GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE
|
|
- Iskender Babaoğlu
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan b. Küre Tabakas I. Tan m II. Küre Tabakas n n Hacmi c. Küre Kapa I. Tan m II. Küre Kapa n Alan ç. Küre Parças I. Tan m II. Küre Parças n n Hacmi d. Küre Kesmesi I. Tan m II. Küre Kesmesinin Hacmi e. Küre Dilimi I. Tan m II. Küre Diliminin Alan III. Küre Diliminin Hacmi 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST V 133
2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Küreye ait tan mlar aç klayabilecek ve bir kürenin belirli olma flartlar n belirtebile cek, * Bir küre ile bir düzlemin ara kesitini çizerek aç klayabilecek, * Kürenin alan n bulabilecek, * Kürenin hacmini bulabilecek, * Küre kapa n tan yabilecek ve alan n bulabilecek, * Küre parças n tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre kesmesini tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre dilimini tan yabilecek, alan ve hacmini bulabilecek, * Küreye ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. * Dik dairesel kesik koninin alan n bulabilecek, * Dairesel kesik koninin hacmini bulabilcek, * Konilere ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz, baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 134
3 ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m Uzayda, sabit bir noktadan eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine (geometrik yerine) küre yüzeyi, bu yüzeyle s n rlanan cisme küre denir. (fiekil 5.1) de al nan 0 sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, küre yüzeyinde al nan A ve B gibi farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezi olan 0 noktalar ndan geçen kirifle de, kürenin çap denir. fiekil 5.1 Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Küre yüzeyi, bir yar m dairenin çap üzerindeki ekseni etraf nda döndürülerek elde edilebilir. Yar çap uzunluklar eflit tüm küreler, birbirine efltir. b. Bir Kürenin Belirli Olmas Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. Verilen bir K noktas ndan geçen kürelerin yar çaplar r kadar ise, merkezlerinin geometrik yeri, r yar çapl K merkezli küre yüzeyi olur. 135
4 2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkezlerinin geometrik yeri, bu iki noktay birlefltiren do ru parç s n n orta dikme düzlemidir. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkez lerinin geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin düzlemine, merkezinden ç k lan dik do rudur. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z küre geçer. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan eflit uzakl kta bulunan yaln z bir nokta vard r. O halde, bir kürenin belirlenmesi için, üçü birden ayn düzlemde olmayan en az dört nokta verilmelidir. c. Bir Küre le Bir Düzlemin Ara Kesiti Teorem: Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. spat: (fiekil 5.2) de, 0 merkezli r yar çapl bir küre, P düzlemiyle kesildi inde, [0M] [MN] olacak flekilde bir 0MN dik üçgeni çizelim. Bu üçgende 0N = r, 0M = d ve MN = r 1 olsun. fiekil 5.2 0MN dik üçgeninde pisagor teoremine göre, r 2 = d 2 + r2 1, r2 1 = r 2 - d 2 ise, r 1 = r 2 - d 2 dir. r 1 uzunlu u sabit oldu una göre, N noktalar sabit bir M noktas ndan eflit uzakl ktaki noktalar kümesidir. 136 Buna göre, ara kesit M merkezli ve r yar çapl bir çemberdir. Bu çemberle s n rlanan düzlemsel bölge de daire olur.
