Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi"

Transkript

1 İSTATİSTİK I: Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 22 Eylül 2012 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 1

2 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

3 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

4 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

5 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

6 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

7 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2

8 İSTATİSTİK İSTATİSTİK I Olasılık Teorisi Rassal Değişkenler Kesikli ve Sürekli R.D. Olasılık Fonksiyonu Beklenen Değer, Moment Normal Dağılım Merkezi Limit Teoremi İSTATİSTİK II Örnekleme ve Örneklem Dağılımları Nokta ve Aralık Tahmini Hipotez Testi Regresyon ve Korelasyon Parametrik Olmayan Testler Varyans Analizi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 3

9 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4

10 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4

11 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4

12 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4

13 OLASILIK DAĞILIMLARI - KESİKLİ f(x) ile göstereceğiz, f(x) 0, f(x) = P(X = x), xf(x) = 1, Bu toplam x in alabileceği tüm değerler üzerinedir, Birikimli dağılım fonksiyonu: P(X x 0 ) = F(x 0 ) = x x 0 f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 5

14 KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek: 3 para atılıyor ve tura (T) gelme sayısı X ile gösteriliyor. Bu deneyde ortaya çıkabilecek sonuçlar şunlardır: (TTT), (TTY), (TYT), (YTT), (TYY), (YTY), (YYT), ve (YYY). Bu 8 sonuç karşılıklı olarak bağdaşmazdır ve herbirinin gelme olasılığı aynıdır. Olasılık: 1/8. X in alabileceği değerler: 0, 1, 2, and 3. X rassal değişkeninin dağılımını bulalım. Sonuçlar x f(x) YYY 0 1/8 YYT 1 YTY 1 3/8 TYY 1 YTT 2 TYT 2 3/8 TTY 2 TTT 3 1/8 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 6

15 X in olasılık dağılımı: x f(x) = 1 P(X 1) =? P(1 X 3) =? x f(x) = P(X = x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 7

16 X in birikimli olasılık dağılımı F(x) = P(X x) = 0, x < 0; 1 8, 0 x < 1; 1 2, 1 x < 2; 7 8, 2 x < 3; 1, x 3. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 8

17 Kesikli Olasılık Dağılımı 0.4 OLASILIK FONKSIYONU f(x) x 1 BIRIKIMLI OLASILIK FONKSIYONU F(x) x

18 Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 10

19 Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 10

20 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 11

21 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 11

22 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: Var(X) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X)+(E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E(XE(X))+E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 +(E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. Var(X) = E ( X 2) µ 2 x Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 12

23 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: Var(X) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X)+(E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E(XE(X))+E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 +(E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. Var(X) = E ( X 2) µ 2 x Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 12

24 Kesikli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x x k f(x) k = 0,1,2, moment µ 1 = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = Var(X)+µ moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 13

25 Kesikli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ 1 ) k ) = x (x µ 1 ) k f(x) k = 0,1,2, merkezi moment m 1 = 0 2. merkezi moment m 2 = E((X µ 1 ) 2 ) = Var(X) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ 1 ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ 1 ) 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 14

26 Kesikli r.d. lerin STANDART MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci standart momenti γ k = m k σ k k = 0,1,2,... Burada σ populasyon standart sapmasıdır: σ = Var(X) = E [(X µ 1 ) 2] 1. standart moment γ 1 = 0 2. standart moment γ 2 = 1 neden? 3. standart moment γ 3 = m 3 σ çarpıklık (skewness) 3 4. standart moment γ 4 = m 4 σ basıklık (kurtosis) 4 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 15

27 Bazı Kesikli Dağılımlar Bernoulli Binom Hipergeometrik Poisson Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 16

28 Bernoulli(p) Dağılımı Beklenen Değer: f(x) = { p, if X = 1 1 p, if X = 0 E(X) = x xf(x) = p 1+(1 p) 0 = p İkinci Moment: E(X 2 ) = x x 2 f(x) = p 1+(1 p) 0 = p Varyans (ikinci merkezi moment): Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = p p 2 = p(1 p) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 17

