Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi"

Ufuk Muhtar
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Derisi Cilt 33, Sayı, 07 0 Erciyes Unirsity Journal of atural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 07 Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi Saadet DOĞA, Müe KARADAĞ İnönü Ünirsitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, MALATYA (Alınış / Receid: , Kabul / Accepted:.0.07, Online Yayınlanma / Published Online:.04.07) Anahtar Kelimeler Para-Kenmotsu Manifoldlar, Warped Çarpım Altmanifold, Doubly Warped Çarpım Altmanifold, Hemi-slant Altmanifold Öz: Bu çalışmada para-kenmotsu manifoldlar ele alınmış bu manifoldların öncelikle warped çarpım hemi-slant alt manifoldlarının varlık problemi incelenmiştir. Warped çarpım hemi-slant alt manifoldunun varlığı karakteristik ktör alanının konumuna öre iki farklı durum için incelenmiştir. Benzer şekilde hemi-slant warped çarpım alt manifoldlarının da varlık problemi bu iki durum için araştırılmış, sonrasında ise bu incelemeler doubly warped çarpım hemi-slant proper hemi-slant warped çarpım alt manifoldların varlığına enişletilerek karakteristik ktör alanının konumuna öre çalışılmış bir takım sonuçlara ulaşılmıştır. The Existence Problem of the Warped Product Hemi-slant Submanifolds of Para- Kenmotsu Manifolds Keywords Para-kenmotsu Manifolds Warped Product Submanifold, Doubly Warped Product Submanifold, Hemi-slant Submanifold Abstract: In the present paper, we instiate existence problem of warped product hemi-slant submanifold of para-kenmotsu manifold for two positions of characteristic ctor field. Similarly we study existence problem hemi-slant warped product submanifold of para-kenmotsu manifold for two positions of characteristic ctor field. Later we extend these problems doubly warped product hemi-slant submanifolds and proper hemi-slant doubly warped product submanifolds of para-kenmotsu manifolds for two positions of characteristic ctor field. We find some results about these problems.. Giriş 995 te B.B. Sinha K.L.Sai Prasad para-kenmotsu manifold kavramını tanımlamış bu manifoldların eğriliklerini çalışmışlardır[7] 996 da K.K. Dube ise Study of curvatures of para-kenmotsu manifold isimli makalesinde para-kenmotsu manifoldların eğrilikleri ile ilili incelemelerde bulunmuştur[].s. Kumar K K Dube ise para-kenmotsu manifoldların enelleştirilmis CR-alt manifoldlarını araştırmışlardır[4].006 da B. Sahin onexistence of warped product semi-slant submanifolds of Kaehler manifold isimli makalesinde Kaehler manifoldların warped çarpım semi-slant altmanifoldları için varlık problemini incelemiştir [8]. Benzer şekilde 008 de de K.A. Khan, V.A. Khan Siraj Uddin de kosimplektik manifoldların warped çarpım altmanifoldları için varlık problemi üzerinde çalışma yapmıştır [3]. M. Atçeken ise 00 da Kenmotsu manifoldlarda warped çarpım semi-slant altmanifoldları araştırmıştır[]. Biz bu makalede para-kenmotsu manifoldlar için warped çarpım hemi-slant alt manifoldların varlığını inceledik. saadetdoanmat@mail.com 0

2 . Materyal Metot M, m-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. Eğer M üzerinde;, 0, 0, rank m I, (.) şartını sağlayan bir (;) tensör alanı, ktör alanı -formu varsa M ye hemen hemen parakontakt manifold denir[7]. ( M m,,,, ) bir hemen hemen parakontakt manifold olsun. Eğer Y M Y, Y Y, için, (.) ise (,,, ) ye M üzerinde bir hemen hemen parakontakt Riemann yapı denir [7]. Bir hemen hemen parakontakt Riemann manifoldu eğer, Y M Y Y Y, için, (.3) şartını sağlarsa bu manifolda bir parakenmotsu manifold denir[7]. Bir ( M m,,,, ) bir parakenmotsu manifoldu için (.4) eşitliği eçerlidir[7]. ( M m,,,, ) bir parakenmotsu manifoldu M de M nin bir altmanifoldu olsun. TxM için T x M arasındaki açı ile österilsin. e in Wirtiner açısı denir. Eğer sabitse yani; xm T M, x in seçiminden bağımsız ise M ye slant altmanifold denir. Slant immersiyonun wirtiner x açısı ya slant immersiyonun slant açısı denir. Eğer = 0 ise M ye invaryant altmanifold, = ise M ye anti-invaryant altmanifold denir. Eğer bir M slant altmanifoldu ne invaryant ne de anti-invaryant ise bu manifolda proper slant altmanifold denir [5]. (, ) (, ) iki Riemann manifoldu f, üzerinde pozitif tanımlı bir fonksiyon olsun. nin f, ile österilir. Burada, warped çarpımı, (.5) f dir. Eğer f sabitse f V warped çarpım manifolduna aşikar warped çarpım manifoldu denir. olmak üzere bir warped çarpım manifoldu üzerinde V ln f V (.6) V formülü eçerlidir [6]. M= f warped çarpım manifoldunda, M nin total eodezik,, M nin total umbilik alt manifoldudur.