5 d. Bir Küre ile Düzlemin Birbirine Göre Konumlar Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Kürenin yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. (fiekil 5. 3). Buna göre; fiekil d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir T noktas nda düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. Bu noktaya de me noktas, düzleme de te et düzlemi denir. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Küre merkezinin düzleme uzakl d = 0 ise, düzlem kürenin merkezinden geçer. Bu durumda, küre yüzeyi ile düzlemin ara kesitine, kürenin bir büyük çemberi denir. Büyük çemberin yar çap, kürenin yar çap na eflittir. Teorem: Uzayda, bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden bir küre yüzeyidir. spat: Sabit do ru parças [AB] ve geometrik yere ait bir nokta C olsun (fiekil 5.4). 137
6 ABC üçgeni C köflesinde dik ise, bir dik üçgende hipotenüs kenarortay n yar s na eflit olaca ndan, 0C = AB 2 olur. fiekil 5.4 O halde, C noktas n n geometrik yeri, merkezi 0 ve yar çap yüzeyidir. 2. KÜREN N ALANI Teorem: Yar çap r olan bir kürenin alan, A = 4.π.r 2 dir. spat: Çap AF = 2r olan bir yar m çember, [AF] çap etraf nda döndürülürse, r yar çapl bir küre yüzeyi oluflur. Bu yar m çemberin içine çizilen herhangi bir yar m düzgün çokgen ABCDEF olsun. Bu düzgün çokgenin iç çemberin yar çap n r 1 ile gösterelim (fiekil 5.5). AB 2 olan bir küre 138 fiekil 5.5
7 ABCDEF düzgün yar m çokgenin, AF etraf nda dönmesinden oluflan cismin alan n A 1 ile gösterelim. Bu alan [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], nin dönmesinden elde edilen alan n toplam na eflittir. Buna göre, A 1 = 2.π.r 1 AB + 2πr 1 B C +2πr 1 C D + 2πr 1 D E +2πr 1 E F A 1 = 2. π.r 1 AB + B C + C D + D E + E F 2r A 1 = 2.π.r 1. 2r = 4.π.r 1. r bulunur. Burada, düzgün yar m çokgenin kenarlar n n say s n, sonsuz say da art r l rsa, yar m çokgenin çevresi [AF] çapl yar m çemberin çevresine, r 1 yar çap r ye, A 1 alan da, kürenin A alan na eriflir. O halde, kürenin alan : A = 4.π. r. r = 4.π. r 2 olur. Bu teoremle göre afla daki ifadeleri söylebeliriz. 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n 4 kat na eflittir. 2. ki kürenin alanlar n n oran, yar çaplar n n karelerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5.1 Yar çap 6 cm olan bir kürenin alan n bulal m. Yar çap r = 6 cm olan kürenin alan : A = 4.π. r 2 ifadesinden, A = 4. π. 6 2 = 4. π. 36 = 144 π cm 2 olur KÜREN N HACM Yar çap r olan bir kürenin hacmi, yar çap n n küpü ile π say s n n çarp m n n kat d r. Buna göre, r yar çapl bir kürenin hacmi, V = 4 3.π.r3 dür. ki kürenin hacimlerinin oran, yar çaplar n n küplerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5. 2 Yar çap 4 cm olan bir kürenin hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Yar çap r = 4 cm olan kürenin hacmi: V = 4 3. π. r3 ifadesinden, V = = 4 4 = 256 cm 3 olur. 139
8 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P ve Q gibi iki paralel düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir (fiekil 5. 6). fiekil 5.6 Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir (fiekil 5. 7). fiekil II. Küre Kufla n n Alan (fiekil 5.7) deki küre kufla, AB çember yay n, [ ] yüksekli i etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelir. Kürenin yar çap r, küre kufla n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h d r.
9 ÖRNEK 5. 3 Yar çap 6 cm olan bir kürede, küre kufla n n yüksekli i 3 cm ise, bu küre kufla n n alan n bulal m. Verilen küre kufla n n yüksekli i h = 3 cm ve kürenin yar çap r = 6 cm dir. Küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h ifadesinden, A = 2. π = 36 π cm 2 olur. b. Küre Tabakas I. Tan m Küre kufla ile paralel P ve Q düzlemleri aras nda kalan cisme, küre tabakas denir (fiekil 5. 8). fiekil 5.8 Birbirine parelel olan düzlemsel kesitlere, küre tabakas n n tabanlar, tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre tabakas n n yüksekli i denir. Küre kufla üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre kufla, küre tabakas n n yanal yüzüdür. Yükseklik ise ikisinde de ayn d r. II. Küre Tabakas n n Hacmi (fiekil 5.8) deki küre tabakas n n yüksekli i = h, alt taban n yar çap, 0 2 C = r 2, üst taban n yar çap 0 1 D = r 1 ise, Küre tabakas n n hacmi: V = π.h 3r r2 + h 2 dir. 141
10 ÖRNEK 5.4 Bir küre tabakas n n yüksekli i 4 cm, alt taban n yar çap 5 cm, üst taban n yar çap 3 cm oldu una göre, bu küre tabakas n n hacmini bulal m (π 3 al nacakt r). Verilen küre tabakas n n yüksekli i h = 4 cm, alt taban n yar çap r 2 = 5 cm ve üst taban n yar çap r 1 = 3 cm dir. Küre taban n n hacmi: V = π.h 3r r2 + h 2 6 verilen de erler yerine konulursa, V = = V = = = 236 cm 3 olur. ifadesinde, c. Küre Kapa I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P düzlemi ile kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir (fiekil 5.9). Küre kapa n n içi bofltur. fiekil 5.9 II. Küre Kapa n Alan (fiekil 5.9) daki küre kapa, tabanlardan birinin yar çap s f r olan küre kufla gibidir. Bu nedenle, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : 142 A = 2π. r. h dir.
