BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

Transkript

1 BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p b dir. İspat: pfa olsu. p i pozitif böleleri sadece ve edisi olduğuda ( p, a) = dir. Ölid Lemmasıa göre p b olma zorudadır. Souç. 3 Eğer p bir asal sayı ve p a a La ise bir {,, K, } içi p a dır. İspat: e göre Matematisel İdüsiyo ile yapılır. bir içi Souç. Eğer p = q dır. p q q, q,,, K hepsi asal sayılar ve p q q Kq ise ola İspat: p q q Kq olduğuda Souç.3 e göre, olma üzere bir içi p q dır. q sayısı asal olduğuda de ve ediside başa bölei yotur. Bua göre p = q olma zorudadır. Teorem. 5 Her > tam sayısıı p gibi bir asal bölei vardır. İspat: asal ise = p alıır. Eğer asal değilse, < d < ola d gibi e az bir bölei vardır. Bu şeildei bütü d sayıları arasıda e üçüğüü p ile gösterelim. Bu durumda p asal olma zorudadır. Asi halde p i, < q < p ola q gibi bir bölei vardır. q p, p de q elde edilir, bu ise p i, i, < d < şelide ola e üçü bölei olması ile çelişir. Teorem.6 (Aritmetiği Esas Teoremi) > ola her tam sayı bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir ve bu gösteriliş sırada vazgeçildiği tadirde te türlü belirlidir. İspat: İspatı e göre idüsiyo ile yapacağız. = ise aşiar olara asal sayıları çarpımı şelidedir. < m < ola her tam sayıı bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterildiğii abul edelim. Eğer sayısı asal değilse, < <, < < ve = olaca şeilde, tam sayıları vardır. İdüsiyo hipotezie göre ve bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir. Buu soucu olara bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir. Teliği gösterme içi, p, q ( i =, K, r ; j =, K, s) ler asal olma üzere, i i j = p pl pr = qq Lqs, r s şelide ii türlü asal sayıları çarpımı olara gösterilebildiğii abul edelim.

2 p p L pr, q q L q s olsu. p q q Lqs olduğuda Souç. e göre r ola bir içi p = q dır. O halde p q dir. Bezer şeilde q p p L pr de t s ola bir t içi q = pt buluur. O halde p q dir. Souç olara p = q ve p L pr = qlq s elde edilir. Bezer düşüce uygulaara p = q, p = q, K, p r = q r buluur. Diğer tarafta r = s olma zorudadır. Asi halde r < s olsa, q q L q olurdu i bu q > olması ile çelişir. j r r s = Pozitif bir tam sayıı asal çarpalara ayrılışıda bir ço asal sayı terarlı bir şeilde gözüebilir. Öreği 5= Bu gibi durumlarda bir öcei teoremi aşağıdai şeilde ifade edebiliriz. Souç.7 > ola her tam sayı = p p L pr (*) şelide te türlü olara gösterilebilir, burada i = K,, r içi her i pozitif tam sayı ve her p i, p < p < L < p r ola bir asal sayıdır. (*) şelidei gösterilişe i asal çarpalara ayrılışıı aoi şeli deir. Öreği 5 sayısıı aoi şeli 5 = tir. vardır. Teorem.8 Bir a > bileşi sayısıı p a oşulua uya p gibi bir asal bölei İspat: a > bir bileşi sayı sayı olduğuda < b < a, < c < a olma üzere, a = bc tam sayıları vardır. b c olduğuu abul ederse b bc = a r ve böylece b a buluur. b > olduğuda Teorem.5 e göre p gibi bir asal bölei vardır. Böylece p b ve b a de p a ve p b a elde edilir.. Souç.9 Bir a > doğal sayısı p a oşulua uya asal sayıları hiçbiri ile bölüemiyorsa, asal olma zorudadır. Eratosthees Kalburu: Yuarıdai souca göre, bir > tamsayısı verildiği zama ile arasıdai asal sayılar bilidiği tadirde ile arasıdai asal sayıları bulabiliriz. Eratosthees, bu gerçete yola çıara, a > sayısıda üçü bütü asal sayıları bulma içi, adıa Eratosthees alburu deile bir tei geliştimiştir. Buu içi, de büyü çift sayılar daima ile bölüdüğüde, ve sadece te sayılarda oluşa ve a ola sayılar üçüte büyüğe bir tablo halide yazılır. Daha sora p a ola bütü asal sayılar içi bu tabloda yer ala p i bütü atları çizilir geride ala sayılar, a ola asal sayılardır. Öre. ile arasıdai asal sayılar, 3,5,7 bilidiğie göre ile arasıdai asal sayıları Eratosthees alburu yardımı ile bulalım: 3

