. 2. f y yi bulmak için x değişkenini sabit olarak düşünüp f(x,y) nin y e göre türevini alınız. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 39/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 40/ 174 : f(x,y) = x 3 +x 2 y 3 2y 2 ise f x (2,1) ve f y (2,1) değerlerini bulunuz. : f(x,y) = x 3 +x 2 y 3 2y 2 ise f x (2,1) ve f y (2,1) değerlerini bulunuz. Çözüm : y yi sabit tutup x e göre türev alarak f x (x,y) = 3x 2 +2xy 3 elde ederiz ve f x (2,1) = = 16 buluruz. x i sabit tutup y ye göre türev alarak f y (x,y) = 3x 2 y 2 4y f y (2,1) = = 8 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 41/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 41/ 174
20 ( ) x : f(x,y) = sin ise, f 1+y x ve f y yi hesaplayınız. ( ) x : f(x,y) = sin ise, f 1+y x ve f y yi hesaplayınız. Çözüm : Bir değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralını kullanarak ( ) ( ) ( ) f x x = cos x x 1 = cos 1+y x 1+y 1+y 1+y ( ) f x y = cos 1+y elde ederiz. ( ) ( ) x x = cos y 1+y 1+y x (1+y) 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 42/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 42/ 174 : Eğer z, x ve y nin x 3 +y 3 +z 3 +6xyz = 1 denklemi ile kapalı olarak tanımlanmış bir fonksiyonu ise z/ x ve z/ y yi bulunuz. : Eğer z, x ve y nin x 3 +y 3 +z 3 +6xyz = 1 denklemi ile kapalı olarak tanımlanmış bir fonksiyonu ise z/ x ve z/ y yi bulunuz. Çözüm : z/ x i bulmak için y ye bir sabit gibi davranmaya özen göstererek eşitliğin her iki yanının x e göre kapalı türevini alırız. 3x 2 +3z 2 z +6yz +6xy z x x = 0 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 43/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 43/ 174
21 ... Türevlenebilirlik 3x 2 +3z 2 z +6yz +6xy z x x = 0 Bu denklemi z/ x için çözerek z x = x2 +2yz z 2 +2xy Teorem : Eğer f x ve f y kısmi türevleri (a,b) yakınında var ve (a,b) de sürekli ise, f, (a,b) de türevlenebilirdir. elde ederiz. Benzer şekilde y ye göre kapalı türev almak sonucunu verir. z y = y2 +2xz z 2 +2xy Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 44/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 45/ 174 İkiden Çok Değişkenli Fonksiyonlar Kısmi türevler üç ya da daha çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanabilir. : f(x,y,z) = e xy lnz ise f x, f y ve f z yi bulunuz. Örneğin f, x, y ve z nin üç değişkenli bir fonksiyonu ise x e göre kısmi türevi y, z yi sabit tutup f(x,y,z) nin x e göre türevi alınarak bulunur. Eğer w = f(x,y,z) ise f x = w/ x, y ve z sabit tutulduğunda w nin x e göre değişme hızı olarak yorumlanabilir. Ancak, f nin grafiği dört-boyutlu uzayda olduğundan onu geometrik olarak yorumlayamayız. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 46/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 47/ 174
22 : f(x,y,z) = e xy lnz ise f x, f y ve f z yi bulunuz. Çözüm : y ve z yi sabit tutup x e göre türev alarak f x = ye xy lnz : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. (a) u = x 2 1 +x x2 n (b) u = sin(x 1 +2x nx n ) bulunur. Benzer şekilde bulunur. f y = xe xy lnz ve f z = exy z Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 47/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 174 : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. (a) u = x 2 1 +x x2 n (b) u = sin(x 1 +2x nx n ) Çözüm : (a) Bir değişikenli fonksiyonlar için Zincir kuralını kullanarak u x 1 = 1 2 2x x 2 1 = 1 +x x2 n x 1 x 2 1 +x x2 n (a) u = x 2 1 +x x2 n (b) u = sin(x 1 +2x nx n ) Çözüm : (a) Bir değişikenli fonksiyonlar için Zincir kuralını kullanarak u 1 = x 1 2 2x x 2 1 = 1 +x x2 n u 1 = x 2 2 2x x 2 2 = 1 +x x2 n x 1 x 2 1 +x x2 n x 2 x 2 1 +x x2 n Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 174
23 ... (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, u x 1 = cos(x 1 +2x nx n ) 1 elde ederiz. u x i = x i, i = 1,2,...,n x 2 1 +x x2 n Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 49/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 50/ 174 (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, u x 1 = cos(x 1 +2x nx n ) 1 u x 2 = cos(x 1 +2x nx n ) 2 (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, u x 1 = cos(x 1 +2x nx n ) 1 u x 2 = cos(x 1 +2x nx n ) 2 u x i = icos(x 1 +2x nx n ), i = 1,2,...,n buluruz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 50/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 50/ 174
24 Yüksek Basamaktan Türevler Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise f x ve f y de iki değişkenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (f x ) x, (f x ) y, (f y ) x, (f y ) y kısmi türevlerini düşünebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi türevleri olarak adlandırırız. Yüksek Basamaktan Türevler Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise f x ve f y de iki değişkenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (f x ) x, (f x ) y, (f y ) x, (f y ) y kısmi türevlerini düşünebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi türevleri olarak adlandırırız.eğer z = f(x, y) ise aşağıdaki gösterimleri kullanırız: (f x ) x = f xx = f 11 = x (f x ) y = f xy = f 12 = y (f y ) x = f yx = f 21 = x (f y ) y = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x x 2 = 2 z x 2 ( ) f = 2 f x y x = 2 z y x ( ) f = 2 f y x y = 2 z x y ( ) f = 2 f x y 2 = 2 z y 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 51/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 51/ 174 Yüksek Basamaktan Türevler : f(x,y) = x 3 +x 2 y 3 2y 2 fonksiyonunun ikinci türevlerini bulunuz. Dolayısıyla, f xy (diğer yazılışıyla 2 f ) önce x e sonra y ye görev y x türev almak anlamına gelir, diğer yandan f yx hesaplanırken bu sıra tersinedir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 52/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 53/ 174