11 ÖRNEK 5.5 Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 5 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kapa n n yüksekli i h = 8-5 = 3 cm dir. Küre kapa n n alan : A = 2π. r. h ifadesinden, A = 2π = 48 π cm 2 olur. ç. Küre Parças I. Tan m Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir (fiekil 5.10). Küre parças n n içi doludur. fiekil 5.10 II. Küre Parças n n Hacmi (fiekil 5.10) da, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3 π.h2 3r - h d r. 143
12 ÖRNEK 5. 6 Yar çap 12 cm olan bir küreden kesilen, 4 cm yüksekli indeki küre parças n n, hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Verilen kürenin yar çap r = 12 cm ve kesilen küre parças n n yüksekli i h = 4 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3 π. h2 3r - h ifadesinden, V = = = = 512 cm 2 olur. d. Küre Kesmesi I. Tan m Bir AOB daire diliminin, kendisini kesmeyen, [EF] çap etraf nda 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. (fiekil 5.11) deki küre kesmesinin ABDC yüzü bir küre kufla, di er iki yüzü ise, birer koni yüzeyidir. Burada h, küre kufla n n yüksekli i ayn zamanda küre kesmesinin de yüksekli idir. II. Küre Kesmesinin Hacmi (fiekil 5.11) deki küre kesmesi, ABDC küre kufla ile, (0, BD) ve (0, AC) koni yüzeylerinin s n rlad cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanlar küre kufla üzerinde bulunan, sonsuz say da konilerin toplam fleklinde düflünülebilir. Bu konilerin yükseklikleri, kürenin yar çap na eflit ve r kadard r. Küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kufla n n alan, A= 2π. r.h oldu undan, küre kesmesinin hacmi, V = 1 3 A. r = 2π. r. h. r 3 = 2 3 π. r2. h dir. 144 fiekil 5.11
13 ÖRNEK 5. 7 Yar çap 8 cm olan bir kürede, küre kesmesinin yüksekli i 3 cm dir. Bu küre kesmesinin hacmini bulal m. Kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kesmesinin yüksekli i h = 3 cm dir. Küre kesmesinin hacmi: V = 2 3 π. r2. h ifadesinden, V = 2 3 π = 2 3 π = 128 π cm3 olur. e. Küre Dilimi I. Tan m Kürenin bir [AB] çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi denir (fiekil 5. 12). II. Küre Diliminin Alan (fiekil 5.12) deki kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Bu küre dilimi, merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düflünülürse, iki yan yüzeyin alan r yar çapl dairenin alan olur. Buna göre, küre diliminin tüm alan : fiekil 5.12 Y = 4π. r 2. θ 360 A = π.r2. θ 90 eflitli inden, Y = π.r2. θ 90 + π.r 2 dir. dir. 145
14 III. Küre Diliminin Hacmi Küre diliminin hacmi, V = 4 3.π.r3. θ 360 eşitliğinden, V = π. r 3. θ 270 olur. ÖRNEK 5. 8 Yar çap 9 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 dir. Buna göre, küre diliminin yüzey alan n, tüm alan n ve hacmini bulal m. (π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap r = 9 cm ve merkez aç s n n ölçüsü θ = 45 dir. Küre diliminin yüzey alan : Y = = Küre diliminin tüm alan : A = Y = πr2 θ 90 = 1215 cm 2 dir. ifadesinden, A = π r2 θ 90 + π. r2 ifadesinden, = = 3645 cm 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = πr3. θ 270 V = = ifadesinden, = = 3645 cm3 olur. 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 5. 9 Çap 10 cm olan kürenin alan n ve hacmini bulal m ( π = 3 al nacakt r.) Verilen kürenin çap 10 cm ise, yar çap r = 10 2 = 5 cm dir. Kürenin alan : A = 4.π.r 2 ifadesinden, A = = = 300 cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4.π. r3 ifadesinden, 3 V = = = 500 cm 3 olur. 146
15 ÖRNEK Büyük dairelerden birinin alan 36 π cm 2 olan kürenin, alan n ve hacmini bulal m. Küredeki büyük daire, kürenin merkezinden geçen dairedir. Buna göre, büyük dairenin alan : A = π. r 2 oldu undan, 36. π = π.r 2 eflitli inden, r 2 = 36 ise, r = 6 cm dir. Kürenin alan : A = 4π. r 2 ifadesinden, A = 4. π 6 2 = 4. 36π = 144 π cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 3 ifadesinden, V = 1 3.π. 63 = 4 3. π. 216 = 288 π cm3 olur. ÖRNEK Yar çap 5 cm olan bir küre fleklindeki tahta yontularak yüksekli i 8 cm olan en büyük hacimli bir silindir yap l yor. Bu tahtan n yontulan k sm n n hacmini bulal m. ( π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap O 1 B = r 1 5 cm ve silindirin taban yar çap O 2 B r 2 olsun. Karenin içine çizilen, en büyük hacimli silindir (fiekil 5.13) deki gibi olmal d r. fiekil
