KLASİK BULANIK MANTIK DENETLEYİCİ PROBLEMİ : INVERTED PENDULUM

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KLASİK BULANIK MANTIK DENETLEYİCİ PROBLEMİ : INVERTED PENDULUM"

Melek Volkan
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KLASİK BULANIK MANTIK DENETLEYİCİ PROBLEMİ : INVERTED PENDULUM M.Ali Akcayol Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü (Yüksek Lisans Tezinden Bir Bölüm) Şekil 1' de klasik pendulum sistem görülmektedir. Uzun yıllardır kontrol teorileri için ilginç bir araştırma konusu olmuştur. Sistemin diferansiyel denklemi şu şekilde ifade edilir; ml d θ / dt + ( mlg)sin( θ) = τ = u( t) (1) Burada m pendulumun üst noktasındaki direğin kütlesi, l pendulumun uzunluğu, θ saat yönünde dikey açı sapması, τ = ut () dönme momenti (u(t) = kontrol hareketi), t zaman ve g yerçekimi sabit değeridir. θ τ Şekil 1. Inverted pendulum Durum değişkenleri x 1 ve x 2 'yi x 1 = θ ve x2 = dθ / dt kabul edilirse kesikli zamanlı (discrete-time) denklem olarak aşağıdaki ifadeler yazılabilir, x ( k+ 1) = x ( k) + x ( k) (2) x ( k+ 1) = x ( k) + x ( k) u( k) (3)

2 Bu problemde bulanık denetleyici giriş değişken olarak alınan x 1 ve x 2 ' nin değişim aralıkları, 2 x 2 ve 5dps x 5dps (dps= her saniye için derece) olarak belirlenebilir. 1 2 Adım 1: Önce x 1 için üç üyelik fonksiyonu oluşturulabilir. Şekil 2' de görüldüğü gibi pozitif değerler için (P), sıfır (Z) ve negatif değerler için (N) alınmıştır. Şekil 2. x 1 girişi için üyelik fonksiyonu Daha sonra x 2 için üyelik fonksiyonu oluşturularak şekil 3' te görüldüğü gibi, pozitif değerler için (P), sıfır için (Z) ve negatif değerler için (N) bulanık değerleri verilmiştir. Şekil 3. x 2 girişi için üyelik fonksiyonu Adım 2: Kontrol aralığı 5 üyelik fonksiyonuyla şekil 4' te görüldüğü gibi oluşturulabilir. u(k) değerinin değişim aralığı 24 u k + 24 olarak alınmıştır. 2

3 Şekil 4 u( k) için üyelik fonksiyonu Adım 3: 3x3 kural tablosunda 9 kural tanımlanabilir. Çizelge 1 inverted pendulum' u dengelemek için kullanılan giriş ve çıkış bulanık değerleri içermektedir. Çizelge 1. Inverted pendulum kural tablosu x 1 \ x 2 P Z N P PB P Z Z P Z N N Z N NB Adım 4: Çizelge 1' de görülen kurallar kullanılarak bu problem simüle edilirse, önce başlangıç için keskin değerleri, x 1 ()= 0 1 ve x = dps alınabilir. Sistem 4 döngü için simüle edilecektir. ( 0 k 3). 2 4 Her döngü için sonuç, üyelik fonksiyonlarına girilen iki giriş değişkeni kullanılarak bulunacaktır. Kural tablosundan u( k) kontrol hareketini tesbit ederek, durulaştırma işlemi için ağırlık ortalaması metodu kullanılacaktır. Bulunan değerler x 1 ve x 2 ' nin bir sonraki değerlerini hesaplamak için kullanılacaktır. Şekil 5 ve 6 x 1 ve x 2 için başlangıç şartlarını göstermektedir. Kural tablosu kullanılarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. Eğer (x 1 = P) ve (x 2 = Z) ise (u = P) Eğer (x 1 = P) ve (x 2 = N) ise (u = Z) Eğer (x 1 = Z) ve (x 2 = Z) ise (u = Z) min(0.5,0.2) = 0.2 (P) min(0.5,0.8) = 0.5 (Z) min(0.5,0.2) = 0.2 (Z) 3

