Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi
|
|
- Bariş Demirkan
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İSTATİSTİK I: Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 22 Eylül 2012 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 1
2 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
3 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
4 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
5 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
6 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
7 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 2
8 İSTATİSTİK İSTATİSTİK I Olasılık Teorisi Rassal Değişkenler Kesikli ve Sürekli R.D. Olasılık Fonksiyonu Beklenen Değer, Moment Normal Dağılım Merkezi Limit Teoremi İSTATİSTİK II Örnekleme ve Örneklem Dağılımları Nokta ve Aralık Tahmini Hipotez Testi Regresyon ve Korelasyon Parametrik Olmayan Testler Varyans Analizi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 3
9 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4
10 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4
11 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4
12 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.): Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 4
13 OLASILIK DAĞILIMLARI - KESİKLİ f(x) ile göstereceğiz, f(x) 0, f(x) = P(X = x), xf(x) = 1, Bu toplam x in alabileceği tüm değerler üzerinedir, Birikimli dağılım fonksiyonu: P(X x 0 ) = F(x 0 ) = x x 0 f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 5
14 KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek: 3 para atılıyor ve tura (T) gelme sayısı X ile gösteriliyor. Bu deneyde ortaya çıkabilecek sonuçlar şunlardır: (TTT), (TTY), (TYT), (YTT), (TYY), (YTY), (YYT), ve (YYY). Bu 8 sonuç karşılıklı olarak bağdaşmazdır ve herbirinin gelme olasılığı aynıdır. Olasılık: 1/8. X in alabileceği değerler: 0, 1, 2, and 3. X rassal değişkeninin dağılımını bulalım. Sonuçlar x f(x) YYY 0 1/8 YYT 1 YTY 1 3/8 TYY 1 YTT 2 TYT 2 3/8 TTY 2 TTT 3 1/8 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 6
15 X in olasılık dağılımı: x f(x) = 1 P(X 1) =? P(1 X 3) =? x f(x) = P(X = x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 7
16 X in birikimli olasılık dağılımı F(x) = P(X x) = 0, x < 0; 1 8, 0 x < 1; 1 2, 1 x < 2; 7 8, 2 x < 3; 1, x 3. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 8
17 Kesikli Olasılık Dağılımı 0.4 OLASILIK FONKSIYONU f(x) x 1 BIRIKIMLI OLASILIK FONKSIYONU F(x) x
18 Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 10
19 Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 10
20 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 11
21 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 11
22 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: Var(X) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X)+(E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E(XE(X))+E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 +(E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. Var(X) = E ( X 2) µ 2 x Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 12
23 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: Var(X) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X)+(E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E(XE(X))+E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 +(E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. Var(X) = E ( X 2) µ 2 x Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 12
24 Kesikli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x x k f(x) k = 0,1,2, moment µ 1 = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = Var(X)+µ moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 13
25 Kesikli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ 1 ) k ) = x (x µ 1 ) k f(x) k = 0,1,2, merkezi moment m 1 = 0 2. merkezi moment m 2 = E((X µ 1 ) 2 ) = Var(X) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ 1 ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ 1 ) 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 14
26 Kesikli r.d. lerin STANDART MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci standart momenti γ k = m k σ k k = 0,1,2,... Burada σ populasyon standart sapmasıdır: σ = Var(X) = E [(X µ 1 ) 2] 1. standart moment γ 1 = 0 2. standart moment γ 2 = 1 neden? 3. standart moment γ 3 = m 3 σ çarpıklık (skewness) 3 4. standart moment γ 4 = m 4 σ basıklık (kurtosis) 4 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 15
27 Bazı Kesikli Dağılımlar Bernoulli Binom Hipergeometrik Poisson Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 16