29 BİNOM DAĞILIMI X, n bağımsız Bernoulli denemesinde 1 değerini alma (başarı) sayısı olsun. Yani eğer Y Bernoulli(p) ise X = (Y), Binom(n,p) dağılımına uyar. X toplam başarı sayısı. f(x) = ( n x ) p x (1 p) n x = n! x!(n x)! px (1 p) n x, x = 0,1,2,...,n E(X) = np Var(X) = np(1 p) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 18

30 HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Eğer Bernoulli denemeleri birbirinden bağımsız değilse, toplam başarı sayısı Binom dağılımına uymaz. İçinde B tane başarı bulunan N nesneli rassal bir örneklemde, toplam başarı sayısı X in olasılık dağılımı ( )( ) B N B x n x f(x) = ( ) N n Burada x max(0,n (N B)) ve min(n,b) arasında tamsayı değerler alabilir E(X) = np, Var(X) = N n N 1 np(1 p), p = B N Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 19

31 POISSON DAĞILIMI Bir olayın belli bir zaman diliminde gerçekleşme sayısı Notasyon: X P oisson(λ), pmf: f(x,λ) = λx e λ, x = 0,1,2,... x! E(X) = λ Var(X) = λ skewness = 1 λ excess kurtosis = 1 λ Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 20

32 Kesikli r.d. için ORTAK DAĞILIMLAR ORTAK OLASILIK FONKSİYONU: Birden fazla r.d. in ortak davranışını betimlemek istiyoruz. Önce iki değişkenli durumu inceleyelim. X ve Y iki r.d. olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) = P(X = x Y = y) Daha genel olarak X 1,X 2,...,X k k tane kesikli r.d. ise bunların ortak olasılık fonksiyonu şöyle olur: f(x 1,x 2,...,x k ) = P(X 1 = x 1 X 2 = x 2,,..., X k = x k ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 21

33 Örnek X: Bir bankada 1 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı, Y: Bir bankada 2 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı. Bu iki r.d. için ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. y \x Toplam Toplam Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 22

34 MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle marjinal ya da tekil olasılık fonksiyonları elde edilebilir. X in marjinal olasılık fonksiyonu: f(x) = y f(x,y) Y nin marjinal olasılık fonksiyonu: f(y) = x f(x,y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 23

35 KOŞULLU OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle koşullu olasılık fonksiyonları elde edilebilir. Y = y verilmişken X in koşullu olasılık fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) X = x verilmişken Y nin koşullu olasılık fonksiyonu: f(y x) = f(x,y) f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 24

36 BAĞIMSIZLIK X ve Y r.d. lerinin istatistik bakımından bağımsız olduğunu söyleyebilmemiz için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir: Başka bir deyişle f(x,y) = f(x)f(y) f(x y) = f(x), vef(y x) = f(y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 25

37 KOVARYANS g(x, Y), X ve Y r.d. lerinin herhangi bir fonksiyonunu ifade etsin. Bu fonksiyonun beklenen değeri: E[g(X,Y)] = g(x,y)f(x,y) x y g(x,y) = (X µ x )(Y µ y ) olsun. Bu fonksiyonun beklenen değerine KOVARYANS denir: Cov(X,Y) = (x µ x )(y µ y )f(x,y) x y Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 26

38 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27

39 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27

40 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27

41 Örnek Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx 0 a b x

42 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU X sürekli r.d. için birikimli olasılık fonksiyonu, ya da dağılım fonksiyonu, X in belli bir x değerini aşmama olasılığı olarak tanımlanır ve F(x) ile gösterilir. F(x) = P(X x) = x oyf ile dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki: f(x) = df(x) dx f(t)dt Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 29