16 Burada, [BD] kürenin çap oldu undan, BD = 2.r 1 = 2. 5 = 10 cm dir. [AD] silindirin yüksekli i oldu undan, AD = 8 cm dir. DAB dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AB 2 = BD 2 - AD 2 ifadesinden, AB 2 = = = 36 ise, AB = 6 cm dir. [AB] silindirin çap oldu undan, silindirin yar çap, Buna göre, O 2 B = r 2 = 6 2 = 3 cm dir. Yontulan k sm n hacmi = Kürenin hacmi - Silindirin hacmi Kürenin hacmi: V 1 = 4 3. π.r 1 3 ifadesinden, V 1 = = = 500 cm 3 tür. Silindirin hacmi: V 2 = π. r 2 2 h ifadesinden, V 2 = = = 216 cm 3 tür. Yontulan k sm n hacmi: V = V 1 - V 2 V = = 284 cm 3 olur. oldu undan, ÖRNEK Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin alan 50, 24 cm 2 oldu una göre, bu kürenin, a. Yar çap n, b. Alan n, c. Hacmini bulunuz (π 3.14 al nacakt r). a. Küre kesitinin merkezi H, yar çap AH = r 1, ve 0H = 3 cm dir. Kürenin merkezi 0, yar çap OA = r 2 olsun (fiekil 5.14). 148
17 Önce, kesit dairenin yar çap n bulal m. Kesit dairenin alan 50, 24 cm 2 oldu undan, A = π. r 1 2 ifadesinden, fiekil , 24 = 3, 14. r2 1 : r2 50, 24 1 = 3, 14 = 16 ise, r 1 = 4 cm dir. 0AH dik üçgeninde pisagor teoreemine göre, 0A 2 = AH 2 + 0H 2 ifadesinden, 0A 2 = = = 25 ise, 0A = r 2 = 5 cm dir. b. Kürenin alan ; A = 4. π. r 2 2 ifadesinden, A = 4. 3, = 12, = 314 cm 2 dir. c. Kürenin hacmi: V = 4 3. π. r 2 3 ifadesinden, V = , = 12, = cm 3 olur. ÖRNEK 5.13 Yar çap 10 cm olan bir kürenin merkezinden 4 cm uzakl kta bulunan bir düzlemle kesilerek, elde edilen küre parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 10 cm ve küre parças n n yüksekli i, h = 10-4 = 6 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2 3. r - h ifadesinden, V = 1 3. π = π 30-6 = 12π 24 = 288π cm3 olur. 149
18 ÖRNEK 5.14 Yar çap 8 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 olan bir küre dilimi (fiekil 5. 15) de veriliyor. Bu küre diliminin, a. Yüzey alan n, b. Tüm alan n, c. Hacmini bulal m. fiekil 5.15 Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve merkez aç n n ölçüsü θ = 45 dir. a. Küre dileminin yüzey alan : Y = 4.π. r 2. θ 360 ifadesinden, Y = 4.π = π = π = 32 π cm2 dir. b. Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 A = π π.8 2 = 32π + 64 π = 98 π cm 2 dir. + πr 2 ifadesinden, c. Küre diliminin hacmi: V = π. r3. θ ifadesinden, 270 V = π π = = π = π cm3 olur. 150
19 ÖRNEK 5.15 Yar çap r birim olan bir kürenin, 0 merkezinden ve kürenin merkezinden r 2 birim uzakl ktaki H noktas ndan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küme parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r birim, küre parças n n yüksekli i h = r 2 birimdir (fiekil 5.16) fiekil 5.16 Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2. 3r -h ifadesinden, V = 1 3.π. r r - r 2 = π. r2 12 6r - r 2 V = πr r 2 = 5 πr3 birimküp olur. 24 ; ÖRNEK 5.16 Yar çap r ve yüksekli i h olan bir dik dairesel silindirle, bu silindire içten te et olan bir küre yerlefltiriliyor.küre ile dik dairesel silindirin, a. Hacimleri, b. Alanlar aras ndaki ba nt y bulal m. (fiekil 5. 17) deki kürenin ve dik dairesel silindirin taban yar çap r, silindirin yüksekli i h = 2r dir. 151
20 fiekil 5.17 a. Dik dairesel silindirin hacmi: V 1 = πr 2. h ifadesinden, V 1 = π. r 2. (2r) = 2. π. r 3 tür. Kürenin hacmi: V 2 = 4 3. π. r3 tür. Küre ile dairesel silindirin hacimleri aras ndaki ba nt y yazarsak, V 1 V 2 = 3 2. π.r = π.r3 4 = 3 2 olur. b. Dik dairesel silindirin alan, A 1 = 2.π. r (r + h) ifadesinden, A 1 = 2.π. r (r + 2r) = 2.π. r (3r) = 6. π. r 2 dir. Kürenin alan, A 2 = 4. π. r 2 dir. Küre ile dairesel silindirin alanlar aras ndaki ba nt y yazarsak, 152 A 1 A 2 = 6.π.r2 4.π.r 2 = 6 4 = 3 2 olur. O halde, küre ile dairesel dik silindirin hacimlerini ve alanlar n oranlad m zda birbirine eflit, 3 2 oluyor.