28 Bernoulli(p) Dağılımı Beklenen Değer: f(x) = { p, if X = 1 1 p, if X = 0 E(X) = x xf(x) = p 1+(1 p) 0 = p İkinci Moment: E(X 2 ) = x x 2 f(x) = p 1+(1 p) 0 = p Varyans (ikinci merkezi moment): Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = p p 2 = p(1 p) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 17
29 BİNOM DAĞILIMI X, n bağımsız Bernoulli denemesinde 1 değerini alma (başarı) sayısı olsun. Yani eğer Y Bernoulli(p) ise X = (Y), Binom(n,p) dağılımına uyar. X toplam başarı sayısı. f(x) = ( n x ) p x (1 p) n x = n! x!(n x)! px (1 p) n x, x = 0,1,2,...,n E(X) = np Var(X) = np(1 p) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 18
30 HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Eğer Bernoulli denemeleri birbirinden bağımsız değilse, toplam başarı sayısı Binom dağılımına uymaz. İçinde B tane başarı bulunan N nesneli rassal bir örneklemde, toplam başarı sayısı X in olasılık dağılımı ( )( ) B N B x n x f(x) = ( ) N n Burada x max(0,n (N B)) ve min(n,b) arasında tamsayı değerler alabilir E(X) = np, Var(X) = N n N 1 np(1 p), p = B N Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 19
31 POISSON DAĞILIMI Bir olayın belli bir zaman diliminde gerçekleşme sayısı Notasyon: X P oisson(λ), pmf: f(x,λ) = λx e λ, x = 0,1,2,... x! E(X) = λ Var(X) = λ skewness = 1 λ excess kurtosis = 1 λ Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 20
32 Kesikli r.d. için ORTAK DAĞILIMLAR ORTAK OLASILIK FONKSİYONU: Birden fazla r.d. in ortak davranışını betimlemek istiyoruz. Önce iki değişkenli durumu inceleyelim. X ve Y iki r.d. olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) = P(X = x Y = y) Daha genel olarak X 1,X 2,...,X k k tane kesikli r.d. ise bunların ortak olasılık fonksiyonu şöyle olur: f(x 1,x 2,...,x k ) = P(X 1 = x 1 X 2 = x 2,,..., X k = x k ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 21
33 Örnek X: Bir bankada 1 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı, Y: Bir bankada 2 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı. Bu iki r.d. için ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. y \x Toplam Toplam Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 22
34 MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle marjinal ya da tekil olasılık fonksiyonları elde edilebilir. X in marjinal olasılık fonksiyonu: f(x) = y f(x,y) Y nin marjinal olasılık fonksiyonu: f(y) = x f(x,y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 23
35 KOŞULLU OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle koşullu olasılık fonksiyonları elde edilebilir. Y = y verilmişken X in koşullu olasılık fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) X = x verilmişken Y nin koşullu olasılık fonksiyonu: f(y x) = f(x,y) f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 24
36 BAĞIMSIZLIK X ve Y r.d. lerinin istatistik bakımından bağımsız olduğunu söyleyebilmemiz için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir: Başka bir deyişle f(x,y) = f(x)f(y) f(x y) = f(x), vef(y x) = f(y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 25
37 KOVARYANS g(x, Y), X ve Y r.d. lerinin herhangi bir fonksiyonunu ifade etsin. Bu fonksiyonun beklenen değeri: E[g(X,Y)] = g(x,y)f(x,y) x y g(x,y) = (X µ x )(Y µ y ) olsun. Bu fonksiyonun beklenen değerine KOVARYANS denir: Cov(X,Y) = (x µ x )(y µ y )f(x,y) x y Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 26
38 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27
39 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27
40 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) 0 f(x)dx = 1 Pr(a < X < b) = b a f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 27
41 Örnek Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx 0 a b x
42 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU X sürekli r.d. için birikimli olasılık fonksiyonu, ya da dağılım fonksiyonu, X in belli bir x değerini aşmama olasılığı olarak tanımlanır ve F(x) ile gösterilir. F(x) = P(X x) = x oyf ile dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki: f(x) = df(x) dx f(t)dt Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 29
43 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU F(x) in özellikleri: F( ) = 0, F(+ ) = 1 Buna göre F(x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x 1 x 2 olmak üzere F(x 1 ) F(x 2 ). P(a < X < b) = F(b) F(a) = b a f(x)dx P( < X < + ) = P( < X < a)+p(a < X < b)+p(b < X < + f(x)dx = a f(x)dx+ b a f(x)dx+ + b f(x)dx F(+ ) F( ) = [F(a) F( )]+P(a < X < b)+[f(+ ) F(b)] 1 = F(a) 0+P(a < X < b)+1 F(b) P(a < X < b) = F(b) F(a) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 30
44 Örnek oyf ve Birikimli oyf f(x) F(+ ) F(b) = 1 F(b) F(a) F( ) = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) 0 a b x
45 SÜREKLİ r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ E(X) µ x = g(x), X in bir fonksiyonu ise, E(g(X)) = Var(X) = xf(x)dx g(x)f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 32
46 Varyans İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: Var(X) = E [ (X E(X)) 2] = = = E(X 2 ) µ 2 x x 2 f(x)dx+µ 2 x ( x 2 f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx f(x)dx 2µ x xf(x)dx xf(x)dx ) 2 Burada f(x)dx = 1 ve xf(x)dx = E(X) µ x özelliklerini kullandık. Bunu kesikli r.d.ler için de göstermiştik. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 33
47 Sürekli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x k f(x)dx k = 0,1,2,... x X 1. moment µ 1 = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = Var(X)+µ moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 34
48 Sürekli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ 1 ) k ) = (x µ 1 ) k f(x)dx k = 0,1,2,... x X 1. merkezi moment m 1 = 0 2. merkezi moment m 2 = E((X µ 1 ) 2 ) = Var(X) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ 1 ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ 1 ) 4 ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 35
49 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a+bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y] = E[a+bX] = a+be(x) X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: Y = b 1 X 1 +b n X b n X n E[Y] = b 1 E[X 1 ]+b 2 E[X 2 ]+...+b n E[X n ] ya da kısaca ( n ) E(Y) = E b i X i = i=1 n b i E(X i ) i=1 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 36
50 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a+bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y] = E[a+bX] = a+be(x) X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: Y = b 1 X 1 +b n X b n X n E[Y] = b 1 E[X 1 ]+b 2 E[X 2 ]+...+b n E[X n ] ya da kısaca ( n ) E(Y) = E b i X i = i=1 n b i E(X i ) i=1 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 36
51 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37
52 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37
53 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X 2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 37
54 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38
55 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38
56 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38
57 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için Var(c) = 0 Y = bx in varyansı, b sabit Var(Y) = Var(bX) = b 2 Var(X) Y = a+bx in varyansı Var(Y) = Var(a+bX) = b 2 Var(X) X ve Y iki bağımsız r.d. ise Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y) Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 38
58 Sürekli Standart Uniform (Tekdüze) Dağılım Notasyon: X U(0,1), oyf: f(x) = { 1, if 0 < x < 1, 0, otherwise. (1) E(X) = 1 2 Var(X) = 1 12 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 39
59 (Genel) Uniform (Tekdüze) Dağılım Notasyon: X U(a,b), oyf: f(x;a,b) = { 1 b a if a < x < b, 0, otherwise. E(X) = b a 2 Median = b a 2 Var(X) = (b a)2 12 Skewness = 0 Excess kurtosis = 6 5 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 40
60 X U(a,b) için beklenen değer ve varyans b x E(X) = a b a dx [ 1 b 2 a 2 ] = b a 2 = (b a)(b+a) 2(b a) = a+b 2 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 41
61 X U(a,b) için g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. b E[g(x)] = x 2 1 a b a = b3 a 3 3(b a) = (b a)(b2 +ab+a 2 ) 3(b a) = a2 +ab+b 2 = E[X 2 ]. 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 42
62 X U(a,b) için varyans Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 +ab+b 2 ) 3 = (b a)2 12 (a+b)2 4 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 43
63 U (a,b) için dağılım fonksiyonu F(x) = P(X x) x 1 = a b a dt t x = b a a = x a, a x b aralığı için b a yazılabilir. Öyleyse X U(a,b) nin bof nu şöyle olur: 0, x < a için; x a F(x) = b a, a x b için; 1, x > b için. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 44
64 Uniform Dağılım f(x) F(x) 1 b a 1 0 a b x 0 a b x
65 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46
66 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46
67 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46
68 ÖRNEK Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. { e f(x) = x, 0 < x < ise; 0, değilse. 1 Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2 Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3 P(X > 1) olasılığını hesaplayın. 4 Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 46
69 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47
70 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47
71 CEVAP 1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: 1 (i) İlk olarak, f(x) 0 koşulunun 0 < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. 2 (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin 1 olması gerekir. 0 e x dx = 1 e x = 1 0 e ( e 0 ) = = 1 e = lim x e x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 47
72 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48
73 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48
74 1 P(X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2 P(X > 1) = 1 e x dx 3 F(x) = = e x 1 = e x 0 e t dt = e t x 0 = e x +e 0 = 1 e x Buradan birikimli olasılık fonksiyonu { 0, x < 0; F(x) = 1 e x, 0 < x <. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 48
75 Üstel (Exponential) Dağılım f ( 1x ) oyf: f( x) =e x F ( 1 x ) bof: f( x) =1 e x P( X > 1) = 1 e x dx x x
76 ORTAK OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU X ve Y, sırasıyla, < X < + ve < Y < + aralıklarında tanımlı iki sürekli r.d. olsun. Bu iki r.d. için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x, y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. f(x,y) 0, Pr(a < X < b,c < Y < d) = f(x,y)dxdy = 1, d b c a f(x, y)dxdy. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 50
77 f(x,y) = xye (x2 +y 2), x > 0, y > 0, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) y x 1.5 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 51
78 Örnek Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( 0 < X < 1 2, 1 < Y < 2) olasılığını bulun. { k(x+y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise; f(x,y) = 0, değilse. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 52
79 Örnek: devam Öncelikle f(x,y) > 0 koşulunun sağlanabilmesi için k > 0 olmalı. İkinci koşuldan hareketle k(x+y)dxdy = 1 2 ( ) 1 = k 0 2 +y dy = k = 3k = 1 ( ) 1 2 y + y k = 1 3 bulunur. Öyleyse ooyf f(x,y) = { 1 3 (x+y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise; 0, değilse. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 53
80 İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P (0 < X < 12 ), 1 < Y < 2 = = (x+y)dxdy ( ) 2 y dy = 1 3 ( ) 1 8 y + y2 4 = 7 24 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 54
81 MARJİNAL YOĞUNLUK FONKSİYONU X in myf: f(x) = İntegralin sınırları y nin tanım aralığıdır. Y nin myf: f(y) = İntegralin sınırları x in tanım aralığıdır. f(x,y)dy f(x,y)dx Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 55
82 Örnek Önceki örnekteki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 1 f(x) = 0 3 (x+y)dy = 1 ) (xy + y = 2 3 (x+1) 0 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 56
83 Örnek: moyf Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: { 2 f(x) = 3 (x+1), 0 < x < 1 ise; 0, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu { 1 g(y) = 3 (y ), 0 < y < 2 ise; 0, degilse. olur. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 57
84 KOŞULLU OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU Y = y değeri verilmişken X in koşullu yoğunluk fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) Benzer şekilde X = x verilmişken Y nin koşullu yoğunluk fonksiyonu f(y x) = f(x,y) f(x) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 58
85 BAĞIMSIZLIK Hatırlarsak aşağıdaki koşul sağlanıyorsa A ve B bağımsız olaylardır denir: P(A B) = P(A)P(B) Benzer şekilde X ve Y iki bağımsız sürekli r.d. ise f(x,y) = f(x)f(y) koşulu sağlanmalıdır. i.e., ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu iki r.d. birbirinden bağımsızdır. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 59
86 BAĞIMSIZLIK Önceki koşul genelleştirilebilir. X 1,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 60
87 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK Önceki örnekteki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 3 (x+1)1 3 (y ) f(x,y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 61
88 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. { 1 f(x,y) = 9, 1 < x < 4, 1 < y < 4 ise; 0, degilse. Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan f(x) = g(y) = dy = dx = 1 3 f(x,y) = 1 9 = f(x)g(y) = ( 1 3 )( ) 1 3 koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 62
89 NORMAL DAĞILIM Notasyon: X N(µ,σ 2 ) f(x;µ,σ 2 ) = 1 ( σ 2π exp 1 ) 2σ 2(x µ)2, < x < E(X) = µ Var(X) = σ 2 skewness = 0 kurtosis = 3 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 63
90 Normal Dağılım oyf, σ 2 = 1, farklı lokasyon parametreleri (µ) 0.4 Normal Dagilim, σ 2 = µ = 2 µ = 0 µ = 2 µ = µ = 5 φ(x) x
91 Normal Dağılım oyf, µ = 0, farklı varyans (scale) parametreleri 0.4 Normal Dagilim, µ= σ 2 = 1, µ = φ(x) 0.2 σ 2 = 2, µ = σ 2 = 3, µ = x
92 STANDART NORMAL DAĞILIM Z = X µ σ, φ(z) = 1 exp ( 12 ) z2, < z < 2π Birikimli dağılım fonksiyonu: Φ(z) = P(Z z) = E(Z) = 0 Var(Z) = 1 z 1 exp ( 12 ) t2 dt 2π Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 66
93 STANDART NORMAL DAGILIM φ(z) 1 STANDART NORMAL DAGILIM Φ(z)
94 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI X N(µ,σ 2 ) olsun. Aşağıdaki olasılığı hesaplamak istiyoruz: P(a < X < b) = b a ( 1 σ 2π exp 1 ) 2σ 2(x µ)2 dx Bu integralin açık bir çözümü yoktur. Ancak nümerik yöntemlerle istenen kesinlik düzeyinde hesaplanabilir. Bunun için her seferinde bilgisayarda hesap yapmak yerine, standart normal dağılım tablolarını kullanabiliriz. İstenen olasılığı aşağıdaki gibi yazalım: ( a µ P σ < X µ σ < b µ σ ) ( a µ = P σ < Z < b µ σ ) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 68
95 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI ( a µ P σ < Z < b µ ) = Φ σ ( ) ( ) b µ a µ Φ σ σ Burada Φ(z) = P(Z z) standart normal dağılımın z deki değeridir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 69
96 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI Bu tabloda sadece pozitif değerler için dağılım fonksiyonu değerleri verilmiştir. Negatif değerler için Φ(z) = P(Z z) nin simetri özelliği kullanılabilir: e.g.: Φ( z) = P(Z z) = P(Z z) = 1 P(Z z) = 1 Φ(z) P(Z 1.25) = Φ( 1.25) = 1 Φ(1.25) = = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 70
97
98 P( 1.25<Z<1.25) = Φ(1.25) Φ( 1.25) = Φ(1.25) (1 Φ(1.25)) = = Φ( 1.25) = Φ(1.25) =
99 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun. Başka bir şekilde ifade etmek istersek: X i i.i.d (µ,σ 2 ), i = 1,2,...,n iid: türdeş (identical), ve bağımsız (independent) dağılımlı Burada dağılımın ne olduğunu belirtmediğimize dikkat edin. Bu r.d. lerin toplamlarının beklenen değeri ve varyansı: E[X 1 +X X n ] = E[X 1 ]+E[X 2 ]+...+E[X n ] = nµ Var[X 1 +X X n ] = Var[X 1 ]+Var[X 2 ]+...+Var[X n ] = nσ 2 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 73
100 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) Bu r.d. lerin toplamına X diyelim. Yani, X = X 1 +X X n Z = X E(X) Var(X) = X nµ nσ 2 = X n µ n 1/2 n σ = X µ σ/ n N(0,1) MLT ye göre gözlem sayısı arttıkça, yani, n, yukarıdaki ifade standart normal dağılıma yakınsar, yani, Z N(0,1) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 74
101 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ 2000 n= n= n= n= n= n= n= n= n=
102 BÜYÜK SAYILAR KANUNU (LAW of LARGE NUMBERS) Merkezi Limit Teoremi, Büyük Sayılar Kanunu ile yakından ilişkilidir. Büyük Sayılar Kanununa göre, türdeş dağılımlı (aynı anakütle beklenen değeri µ ve varyansına σ 2 sahip), birbirinden bağımsız ve sonlu varyanslı n r.d. in aritmetik ortalaması (örneklem ortalaması) n büyüdükçe anakütle ortalamasına yakınsar. X n = 1 n (X 1 +X X n ) örneklem ortalaması olsun. Büyük sayılar yasasına göre n, X n µ Başka bir deyişle, istediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz ɛ gibi pozitif herhangi bir sayı için: lim P [ X n µ < ɛ ] = 1 n Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 76
103 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ ÖRNEK X 1,X 2,...,X 12 birbirinden bağımsız ve herbiri U (0,b), b > 0 dağılımına sahip rassal değişkenler olsun. Merkezi Limit Teoremini kullanarak P( b 4 < X < 3b 4 ) olasılığının yaklaşık olduğunu gösterelim. CEVAP: Bu 12 bağımsız r.d. uniform anakütleden geldiğine göre önce anakütledeki ortalama ve varyansı bulmamız gerekir. Uniform(a, b) dağılım için beklenen değer ve varyans olduğuna göre, örneğimizde µ x = b+a 2, σ2 x = (b a)2 12 olur. µ x = b 2, σ2 x = b2 12 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 77
104 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ: Örnek Var(X) = σ2 x n = b2 144 CEVAP (devam): MLT yi kullanarak: P ( b 4 < X < 3b ) 4 ( b 4 = P b 2 < X µ 3b x b 12 σ 2 x /n < 4 ) b 2 b 12 = P( 3 < Z < 3) = Φ(3) (1 Φ(3)) = ( ) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 78
105 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79
106 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79
107 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79
108 Student t Dağılımı TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d. olsun: Z N(0,1), ve Y χ 2 ν. Aşağıda tanımlanan r.d. ν serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar. t ν = Z Y/ν t ν t ν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν s.d. paydada yer alan ki-kare r.d. nin serbestlik derecesidir. ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.: ) f(t) = Γ( ν+1 2 Γ(ν/2) πν 1 (1+(t 2 /ν)) (ν+1)/2, < t < Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(t ν ) = 0 ve ν 3 için Var(t ν ) = ν/(ν 2) ν, t ν N(0,1) İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 79
109 t Dağılımı 0.4 Standart Normal t ν ν=
110 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=
111 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=
112 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=
113 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=