43 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU F(x) in özellikleri: F( ) = 0, F(+ ) = 1 Buna göre F(x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x 1 x 2 olmak üzere F(x 1 ) F(x 2 ). P(a < X < b) = F(b) F(a) = b a f(x)dx P( < X < + ) = P( < X < a)+p(a < X < b)+p(b < X < + f(x)dx = a f(x)dx+ b a f(x)dx+ + b f(x)dx F(+ ) F( ) = [F(a) F( )]+P(a < X < b)+[f(+ ) F(b)] 1 = F(a) 0+P(a < X < b)+1 F(b) P(a < X < b) = F(b) F(a) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 30

44 Örnek oyf ve Birikimli oyf f(x) F(+ ) F(b) = 1 F(b) F(a) F( ) = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) 0 a b x

45 SÜREKLİ r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ E(X) µ x = g(x), X in bir fonksiyonu ise, E(g(X)) = Var(X) = xf(x)dx g(x)f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 32

46 Varyans İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: Var(X) = E [ (X E(X)) 2] = = = E(X 2 ) µ 2 x x 2 f(x)dx+µ 2 x ( x 2 f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx f(x)dx 2µ x xf(x)dx xf(x)dx ) 2 Burada f(x)dx = 1 ve xf(x)dx = E(X) µ x özelliklerini kullandık. Bunu kesikli r.d.ler için de göstermiştik. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 33

47 Sürekli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x k f(x)dx k = 0,1,2,... x X 1. moment µ 1 = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = Var(X)+µ moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 34

48 Sürekli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ 1 ) k ) = (x µ 1 ) k f(x)dx k = 0,1,2,... x X 1. merkezi moment m 1 = 0 2. merkezi moment m 2 = E((X µ 1 ) 2 ) = Var(X) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ 1 ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ 1 ) 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 35

49 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a+bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y] = E[a+bX] = a+be(x) X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: Y = b 1 X 1 +b n X b n X n E[Y] = b 1 E[X 1 ]+b 2 E[X 2 ]+...+b n E[X n ] ya da kısaca ( n ) E(Y) = E b i X i = i=1 n b i E(X i ) i=1 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 36

50 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a+bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y] = E[a+bX] = a+be(x) X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: Y = b 1 X 1 +b n X b n X n E[Y] = b 1 E[X 1 ]+b 2 E[X 2 ]+...+b n E[X n ] ya da kısaca ( n ) E(Y) = E b i X i = i=1 n b i E(X i ) i=1 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 36

51 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37

52 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37

53 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37

54 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38

55 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38

56 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38

57 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38

58 Sürekli Standart Uniform (Tekdüze) Dağılım Notasyon: X U(0,1), oyf: f(x) = { 1, if 0 < x < 1, 0, otherwise. (1) E(X) = 1 2 Var(X) = 1 12 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 39

59 (Genel) Uniform (Tekdüze) Dağılım Notasyon: X U(a,b), oyf: f(x;a,b) = { 1 b a if a < x < b, 0, otherwise. E(X) = b a 2 Median = b a 2 Var(X) = (b a)2 12 Skewness = 0 Excess kurtosis = 6 5 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 40

60 X U(a,b) için beklenen değer ve varyans b x E(X) = a b a dx [ 1 b 2 a 2 ] = b a 2 = (b a)(b+a) 2(b a) = a+b 2 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 41

61 X U(a,b) için g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. b E[g(x)] = x 2 1 a b a = b3 a 3 3(b a) = (b a)(b2 +ab+a 2 ) 3(b a) = a2 +ab+b 2 = E[X 2 ]. 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 42

62 X U(a,b) için varyans Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 +ab+b 2 ) 3 = (b a)2 12 (a+b)2 4 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 43

63 U (a,b) için dağılım fonksiyonu F(x) = P(X x) x 1 = a b a dt t x = b a a = x a, a x b aralığı için b a yazılabilir. Öyleyse X U(a,b) nin bof nu şöyle olur: 0, x < a için; x a F(x) = b a, a x b için; 1, x > b için. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 44