25 Yüksek Basamaktan Türevler : f(x,y) = x 3 +x 2 y 3 2y 2 fonksiyonunun ikinci türevlerini bulunuz. Çözüm : f x (x,y) = 3x 2 +2xy 3 olduğunu bulmuştuk. Bu nedenle f y (x,y) = 3x 2 y 2 4y Clairaut Teoremi : f, (a,b) noktasını içeren bir D dairesinde tanımlansın. Eğer f xy ve f yx fonksiyonlarının her ikisi de D de sürekli ise, f xy = f yx olur. f xx = x (3x2 +2xy 3 ) = 6x+2y 3 f xy = y (3x2 +2xy 3 ) = 6xy 2 f yx = x (3x2 y 2 4y) = 6xy 2 f yy = y (3x2 y 2 4y) = 6x 2 y 4 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 53/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 54/ 174 Yüksek Basamaktan Türevler Clairaut Teoremi : f, (a,b) noktasını içeren bir D dairesinde tanımlansın. Eğer f xy ve f yx fonksiyonlarının her ikisi de D de sürekli ise, f xy = f yx olur. : Eğer f(x,y,z) = sin(3x+yz) ise, f xxyz yi bulunuz. 3 üncü ya da daha yüksek basamaktan kısmi türevler benzer şekilde tanımlanabilir. Eğer bu fonksiyonlar sürekli ise Clairaut teoreminden f xyy = f yxy = f yyx olduğu gösterilebilir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 54/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 174
26 : Eğer f(x,y,z) = sin(3x+yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x = 3cos(3x+yz) : Eğer f(x,y,z) = sin(3x+yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x = 3cos(3x+yz) f xx = 9sin(3x+yz) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 174 : Eğer f(x,y,z) = sin(3x+yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x = 3cos(3x+yz) f xx = 9sin(3x+yz) f xxy = 9zcos(3x+yz) : Eğer f(x,y,z) = sin(3x+yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x = 3cos(3x+yz) f xx = 9sin(3x+yz) f xxy = 9zcos(3x+yz) f xxyz = 9cos(3x+yz)+9yzsin(3x+yz) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 174
27 Teğet Düzlem : z = 2x 2 +y 2 eliptik paraboloidinin (1,1,3) noktasındaki teğet düzlemini bulunuz. f nin kısmi türevleri sürekli olsun. z = f(x,y) yüzeyine P(x 0,y 0,z 0 ) noktasında teğet düzleminin denklemi z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) dır. Çözüm : f(x,y) = 2x 2 +y 2 olsun. Bu durumda, f x (x,y) = 4x f y (x,y) = 2y f x (1,1) = 4 f y (1,1) = 2 olur. Bu nedenle (1, 1, 3) teki teğet düzleminin denklemi z 3 = 4(x 1)+2(y 1) ya da olarak verilir. z = 4x+2y 3 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 56/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 57/ (1,1,3) e odaklandıkça z = 2x 2 +y 2 eliptik paraboloidinin teğet düzlemiyle daha çok çakışıyor göründüğüne dikkat ediniz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 58/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 59/ 174
28 Doğrusal Yaklaştırımlar Doğrusal Yaklaştırımlar te f(x,y) = 2x 2 +y 2 fonksiyonunun (1,1,3) noktasındaki teğet düzleminin denkleminin z = 4x+2y 3 olduğunu bulduk. Bu nedenle şekillerdeki görsel kanıtlar nedeniyle, iki değişkenli L(x,y) = 4x+2y 3 doğrusal fonksiyonu, (x, y) noktası (1, 1) e yakınken f(x, y) fonksiyonuna iyi bir yaklaştırımdır. L fonksiyonu f nin (1, 1) deki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır ve f(x,y) 4x+2y 3 yaklaştırımı f ye (1, 1) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. Örneğin, (1.1, 0.95) noktasında doğrusal yaklaştırım verir, bu da f(1.1,0.95) 4(1,1)+2(0.95) 3 = 3.3 f(1.1,0.95) = 2(1,1) 2 +(0,95) 2 = gerçek değerine oldukça yakındır. Ancak (2,3) gibi (1,1) den uzak bir nokta alırsak, artık iyi bir yaklaştırım elde etmeyiz. Gerçekten de f(2,3) = 17 olmasına karşın L(2,3) = 11 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 60/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 61/ 174 Doğrusal Yaklaştırımlar Genel olarak iki değişkenli bir f fonksiyonunun (a,b,f(a,b)) noktasındaki teğet düzlemi denkleminin z = f(a,b)+f x (a,b)(x a)+f y (a,b)(y b) olduğunu biliyoruz. Grafiği bu teğet düzlemi olan doğrusal fonksiyon L(x,y) = f(a,b)+f x (a,b)(x a)+f y (a,b)(y b) (1) f nin (a, b) deki doğrusallaştırması ve f(x,y) f(a,b)+f x (a,b)(x a)+f y (a,b)(y b) (2) yaklaştırımı, f ye (a, b) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. : f(x,y) = xe xy nin (1,0) da doğrusallaştırmasını bulunuz. Sonra bunu kullanarak f(1.1, 0.1) i yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm :Kısmi türevler Doğrusallaştırma f x (x,y) = e xy +xye xy f y (x,y) = x 2 e xy f x (1,0) = 1 f y (1,0) = 1 L(x,y) = f(1,0)+f x (1,0)(x 1)+f y (1,0)(y 0) = 1+1(x 1)+1 y = x+y Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 62/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 63/ 174
29 ... Diferansiyeller ve karşıgelen doğrusal yaklaştırım dir, bu nedenle xe xy x+y f(1.1, 0.1) = 1 olur. Bu sonucu, f(1.1, 0.1) in gerçek değeri olan 1.1e ile karşılaştırınız. İki değişkenli türevlenebilen bir z = f(x,y) fonksiyonu için dx ve dy diferansiyellerini bağımsız değişkenler olarak tanımlarız; dolayısıyla onlara herhangi bir değer verilebilir. Buradan, aynı zamanda toplam diferansiyel olarak da adlandırılan, dz diferansiyeli dz = f x (x,y)dx+f y (x,y)dy = z z dx+ dy (3) x y olarak tanımlanır. Bazen dz yerine df gösterimi de kullanılır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 64/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 65/ 174 Diferansiyeller Eğer, Denklem (3) da dx = x = x a ve dy = y = y b alınırsa, z nin diferansiyeli dz = f x (a,b)(x a)+f y (a,b)(y b) olur. Böylece, diferansiyel gösterimi ile (2) teki doğrusal yaklaştırım olarak yazılabilir. f(x,y) f(a,b)+dz : Çözüm (a) Tanım (3) dan (a) z = f(x,y) = x 2 +3xy y 2 ise dz diferansiyelini bulunuz. (b) x, 2 den 2.05 e ve y, 3 ten 2.96 ya değiştiğinde z ile dz yi karşılaştırınız. dz = z z dx+ dy = (2x+3y)dx+(3x 2y)dy x y bulunur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 66/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 67/ 174