21 ÖRNEK 5.17 Bir kürede, küre merkezinden 6 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin alan 64 π cm 2 dir. Buna göre, kürenin hacmini bulal m. (fiekil 5. 18) deki kesit dairesinin yar çap HB = r 1, Kürenin yar çap OB = r 2 olsun. fiekil 5.18 Buna göre, kesit dairenin alan A = π. r 1 2 olduğundan, 64π = π r2 1 ; r2 1 = 64 ise, r 1 = 8 cm dir. Böylece, HB = r 1 = 8 cm olur. fiimdi de kürenin yar çap n bulal m. 0HB dik üçgeninde pisagor teoremine ve 0H = 6 cm oldu una göre, 0B 2 = 0H 2 + HB 2 ifadesinden, 0B 2 = = = 100 ; 0B 2 = r 2 2 = 100 ise, r 2 = 10 cm dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 2 3 ifadesinden, V = 4 3.π = π cm 3 olur. 153
22 ÖRNEK 5.18 Yar çap 5 cm olan bir kürenin hacmini, bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmine oran n bulal m (π = 3 al nacakt r.) Yar çap 5 cm olan kürenin hacmi: V 1 = 4 3.π.r3 ifadesinden, V 1 = = = 500 cm 3 tür. Bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmi: V 2 = a 3 ifadesinden, V 2 = 5 3 = 125 cm 3 tür. Kürenin hacmini küpün hacmine oranlarsak, V 1 V 2 = = 4 olur. 154
23 ÖZET Uzayda sabit bir noktadan, eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine küre yüzeyi, bu yüzeyi ile s n rlanan cisme küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, denir. Küre yüzeyinde al nan farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezinden geçen kirifle de, kürenin çap denir. Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde, belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait, kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. 2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z bir küre geçer. Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. 1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir noktada, düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Kürenin merkezinden geçen düzlemin ara kesitine, kürenin büyük çemberi denir. Uzayda bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden, bir küre yüzeyidir. Yar çap r olan bir kürenin alan : A = 4.π. r 2 dir. Yar çap r olan bir kürenin hacmi: V = 4 3.π.r3 dür. Bir küre yüzeyinin, paralel iki düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir. Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir. 155
24 Kürenin yar çap r, küre kufla n n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan ; A = 2. π. r. h d r. Küre kufla ile iki paralel düzlemler aras nda kalan cisme, küre tabakas denir. Küre kufla, üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre tabakas n n yüksekli i h, alt taban yar çap r 2, üst taban yar çap r 1 ise, küre tabakas n n hacmi: V = π. h 3r r2 + h 2 dir. 6 Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir. r yar çapl bir küreden kesilen h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : A = 2π. r. h d r. Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir. Küre parças n n içi doludur. r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3. π.h2 3r - h d r. Bir daire diliminin, kendisini kesmeyen bir çap etraf nda, 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. Kürenin yar çap r ve küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kesmesinin hacmi: V = 2 3. π.r2.h d r. Kürenin bir çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi d e n i r. Kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Y = π. r2. θ dir. 90 Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 + π.r 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = π.r3. θ 270 dir. 156
25 ALIfiTIRMALAR 1. Afla da yar çap verilen kürelerin, alan ve hacimlerini bulunuz (π 3 al nacakt r). a. 12 cm b. 8 cm c. 2 3 cm 2. Büyük dairenin alan 78,5 cm 2 olan kürenin, yar çap n ve hacmini bulunuz (π = 3.14 al nacakt r). 3. Yar çap 13 cm olan bir kürenin, merkezinden 12 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesiti olan dairenin alan n bulunuz (π 3 al nacakt r). 4. Yar çap 4 cm olan bir dairenin herhangi bir çap etraf nda 180 dönmesiyle oluflan cismin, alan n ve hacmini bulunuz. 5. Çap 8 cm olan kurflun bir küre, eritilerek çap 2 cm olan kurflun küreler yap l yor. Eritme esnas nda fire söz konusu olmad na göre, kaç tane küre yap labilece ini bulunuz. 6. Bir ayr t n n uzunlu u 10 cm olan küpün içine, maksimum hacimli kürenin, alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 7. Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz. 8. Yar çaplar 4 cm ve 5 cm olan iki kürenin, alanlar ve hacimleri oran n bulunuz. 9. Yar çap 10 cm olan bir küreden, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir dilim kesiliyor. Bu dilimin, tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r) Yar çap 5 cm olan küre içine (fiekil 5.19) daki gibi, bir dik dairesel koni çizilmifltir. Küre merkezinin, dik dairesel koninin taban na uzakl 4 cm oldu una göre, dik dairesel koninin ve kürenin hacimleri fark n bulunuz (π 3 al nacakt r). 157