64 Uniform Dağılım f(x) F(x) 1 b a 1 0 a b x 0 a b x

65 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46

66 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46

67 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46

68 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46

69 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47

70 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47

71 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47

72 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48

73 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48

74 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48

75 Üstel (Exponential) Dağılım f ( 1x ) oyf: f( x) =e x F ( 1 x ) bof: f( x) =1 e x P( X > 1) = 1 e x dx x x

76 ORTAK OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU X ve Y, sırasıyla, < X < + ve < Y < + aralıklarında tanımlı iki sürekli r.d. olsun. Bu iki r.d. için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x, y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. f(x,y) 0, Pr(a < X < b,c < Y < d) = f(x,y)dxdy = 1, d b c a f(x, y)dxdy. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 50

77 f(x,y) = xye (x2 +y 2), x > 0, y > 0, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) y x 1.5 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 51

78 Örnek Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( 0 < X < 1 2, 1 < Y < 2) olasılığını bulun. { k(x+y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise; f(x,y) = 0, değilse. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 52

79 Örnek: devam Öncelikle f(x,y) > 0 koşulunun sağlanabilmesi için k > 0 olmalı. İkinci koşuldan hareketle k(x+y)dxdy = 1 2 ( ) 1 = k 0 2 +y dy = k = 3k = 1 ( ) 1 2 y + y k = 1 3 bulunur. Öyleyse ooyf f(x,y) = { 1 3 (x+y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise; 0, değilse. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 53

80 İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P (0 < X < 12 ), 1 < Y < 2 = = (x+y)dxdy ( ) 2 y dy = 1 3 ( ) 1 8 y + y2 4 = 7 24 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 54

81 MARJİNAL YOĞUNLUK FONKSİYONU X in myf: f(x) = İntegralin sınırları y nin tanım aralığıdır. Y nin myf: f(y) = İntegralin sınırları x in tanım aralığıdır. f(x,y)dy f(x,y)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 55

82 Örnek Önceki örnekteki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 1 f(x) = 0 3 (x+y)dy = 1 ) (xy + y = 2 3 (x+1) 0 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 56

83 Örnek: moyf Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: { 2 f(x) = 3 (x+1), 0 < x < 1 ise; 0, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu { 1 g(y) = 3 (y ), 0 < y < 2 ise; 0, degilse. olur. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 57

84 KOŞULLU OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU Y = y değeri verilmişken X in koşullu yoğunluk fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) Benzer şekilde X = x verilmişken Y nin koşullu yoğunluk fonksiyonu f(y x) = f(x,y) f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 58

85 BAĞIMSIZLIK Hatırlarsak aşağıdaki koşul sağlanıyorsa A ve B bağımsız olaylardır denir: P(A B) = P(A)P(B) Benzer şekilde X ve Y iki bağımsız sürekli r.d. ise f(x,y) = f(x)f(y) koşulu sağlanmalıdır. i.e., ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu iki r.d. birbirinden bağımsızdır. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 59

86 BAĞIMSIZLIK Önceki koşul genelleştirilebilir. X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 60

87 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK Önceki örnekteki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 3 (x+1)1 3 (y ) f(x,y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 61

88 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. { 1 f(x,y) = 9, 1 < x < 4, 1 < y < 4 ise; 0, degilse. Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan f(x) = g(y) = dy = dx = 1 3 f(x,y) = 1 9 = f(x)g(y) = ( 1 3 )( ) 1 3 koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 62

89 NORMAL DAĞILIM Notasyon: X N(µ,σ 2 ) f(x;µ,σ 2 ) = 1 ( σ 2π exp 1 ) 2σ 2(x µ)2, < x < E(X) = µ Var(X) = σ 2 skewness = 0 kurtosis = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 63