30 ... Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar (b) x = 2, dx = x = 0.05, y = 3 ve dy = y = 0.04 yazarak dz = [2(2)+3(3)]0.05+[3(2) 2(3)]( 0.04) = 0.65 buluruz. z nin değişimi z = f(2.05,2.96) f(2,3) = [(2.05) 2 +3(2.05)(2.96) (2.96) 2 ] [2 2 +3(2)(3) 3 2 ] = Doğrusal yaklaştırım, türevlenebilme ve diferansiyeller ikiden çok değişkenli fonksiyonlar için benzer şekilde tanımlanabilir. Türevlenebilir üç değişkenli bir fonksiyon için doğrusal yaklaştırım f(x,y,z) f(a,b,c)+f x (a,b,c)(x a)+f y (a,b,c)(y b)+f z (a,b,c)(z c) olur ve L(x, y, z) doğrusallaştırılması bu ifadenin sağ yanıdır. dur. z dz olduğuna ancak dz nin daha kolay hesaplandığına dikkat ediniz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 68/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 69/ 174 Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Zincir Kuralı (1. Durum) Eğer w = f(x,y,z) ise w nin değişimi Teorem 1: dir. w = f(x+ x,y + y,z + z) f(x,y,z) x = g(t) ve y = h(t) nin her ikisi de türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere z = f(x,y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu olsun. dw diferansiyeli, bağımsız değişkenler dx, dy ve dz diferansiyelleri cinsinden dw = w w w dx+ dy + x y z dz olarak tanımlanır. O zaman z de t nin türevlenebilen bir fonksiyonudur ve olur. dz dt = f dx x dt + f dy y dt Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 70/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 71/ 174
31 : x = sin2t ve y = cost olmak üzere z = x 2 y +3xy 4 ise t = 0 iken dz yi bulunuz. dt Çözüm Zincir Kuralı dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy +3y 4 )(2cos2t)+(x 2 +12xy 3 )( sint) verir. x ve y için t cinsinden ifadeleri yerine yazmak gerekmez. t = 0 iken x = sin0 = 0 ve y = cos0 = 1 olduğunu kolayca görürüz. Bu nedenle olur. dz = (0+3)(2cos0)+(0+0)( sin0) = 6 dt t=0 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 72/ 174 : Bir mol ideal gazın P (kilopascal olarak) basıncı, V (litre olarak) hacmi ve T (Kelvin olarak) sıcaklığı P V = 8.31T eşitliğini sağlar. Sıcaklık 300K ve 0.1 K sn hızla artıyor ve hacmi 100L ve hızla artıyor ise basıncın değişim hızını bulunuz. 0.2 L sn Çözüm Eğer t saniye olarak geçen zamanı temsil ederse, belirtilen anda T = 300, dt dt = 0.1, V = 100, dv dt = 0.2 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 73/ Zincir Kuralı (2. Durum) Teorem 2: olduğundan, Zincir Kuralı dp dt P = 8.31 T V = P dt T dt + P dv V dt = 8.31 V dt dt 8.31T dv V 2 dt = (300) (0.1) (0.2) = sonucunu verir. Basınç yaklaşık 0.042kP a/sn hızla azalmaktadır. z = f(x,y),x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu, x = g(s,t) ve y = h(s,t), s ve t nin türevlenebilen fonksiyonları olsun. Bu durumda olur. z s z t = z x x s + z y y s = z x x t + z y y t Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 74/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 75/ 174
32 Zincir Kuralı (2. Durum) Kolay hatırlayabilmek için aşağıdaki gibi bir diyagram çizilebilir. : x = st 2 ve y = s 2 t olmak üzere z = e x siny ise, z s yi bulunuz. Çözüm Zincir Kuralı nın 2. Durumu nu kullanarak ve z t z s z t = z x x s + z y y s = (ex siny)(t 2 )+(e x cosy)(2st) = t 2 e st2 sin(s 2 t)+2ste st2 cos(s 2 t) = z x x t + z y y t = (ex siny)(2st)+(e x cosy)(s 2 ) = 2ste st2 sin(s 2 t)+s 2 e st2 cos(s 2 t) elde ederiz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 76/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 77/ 174 Zincir Kuralı (2. Durum) Kapalı Türev Alma Zincir Kuralı nın 2. Durumu üç tür değişken içerir: s ve t bağımsız değişkenlerdir. x ve y ara değişkenler olarak adlandırılır ve z bağımlı değişkendir. Teorem 2 de her bir ara değişken için bir terim olduğuna ve her terimin bir değişkenli Zincir Kuralı na benzediğine dikkat ediniz. F(x,y) = 0 şeklinde bir denklemin y yi x in türevlenebilen kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlandığını, başka bir deyişle, y = f(x) ve f nin tanım kümesindeki her x için, F(x,f(x)) = 0 olduğunu varsayalım. Eğer F türevlenebiliyorsa, Zincir Kuralı nın 1. Durumu nu kullanarak F(x,y) = 0 eşitliğinde her iki yanın x e göre türevini alabiliriz. Hem x hem de y, x in fonksiyonu olduğundan F dx x dx + F dy y dx = 0 elde ederiz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 78/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 79/ 174
33 Kapalı Türev Alma Eğer F y F dx x dx + F dy y dx = 0 dx dy 0 ise = 1 olduğundan dx dx i çözerek F dy dx = x F y = F x F y (4) : x 3 +y 3 = 6xy ise y nü bulunuz. Çözüm Verilen eşitlik F(x,y) = x 3 +y 3 6xy = 0 olarak yazılabilir, bu nedenle Denklem 4 dy dx = F x F y = 3x2 6y 3y 2 6x = x2 2y y 2 2x elde ederiz. olduğunu verir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 80/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 81/ 174 Kapalı Türev Alma Şimdi de F(x,y,f(x,y)) = 0 şeklindeki bir eşitliğin z yi z = f(x, y) olarak kapalı biçimde tanımlandığını varsayalım. Bu, f nin tanım kümesindeki her (x,y) için F(x,y,f(x,y)) = 0 olması anlamına gelir. Eğer F ve f türevlenebiliyorsa : Eğer x 3 +y 3 +z 3 +6xyz = 1 ise z x ve z y yi bulunuz. Çözüm F(x,y,z) = x 3 +y 3 +z 3 +6xyz 1 olsun. Denklem 5 den z x = F x F z = 3x2 +6yz 3z 2 +6xy = x2 +2yz z 2 +2xy z x = F x F z z y = F y F z. (5) elde ederiz. z y = F y F z = 3y2 +6xz 3z 2 +6xy = y2 +2xz z 2 +2xy Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 82/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 83/ 174
