MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

Transkript

1 MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15

2 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti diyagramı aşağıda verilmiştir. Bu kirişe ait kesme kuvveti diyagramını ve yük dağılımını cinsinden bulunuz. M (kn m) 18 İkinci derece parabol / x Çözüm 1. Şekilde verilen moment diyagramında, kirişin / noktasına kadar moment değişimi doğrusal iken, / ve arasında ikinci derecen bir parabol olarak verilmiştir. d dm/dx bağıntısından eğilme momentinin lineer olduğu kısımda kesme kuvveti sabit, ikinci derece parabol olduğu kısımda ise birinci dereceden bir denkleme sahip olacaktır. Benzer şekilde, -dq d/dx bağıntısından hareketle, kesme kuvvetinin birinci dereceden bir denklem olduğu kısımda da dış yük q sabit olarak elde edilecektir. Dolayısıyla, dm d dm ddx MC MA dx dx x / aralığı için x M x / M 18kN m / 18 x 18 A 36 C A C ( ) /

3 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler 3 / 7 d dq d dq. dx B C dqdx dx / x aralığı için 36 x / C B qx / B q ( ) + q + B q 36 + Sol mesnette, mesnet tepkisi kesme kuvvetine eşit olacağından, denge denklemleri yardımıyla mesnet tepkisi q cinsinden elde edilir. q MB R A q RA 4 8 q 36 RA A 8 88 q Yayılı yük elde edildikten sonra sağ mesnetteki kesme kuvveti ve mesnet tepkisi hesaplanır. B B q ; RB /

4 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler 4 / 7 Örnek. Aşağıda bileşenleri verilen düzlem gerilme hali için a) Asal gerilmeleri hesap ederek doğrultularını bulunuz ve düzlem gerilme elemanı üzerinde gösteriniz. b) Normal gerilmenin sıfır olduğu doğrultuyu bulunuz. c) Normal gerilmenin kayma gerilmesine eşit olduğu doğrultuyu bulunuz. d) Bulduğunuz sonuçları Mohr diyagramı üzerinde gösteriniz. Çözüm. Şekilde verilen düzlem gerilme hali için gerilme bileşenleri: a) Asal gerilmeler ve doğrultuları: σ 8MPa ; σ + 8MPa ; τ + 96MPa x y xy σ 1, τxy σx + σy σx σy + ± + ± + 96 ± 1 MPa σ 1 MPa ; σ + 1 MPa 1 τ 96 tan ϕ 3, ,74 xy ϕ σx σy 8 8 ϕ 36, 87 x 36, 87 ; y 53, 13 b) Normal gerilmenin sıfır olduğu doğrultu: σ ϕ? σ σ ϕ+ σ ϕ+ τ ϕ ϕ x cos y sin xy sin cos 1 Değerleri dönüşüm bağıntısında yerine koyar ve normal gerilmeyi sıfıra eşitlersek aradığımız doğrultuyu elde edebiliriz. 8 cos ϕ + 8 sin ϕ + 96 sin( ϕ ) sin( ϕ ) 8(cos ϕ sin ϕ ) sin( ϕ ) 8 cos( ϕ ) 1 1 sin( ϕ )/cos( ϕ ) 8 / tan( ϕ ), ϕ 16, 6 ϕ 8,