114 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=
115 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=10 t ν ν=
116 t Dağılımı Standart Normal t ν ν=1 t ν ν=2 t ν ν=3 t ν ν=4 t ν ν=5 t ν ν=10 t ν ν=20 t ν ν=
117 Student t Dağılımı Olasılıkların hesaplanması: t ν, ν s.d. ile Student t dağılımına uyan bir rassal değikeni ifade etsin. t ν,α aşağıdaki eşitliği sağlayan sayı olarak tanımlanır: P(t ν > t ν,α ) = α Örneğin ν = 5 ve α = 0.05 için yukarıdaki eşitliği sağlayan sayı t ν,α = dir: P(t 5 > 2.015) = 0.05 Standart Normal dağılımla karşılaştırırsak: P(Z > 2.015) = Ya da eşik değerlerini karşılaştırırsak: P(Z > 1.645) = 0.05 Burada > olduğuna dikkat edin. Genel olarak t ν,α z α yazılabilir. P(Z > z α ) = α olduğunu hatırlayın. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 88
118 t Dağılımı s.d. Student t dagilimi α P(t 5 >2.015)=α= α t 5
119 STUDENT t DAĞILIMI Olasılıkların hesaplanması: Küçük örneklemlerde Student t dağılımı Normal Dağılıma göre daha yayvandır. Bu nedenle kuyruk olasılıkları daha büyüktür. ν büyüdükçe bu olasılıklar birbirine yaklaşır. Örneğin ν = 60 için P(t 60 > 1.671) = 0.05, ve P(Z > 1.671) = = Yani, ν, t ν,α z α Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 90
120 t Dağılımı s.d. t dagilimi ve standard normal dagilim Std Normal t
121 STUDENT t DAĞILIMI Olasılıkların hesaplanması (Ek Çizelge 6, s.941): ν serbestlik derecesine sahip bir t rassal değişkeninin %100(1 α) olasılıkla içinde yer alacağı iki değer bulmak istiyoruz. t eşik değerleri tablosundan ve simetri özelliğinden hareketle P ( ) α t ν > t ν,α/2 = 2, ve P ( ) α t ν < t ν,α/2 = 2 Olasılık parantezi içinde yer alan olaylar birbiriyle bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı olduğuna göre: P( t ν,α/2 < t ν < t ν,α/2 ) = 1 P(t ν > t ν,α/2 ) P(t ν < t ν,α/2 ) = 1 α 2 α 2 = 1 α Örneğin ν = 10 ve 1 α = 0.95 için t 10,0.025 = 2.228, P (t 10 > 2.228) = ve P (t 10 < 2.228) = 0.025, buradan P( < t 10 < 2.228) = = 0.95 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 92
122 t Dağılımı s.d. Student t dagilimi P( 2.228<t 10 <2.228) = 1 α 0.05 α = α = 0.95 α =
123 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0
124 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0
125 Ki-kare Dağılımı Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: If Z N(0,1) then Z 2 χ 2 1 Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar: n If Z i i.i.d. N(0,1) i = 1,2,...,n then Zi 2 χ2 n i=1 Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik derecesi. χ 2 ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1 f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2, x > 0, ν > 0 where Γ: gamma fonksiyonu: Γ(α) = Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 94 0 x α 1 e x dx, α > 0
126 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95
127 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95
128 Ki-kare Dağılımı χ 2 ν, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı: E(χ 2 ν ) = ν ve Var(χ2 ν ) = 2ν Normal dağılan bir popülasyon için: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (X i X), bilgisi (n 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 95
129 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96
130 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96
131 Ki-kare Dağılımı Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir. Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar. Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla kolayca hesaplanabilir. Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 96
132 Ki-kare dağılımı 0.5 ν serbestlik dereceli ki kare dagilimi ν = ν = ν = ν =
133 Ki-kare dağılımı 0.1 ν=10 serbestlik dereceli ki kare dagiliminin olasilik yog.fonks f(χ 10 ) P(χ 10 >15.99) = χ 2 (10)
134 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99
135 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99
136 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99
137 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99
138 F Dağılımı X 1 χ 2 k 1 ve X 2 χ 2 k 2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına uyan iki rassal değişken olsun: Aşağıda tanımlanan rassal değişken k 1 ve k 2 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uyar: F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F(k 1,k 2 ) F dağılımının iki parametresi vardır: k 1 payın serbestlik derecesi k 2 paydaın serbestlik derecesi Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 99
139 F Dağılımı F(2,8) F(6,8) F(6,20) F(10,30) Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 100
İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ
YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik
DetaylıZ = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.
DetaylıARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta
Detaylıİstatistik I Ders Notları
İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4
DetaylıAppendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıAppendix C: İstatistiksel Çıkarsama
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.
DetaylıAKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak
AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU
Detaylıaltında ilerde ele alınacaktır.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıBağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise
YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
DetaylıALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
DetaylıDers 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıEkonometri I VARSAYIMLARI
Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
DetaylıSimülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation
Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri
DetaylıFinansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler
Finansal Ekonometri Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler Tek Değişkenli Rasgele Değişkenler Tanım (rasgele değişken): Bir rasgele değişken, X, SX örneklem uzayından değerler alan ve bu örneklem
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıÇıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi
İSTATİSTİK II: Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 23 Eylül 2012 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 1 İstatistik Biliminin Uğraşı
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıSÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu; şeklinde ise x e düzgün dağılmış rassal değişken, f(x) e sürekli düzgün dağılım denir. a 0 olduğuna göre, f(x) >0 olur.
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi
IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıEME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıEME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri
EME 3117 1 2 Girdi Analizi SİSTEM SIMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et. Veri toplamak için bir plan geliştir. Veri topla. Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap. Girdi Analizi-I
DetaylıSimülasyonda İstatiksel Modeller
Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun
DetaylıHerhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.
Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
DetaylıCh. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik
DetaylıBirden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları
Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır
DetaylıEME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform)
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
Detaylıİstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi
İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
Detaylı1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...
1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME
SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla
DetaylıOLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler
1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
DetaylıNormallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi
Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN
DetaylıİÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
DetaylıKümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli)
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. F ( ) = Pr[ ] Tipik bir KDF şu şekilde görünür:.0 F () 0 Kümülatif
DetaylıSürekli Rastsal Değişkenler
Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım
DetaylıH 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0
YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye
Detaylı2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK
Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki
DetaylıWEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın
Detaylıİstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi
Bölüm 1 İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi 1.1 Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının anlamlı basamakları (significant digits), o sayının kesinlik ve
DetaylıRD lerin Fonksiyonları
RD lerin Fonksiyonları Diğer değişkenler gibi rastgele değişkenlerin de fonksiyonları olur Örneğin 0 ile 1 arasında rastgele seçilmiş bir çap uzunluğu ile oluşturulan dairenin alanı bir RD olarak çap uzunluğunun
Detaylıİstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY
İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018
2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla
DetaylıNormallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi
Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında
DetaylıMatematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
DetaylıEME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9
EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
DetaylıAST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar
AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar Bu derste neler öğreneceksiniz? Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı Olasılık ve Kümüatif Dağılım Fonksiyonları Dağılım
DetaylıStokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.
Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişkendir. Rastgele değişkenin alacağı değer zamanla değişmektedir. Deney çıktılarına atanan rastgele bir zaman
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
Detaylı19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.
9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıKümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx
Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X (x ) dx Sürekli
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıRastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.
1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t
DetaylıSIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)
SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
DetaylıİST Rassal Süreçler Dersi Tarihli Ders Notları. Öznur AY
İST 522 - Rssl Süreçler Dersi 3.3.217 Trihli Ders Notlrı Öznur AY 1 Beklenen Değer E[X] xp(x) xf(x)dx x X Bernoulli(p) E[X] p.1 + (1 p). p X Binomil(n, p) E[X] i.p (X i) ( ) n i p i (1 p) n i i n! i. (n
DetaylıOlasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları
KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde
Detaylı