34 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Yönlü Türevler z = f(x,y) ise f x ve f y kısmi türevlerinin Bu bölümde, iki ya da daha çok değişkenli bir fonksiyonun, herhangi bir yöndeki değişim hızını bulmamızı sağlayacak yönlü türev olarak adlandırılan bir türev tipini tanıtacağız. f x (x 0,y 0 ) = lim h 0 f(x 0 +h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) h f y (x 0,y 0 ) = lim h 0 f(x 0,y 0 +h) f(x 0,y 0 ) h olarak tanımlandığını ve z nin, x ve y yönündeki, başka bir deyişle i ve j birim vektörlerinin yönündeki değişim hızlarını temsil ettiklerini anımsayalım. (6) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 84/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 85/ 174 Yönlü Türevler Yönlü Türevler Şimdi z nin herhangi bir u = a,b birim vektörü yönündeki değişim hızını bulmak istediğimizi düşünelim. Tanımı denklem 6 ile karşılaştırarak, u = i = 1,0 ise D i f = f x Tanım: f nin (x 0,y 0 ) noktasında bir u = a,b birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer varsa) limitidir. D u f(x 0,y 0 ) = lim h 0 f(x 0 +ha,y 0 +hb) f(x 0,y 0 ) h (7) ve olduğunu görürüz. u = j = 0,1 ise D j f = f y Diğer bir deyişle f nin x ve y ye göre kısmi türeveri, yönlü türevin özel durumlarıdır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 86/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 87/ 174
35 Yönlü Türevler Gradyan Vektörü Teoremdeki denklem 8 den yönlü türevin, iki vektörün iç çarpımı olarak yazılabildiğine dikkat ediniz: Teorem: Eğer f, x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu ise f nin her u = a,b yönünde yönlü türevi vardır ve olur. D u f(x,y) = f x (x,y) a+f y (x,y) b (8) D u f(x,y) = f x (x,y) a+f y (x,y) b = = f x (x,y),f y (x,y) a,b f x (x,y),f y (x,y) u (9) Bu iç çarpımdaki ilk vektör yalnızca yönlü türevleri hesaplamada değil, pek çok diğer durumda da ortaya çıkar. Bu nedenle ona özel bir ad verir (f nin gradyanı) ve özel bir sembol (grad f ya da del f olarak okunan f) ile gösteririz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 88/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 89/ 174 Gradyan Vektörü Tanım: f, x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonu ise, f nin gradyanı f ile gösterilen f(x,y) = vektör değerli fonksiyondur. f x (x,y),f y (x,y) = f x i+ f y j (10) : Eğer f(x,y) = sinx+e xy ise, f(x,y) = f x,f y = cosx+ye xy,xe xy ve f(0,1) = 2,0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 90/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 91/ 174
36 Gradyan Vektörü : f(x,y) = x 2 y 3 4y fonksiyonunun (2, 1) noktasında v = 2 i + 5 j vektörü yönündeki yönlü türevini bulunuz. Gradyan vektörü için bu gösterim ile yönlü türev için 9 ifadesini olarak yazabiliriz. D u f(x,y) = f(x,y) u (11) Bu eşitlik, u yönündeki yönlü türevin, gradyan vektörünün u üzerine izdüşümü olduğunu belirtir. Çözüm: Önce (2, 1) noktasındaki gradyanı hesaplarız: f(x,y) = 2xy 3 i+(3x 2 y 2 4) j f(2, 1) = 4 i+8 j v nin birim vektör olmadığına dikkat ediniz, ancak v = 29 olduğundan v yönündeki birim vektör u = v v = 2 29 i j olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 92/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 93/ Üç Değişkenli Fonksiyonlar Bu nedenle, denklem 11 dan D u f(2, 1) = f(2, 1) u = ( 4 i+8 j) bulunur. = = ( 2 i+ 5 ) j Üç değişkenli fonksiyonlar için yönlü türevleri benzer bir şekilde tanımlayabiliriz. D u f(x,y,z), yine fonksiyonun u birim vektörü yönündeki değişim hızı olarak yorumlanabilir. Tanım: f nin (x 0,y 0,z 0 ) noktasında bir u = a,b,c birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer bu limit varsa) D u f(x 0,y 0,z 0 ) = lim h 0 f(x 0 +ha,y 0 +hb,z 0 +hc) f(x 0,y 0,z 0 ) h (12) olarak tanımlanır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 94/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 95/ 174
37 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Üç Değişkenli Fonksiyonlar f(x,y,z) türevlenebilir ve u = a,b,c ise D u f(x,y,z) = f x (x,y,z) a+f y (x,y,z) b+f z (x,y,z) c (13) dir. Üç değişkenli bir f fonksiyonu için, f ya da grad f ile gösterilen gradyan vektörü f(x,y,z) = f x (x,y,z),f y (x,y,z),f z (x,y,z) veya kısaca f = f x,f y,f z = f x i+ f y j + f z k olur. Bunun, sonucunda, iki değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, yönlü türev için denklem 13 D u f(x,y,z) = f(x,y,z) u (14) olarak yazılabilir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 96/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 97/ : f(x,y,z) = xsin(yz) ise, (a) f nin gradyanını ve (b) f nin (1,3,0) da v = i+2 j k yönündeki yönlü türevini bulunuz. Çözüm: (a) f nin gradyanı olur f(x,y,z) = = f x (x,y,z), f y (x,y,z), f z (x,y,z) sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz) (b) (1,3,0) da f(1,3,0) = 0,0,3 buluruz. v = i+2 j k yönündeki birim vektör dir. Bu nedenle denklem 14 sonucunu verir. u = 1 6 i+ 2 6 j 1 6 k D u f(1,3,0) = f(1,3,0) u ( = 3 1 k 6 i+ 2 j 1 ) k 6 6 ( = 3 1 ) 3 = 6 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 98/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 99/ 174
38 Yönlü Türevi Maksimum Yapmak Yönlü Türevi Maksimum Yapmak f iki yada üç değişkenli bir fonksiyon olsun ve verilen bir noktada f nin tüm yönlü türevlerini düşünelim. Bunlar, f nin tüm yönlerdeki değişim hızını verir. Şu soruları sorabiliriz: bu yönlerin hangisinde f en hızlı değişir ve maksimum değişim hızı nedir? Teorem: f iki ya da üç değişkenli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. D u f( x) yönlü türevinin maksimum değeri f( x) dir ve bu değere, u vektörü, gradyan vektörü f( x) ile aynı yönde iken erişir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 100/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 101/ 174 : Uzayda bir (x, y, z) noktasındaki derece Santigrad olarak ölçülen T sıcaklığının x, y, z metre cinsinden ölçülmek üzere T(x,y,z) = 80/(1+x 2 +2y 2 +3z 2 ) olduğunu varsayalım. (1, 1, 2) noktasında hangi yönde sıcaklık en hızlı artar? Maksimum artış hızı nedir? Çözüm: T nin gradyanı T = T x i+ T y j + T z k 160x 320y = (1+x 2 +2y 2 +3z 2 ) 2 i (1+x 2 +2y 2 +3z 2 ) 2 j... T = 160 (1+x 2 +2y 2 +3z 2 ) 2( x i 2y j 3z k) olur. (1, 1, 2) noktasında gradyan vektörü olur. T(1,1, 2) = ( i 2 j +6 k) = 5 8 ( i 2 j +6 k) 480z (1+x 2 +2y 2 +3z 2 ) 2 k Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 102/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 103/ 174