4 Eğer (x 1 = Z) ve (x 2 = N) ise (u = N) min(0.5,0.8) = 0.5 (N). Kontrol değişkeni u için bulanık çıkışlar ve bunların birleşimi şekil 7' de ve durulaştırılmış kontrol değeri şekil 8' de görülmektedir. Şekil 5. x 1 girişi için başlangıç değeri Şekil 6. x 2 girişi için başlangıç değeri Şekil 7. Kuralların bulanık çıkarımlarının birleşimi 4

Şekil 8. Durulaştırma Birinci döngü için durulaştırılmış kontrol değişkeni u için -1.714 değerini bulunmuştur. u = (0.2*8 + 0.5*0 + 0.2*0 + 0.5*(-8))/(0.2+0.5+0.2+0.5) = -1.

5 Şekil 8. Durulaştırma Birinci döngü için durulaştırılmış kontrol değişkeni u için değerini bulunmuştur. u = (0.2* * * *(-8))/( ) = Bir sonraki adım için başlangıç değerleri hesaplanırsa, olur. x 1 (1) = x 1 (0) + x 2 (0) = 1-4 = -3 x 2 (1) = x 1 (0) + x 2 (0) u(0) = (-1.714) = İkinci döngü için başlangıç değerleri x 1 ()= 0 3 ve x 2 = olarak bulunmuştur. Kural tablosu kullanılarak Eğer (x 1 = N) ve (x 2 = N) ise (u = NB) Eğer (x 1 = N) ve (x 2 = Z) ise (u = N) min(1, ) = (NB) min(1, ) = (N) bulanık değerleri elde edilir. Bulanık birleşim ve durulaştırılmış değer ' dır. Üçüncü döngü için başlangıç değerlerini u = değeri kullanılarak hesaplanırsa, x 1 (2) = x 1 (1) + x 2 (1) = = x 2 (2) = x 1 (1) + x 2 (1) u(1) = ( ) =

6 olur. Bir sonraki adım için başlangıç değerleri x 1 (2) = ve x 2 (2) = bulunur. Kural tablosu kullanılarak aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Eğer (x 1 = N) ve (x 2 = P) ise (u = Z) min(1,1) = 1 (Z) Kontrol değişimi u(2) için 0 bulunmuştur. Bir sonraki adım için kullanılırsa, x 1 (3) = x 1 (2) + x 2 (2) = = x 2 (3) = x 1 (2) + x 2 (2) u(2) = = bulunur. Kural tablosu kullanılarak aşağıdaki bulanık çıkarımlar yapılır. Eğer (x 1 = Z) ve (x 2 = P) ise (u = P) min(0.2572, ) = (P) Eğer (x 1 = Z) ve (x 2 = Z) ise (u = Z) min(0.2572, ) = (Z) Eğer (x 1 = P) ve (x 2 = P) ise (u = PB) min(0.7428, ) = (PB) Eğer (x 1 = P) ve (x 2 = Z) ise (u = P) min(0.7428, ) = (P). 4. adım için u = değeri bulunur. Bir sonraki adımda u = değeri başlangıç değeri için kullanılacaktır. Böylece giriş değerileri aşağıdaki gibi bulunur. x 1 (4) = x 1 (3) + x 2 (3) = = x 2 (4) = x 1 (3) + x 2 (3) u(3) = = x 1, x 2 ve u(k) için 4 adımlık simülasyonu şekil 9-13' de gösterilmektedir. Şekil 9. Başlangıç değerleri x 1 (1) = 1, x 2 (1) = -4 6

7 Şekil 10. Adım 1: x 1 (1) = -3, x 2 (1) = Şekil 11. Adım 2: x 1 (2) = , x 2 (2) = Şekil 12. Adım 3: x 1 (3) = , x 2 (3) = Şekil 13. Adım 4: x 1 (4) = , x 2 (4) =

Benzer belgeler

Bulanık Mantık Denetleyiciler

Bulanık Mantık Denetleyiciler Denetim sistemleri genel olarak açık döngülüvekapalı döngülü/geri beslemeli olarak iki tiptir. Açık döngülü denetim sistemlerinde denetim hareketi sistem çıkışından bağımsıdır. Kapalı döngülü sistemlerde