3 üstü çizilmemiş ola sayılar asal sayılardır. Öre. a = 5 sayısıı asal olup olmadığıı araştıralım. 7 < 5 < 7 dir. p 7 oşulua uya asal sayılar, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37,, 3, 7, 53, 59, 6, 67 dir ve 5 bu sayıları hiçbiri ile alasız olara bölüemez. O halde 5 sayısı asaldır. Öte yada 59 sayısıı araştıraca olursa, 7 < 59 < 7, 3 59, 7 59 o halde 59 = olara yazılabilir. Şimdi 39 u asal olup olmadığıı araştıralım: 5 < 39 < 6, p 5 oşulua uya asal sayılar, 3, 5, 7,, 3 ve 39 bu sayıları hiçbiri ile alasız olara bölüemediği içi asal olma zorudadır.. Böylece 59 sayısıı aoi şeli 59 = dir. Teorem. (i) Herhagi bir p asal sayısı içi p sayısı irrasyoeldir. (ii) Eğer a pozitif bir tamsayı ve a rasyoel ise a bir tamsayıdır. (iii) tamsayısı içi irrasyoeldir. İspat: (i) p rasyoel olsu. a p =, ( a, b) = olaca şeilde a, b Z vardır. Bua b göre pb = a, yai p a ve burada souç.3 e göre p a elde edilir. O halde a = p.a olaca şeilde a Z vardır. Böylece b = pa, yai Dolayısıyla p ( a, b) yai p, çelişi! p irrasyoeldir. (ii) a >, r a rasyoel ise a =, ( r, s) = olaca şeilde s Burada r = as, yai s r ve burada da r edele a = r Z dir. p b ve böylece p b elde edilir. r, s Z vardır. s buluur. O halde s = ( r, s) = ve bu (iii) rasyoel olsa (ii) ye göre tamsayı olur. = r Z diyelim. olduğuda = olamaz. O halde = r ile çelişir. O halde irrasyoeldir., yai buluur i bu > olması

4 Taım. (Tam Kısım Fosiyou) Bir eyfi x reel sayısı içi [ x ] sembolü ile x te üçü veya eşit ola e büyü tam sayıyı göstereceğiz.; yai [ x ], x < [ x] x oşuluu sağlaya te tamsayıdır. Öre. =, =, [ 3] =, [ ] = 3, [ ] =, [ 3] = 3. π π Taım. de yola çıarsa her x reel sayısı, θ < oşuluu sağlaya uygu bir θ içi x = [ x] θ şelide yazılabilir. Tam Kısım Fosiyouu Özellileri: x, y R olma üzere, (i) [ x ] x < [ x] dir. (ii) Eğer x, x te büyü olmaya doğal sayıları sayısıdır. Bir başa deyimle [ x] = x dir. x ise [ ] (ii) Her Z içi [ x ] = [ x] dir. (iii) [ x ] [ y] [ x y] [ x] [ y] dir. (iv) Eğer x =. Eğer x Z ise [ x ] [ ] x Z ise [ x ] [ ] = (v) [ x] sayısı x te üçü olmaya e üçü tam sayıdır. [ x] x (vi) Eğer N ise x (vii) [ ] x = dir. (viii) Eğer x > ve N ise eşittir. x dir. x, i x te büyü olmaya pozitif atları sayısıa Not: Yuarıdai özellileri ispatı ödev olara öğrecilere bıraılmıştır. Öre 3 p ola asal sayıları sayısıı bulalım. = olduğuda Teorem. 8 e göre ola bütü bileşi sayılar, 3, 5 veya 7 i atlarıdır. X ile m i ola atlarıı ümesii gösterelim. Bu durumda (ix) a göre m X m = m dir. Bua göre X = 5, X = 33, X X =, X 3 35 =, X 5 3 =, X = 3, X ola bileşi sayıları sayısı = X X X X 7 =, X =, X 7 6 = 6, X =, X 5 =, X =, X = 7, X =. ( ) ( X 6 X X X5 X X 35 ) ( X X X X ) X = 6, = (5 33 ) (6 7 6 ) (3 ) = 7 p ola asal sayıları sayısı = -( ola bileşi tam sayıları sayısı)-=5 dir. 5