90 Normal Dağılım oyf, σ 2 = 1, farklı lokasyon parametreleri (µ) 0.4 Normal Dagilim, σ 2 = µ = 2 µ = 0 µ = 2 µ = µ = 5 φ(x) x

91 Normal Dağılım oyf, µ = 0, farklı varyans (scale) parametreleri 0.4 Normal Dagilim, µ= σ 2 = 1, µ = φ(x) 0.2 σ 2 = 2, µ = σ 2 = 3, µ = x

92 STANDART NORMAL DAĞILIM Z = X µ σ, φ(z) = 1 exp ( 12 ) z2, < z < 2π Birikimli dağılım fonksiyonu: Φ(z) = P(Z z) = E(Z) = 0 Var(Z) = 1 z 1 exp ( 12 ) t2 dt 2π Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 66

93 STANDART NORMAL DAGILIM φ(z) 1 STANDART NORMAL DAGILIM Φ(z)

94 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI X N(µ,σ 2 ) olsun. Aşağıdaki olasılığı hesaplamak istiyoruz: P(a < X < b) = b a ( 1 σ 2π exp 1 ) 2σ 2(x µ)2 dx Bu integralin açık bir çözümü yoktur. Ancak nümerik yöntemlerle istenen kesinlik düzeyinde hesaplanabilir. Bunun için her seferinde bilgisayarda hesap yapmak yerine, standart normal dağılım tablolarını kullanabiliriz. İstenen olasılığı aşağıdaki gibi yazalım: ( a µ P σ < X µ σ < b µ σ ) ( a µ = P σ < Z < b µ σ ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 68

95 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI ( a µ P σ < Z < b µ ) = Φ σ ( ) ( ) b µ a µ Φ σ σ Burada Φ(z) = P(Z z) standart normal dağılımın z deki değeridir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 69

96 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI Bu tabloda sadece pozitif değerler için dağılım fonksiyonu değerleri verilmiştir. Negatif değerler için Φ(z) = P(Z z) nin simetri özelliği kullanılabilir: e.g.: Φ( z) = P(Z z) = P(Z z) = 1 P(Z z) = 1 Φ(z) P(Z 1.25) = Φ( 1.25) = 1 Φ(1.25) = = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 70

97

98 P( 1.25<Z<1.25) = Φ(1.25) Φ( 1.25) = Φ(1.25) (1 Φ(1.25)) = = Φ( 1.25) = Φ(1.25) =

99 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun. Başka bir şekilde ifade etmek istersek: X i i.i.d (µ,σ 2 ), i = 1,2,...,n iid: türdeş (identical), ve bağımsız (independent) dağılımlı Burada dağılımın ne olduğunu belirtmediğimize dikkat edin. Bu r.d. lerin toplamlarının beklenen değeri ve varyansı: E[X 1 +X X n ] = E[X 1 ]+E[X 2 ]+...+E[X n ] = nµ Var[X 1 +X X n ] = Var[X 1 ]+Var[X 2 ]+...+Var[X n ] = nσ 2 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 73

100 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) Bu r.d. lerin toplamına X diyelim. Yani, X = X 1 +X X n Z = X E(X) Var(X) = X nµ nσ 2 = X n µ n 1/2 n σ = X µ σ/ n N(0,1) MLT ye göre gözlem sayısı arttıkça, yani, n, yukarıdaki ifade standart normal dağılıma yakınsar, yani, Z N(0,1) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 74

101 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ 2000 n= n= n= n= n= n= n= n= n=

102 BÜYÜK SAYILAR KANUNU (LAW of LARGE NUMBERS) Merkezi Limit Teoremi, Büyük Sayılar Kanunu ile yakından ilişkilidir. Büyük Sayılar Kanununa göre, türdeş dağılımlı (aynı anakütle beklenen değeri µ ve varyansına σ 2 sahip), birbirinden bağımsız ve sonlu varyanslı n r.d. in aritmetik ortalaması (örneklem ortalaması) n büyüdükçe anakütle ortalamasına yakınsar. X n = 1 n (X 1 +X X n ) örneklem ortalaması olsun. Büyük sayılar yasasına göre n, X n µ Başka bir deyişle, istediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz ɛ gibi pozitif herhangi bir sayı için: lim P [ X n µ < ɛ ] = 1 n Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 76