26 fiekil Yar çap 15 cm olan bir küre, merkezinden 12 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluflan küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 12. Taban yar çap 5 cm ve ana do rusu 13 cm olan bir koninin içine, taban na ve yan yüzüne te et olarak çizilen bir kürenin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 13. Taban yar çap 6 cm olan bir dik dairesel silindir içinde bir miktar su vard r. Suyun içine, yar çap 3cm bir çelik bilye at l rsa suyun yüksekli inin kaç cm yükselebile ce ini bulunuz. 14. Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin çevresi 24 cm oldu una göre, bu kürenin alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 15. Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesini taban kabul eden ve tepe noktas küre üzerinde bulunan, en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 158
27 DE ERLEND RME SORULARI 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n kaç kat d r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Hacmi, alan na say ca eflit olan kürenin, en büyük dairesinin alan kaç π birim karedir? A) 3 B) 6 C)9 D) Alan 36 π cm 2 olan bir kürenin hacmi kaç π cm 3 tür? A) 36 B) 54 C) 68 D) (fiekil 5. 20) deki yar çap 4 cm olan bir yar m dairesi, [AB] çap etraf nda 360 döndürüldü ünde, oluflan cismin hacmi kaç cm 3 dür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.20 A) 64 B) 82 C) 128 D)
28 5. ki kürenin alanlar oran 9 ise, hacimlerinin oran kaçt r? A) 18 B) 21 C) 24 D) Yar çap 2 cm olan küre fleklindeki bir cismin, yüzeyini boyamak için bir tüp boya k u l l a n l y o r. Yar çap 6 cm olan, ayn cinsten küreyi boyamak için kaç tüp kullan l r? A) 8 B) 9 C) 10 D) Yar çap 9 cm olan kurflun bir küre eritilerek, Yar çap 3 cm olan küreler elde ediliyor. Kaç tane küre elde edilir? A) 9 B) 27 C)54 D) Yar çap 4 cm olan bir kürenin alan n n, hacmine oran kaçt r? A) 1 4 B) 1 2 C) 2 3 D) (fiekil 5.21) deki küre, merkezinden 2 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesilirse, elde edilen dairenin alan 5π cm 2 dir. Bu kürenin hacmi kaç π cm 3 dür? 160
29 fiekil 5.21 A) 36 B) 54 C) 72 D) Taban çap, yüksekli ine eflit olan bir silindirin içine en büyük hacimli, bir küre y e r l e fl t i r i l i y o r. Silindirin hacmi 48 cm 3 ise, kürenin hacmi kaç cm 3 t ü r? (π 3 al nacakt r). A) 28 B) 32 C) 36 D) Yar çap, 3 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir küre diliminin hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 161
30 12. Yar çap 6 cm olan bir küre, merkezinden ve merkezden 3 cm uzakl ktaki bir noktadan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küre parças n n hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 18 B) 24 C) 36 D) Alan 100 π cm 2 olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta olan bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesit dairesinin çevresi, kaç π cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) Bir kürenin hacmi 32 Küre yüzeyinde, en büyük yar çapl dairenin 3 π cm3 dür. alan, kaç, π cm2 dir? A) 2 B) 4 C) 6 D) Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. K e s i t dairesini taban kabul eden, küre içinde en büyük koninin hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 32 B) 64 C) 96 D) Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden ve küre yüzeyinden 2 cm uzakl kta iki paralel düzlemle kesiliyor. Bu iki düzlem aras nda kalan küre kufla n n alan kaç π cm 2 dir? A) 24 B) 26 C) 30 D)