3 ( M m,,,, ) bir parakenmotsu manifoldu, M nin sırasıyla proper-slant anti-invaryant altmanifoldları olsun. M f manifolduna M nin warped çarpım hemi-slant altmanifoldu, M manifolduna ise M nin proper hemi-slant warped çarpım altmanifoldu denir. f (, ) (, ) iki Riemann manifoldu f ile f sırasıyla üzerinde pozitif diferensiyellenebilir manifoldlar olsun. nin doubly warped çarpım manifoldu f f ile österiliyor olup bu manifold f f (.7) metriğiyle donatılmıştır. Bir doubly warped çarpım manifoldu üzerinde V ln f V V f için V ln (.8) formülü eçerlidir [9]. Eğer bir M = f f doubly warped çarpım manifoldu üzerinde f ya da f den hiçbiri sabit değilse M ye aşikar olmayan doubly warped çarpım altmanifoldu denir., M nin total umbilik altmanifoldlarıdır [9]. Bu durumda f f manifolduna M nin doubly warped çarpım hemi-slant altmanifoldu, f manifolduna M nin proper hemi-slant doubly warped çarpım altmanifoldu denir. f 3. Bulular Teorem 3.: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. İspat: Z, için, olacak şekilde bir warped Z Z ln f (3.) Z ile tanımlanıyor olup için Z Z Z ln f (3.) olur. Bunun yanı sıra (.4) nolu denklemden, Z Z Z olup Z için Z 0 h, Z Z Z olduğu Gauss denklemi öz önünde bulundurulursa elde edilir. Bu son denklem teğet normal bileşenlerine ayrıştırılırsa, Z Z (3.3)

4 h Z, 0 olur. (3.) (3.3) nolu denklemlerden Zln f Z ile metrik çarpıma tabi tutulursa Zln f 0 olur. olup bu denklemin her iki tarafı bir bulunur. Öyleyse f sabittir. Böylece ispat tamamlanmış Teorem 3.: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin olacak şekilde bir hemislant warped çarpım altmanifoldu yoktur. İspat: Benzer yolla örülebilir. Teorem 3.3: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin warped çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. İspat: M bir para-kenmotsu manifold olsun. ln f f için olacak şekilde doubly ln (3.4) olup Gauss denkleminden h, elde edilir. Bu son denklem teğet normal bileşenlerine öre ayrıştırılırsa (3.5) h, =0 bulunur. (3.4) (3.5) karşılaştırıldığında her için f 0 ln (3.6) f ln (3.7) elde edilir. (3.6) dan f sabittir. Öyleyse ispat tamamdır. Teorem 3.4: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin warped çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. ( f İspat: Teorem 3. dekiyle benzer yolla örülür. olacak şekilde doubly Teorem 3.5: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin hemi-slant doubly warped çarpım altmanifoldu yoktur. ( f İspat: Teorem 3. dekiyle benzer yolla örülür. Teorem 3.6: M bir para-kenmotsu manifold olsun. Bu durumda M nin hemi-slant doubly warped çarpım altmanifoldu yoktur. ( f İspat: Teorem 3. dekiyle benzer yolla örülür. olacak şekilde proper olacak şekilde proper 4. Tartışma Sonuç Tüm bu teoremler öz önünde bulundurulduğunda bir para-kenmotsu manifoldu için aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştır. olacak şekilde bir warped çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. 3

5 olacak şekilde bir hemi-slant warped çarpım altmanifoldu yoktur. olacak şekilde doubly warped çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. olacak şekilde doubly warped çarpım hemi-slant altmanifoldu yoktur. olacak şekilde proper hemi-slant doubly warped çarpım altmanifoldu yoktur. olacak şekilde proper hemi-slant doubly warped çarpım altmanifoldu yoktur. Teşekkür İnönü Ünirsitesi B.A.P kapsamında hazırlamış olduğumuz Bazı Özel Kenmotsu Yapıların Geometrisi Üzerine adlı projemizin uzantısı olarak yazdığımız bu makaleye katkılarından dolayı İnönü Ünirsitesi B.A.P birimine teşekkürlerimizi sunarız. Kaynakça [] Atçeken, M., Warped product semi-slant submanifolds in Kenmotsu Manifold, Turkish J Math, 34(00),45-43 [] Dube, K.K., Study Of Curvatures Of Para-Kenmotsu Manifold, epali Math. Sci. Rep., 5, o.- (996), [3] Khan, K.A., Khan V.A., Udin, S., Warped product submanifolds of cosymplectic manifolds, Balkan J Geo & Its Appl, 3 (008), [4] Kumar, S., Dube, K.K., Generalized CR- Submanifolds of Para Kenmotsu manifolds. Journal of The Tensor Society of India, Vol 0(006) [5] Lotta, A., Slant Submanifolds In Contact Geometry, Bull. Math. Soc. Roum. 39(996), [6 ] O eill, B., Bishop, R.L., Manifolds Of eati Curvature, Trans. Amer. Math. Soc. 45 (969,) -49. [7] Sinha, B.B., Prasad, K.L.S., A Class of Almost Para-contact Metric Manifold, Bull. Call. Math. Soc., 87 (995), [8] Şahin,B.,onexistence of warped product semi-slant submanifolds of Kaehler manifold, Geometriae Dedicata, 95(006), 95-0 [9] Ünal, B., Doubly warped products, Diff. Geo. Appl., 5(00),

Benzer belgeler

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon K Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 16 (2016) 021304(256 264) AKU J. Sci. Eng. 16 (2016) 021304(256