103 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ ÖRNEK X 1,X 2,...,X 12 birbirinden bağımsız ve herbiri U (0,b), b > 0 dağılımına sahip rassal değişkenler olsun. Merkezi Limit Teoremini kullanarak P( b 4 < X < 3b 4 ) olasılığının yaklaşık olduğunu gösterelim. CEVAP: Bu 12 bağımsız r.d. uniform anakütleden geldiğine göre önce anakütledeki ortalama ve varyansı bulmamız gerekir. Uniform(a, b) dağılım için beklenen değer ve varyans olduğuna göre, örneğimizde µ x = b+a 2, σ2 x = (b a)2 12 olur. µ x = b 2, σ2 x = b2 12 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 77

104 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ: Örnek Var(X) = σ2 x n = b2 144 CEVAP (devam): MLT yi kullanarak: P ( b 4 < X < 3b ) 4 ( b 4 = P b 2 < X µ 3b x b 12 σ 2 x /n < 4 ) b 2 b 12 = P( 3 < Z < 3) = Φ(3) (1 Φ(3)) = ( ) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 78

105 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79

106 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79

107 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79

108 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79

109 t Dağılımı 0.4 Standart Normal t ν ν=

110 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=

111 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=

112 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=

113 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=

114 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=

115 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=10 t ν ν=

116 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=10 t ν ν=20 t ν ν=

117 Student t Dağılımı Olasılıkların hesaplanması: t ν, ν s.d. ile Student t dağılımına uyan bir rassal değikeni ifade etsin. t ν,α aşağıdaki eşitliği sağlayan sayı olarak tanımlanır: P(t ν > t ν,α ) = α Örneğin ν = 5 ve α = 0.05 için yukarıdaki eşitliği sağlayan sayı t ν,α = dir: P(t 5 > 2.015) = 0.05 Standart Normal dağılımla karşılaştırırsak: P(Z > 2.015) = Ya da eşik değerlerini karşılaştırırsak: P(Z > 1.645) = 0.05 Burada > olduğuna dikkat edin. Genel olarak t ν,α z α yazılabilir. P(Z > z α ) = α olduğunu hatırlayın. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 88

118 t Dağılımı s.d. Student t dagilimi α P(t 5 >2.015)=α= α t 5

119 STUDENT t DAĞILIMI Olasılıkların hesaplanması: Küçük örneklemlerde Student t dağılımı Normal Dağılıma göre daha yayvandır. Bu nedenle kuyruk olasılıkları daha büyüktür. ν büyüdükçe bu olasılıklar birbirine yaklaşır. Örneğin ν = 60 için P(t 60 > 1.671) = 0.05, ve P(Z > 1.671) = = Yani, ν, t ν,α z α Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 90

120 t Dağılımı s.d. t dagilimi ve standard normal dagilim Std Normal t

121 STUDENT t DAĞILIMI Olasılıkların hesaplanması (Ek Çizelge 6, s.941): ν serbestlik derecesine sahip bir t rassal değişkeninin %100(1 α) olasılıkla içinde yer alacağı iki değer bulmak istiyoruz. t eşik değerleri tablosundan ve simetri özelliğinden hareketle P ( ) α t ν > t ν,α/2 = 2, ve P ( ) α t ν < t ν,α/2 = 2 Olasılık parantezi içinde yer alan olaylar birbiriyle bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı olduğuna göre: P( t ν,α/2 < t ν < t ν,α/2 ) = 1 P(t ν > t ν,α/2 ) P(t ν < t ν,α/2 ) = 1 α 2 α 2 = 1 α Örneğin ν = 10 ve 1 α = 0.95 için t 10,0.025 = 2.228, P (t 10 > 2.228) = ve P (t 10 < 2.228) = 0.025, buradan P( < t 10 < 2.228) = = 0.95 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 92