31 1 7. Kürenin yar çap 15 cm ve küre merkezinden 9 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen ara kesit dairesinin alan, kaç cm 2 dir? (π 3 al nacakt r). A) 144 B)1216 C) 368 D) (fiekil 5.22) de, yar çap 6 cm olan dairenin 1 v e r i l m i fl t i r. Bu dairenin [0A] 4 ü kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelen cismin hacmi, kaç cm3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.22 A) 432 B) 688 C) 864 D) Bir küre parças n n yüksekli i 8 cm ve hacmi 256 cm 3 tür. Bu parçan n kesilmifl oldu u kürenin yar çap, kaç cm dir? (π 3 al nacakt r). A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 163
32 20. (fiekil 5.23) de, yar çap 6 cm olan bir küre, paralel iki düzlemle çap, üç eflit k sma ayr lm flt r. Elde edilen küre parças n n hacm, kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.23 A) 224 B) 238 C) 242 D)
GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R
ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE IV KON
ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T
ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR
ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN
DetaylıÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL
ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait
Detaylı9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER
9. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER Siz Yap n Sorular n n Çözümleri 81-84. sayfalar aras Örnek nin çözümü Yar çap 6 m olan
DetaylıTEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST
ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı
Detaylı2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden
DetaylıÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR
III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1
DetaylıEğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin
DetaylıV =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.
Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin
Detaylı10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI
10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin
DetaylıUZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
DetaylıPİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI
PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik
DetaylıBASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM
BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer
Detaylı1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli
DetaylıÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
DetaylıÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN
DetaylıÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI
ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN
DetaylıÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES
ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik
DetaylıÇokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler
MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak
DetaylıPİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ
2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN
DetaylıTEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi
TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35
DetaylıÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II
ÜN TE V A) GEOMETR K C S MLER N YÜZEY ALANLARI a) Dik Piramidin Yüzey Alan b) Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan c) Kürenin Yüzey Alan ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST V-I B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Detaylı17. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)
7. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) SİLİNDİR 7.. Tanım: Uzayda düzlemsel bir eğri ile bu eğrinin düzlemine paralel olmayan bir doğrusuna paralel olarak çizilen doğruların oluşturduğu
DetaylıMATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
DetaylıÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve
GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m
Detaylı9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
DetaylıDüzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler
Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER
DetaylıKATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.
TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
DetaylıY ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI
ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer
Detaylı2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =
DetaylıÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K
ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen
DetaylıHomoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak
ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan
Detaylı: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2
VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.
DetaylıÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE
DetaylıF Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42
F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
Detaylı4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.
259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK
DetaylıMATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
DetaylıYukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...
Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.
DetaylıÜçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30
1. 4. bir ikizkenar üçgen 0 = m () = 0 m () = 70 70 Kıble : Müslümanların namaz kılarken yönelmeleri gereken, Mekke kentinde bulunan Kabe'yi gösteren yön. arklı iki ülkede bulunan ve noktalarındaki iki
DetaylıKatı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi
Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez
Detaylısay s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;
. 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi
DetaylıDİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün
Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras
Detaylı7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
DetaylıSORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
Detaylı2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni
Detaylı3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1
. Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler
DetaylıF Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur.
F Z OT ÖRNE 1 : fiekil I L M aranl k bir ortamda, küresel bir fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi topu konulmufltur fiekil II Ifl kl bölge fiekil III ayna a, L, M noktalar n n birinden bak ld nda,
Detaylı6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN
GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara
DetaylıYGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar
9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []
Detaylı4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.
LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak
Detaylı6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN
SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say
DetaylıÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I
ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik
DetaylıÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER
ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü
DetaylıF Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden
F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden
Detaylı4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER
4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER KONULAR 1. Geometrik Terimler Doğrular Açılar ve Çeşitleri Üçgenler Dörtgenler Daire Elemanları Geometrik Şekiller 2. Dikmelerin Çizimi Bir Doğruya Üzerindeki Bir Noktadan Dikme
Detaylı5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI
5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıGEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.
GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu
Detaylı1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45
990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)
Detaylı1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
DetaylıTEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE
R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald
DetaylıTEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6.
ik Prizmalar 8. Sınıf Matematik Soru ankası TEST 75 1. yrıtlarının uzunlukları, 1 cm ve 1 olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kolinin bütün yüzeyleri kağıt ile kaplanacaktır. 4. 8 cm 1 una göre,
DetaylıAç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler
MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıGEOMETR 1 ÜN TE II AÇILAR
ÜN TE II AÇILAR 1. AÇI VE ADLANDIRILMASI 2. AÇILARIN YÖNLEND R LMES 3. B R AÇININ Ç VE DIfi BÖLGES 4. KOMfiU AÇILAR 5. B R AÇININ ÖLÇÜSÜ 6. TERS AÇILAR 7. AÇI ÇEfi TLER 8. TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR 9.
Detaylı1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.
DetaylıEKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıEski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
Detaylı1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
DetaylıTASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI
TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Detaylıçemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
Detaylı1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.
1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR
KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen
Detaylı1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
DetaylıKarabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)
AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık
DetaylıSTATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği
STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği STATİK Ağırlık Merkezi Örnek Sorular 2 Değişmeyen madde miktarına kütle denir. Diğer bir anlamda cismin hacmini dolduran
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI
8 SINIFLAR FİNAL SORULARI 1 3+ 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ( R ) Aritmetik bir dizinin ilk 0 teriminin toplamı 400 ve dördüncü terimi olduğuna göre, birinci terimini bulunuz 3 4 öğrencinin katıldığı
DetaylıGeometrik Cisimlerin Hacimleri
1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı
Detaylı2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21
00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,
DetaylıMATEMATİK FORMÜLLERİ
MATEMATİK FORMÜLLERİ ÜSLÜ SAYILAR x. a n + y. a n z. a n = (x + y z). a n a m. a n = a m + n a m. b m = (a. b) m a m : a n = a m - n KARE'NİN ALANI: A=a.a (a karenin bir kenarı) DİKDÖRTGEN'İN ALANI: A
Detaylı