5 Teorem. bir pozitif tamsayı ve p bir asal sayı olsu. p i! i böle e büyü uvveti, dir. Yai e (!) e p (! ) = derse, p p! dir. Burada = p = p = olmasıda dolayı, toplam aslıda solu sayıda terim içerir p tam p > içi İspat: pozitif tamsayı arasıda p i atları sayısı tam, p, 3 p i atları sayısı tam,... taedir. O halde 3 e p (!) = dir. p = p taedir. p Souç.3 p = p! = p dir. p i atları sayısı Öre. 3 ü 9! i böle e büyü uvvetii bulalım: 9 e 3(9!) = dır. 3 3 > 9 = olduğuda e 3 (9!) = = 3 = 3 3 tür. Öre 5! i asal çarpalara ayrılışıı bulalım: Eğer p,! i bir asal çarpaı ise p..3k dur. Burada Souç.3 e göre bir {,, K,} içi p olma zorudadır. O halde p olma zorudadır. Böylece p =, 3, 5, 7 olabilir. Öte yada e (!) = 3 =5=8, e 3 (!) = = 3 = 3 3, e5 (!) = =, 5 e 7 (!) = = 7. Böylece 8! = dir. Teorem. Eğer ve r, r < ola pozitif tam sayılar ise biom atsayısı! = r r!( r)! bir tam sayıdır. göre İspat: p p r r = şelide yazılabilir. Tam ısım fosiyou Özelli (iv) e p p r r dir. Bua göre r! ( r)! i böle her p asal sayısı içi p p r r e p (!) = = e p ( r!) e p (( r)!) = p = p = p 6

6 ! dir. Bu edele p i ifadesii payıdai uvveti paydasıdai uvvette daha r!( r)!! büyütür, yai r! ( r)!! dir. O halde bir tam sayıdır. r!( r)! Öte yada = = yie bir tamsayıdır. Souç.5 Bir pozitif r tam sayısı içi r tae ardışı tam sayıı çarpımı r! tarafıda alasız olara bölüür. İspat: r tae ardışı tam sayıı e büyüğü olsu. Bu durumda bu sayıları çarpımı!! ( ) L ( r ) = = r! =. r!, Z, ( r)! r!( r)! yai r! ( ) L ( r ) dir. Asal sayılar, matematiği bir ço alaıda ullaılmala birlite, bu sayılarda baacılı, aseri bilgiler, iteret sayfaları gibi öemli şifrelemeler geretire verileri oruması gibi güveli alaıda da öemli ölçüde yaralaılır. Bu işlemler içi geellile, basama sayısı büyü ola asal sayılar ullaılır. Asırlar boyu asal sayılar üzerie birço teorem ortaya omuş ve asal sayıları buluması içi asal sayı ürete bir ço formül ve yötem bulumaya çalışılmıştır. Aca asal sayılarla ilgili pe ço soru güümüze adar heüz cevaplaamamıştır. Güümüzde asal sayıları vere bir matemati formül bulumamatadır. Aca Ölid de beri asal sayıları sosuz sayıda oldular bilimetedir. Güümüze adar asal sayıları sosuz oldularıı göstere bir ço ispat verilmiştir. Aşağıda fiir verme açısıda bu ispatlarıda bazılarıı göreceğiz. Teorem.6 Asal sayılar sosuz sayıdadır. İl olara Ölid i verdiği ispatı moder şelii görelim.. Ölid i İspatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. m = p. p K p olsu. m > olduğuda Teorem. 5. e göre p gibi bir asal bölei vardır. Faat bütü asal sayılar p, p, K, p de ibaret olduğuda p bu asal sayılarda biri olma zorudadır. O halde p p. p K p dir. Öte yada p m olduğuda p m p. p K p yai p buluur. Bu ise p > olması ile çelişir. O halde sosuz sayıda asal sayı vardır.. Stieltjes i ispatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. = p. p K p olsu. = ab, a, b > şelide ii tam sayıı çarpımı olara yazılabilir. sayısı biribiride farlı asal sayıları çarpımı şelide olduğuda aritmetiği esas teoremie göre, her bir p a ve b de tam bir taesii böler. Bu durumda a b, mevcut i i p leri hiçbiri tarafıda bölümez bu ise a b > olması ile çelişir. 7