122 t Dağılımı s.d. Student t dagilimi P( 2.228<t 10 <2.228) = 1 α 0.05 α = α = 0.95 α =

123 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0

124 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0

125 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0

126 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95

127 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95

128 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95

129 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96

130 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96

131 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96

132 Ki-kare dağılımı 0.5 ν serbestlik dereceli ki kare dagilimi ν = ν = ν = ν =

133 Ki-kare dağılımı 0.1 ν=10 serbestlik dereceli ki kare dagiliminin olasilik yog.fonks f(χ 10 ) P(χ 10 >15.99) = χ 2 (10)

134 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99

135 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99

136 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99

137 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99

138 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99

139 F Dağılımı F(2,8) F(6,8) F(6,20) F(10,30) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 100

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

İstatistik I Ders Notları

İstatistik I Ders Notları İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama

Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi: İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.

Detaylı

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal

Detaylı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Ekonometri I VARSAYIMLARI

Ekonometri I VARSAYIMLARI Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal

Detaylı

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir 7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri

Detaylı

Finansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler

Finansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler Finansal Ekonometri Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler Tek Değişkenli Rasgele Değişkenler Tanım (rasgele değişken): Bir rasgele değişken, X, SX örneklem uzayından değerler alan ve bu örneklem

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi

Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi İSTATİSTİK II: Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 23 Eylül 2012 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 1 İstatistik Biliminin Uğraşı

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

3.Ders Rasgele Değişkenler

3.Ders Rasgele Değişkenler 3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele

Detaylı

SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu; şeklinde ise x e düzgün dağılmış rassal değişken, f(x) e sürekli düzgün dağılım denir. a 0 olduğuna göre, f(x) >0 olur.

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

EME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar

EME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar 0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri EME 3117 1 2 Girdi Analizi SİSTEM SIMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et. Veri toplamak için bir plan geliştir. Veri topla. Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap. Girdi Analizi-I

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik

Detaylı

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar

EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar 9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform)

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim

Detaylı

13. Olasılık Dağılımlar

13. Olasılık Dağılımlar 13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler 1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli)

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. F ( ) = Pr[ ] Tipik bir KDF şu şekilde görünür:.0 F () 0 Kümülatif

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi 1.1 Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının anlamlı basamakları (significant digits), o sayının kesinlik ve

Detaylı

RD lerin Fonksiyonları

RD lerin Fonksiyonları RD lerin Fonksiyonları Diğer değişkenler gibi rastgele değişkenlerin de fonksiyonları olur Örneğin 0 ile 1 arasında rastgele seçilmiş bir çap uzunluğu ile oluşturulan dairenin alanı bir RD olarak çap uzunluğunun

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar

AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar Bu derste neler öğreneceksiniz? Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı Olasılık ve Kümüatif Dağılım Fonksiyonları Dağılım

Detaylı

Stokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.

Stokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişkendir. Rastgele değişkenin alacağı değer zamanla değişmektedir. Deney çıktılarına atanan rastgele bir zaman

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X (x ) dx Sürekli

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı

Detaylı

İST Rassal Süreçler Dersi Tarihli Ders Notları. Öznur AY

İST Rassal Süreçler Dersi Tarihli Ders Notları. Öznur AY İST 522 - Rssl Süreçler Dersi 3.3.217 Trihli Ders Notlrı Öznur AY 1 Beklenen Değer E[X] xp(x) xf(x)dx x X Bernoulli(p) E[X] p.1 + (1 p). p X Binomil(n, p) E[X] i.p (X i) ( ) n i p i (1 p) n i i n! i. (n

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı