İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

Transkript

1 İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

2 Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür ve pozitif/iki yönlü frekans spektrumu yardımı ile frekans spektrumu elde edilir. Periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına Fourier serilerinden yararlanarak dönüştürülebilir. Bu nedenle bu derste önce Fourier serileri, daha sonra da periyodik işaretlerin frekans spektrumlarının bulunması anlatılacaktır. Frekans spektrumunun bulunmasında iki yönlü spektrumu kullanılacağından, bundan sonraki kısımlarda, frekans spektrumu denildiğinde iki yönlü spektrum anlaşılmalıdır. İşaret ve Sistemler 2

3 Kompleks Fourier serisi Frekans spektrumunu bulmada trigonometrik Fourier serisine göre daha kolay çözüm vermektedir. Eğer m(t) periyodik işareti, açısal frekansı w0 ve periyodu T0 (w0=2 / T0=2 f0) ise kompleks Fourier serisi açılımı: İşaret ve Sistemler 3

4 Burada Cn, n. Fourier katsayısı (n. harmonik) olup genel olarak kompleks bir büyüklüktür ve formülü: Periyodik bir fonksiyonun önemli bir büyüklüğü, onun ortalama değeri dir. Periyodu T0 olan bir v(t) periyodik işaretinin zaman ortalaması veya ortalama değeri <v(t)> notasyonu ile gösterilir: İşaret ve Sistemler 4

5 Burada Cn, n. Fourier katsayısı (n. harmonik) olup genel olarak kompleks bir büyüklüktür ve formülü: Periyodik bir fonksiyonun önemli bir büyüklüğü, onun ortalama değeri dir. Periyodu T0 olan bir v(t) periyodik işaretinin zaman ortalaması veya ortalama değeri <v(t)> notasyonu ile gösterilir: İşaret ve Sistemler 5

6 Dirichlet koşulu nedir? Bu ortalama fonksiyonundan yararlanarak yeniden yazılırsa: Cn ifadesi Matematiksel olarak kompleks fourier serisi katsayılarının var olması için m(t) işaretinin Dirichlet koşulunu sağlaması gerekir. m(t) tek değerli bir fonksiyon olmalıdır. m(t) her yerde sonludur yada sonsuz değer alıyorsa türevi sonludur. m(t) nin bir periyodu içindeki süreksizlik sayısı sonludur. m(t) nin bir periyodu içinde sonlu sayıda maksimum ve minimum olmalıdır. İşaret ve Sistemler 6

7 Kompleks fourier serisi ifadesinden çıkarılan önemli bir sonuç şu olmaktadır. Periyodik bir işaretin frekans spektrumu, yalnız f0=1/t0 temel frekansı ve buna harmonik olarak bağımlı frekans bileşenlerinden oluşur. Cn nin özellikleri: İşaret ve Sistemler 7

8 Kompleks fourier serisi ifadesinden çıkarılan önemli bir sonuç şu olmaktadır. Periyodik bir işaretin frekans spektrumu, yalnız f0=1/t0 temel frekansı ve buna harmonik olarak bağımlı frekans bileşenlerinden oluşur. Cn nin özellikleri: İşaret ve Sistemler 8

9 -n ler için Cn ifadesi: n. harmonik ile n. harmoniklerin büyüklükleri: bu ifadeden çift simetri özelliği taşıdığı görülmektedir. İşaret ve Sistemler 9

10 n. harmonik ile n. harmoniklerin fazları ise bu ifadeden de fazın tek simetri özelliği gösterdiği görülür. İşaret ve Sistemler 10

11 iki yönlü frekans spektrumunda genlik çizgilerinin koordinat eksenine göre simetrik, çift simetrik, faz çizgilerinin ise orijine göre simetrik, tek simetrik, olduğu görülmektedir. Bu özellik fourier serisi katsayılarının özelliğinden ileri gelmektedir. İşaret ve Sistemler 11

12 m(t) periyodik işaretinin iki yönlü frekans spektrumu İşaret ve Sistemler 12

13 İki yönlü frekans spektrumundan, pozitif frekans spektrumuna geçmek için fourier serisi katsayıları özellikleri kullanılarak yazılabilir. m(t) nin iki yönlü frekans spektrumu ifadesi tekrar yazılırsa: İşaret ve Sistemler 13

14 İşaret ve Sistemler 14

15 İşaret ve Sistemler 15

16 Benzer şekilde, Bu sonuçlardan Fourier serisi katsayısı, yalnızca ɑn içerecektir. İşaret ve Sistemler 16

17 İşaret ve Sistemler 17

18 İşaret ve Sistemler 18

19 Bu sonuçlardan Fourier serisi katsayısı, yalnızca bn içerecektir. cn katsayıları imajiner olacaktır. İşaret ve Sistemler 19

20 İşaret ve Sistemler 20

21 Fourier Serisinin Özellikleri İşaret ve Sistemler 21

22 Fourier Serisinin Özellikleri İşaret ve Sistemler 22

23 Çalışma Sorusu işaretinin pozitif frekans spektrumunu ve fazör diyagramını çiziniz. İşaret ve Sistemler 23