7 3. Euler i aaliti ispatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. Her bir p i > olduğuda geometri serisi yaisa ve toplamı = ( / ) p i dir. Böylece elde edilir. Bütü asal sayılar p i = ( ) i= / pi i= = pi p, p, K, p de ibaret olduğuda, aritmetiği esas teoremie göre herhagi bir N sayısı = p p L p şelide te türlü olara yazılır. Bua göre ( ) i= / pi = dir. Yuarıdai eşitsizliği sağ tarafıdai seri (harmoi seri) sosuza ırasaya bir seridir. Öte yada her bir p i > olduğuda sol taraftai çarpım soludur. Bu bizi bir çelişiye götürür. O halde sosuz sayıda asal sayı vardır. Taım.7 F =, şelidei bir tam sayıya Fermat sayısı deir. Eğer F asal ise bu sayıya bir Fermat asal sayısı deir. F = 3, F = 5, F = 7, F3 = 57, F = 65537,K. Fermat, Mersee e yazdığı metupta, bu sayıları her N içi asal oldularıı iddia etmiş, faat bu iddiaı doğru 5 olmadığı, 73 yılıda Euler i F 5 = = sayısıı asal olmadığıı ve 6 sayısı ile alasız olara bölüdüğüü göstermesi ile açığa avuşmuştur. Bu gü 5 3 içi F Fermat sayılarıı bileşi sayı olduları bilimetedir ve buları dışıda da bileşi sayı olduğu gösterile bir ço Fermat sayısı vardır. Bu güe adar bilie e büyü bileşi Fermat sayısı F 3388 dir ve bu sayı ile alasız olara bölüür. Güümüzde bir ço araştırmacı 5 içi Fermat sayılarıı bileşi sayı oldularıı düşümetedirler. Şimdi 6 F 5 olduğuu göstere ve G.Beett tarafıda verile ispatı görelim: İşe 7 7 a = ve b = 5 almala başlıyoruz. Bu durumda ab =.5 = 6 ve 3 ab b = ( a b ) b = 3b = olur. Bua göre 5 3 F5 = = = a = ( ab b ) a = ( ab) a ( a b ) = ( ab) [ a ( ab)( a b )]. Burada ab = 6 olduğua göre 6 F 5 elde edilir. Teorem.8 m > olma üzere F, İspat: d (, ) F m Fermat sayıları aralarıda asaldır. = F F m olsu. Fermat sayıları te sayılar olduğu içi, d sayısı te olma m zorudadır. x = ve = diyelim. Bu durumda 8

8 m Fm x = = = x x L F x ve böylece F ( F m ). d F de d ( F m ) buluur. Öte yada d Fm ve böylece d dir. d sayısı bir te sayı olduğuda d = olma zorudadır. Şimdi, Teorem. i, yuarıdai teoremi ullaara verile, bir başa ispatıı görelim.. Pólya ı ispatı: Her bir F Fermat sayısıı e az bir asal bölei vardır ve F diğer Fermat sayıları ile aralarıda asal olduğuda bu asal sayı diğer Fermat sayılarıı bölmez. Yai diğer Fermat sayılarıı böle asal sayılarda farlıdır. O halde F de büyü olmaya, birbiride farlı e az tae asal sayı vardır. Fermat sayıları sosuz sayıda olduğuda bu bize asal sayıları sosuz sayısıda olduğuu gösterir. Teorem.9 3 şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. İspat: 3 şelide q, q, K, qs gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. N = ( q. qk, qs ) = ( q. qk, qs ) 3 diyelim. N sayısı te sayı olduğu içi bu sayıı asal böleleri ya şelide ya da 3 şelidedir. N sayısı m 3 şelide olduğuda e az bir tae 3 şelide p gibi bir asal bölei vardır. Çüü şelidei ii veya daha fazla tam sayıı çarpımı yie ayı şeilde bir tam sayıdır. Sözü edile p sayısı 3 şelide olduğuda, r s lerde biridir. Bu durumda p ( q. q K, q ) ve böylece p, çelişi. O halde q r 3 şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. s Yuarıdai ifadeler, aşağıdai meşhur teoremi bir özel şelidir. İspatı ço zor ola bu teoremi, bilgi olsu diye, sadece ifadesii vermele yetieceğiz. Teorem. (Dirichlet Teoremi) Eğer a ile b, ( a, b) = ola ii tamsayı ise a b şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. Not.Bu teoremler ayı zamada asal sayıları sosuz sayıda olduğuu bir başa aıtıdır. Taım. Birbirii izleye ii asal sayı arasıdai far ise bu sayı çiftlerie iiz asal sayı çiftleri deir. Öreği (3,5), (5,7), (,3), (7,9), (9,3) gibi. İiz asal sayıları sosuz sayıda olup olmadıları heüz bilimiyor. Öte yada,, şelidei asal sayıları sosuz sayıda olup olmadıları heüz aıtlamış değildir. Asal sayıları dağılımı ile ilgili, yai hagi sılıta görüldüleri haıda, herhagi bir ural yotur. Aşağıdai teorem, verile her pozitif tam sayısıa arşılı daima tae ardışı bileşi sayıda oluşa bir dizi buluabileciğii gösterir. Bu da bize asal sayılar arasıda eyfi uzuluta boşluları olduğuu gösterir. 9

9 Teorem. Verile her sayısıa arşılı, birbirii izleye ve q p ola p ve q gibi ii asal sayı vardır. İspat: ise (! ) dır. O halde!,! 3,!, K,! sayıları tae ardışı bileşi sayılardır. p,! de üçü veya eşit ola e büyü asal sayı, q ise! ( ) de büyü e üçü asal sayı olsu. Bu durumda p ve q birbirii izleye ve q p ola ii asal sayıdır. 7. y.y. da ilgi alaı asal sayı ürete formüller bulmaya yöelmiştir. O yıllarda taım ümesi egatif olmaya tam sayılarda oluşa f ( ) = poliomuu sadece asal sayı ürettiğie dair yaygı bir iaış vardı. Buu doğru olmadığı 77 yılıda Euler tarafıda gösterilmiştir. Gerçete bu poliomu 39 içi aldığı değerler hep asal olmala beraber, =, içi asal değildir. f () = () = ( ) = () f () = () = ( ) = ()(3) dir. f i buda sora aldığı değer f ( ) = 87 yie asal bir sayıdır. Bu poliom i il değeri içi 86 tae asal sayı değeri alır. Acaba taım ümesi egatif olmaya tam sayılar ve değerler ümesi asal sayıları sosuz elemalı bir alt ümesi ola bir f () fosiyou bulma mümü müdür? Teorem.3 Eğer f, her ise f sabittir. N içi asal sayı değeri ala tam atsayılı bir poliom İspat: a olma üzere f ( x) = a x a x L ax a her N içi asal sayı değeri ala tam atsayılı bir poliom olsu. Sabit bir sayısı içi f ( ) = p bir asal sayıdır. Herhagi bir t N içi f ( tp) = a ( tp) a ( tp) L a ( tp) a burada = ( a = f ( a ) p. q( t) = L a p p. q( t) = p( q( t)) a ) p. q( t) q ( t), t i tam atsayılı bir poliomudur. p f ( tp), f (x) i sadece asal sayı değeri ala bir poliom olduğuu abul ettiğimizde her t N içi f ( tp) = p elde edilir. Oysa. derecede, sabit olmaya, bir poliom ayı değeri erede fazla alamaz. Ohalde f sabittir. Ödev Problemler -) p 5 bir asal sayı ise p i bileşi sayı olduğuu gösteriiz. (Yol göst. p i 6 veya 6 5 şelide yazılabileceğii düşüüz.) -) p, p a ola bir asal sayı ise a p olduğuu gösteriiz. 3-) p 5 ola bir te asal sayı ise ( p ) veya ( p ) olduğuu gösteriiz. -) 9p i bir tam are olması içi p asal sayısı hagi değerleri almalıdır?

10 5-) 3 şelide sosuz sayıda asal sayıı var olduğuu gösteriiz. 6-) 6 5 şelide sosuz sayıda asal sayıı var olduğuu gösteriiz. (Yol göst: N ( q. q K, q ) = 6( q. q K, q ) 5 alıız. = 6 s s 7-) (a) İi iiz asal sayıı çarpımıı bir fazlasıı daima bir tam sayıı aresi olduğuu gösteriiz. (b) p > 3 olma üzere p ve p gibi iiz asal sayıları toplamıı ile alasız olara bölüdüğüü gösteriiz. 8-) p > 3 ola bir asal sayı ise p ü ile alasız olara bölüebileceğii gösteriiz. 9-) 7 sayısıı asal olup olmadığıı araştırıız. -) p, p, K, p birbiride farlı tae asal sayı ise L p p p toplamıı hiçbir zama tamsayı olamayacağıı gösteriiz. -) > ola her doğal sayı içi, gösteriiz. sayılarıda e az birii asal olmadığıı -) 3 ü 5! i böle e büyü uvvetii buluuz. (Cevap: ) 3-) 3! sayısıı souda aç sıfır vardır? (Cevap: 99)! -) = a b c ise i bir tam sayı olduğuu gösteriiz. a! b! c! m 5-) N olsu. = am L a a, am, i =, K, m içi a i < gösterilişii göz öüe alara = = olduğuu gösteriiz.