39 Teoremden, sıcaklık, gradyan vektörü T(1,1, 2) = 5 8 ( i 2 j +6 k) yönünde, ya da i 2 j +6 k yönünde ya da ( i 2 j +6 k)/ 41 birim vektörü yönünde en hızlı artar. Maksimum artış hızı gradyan vektörünün boyudur: T(1,1, 2) = 5 8 i 2 j +6 k = Bu nedenle, sıcaklığın maksimum artış hızı 5 41/8 4 C/m olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 104/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 105/ 174 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : (a,b) yakınındaki her (x,y) için, f(x,y) f(a,b) ise iki değişkenli f fonksiyonunun (a, b) de bir yerel maksimumu vardır. [ Bu, (a,b) merkezli bir dairedeki her (x,y) için f(x,y) f(a,b) ] olması demektir. Tanımdaki eşitsizlikler, f nin tanım kümesindeki her (x, y) noktasında sağlanıyorsa, f nin, (a, b) de mutlak maksimumu (veya mutlak minimumu) vardır. f(a, b) sayısı yerel maksimum değeri olarak adlandırılır. (a,b) yakınındaki her (x,y) için, f(x,y) f(a,b) ise f(a,b) yerel minimum değeridir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 106/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 107/ 174
40 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Birden çok maksimum ve minimumu olan bir fonksiyonun grafiği Şekil 2 de görülmektedir. Yerel maksimumları dağ tepeleri ve yerel minimumları vadi tabanları olarak düşünebiliriz. Şekil 2: Teorem : f nin, (a,b) noktasında yerel maksimum ya da yerel minimumu var ve orada f nin birinci basamaktan kısmi türevleri varsa f x (a,b) = 0 ve f y (a,b) = 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 108/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 109/ 174 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Teoremin bir sonucunun gradyan vektörü gösterimiyle f(a,b) = 0 olarak ifade edilebileceğine dikkat ediniz. Teğet düzlemi denkleminde f x (a,b) = 0 ve f y (a,b) = 0 yazarsak, z = z 0 elde ederiz. Bu nedenle, teoremin geometrik yorumu, yerel maksimum ya da yerel minimumda teğet düzleminin yatay olması gerektiğidir. Eğer, f x (a,b) = 0 ve f y (a,b) = 0 ya da bu kısmi türevlerden biri yoksa (a,b) noktası, f nin bir kritik noktası (ya da durağan noktası) dır deriz. Teorem fonksiyonun (a, b) de yerel maksimum ya da yerel minimumu varsa, (a, b) nin f nin bir kritik noktası olduğunu söyler. Ancak, bir değişkenli kalkülüste olduğu gibi, her kritik nokta bir yerel maksimum ya da yerel minimuma yol açmaz. Bir kritik noktada fonksiyonun yerel maksimumu veya yerel minimumu olabilir veya bunlardan hiçbiri olmayabilir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 110/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 111/ 174
41 Maksimum ve Minimum Değerler İkinci Türevler Testi İki değişkenli bir f fonksiyonunun ikinci basamaktan kısmi türevleri (a, b) merkezli [ bir dairede sürekli, f x (a,b) = 0 ve f y (a,b) = 0 olsun başka bir deyişle (a,b), f nin ] bir kritik noktası olsun. Bu durumda olmak üzere, D = D(a,b) = f xx (a,b) f yy (a,b) [f xy (a,b)] 2 (a) D > 0 ve f xx (a,b) > 0 ise f(a,b) bir yerel minimumdur. (b) D > 0 ve f xx (a,b) < 0 ise f(a,b) bir yerel maksimumdur. (c) D < 0 ise f(a,b) bir yerel maksimum veya yerel minimum değildir. Maksimum ve Minimum Değerler Not 1 (c) durumunda (a,b) noktası, f nin bir eyer noktası olarak adlandırılır ve f nin grafiği (a, b) noktasında teğet düzleminin bir yanından diğer yanına geçer. Not 2 D = 0 ise test hiçbir bilgi vermez. f nin (a,b) de yerel maksimum veya yerel minimumu olabilir veya (a,b), f nin bir eyer noktası olabilir. Not 3 D nin formülünü anımsamak için onu bir determinant olarak yazmak yaralı olur: D(x,y) = f xx f xy f yx f yy = f xxf yy (f xy ) 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 112/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 113/ : f(x,y) = x 2 +y 2 2x 6y +14 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 2x 2 Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek f y = 2y 6 2x 2 = 0 ve 2y 6 = 0 Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(1,3) = 4 > 0 ve f xx = 2 olduğundan ikinci türev testinin (a) şıkkından (1, 3) noktasının yerel minimum olduğu ortaya çıkar. denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 1 ve y = 3. Kritik nokta (1,3) olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 114/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 115/ 174
42 ... : f(x,y) = y 2 x 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 2x f y = 2y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek 2x = 0 ve 2y = 0 denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 0 ve y = 0. Kritik nokta (0,0) olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 116/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 117/ Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(0,0) = 4 < 0 olduğundan ikinci türev testinin (c) şıkkından (0, 0) noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 118/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 119/ 174
43 ... : f(x,y) = x 4 +y 4 4xy +1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 4x 3 4y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek denklemlerini elde ederiz. f y = 4y 3 4x x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözmek için birinci denklemden bulunan y = x 3 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarız. Bu bize aşağıdaki denklemi verir. 0 = (x 3 ) 3 x = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 +1) = x(x 2 1)(x 2 +1)(x 4 +1) = x(x 1)(x+1)(x 2 +1)(x 4 +1) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 120/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 121/ x(x 1)(x+1)(x 2 +1)(x 4 +1) = 0 Buradan üç gerçel kök bulunur: x = 0,1, 1. Kritik noktalar (0,0), (1,1), ( 1, 1) olur. Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 12x 2 f xy = 4 f yy = 12y 2 D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(0,0) = 16 < 0 olduğundan ikinci türevler testinin (c) şıkkından başlangıç noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar; başka bir deyişle f nin, (0,0) da yerel maksimum ya da yerel minimumu yoktur. D(1,1) = 128 > 0 ve f xx (1,1) = 12 > 0 olduğundan testin (a) şıkkından f(1,1) = 1 in yerel minimum olduğunu görürüz. Benzer şekilde D( 1, 1) = 128 > 0 ve f xx = 12 > 0 olduğundan f( 1, 1) = 1 de yerel bir minimumdur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 122/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 123/ 174
44 ... : (1,0,-2) noktasından x+2y +z = 4 düzlemine olan en kısa uzaklığı bulunuz. Çözüm : Herhangi bir (x,y,z) noktasından (1,0, 2) noktasına uzaklık d = (x 1) 2 +y 2 +(z +2) 2 olur, ancak (x,y,z), x+2y +z = 4 düzlemi üzerinde olduğundan, z = 4 x 2y sağlanır, bu nedenle bulunur. d = (x 1) 2 +y 2 +(6 x 2y) 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 124/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 125/ Daha yalın olan d 2 = f(x,y) = (x 1) 2 +y 2 +(6 x 2y) 2 ifadesini minimum yaparak d yi minimum yapabiliriz. f x = 2(x 1) 2(6 x 2y) = 4x+4y 14 = 0 f y = 2y 4(6 x 2y) = 4x+10y 24 = 0 denklemlerini çözerek olduğunu buluruz. ( 11 6, 5 ) noktasının tek kritik nokta 3 f xx = 4, f xy = 4, ve f yy = 10 olduğundan, D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 24 > 0 ve f xx > 0 ( 11 dır ve ikinci türevler testinden f nin 6, 5 ) noktasında bir yerel 3 minimumu vardır. Sezgisel olarak bu yerel minimumun gerçekte bir mutlak minimum olduğunu görürüz çünkü verilen düzlemde (1,0, 2) ye en yakın bir nokta olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 126/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 127/ 174
45 ... x = 11 6 ve y = 5 3 ise d = (x 1) 2 +y 2 +(6 x 2y) 2 = (5 ) = ( ) ( ) olur. (1,0, 2) den x+2y +z = 4 düzlemine en yakın uzaklık 5 6/6 dır. : 12m 2 lik bir kartondan üstü açık bir dikdörtgen kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 3 daki gibi kutunun uzunluk, genişlik ve yüksekliği (metre olarak) x, y, ve z olsun. Kutunun hacmi dir. V = xyz Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 128/ 174 Şekil 3: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 129/ Kutunun dört yan yüzünün ve tabanının alanının 2xz +2yz +xy = 12 oluşunu kullanarak V yi yalnızca x ve y nin fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Yukarıdaki eşitlikten z yi çözersek, Kısmi türevleri hesaplar ve V x = y2 (12 2xy x 2 ) 2(x+y) 2 V y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x+y) 2 buluruz, bu nedenle V nin ifadesi z = 12 xy 2(x+y) V = xy 12 xy 2(x+y) = 12xy x2 y 2 2(x+y) buluruz. V maksimum ise V/ x = V/ y = 0 olur, ancak x = 0 veya y = 0, V = 0 verir, bu nedenle denklemlerini çözmeliyiz. 12 2xy x 2 = xy y 2 = 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 130/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 131/ 174
46 Bunlar, x 2 = y 2 ve x = y olmasını gerektirir. (Bu problemde x ve y nin her ikisinin de pozitif olması gerektiğine dikkat ediniz.) x = y bu denklemlerden birinde yazılırsa 12 3x 2 = 0 elde ederiz, bu da x = 2, y = 2, ve z = 1 verir. Bunun bir yerel maksimum verdiğini, ikinci türev testini kullanarak gösterebiliriz, ya da problemin fiziksel doğası gereği bir maksimum hacim olması ve bunun bir kritik noktada olması gerektiğinden, x = 2, y = 2, z = 1 de ortaya çıktığını söyleyebiliriz. Dolayısıyla V = = 4 olur ve kutunun maksimum hacmi 4m 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 132/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 133/ 174 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Bir değişkenli bir f fonksiyonu için uç değer teoremi, eğer f bir [a,b] kapalı aralığında sürekli ise f nin bir mutlak maksimum ve bir mutlak minimum değerinin olduğunu söyler. Kapalı aralık yönteminden, bunları f yi yalnızca kritik noktalarda değil ayrıca a ve b uç noktalarında hesaplayarak bulduk. İki değişkenli fonksiyonlar için de benzer bir durum vardır. Nasıl bir kapalı aralık uç noktalarını içeriyorsa, R 2 de bir kapalı küme, sınır noktalarını içeren bir kümedir. [ (a,b) merkezli her daire hem D ye ait olan hem de D ye ait ] olmayan noktalar içeriyorsa, (a, b) D nin bir sınır noktasıdır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 134/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 135/ 174
47 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Örneğin, x 2 +y 2 = 1 çemberi içindeki ve üzerindeki tüm noktaları içeren D = {(x,y) x 2 +y 2 1} dairesi bir kapalı kümedir çünkü tüm sınır noktalarını (bunlar x 2 +y 2 = 1 çemberi üzerindeki noktalardır) içerir. Ancak bir tek sınır noktası bile dışarıda bırakıldıysa küme kapalı olmaz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 136/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 137/ 174 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler R 2 de bir sınırlı küme bir daire içinde kalan bir kümedir. Diğer bir deyişle kapsamı sonlu olan bir kümedir. Böylece, kapalı ve sınırlı küme terimleriyle, uç değer teoreminin aşağıdaki iki boyutlu benzerini ifade edebiliriz. Kapalı, sınırlı bir D kümesinde sürekli bir f fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için 1. f nin D içindeki kritik noktalarında f nin değerini bulunuz. 2. f nin D nin sınırındaki uç değerlerini bulunuz ve 2. adımlarda bulunan en büyük değer mutlak maksimum, en küçük değer mutlak minimum değeridir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 138/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 139/ 174