5 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler 5 / 7 c) Normal gerilmenin kayma gerilmesine eşit olduğu doğrultu: σ τ ϕ? σ σ ϕ+ σ ϕ+ τ ϕ ϕ x cos y sin xy sin cos τ σ σ ϕ ϕ+ τ ϕ ϕ ( x y )sin cos xy(cos sin ) Normal gerilme ve kayma gerilmesi için verilen dönüşüm bağıntılarını birbirine eşitleyerek aradığımız doğrultuyu elde edebiliriz. 8 cos ϕ + 8 sin ϕ + 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) + 96 cos( ϕ ) 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) 96 cos( ϕ ) + 8(cos ϕ sin ϕ ) 68 sin( ϕ ) 14 cos( ϕ ) tan( ϕ ) 1, 8359 ϕ 61, 6 ϕ 3, 63 Görüleceği üzere normal gerilmenin kayma gerilmesine eşit olduğu doğrultu, Mohr dairesi üzerinde ϕ 61,6 lik dönüş ile elde edilmektedir. Normal gerilme ve kayma gerilmesinin birbirine eşit şiddette ve pozitif olması hali için düzlem gerilme elemanında ise mevcut durumdan 3,63 lik bir dönüş yapılması gerekir. Burada gözden kaçırılmaması gereken nokta, kayma gerilmesine eşitlenen gerilme bileşeninin, σ x normal gerilme bileşeni olduğudur. x-y koordinat sisteminde σ x in değeri negatifken, 3,63 lik bir eksen transformasyonu ile σ x normal gerilmesi pozitif olmaktadır. Şayet normal gerilmenin yön değiştirmesi istenmeseydi, yani τ xy kayma gerilmesi ile σ x normal gerilmesinin yalnız şiddetçe birbirine eşit olması istenseydi; kayma gerilmesi (+) normal gerilme de yön değiştirmeyecek şekilde (-) alınarak hesap yapıldığında, σ τ ϕ? 8 cos ϕ 8 sin ϕ 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) + 96 cos( ϕ ) 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) 96 cos( ϕ ) 8(cos ϕ sin ϕ ) 14 sin( ϕ ) 68 cos( ϕ ) tan( ϕ ), ϕ 8,74 ϕ 14, değeri elde edilecektir. Bu gerilme hali için düzlem gerilme elemanında -14,37, Mohr dairesi üzerinde de -8,74 lik bir dönüş yapıldığında, σ x normal gerilmesinin yönü değişmeden kayma gerilmesine şiddetçe eşitlenmiş olur. Sonuçlar Mohr dairesi üzerinden incelendiğinde konu daha iyi anlaşılacaktır.

6 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler 6 / 7 d) Mohr Dairesinin çizimi:

7 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler 7 / 7 Alternatif kısa çözüm: Soruyu daha hızlı ve kolay çözebilmek için mevcut gerilme haline ait Mohr dairesinin çizilerek hesaba gidilmesi gerekir. Daire üzerinde A noktası işaretlendikten sonra bulunması istenen doğrultu daha pratik bir şekilde elde edilebilir. Dikkat edilmesi gereken husus, gerilme düzlemi ile Mohr dairesinin dönüş yönleridir. Mohr dairesi üzerinde kayma gerilmesi için seçilecek pozitif eksen yönü, gerilme elemanı için hesaplanacak açıların işaretini etkileyecektir. Düzlem gerilme elemanında, verilen x-y eksen takımına göre elemanı saat yönünün tersi istikamette çeviren τ xy kayma gerilmeleri (+) kabul edilmektedir. Mohr çemberinde ise şayet, pozitif kayma gerilmesi ekseni yukarı doğru seçilmişse saat yönü istikametinde yapılacak dönüşler (+) olacaktır. Diğer bir ifadeyle, dönüşüm denklemleri ile elde edilen ve asal doğrultuyu veren açının (+) olması halinde, asal gerilmeleri gösteren gerilme hali için eksen transformasyonu düzlem gerilme elemanında saat yönünün tersi istikamette, Mohr dairesi üzerinde ise saat yönünde olacaktır. Dairede, kayma gerilmesini ifade eden eksenin aşağı doğru pozitif seçilmesi halinde ise dönüş yönü saat yönünün tersi istikamette olacağından gerilme düzlemi ile çemberdeki dönüş yönleri birbirine eşit olacaktır. Pozitif dönüş yönlerinin durumu seçilecek pozitif eksenin yönüne göre Mohr dairesinde değişmezken, elemanter dörtgende seçilecek eksen takımına göre gerilme düzlemindeki dönüş yönleri farklılık gösterebilmektedir. Sorunun d maddesinde iki farklı çizim yöntemi için de Mohr dairesi gösterilmiştir. Düzlem gerilme elemanında kullanılan kartezyen eksenlerin değişmesi halinde ise dönüşüm denklemlerinin çıkartıldığı referans eksen (genellikle yatay eksendir) dikkate alınarak, dik eksenlerin pozitif bölgesinde kalan ve referans eksene dik pozitif kayma gerilmesine göre dönüş yönünün belirlenmesi gerekir o ----