48 ... : f(x,y) = x 2 2xy +2y fonksiyonunun D = {(x,y) 0 x 3,0 y 2} dikdörtgenindeki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. Çözüm : f bir polinom olduğundan, kapalı ve sınırlı D dikdörtgeninde süreklidir, bu nedenle f nin hem mutlak maksimumu hem de mutlak minimumu vardır. Yukarıdaki birinci adıma göre, önce kritik noktaları buluruz. Bunlar f x = 2x 2y = 0 f y = 2x+2 = 0 iken oluşur, bu nedenle tek kritik nokta (1,1) dir. f nin oradaki değeri f(1,1) = 1 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 140/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 141/ Şekil 4: 2. adımda Şekil 4 de gösterilen L 1, L 2, L 3, ve L 4 doğru parçalarından oluşan D nin sınırında f nin değerlerini inceleriz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 142/ 174 L 1 üzerinde y = 0 olduğundan olur. f(x,0) = x 2 0 x 3 Bu, x in artan bir fonksiyonu olduğundan minimum değeri f(0,0) = 0 ve maksimum değeri f(3,0) = 9 dur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 143/ 174
49 L 2 üzerinde x = 3 olduğundan olur. f(3,y) = 9 4y 0 y 2 Bu, y nin azalan bir fonksiyonu olduğundan maksimum değeri f(3,0) = 9 ve minimum değeri f(3,2) = 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 144/ 174 L 3 üzerinde y = 2 olduğundan olur. f(x,2) = x 2 4x+4 0 x 3 Tek değişkenli fonksiyonlardaki yöntemler ile ya da f(x,2) = (x 2) 2 olduğu gözlemiyle bu fonksiyonun minimum değerinin f(2,2) = 0 ve maksimum değerinin f(0,2) = 4 olduğunu görürüz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 145/ adımda, bu değerleri kritik noktadaki f(1,1) = 1 değeri ile kıyaslarız ve f nin D deki maksimum değerinin f(3,0) = 9 ve minimum değerinin f(0,0) = f(2,2) = 0 olduğu sonucuna varırız. Şekil 5, f nin grafiğini göstermektedir. Son olarak L 4 üzerinde x = 0 olduğundan f(0,y) = 2y 0 y 2 olur ve maksimum değer f(0,2) = 4 ve minimum değer f(0,0) = 0 dır. Bu nedenle sınırda f nin maksimum değeri 4 ve minimum değeri 0 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 146/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 147/ 174
50 Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları Yöntemi f(x,y,x) nin g(x,y,z) = k,k R kısıtlaması altında maksimum ve minimum değerlerini bulmak için (bu değerlerin var olduğunu varsayarak): (a) f(x,y,z) = λ g(x,y,z) ve g(x,y,z) = k denklemlerini sağlayan tüm x, y, z ve λ değerlerini bulunuz. (b) (a) adımında bulunan tüm noktalarda f nin değerini hesaplayınız. Bunların en büyüğü f nin maksimum, en küçüğü f nin minimum değeridir. f = λ g vektör denklemini bileşenleri cinsinden yazarsak (a) daki eşitlikler f x = λg x f y = λg y f z = λg z g(x,y,z) = k biçimini alır. Bu, dört x, y, z ve λ bilinmeyenlerinin dört denklemlik bir sistemidir, ancak λ bilinmeyeninin açık değerini bulmak zorunda değiliz. λ sayısı Lagrange çarpanı olarak adlandırılır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 148/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 149/ 174 Lagrange Çarpanları İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yöntemi biraz önce açıklanan yöntemin benzeridir. f(x,y) nin g(x,y) = k kısıtlaması altında uç değerlerini bulmak için f(x,y) = λ g(x,y) ve g(x,y) = k denklemlerini sağlayan x, y ve λ değerlerini ararız. Bu da, üç bilinmeyenli üç denklemi çözmek demektir: f x = λg x f y = λg y g(x,y) = k Lagrange yönteminin ilk uygulaması olarak daha önce çözdüğümüz aşağıdaki problemi tekrar düşünelim. : 12 m 2 büyüklüğünde bir kartondan, kapağı olmayan dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : x, y ve z sırasıyla kutunun, metre olarak, boyu, eni ve yüksekliği olsun. O zaman nin V = xyz g(x,y,z) = 2xz +2yz +xy = 12 kısıtlaması altında maksimumunu bulmak istiyoruz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 150/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 151/ 174
51 Lagrange yöntemini kullanarak V = λ g ve g(x,y,z) = 12 olacak şekilde x, y, z ve λ değerlerini ararız. Bu bize Bunlar da yz = λ(2z +y) (15) xz = λ(2z +x) (16) xy = λ(2z +2y) (17) 2xz +2yz +xy = 12 (18) V x = λg x V y = λg y V z = λg z 2xz +2yz +xy = 12 biçimini alır. Denklem (15) yi x ile, Denklem (16) ü y ile, Denklem (17) ü z ile çarparsak her üç denklemde de eşitliklerin sol tarafları aynı olur. denklemlerini verir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 152/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 153/ Yani xyz = λ(2xz +xy) (19) xyz = λ(2yz +xy) (20) xyz = λ(2xz +2yz) (21) 2xz +2yz +xy = 12 (22) (19) ve (20) den λ(2xz +xy) = λ(2yz +xy) 2xz +xy = 2yz +xy olur. λ = 0 olması (15), (16) ve (17) den yz = xz = xy = 0 olmasını gerektirdiğinden ve bu da (18) ile çelişeceğinden, λ 0 olması gerektiğini gözlemleriz. olur, bu da xz = yz sonucunu verir. Ancak z 0 olduğundan (z = 0 olması V = 0 verirdi) x = y olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 154/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 155/ 174
52 (20) ve (21) den 2yz +xy = 2xz +2yz buluruz, bu da 2xz = xy verir ve böylece (x 0 olduğundan) y = 2z olur. x = y = 2z yi (18) de yerine koyarsak 4z 2 +4z 2 +4z 2 = 12 elde ederiz. x, y ve z nin tümü pozitif olduğundan önceki gibi z = 1, x = 2 ve y = 2 buluruz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 156/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 157/ : f(x,y) = x 2 +2y 2 fonksiyonunun x 2 +y 2 = 1 çemberi üzerindeki uç değerlerini bulunuz. Çözüm : g(x,y) = x 2 +y 2 = 1 kısıtlaması altında f nin uç değerlerini bulmamız isteniyor. Lagrange çarpanları kullanarak, f = λ g bunlar f x = λg x f y = λg y g(x,y) = 1 olarak yazılabilir. 2x = 2xλ (23) 4y = 2yλ (24) x 2 +y 2 = 1 (25) ve denklemlerini çözeriz, g(x,y) = 1 (23) dan x = 0 veya λ = 1 olur. x = 0 ise (25) den y = ±1 bulunur. λ = 1 ise (24) dan y = 0 olur ve (25) den x = ±1 verir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 158/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 159/ 174
53 Bu nedenle f, (0,1), (0, 1), (1,0) ve ( 1,0) noktalarında uç değerlere sahip olabilir. f yi bu noktalarda hesaplayarak buluruz. f(0,1) = 2 f(0, 1) = 2 f(1,0) = 1 f( 1,0) = 1 Bu nedenle f nin x 2 +y 2 = 1 çemberi üzerindeki maksimum değeri f(0,±1) = 2 ve minimum değeri ise f(±1,0) = 1 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 160/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 161/ 174 : f(x,y) = x 2 +2y 2 fonksiyonunun x 2 +y 2 1 dairesi üzerinde uç değerlerini bulunuz. Çözüm : f nin kritik noktalardaki değerlerini sınırdaki değerleri ile karşılaştırırız. f x = 2x ve f y = 4y olduğundan (0,0) tek kritik noktadır. f nin o noktadaki değerini, az önceki örnekte bulduğumuz sınırdaki uç değerler ile karşılaştırırız: f(0,0) = 0 f(±1,0) = 1 f(0,±1) = 2 Bu nedenle f nin x 2 +y 2 1 dairesindeki maksimum değeri f(0,±1) = 2 ve minimum değeri f(0,0) = 0 dır. : x 2 +y 2 +z 2 = 4 küresi üzerindeki (3,1, 1) noktasına en yakın ve en uzak noktaları bulunuz. Çözüm : Bir (x,y,z) noktasından (3,1, 1) noktasına uzaklık d = (x 3) 2 +(y 1) 2 +(z +1) 2 dir, ancak bunun yerine uzaklığın karesi d 2 = f(x,y,z) = (x 3) 2 +(y 1) 2 +(z +1) 2 nin maksimum ve minimumlarını aramak işi kolaylaştırır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 162/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 163/ 174
54 Kısıtlama (x, y, z) noktasının küre üzerinde olması ya da g(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 = 4 olmasıdır. Lagrange çarpanları yöntemine göre f = λ g ve g = 4 denklemlerini çözeriz. Bu da denklemlerini verir. 2(x 3) = 2xλ (26) 2(y 1) = 2yλ (27) 2(z +1) = 2zλ (28) x 2 +y 2 +z 2 = 4 (29) Bu denklemleri çözmenin en kolay yolu (26), (27) ve (28) den x, y ve z yi λ cinsinden bulup bu değerleri (29) de yerine yazmaktır. (26) den x 3 = xλ ya da x(1 λ) = 3 ya da x = 3 1 λ elde ederiz. [ (26) den λ = 1 olanaksız olduğundan 1 λ 0 olduğuna dikkat ediniz.] Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 164/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 165/ Benzer şekilde (27) ve (28) verir. Bu nedenle (29) den y = 1 1 λ z = 1 1 λ 3 2 (1 λ) (1 λ) 2 + ( 1)2 (1 λ) 2 = 4 bulunur, bu da (1 λ) 2 = 11 4, 1 λ = ± 11/2 verir, buradan bulunur. λ = 1± 11 2 λ nın bu değerlerine karşı gelen (x,y,z) noktaları ( 6 2,, 2 ) ve ( 6 11, 2 11, ) 2 11 dir. f nin bu noktaların ilkinde daha küçük değere sahip olduğu kolayca görülür, böylece en yakın nokta ve en uzak nokta dir. ( 6 2,, 2 ) ( 6, 2 ) 2, Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 166/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 167/ 174
55 İki Kısıtlama İki Kısıtlama Bu kez g(x,y,z) = k ve h(x,y,z) = c şeklinde iki kısıtlama (yan koşul) altında bir f(x,y,z) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için f(x,y,z) = λ g(x,y,z)+µ h(x,y,z) (30) olacak şekilde (Lagrange çarpanları olarak adlandırılan) λ ve µ sayıları kullanılır. Bu durumda Lagrange yöntemi, x, y, z, λ ve µ bilinmeyenli beş denklemi çözerek uç değerleri aramaktır. Bu denklemler, Denklem(30) yı bileşenleri cinsinden yazarak ve kısıtlayıcı denklemleri kullanarak elde edilir: f x = λg x +µh x f y = λg y +µh y f z = λg z +µh z g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 168/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 169/ 174 : f(x,y,z) = x+2y +3z fonksiyonunun x y +z = 1 düzlemi ile x 2 +y 2 = 1 silindirinin arakesit eğrisi üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. Çözüm : f(x,y,z) = x+2y +3z fonksiyonunun g(x,y,z) = x y +z = 1 ve h(x,y,z) = x 2 +y 2 = 1 kısıtlamaları altında maksimumunu ararız. Lagrange koşulu f = λ g +µ h olmasıdır, Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 170/ 174 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 171/ 174
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x, y, z) sıralı üçlüsüne, f(x, y, z) ile gösterilen
DetaylıBu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.
Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.
Detaylıg(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1
Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıTürev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız
Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıFonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıFonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıY = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıDers 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
Detaylı1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıKonik Kesitler ve Formülleri
Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
Detaylı12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4
12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıArtan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
Detaylı1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
DetaylıFizik Dr. Murat Aydemir
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıBölüm-4. İki Boyutta Hareket
Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme
Detaylı1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)
ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
DetaylıBir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.
Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıÇok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum
66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıFİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ
FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ (del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: f GRADİYENT Bir A vektör alanı ile skaler çarpılırsa:
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
DetaylıHacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıMATEMATiKSEL iktisat
DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıHacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıÜstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı