PARANIN ZAMAN DEĞERİ. Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Paranın Zaman Değeri

Transkript

1 PARANIN ZAMAN DEĞERİ 1

2 Giriş İşlenecek ana başlıkları sıralarsak: Belirli bir faiz oranında bankaya yatırılan bir meblağın gelecekte alacağı değerin hesaplanması Gelecekteki nakit akışlarının bugünkü değerinin hesaplaması Tekdüze serilerin (anüite) bugünkü değerinin ve gelecekteki değerinin hesaplanması Farklı zaman dilimleri için belirlenen faiz oranlarının karşılaştırılması Alınan kredilerin sabit taksitler halinde geri ödenmesinde her ödemenin ne kadarlık kısmının anapara ödemesi, ne kadarlık kısmının da faiz ödemesi olarak yapıldığının hesaplanması 2

3 Paranın Zaman Değeri Kavramı Finansal kararlar farklı tarihlerdeki nakit ödemelerin karşılaştırılmasını gerektirir. Örneğin bugün 100 TL harcayarak yapabileceğimiz iki farklı yatırımın gelecekte bize aşağıdaki nakit girişlerini sağlayacaklarını varsayalım. Yıl 1.Yatırım 2.Yatırım 1 30TL 20TL 2 30 TL 20 TL 3 30 TL 40 TL 4 30 TL 60 TL Bu iki yatırımdan hangisi tercih edilmelidir? sorusunu yanıtlamak için Paranın Zaman Değeri kavramının kullanılması gereklidir. Paranın Zaman Değeri fırsat maliyeti kavramına uygun olarak bir faiz oranıyla gösterilir. 3

4 Tek Ödemenin Gelecekteki Değeri Bugün yatırım yaptığımız bir meblağın dönem sonunda kazanacağı faizle beraber ulaşacağı miktarı gösterir. Yatırım yaptığımız miktarı BD, dönemlik faiz oranını i, dönem sayısını n ile ifade edecek olursak, gelecekteki değer GD=BD(1+i) n olarak bulunur. Bu formül ilk dönem sonunda kazanılan faizin başlangıçta yaptığımız yatırım miktarına eklendiği ve ikinci dönemde bu toplam miktar için faiz kazanılacağını varsaymaktadır. Dolayısı ile faiz oranı sabit kalmasına rağmen TL cinsinden bir dönemde kazanılan faiz miktarı zaman içerisinde artış gösterecektir. Bu faiz hesaplama yöntemine bileşik faiz yöntemi adı verilir. Her dönem sonunda kazanılan faizin yatırıma eklenmemesi durumunda her dönem BD*i TL lik faiz elde edilir. Bu alternatif faiz hesaplama yöntemine ise basit faiz yöntemi adı verilir. 4

5 Tek Ödemenin Gelecekteki Değeri Örneğin paranın zaman değerini %10 luk faiz oranının gösterdiğini varsayarsak bugün 100TL elde etmekle iki yıl sonra 121TL elde etmek alternatiflerinin bizim için eşdeğerde olduklarını söyleyebiliriz. BD=100TL GD=121TL GD=100(1+%10) 2 =121 5

6 Tek Ödemenin Bugünkü Değeri Gelecekte (n dönem sonra) elimize geçecek bir meblağın bugün itibarıyla değerini BD GD ( 1 i) n olarak buluruz.dolayısı ile faizlerin pozitif olduğu durumda gelecekteki bir meblağın bugünkü değeri kendisinden daha küçük bir miktar olacaktır. Bu formüle bakıldığında gelecekteki ve bugünkü değerleri bulurken temelde aynı formülün kullanıldığı açıktır. BD=100 GD= BD 2 (1 %10) 6

7 Tablo Kullanımı Tek ödemenin gelecekteki veya bugünkü değeri yukarıda belirtildiği gibi formül kullanılarak bulunabileceği gibi, bu hesaplar için hazırlanmış tablolar kullanılarak da bulunabilir. Bu tablolardan ilki n dönem sonra elimize geçecek 1TL nin %i faiz kullanarak bulunan bugünkü değerini vermektedir. Elimize 1TL yerine 100TL geçecek olması durumunda bugünkü değeri 100TL yi tablodan okuyacağımız Bugünkü Değer Çarpanı (BDÇ) ile çarparak bulabiliriz. Aynı şekilde bugün elimizde bulunan 500TL nin gelecekteki değerini bulmak istediğimizde 500TL yi Gelecekteki Değer Çarpanı (GDÇ) ile çarparak bulabiliriz. 7

8 Bugünkü Değer Çarpanı Tablosu Bugünkü Değer Çarpanları Tablosu, 1/(1+i) n %1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 %8 %9 %10 1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0, ,980 0,961 0,943 0,925 0,907 0,890 0,873 0,857 0,842 0, ,971 0,942 0,915 0,889 0,864 0,840 0,816 0,794 0,772 0, ,961 0,924 0,888 0,855 0,823 0,792 0,763 0,735 0,708 0, ,951 0,906 0,863 0,822 0,784 0,747 0,713 0,681 0,650 0, ,942 0,888 0,837 0,790 0,746 0,705 0,666 0,630 0,596 0, ,933 0,871 0,813 0,760 0,711 0,665 0,623 0,583 0,547 0, ,923 0,853 0,789 0,731 0,677 0,627 0,582 0,540 0,502 0, ,914 0,837 0,766 0,703 0,645 0,592 0,544 0,500 0,460 0, ,905 0,820 0,744 0,676 0,614 0,558 0,508 0,463 0,422 0,386 8

9 Gelecekteki Değer Çarpanı Tablosu Gelecekteki Değer Çarpanları Tablosu, (1+i) n #REF! %1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 %8 %9 %10 1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,090 1, ,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1, ,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1, ,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1, ,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1, ,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,677 1, ,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1, ,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2, ,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2, ,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 9

10 Örnek Bugün elimizde bulunan 100TL nin faiz oranı %10 ise üç dönem sonu itibarıyla gelecekteki değeri 100* GDÇ %10,3 =100*1,331=133,1TL dir. Dört yıl sonra elimize geçecek olan 500TL nin bugünkü değerini 500* BDÇ %10,4 =500*0,683=341,5TL olarak buluruz. 10

11 Değişen Tutarlı Seri Birden fazla ödemenin bulunduğu durumda gelecekteki veya bugünkü değer hesabı yapmak için bu ödemeleri aynı zamana getirip toplamlarını almamız gerekir. Örnek olarak aşağıda gösterilen ödeme serisini kullanırsak Yıl Yatırım 1 50TL 2 80 TL TL Üç yıl boyunca elimize geçecek olan yukarıdaki ödemelerin bugünkü değerini BD 0 =50* BDÇ %10,1 +80* BDÇ %10,2 +100* BDÇ %10,3 =50*0,909+80*0, *0,751=186,63TL olarak buluruz. Aynı ödemelerin üç yıl sonraki değerini GD 3 =50* GDÇ %10,2 +80* GDÇ %10,1 +100* GDÇ %10,0 =50*1,21+80*1,1+100*1=248,5TL olarak buluruz. 11

12 Tekdüze Seri (Anüite) Günlük hayatta karşımıza çıkan ödeme serilerinin birçoğu tekdüze seri olarak nitelenen birden fazla dönem süren sabit tutarlı dönemsel ödemelerdir. Banka kredisi geri ödemeleri veya sabit aylık kira ödemeleri gibi. Bu ödeme serilerinin gelecekteki veya bugünkü değerini bulmak için formül kullanmak yerine bu hesaplar için hazırlanmış tabloları kullanmak çok daha kolaydır. Anüite Bugünkü Değer Çarpanları (ABDÇ) ve Anüite Gelecekteki Değer Çarpanları (AGDÇ) tabloları aşağıda verilmiştir Anüite Bugünkü Değer Çarpanları Tablosu %1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 %8 %9 %10 1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0, ,970 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1, ,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2, ,902 3,808 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3, ,853 4,713 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3, ,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4, ,728 6,472 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4, ,652 7,325 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5, ,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5, ,471 8,983 8,530 8,111 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 12

13 Tekdüze Seri (Anüite) Anüite Gelecekteki Değer Çarpanları Tablosu %1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 %8 %9 %10 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, ,010 2,020 2,030 2,040 2,050 2,060 2,070 2,080 2,090 2, ,030 3,060 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3, ,060 4,122 4,184 4,246 4,310 4,375 4,440 4,506 4,573 4, ,101 5,204 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6, ,152 6,308 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7, ,214 7,434 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,200 9, ,286 8,583 8,892 9,214 9,549 9,897 10,260 10,637 11,028 11, ,369 9,755 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13, ,462 10,950 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 13

14 Tekdüze Seri (Anüite) Bu tablolardaki çarpanlar aşağıdaki formüller kullanılarak da elde edilebilir ABDÇ % i, n 1 i 1 i(1 i) n AGDÇ % i, n (1 i) ı n 1 14

15 Örnek Örnek olarak 50TL lik üç ödemeden oluşan tekdüze seri için Yıl Ödemeler 1 50TL 2 50 TL 3 50 TL Üç yıl boyunca elimize geçecek olan yukarıdaki ödemelerin bugünkü değerini BD 0 =50*ABDÇ %10,3 =50*2,487=124,35TL Aynı ödemelerin üç yıl sonraki değerini GD 0 =50*AGDÇ %10,3 =50*3,310=165,5TL olarak buluruz. olarak buluruz. 15

16 Sonsuz Ödemeli Tekdüze Seri (Sonsuz Ödemeli Anüite) Ödemelerin sonsuza dek devam ettiği tekdüze seriye sonsuz ödemeli tekdüze seri adı verilir. Tekdüze serinin bugünkü değer formülünde dönem sayısı sonsuz olarak seçilirse formül aşağıdaki hale dönüşür: ABDÇ i %, ÖDEME i 16

17 Örnek Banka hesabınızın bakiyesinin 6 yıl sonunda TL ye ulaşmasını hedefliyorsunuz. Bunun için hesaba her yıl sonunda eşit miktarda para yatırmayı planlıyorsunuz. Eğer banka hesabı yıllık %8 faiz getirisi sağlıyorsa her yıl hesaba ne kadar para yatırmanız gerekecektir =X*AGDÇ 6,% =X* 7,336 X=2.317,37 TL GD 6 = X X X X X X

18 Örnek Güven Hayat Sigortası size bir poliçe satın almanız konusunda teklif getiriyor. Poliçe size ve sizden sonra varislerinize sonsuza dek yılda 700 TL ödeme yapacaktır. Eğer bu yatırımın yıllık istenen getirisi %12 ise poliçenin fiyatı ne olmalıdır? Fiyat=700/0,12= 5.833,33 TL 18

19 Dönemsel Faiz, Nominal (Basit)Faiz, Bileşik (Efektif) Faiz Faiz oranı günlük, aylık, yıllık veya başka herhangi bir süre için belirlenebilir. Örneğin bir bankada mevduat hesabı açtırmak istediğimizde mevduatı aylık (bir ay vadeli mi) yoksa bir yıl vadeli mi açmak konusunda kararsız kalabiliriz. Hangi tür hesap açarsak açalım paramızı bir yıl boyunca bankada tutmayı planladığımızı varsayalım. Bu durumda kararımız, yıl sonu itibarıyla paramızı daha yüksek miktara ulaştıracak hesap türünü seçmek olacaktır. Banka aylık hesaba %12, yıllık hesaba %12,5 faiz ödüyor olsun. 19

20 Dönemsel Faiz, Nominal (Basit)Faiz, Bileşik (Efektif) Faiz Bankanın aylık mevduata ödediği %12 nominal faiz oranıdır. Aylık mevduat hesabının faizi her ay sonunda hesaplanıp ana paraya ekleneceği için nominal faiz olan %12 yi bir yılda bulunan dönem sayısı olan 12 ye bölünce bulunan faize dönemsel faiz adı verilir. Örnekte %1 olan dönemsel faiz gerçekte elde edeceğimiz faiz oranını göstermektedir. Paramızı her ay %1 faiz ödeyen bu hesapta 12 ay boyunca tuttuğumuzda yıl sonunda (1+%1) 12-1=%12,68 faiz kazanmış oluruz. %12,68 lik faiz yıllık bileşik faiz olarak adlandırılır. Görüldüğü gibi dönemsel faiz ve yıllık bileşik faiz oranlarının aksine nominal faiz oranı gerçekte elde edeceğimiz faiz oranını göstermemektedir. 20

21 Dönemsel Faiz, Nominal (Basit)Faiz, Bileşik (Efektif) Faiz Diğer alternatif olan yıllık mevduat hesabında dönem uzunluğu zaten bir yıl olduğu için dönemsel faiz, nominal faiz ve yıllık bileşik faiz birbirine eşit olup %12,5 tur. Bu örnekte de görüldüğü gibi farklı dönemler için verilen faiz oranlarından hangisinin bizim için en avantajlı olduğunu anlamak için yıllık bileşik faiz oranlarının kıyaslanması doğru olacaktır. 21

22 Örnek Aşağıdaki durumlar için yıllık bileşik faiz oranını hesaplayınız Nominal Faiz Faiz Hesaplanma Sıklığı Bileşik Faiz %10 Üç ayda bir %10,38 %16 Ayda bir %17,23 %9 Günlük %9,42 %21 Sonsuz %23,37 22

23 Örnek Yıllık bileşik faiz=(1+nominal Faiz/n) n -1 n=bir yılda kaç defa faiz hesaplandığı Yıllık bileşik faiz =(1+%10/4) 4-1=%10,38 Yıllık bileşik faiz =(1+%16/12) 12-1=%17,23 Yıllık bileşik faiz =(1+%9/365) 365-1=%9,42 Yıllık bileşik faiz =e 0,21-1=%23,37 n (1+x/n) n =e x 23

24 Dönemsel Faiz, Nominal Faiz, Yıllık bileşik faiz Yılda birden daha sık faiz ödemelerinde bugünkü veya gelecekteki değer hesaplanırken dönemsel faiz oranı kullanılır. Örnek: Nominal faiz oranı %12 ve 3 ayda bir faiz ödeyen bir bankaya 100TL 5 yıl boyunca yatırılırsa, 5. yılın sonunda ne kadar birikmiş olur? Toplam dönem sayısı=4*5=20 i dönemsel =%12/4=%3 GD=100*(1+0,03) 20 =180,61TL 24

25 Örnek Alfa Finans bir yıllık tüketici kredileri için yıllık %23 faiz uygulayacağını belirtiyor. Buna göre TL lik kredi alırsanız bir yıllık faiz 2.300TL olacaktır. Bir yıl içinde anapara ve faiz toplamı olarak TL ödemeniz gerekeceği için Alfa Finans sizden önümüzdeki bir yıl boyunca her ay sonunda TL/12 yani 1.025TL ödemenizi talep ediyor. Bu kredinin faizi söylendiği gibi %23 müdür? Değilse hangi faiz oranının belirtilmesi gerekir? Yıllık bileşik (efektif) faiz yüzde kaçtır? 25

26 Örnek Borç geri ödeme denklemi: Gelecekteki borç geri ödemelerinin bugünkü değerleri toplamı alınan borç miktarına eşit olmalıdır. Buna göre: =1.025* ABDÇ 12,%r r=%3,34 Nominal faiz %40.08 Yıllık bileşik faiz %

27 Örnek Bir arkadaşınız bugün 35. doğum gününü kutluyor ve 65. doğum gününde emekli olacağını düşünerek emeklilik dönemi için para biriktirmeye başlamayı düşünüyor. Emekli olduktan sonra 12 yıl boyunca her sene doğum gününde banka hesabından TL para çekebilmeyi hedefliyor (ilk para çekimi 66. doğum gününde olacak). Arkadaşınız hedeflediği para çekimlerini yapabilmek için her yıl doğum günlerinde, yıllık %9 faiz ödeyen bir banka hesabına, sabit bir miktar parayı yatıracaktır. a) Eğer hesabına para yatırmaya 36. doğum gününde başlarsa ve son para yatırma 65. doğum gününde gerçekleşirse, her yıl yatıracağı bu sabit miktar ne kadar olmalıdır? 27

28 Örnek b) Varsayalım ki arkadaşınıza yüklü bir miktar miras kalmış olsun. Her yıl bankaya sabit miktarda para yatırmak yerine sadece 36. doğum gününde emeklilik sonrası para çekişlerini karşılayacak miktarda para yatırmak isterse, yatıracağı para miktarı ne kadar olmalıdır? c) Önceki varsayımı unutalım. Arkadaşınız yine a) daki gibi bankaya her yıl sabit miktarda para yatıracak olsun. Önceki durumdan farklı olarak arkadaşımızın işvereni de şirketin kar paylaşım planı çerçevesinde eş zamanlı olarak doğum günlerinde yıllık 250TL lik katkıda bulunacak olsun. Bunlara ek olarak arkadaşınız 55. doğum gününde yaşlı teyzesinin kendisine TL lik bir çek vereceğini düşünüyor ve bu miktarı da banka hesabına aktarmayı planlıyorsa, arkadaşınızın her yıl bankaya kendi cebinden ne kadar para yatırması gerekecektir? 28

29 Örnek X X 15 bin bin a) Emekli olduktan sonra kaç defa para çekiliyor: 12 defa *ABDÇ 12,%9 = * 7,161= TL 12 tane TL nin 65. doğum günü itibariyle değeridir. Emekli oluncaya kadar hesaba kaç defa para yatırılıyor:30 defa 30 tane X TL nin 65. doğumgünü itibariyle değeri TL olmalıdır. X*AGDÇ 30,%9 = X* 136,308= TL X=788TL 29

30 Örnek b) 36. doğum gününden 65. doğumgününe kadar 29 yıllık süre var Y 15 bin bin Y*GDÇ 29,%9 = Y*12,172= TL Y=8.824,8 TL 30

31 Örnek c) X+250 X+250 X bin bin (X+250)*AGDÇ 30,% *GDÇ 10,%9 = TL (X+250)*136, *2,367= TL X=364,31TL 31

32 Borç Geri Ödeme Planları Bir bankadan beş yılda geri ödemek üzere TL borç aldığımızı varsayalım. Banka borcumuza yılda bir kez faiz hesaplıyor olsun ve bu faiz oranının %10 olduğunu varsayalım. Başka bir ifadeyle dönemsel, nominal ve yıllık efektif faiz oranları birbirlerine eşit ve %10 olsun. Bu durumda farklı geri ödeme planları hazırlayabiliriz. -Hiç ara ödeme yapmadan beş yılın sonunda ana para ve birikmiş faizi ödeyebiliriz. Bu ödeme *(1+0,10) 5 =16105,1TL olacaktır

33 Borç Geri Ödeme Planları -İlk dört yıl, her yıl sonunda bankaya TL ödeyebiliriz. Bu durumda beşinci yıl sonundaki son ödememiz ana para ve son faiz ödemelerinin toplamı olan TL olacaktır Bankaya olan borcumuzu birer yıl aralıklı olmak üzere beş eşit taksitte ödeyebiliriz X X X X X Bu durumda eşit ödeme miktarını bulmak için borç denklemi denilen aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekecektir TL=ÖDEME*ABDÇ %10,5 olacaktır. Bu durum için geri ödeme planının aşağıdaki gibi hazırlayabiliriz 33

34 Borç Geri Ödeme Planları Yıl Dönem Başı İtibarıyla Borç Yıllık Ödeme Faiz Ödemesi Ana Para Geri Ödemesi Dönem Sonu İtibarıyla Borç , , , , , , ,97 836, , , , ,97 656, , , , ,97 457, , , , ,97 239, ,16 0,00 34

35 Borç Geri Ödeme Planları -Bankaya olan borcumuzu birer yıl aralıklı olmak üzere beş eşit taksitin yanısıra beşinci yılın sonunda yapacağımız ilave bir balon ödemesi ile kapatabiliriz. Örneğimize devam edip 3.000TL lik bir balon ödemesi yapacağımızı varsayarsak, yıllık ödemeler aşağıdaki denklemden bulunabilir TL=ÖDEME*ABDÇ %10, * BDÇ %10, TL=ÖDEME*3, * 0,621 Bu denklem çözülürse yıllık ödemelerin 2.146,58TL olması gerektiği görülecektir. 35

36 ALIŞTIRMALAR 1. Yıllık ödemeleri 200-TL olan ve %15 faiz oranı ile değerlendirilen 5 yıllık normal anüitenin gelecekteki değeri nedir? a. 670,44-tl b. 842,91-tl c ,56-tl d ,64-tl e ,48-tl Cevap:e 36

37 ALIŞTIRMALAR 2. Yıllık tl ödeyen bir sonsuz anüite satın alabileceğinizi düşünün. Bu yatırımdaki gerekli getiri oranı %15 tir. Anüitenin fiyatı aşağıdakilerden hangisi olursa, anüiteyi alıp almamak karşısında kayıtsız kalırsınız? (Bir varlığın değeri o varlığın gelecekte sağlaytacağı net nakit akışlarının bugünkü değeridir) a ,00-tl b ,00-tl c ,67-tl d ,00-tl e ,50-tl Cevap:c 37

38 ALIŞTIRMALAR 3. Eğer 100-tllik mevduatınız üç ay vadeli hesapta yıllık %4 nominal faiz oranı kazanıyorsa, 5 yıl sonra mevduatınızın toplam değeri ne olur? a. 122,02-tl b. 105,10-tl c. 135,41-tl d. 120,90-tl e. 117,48-tl Cevap:a 38

39 ALIŞTIRMALAR 4. Yeni bir araba almayı düşünüyorsunuz. Arabanın fiyatı tl ve sizin ön ödeme tutarı için tlniz var. Eğer yıllık nominal %10 faiz oranı ile 5 yılda geri ödemeli şekilde arabayı satın alırsanız, aylık ödemeleriniz ne kadar olur? a. 216,67-tl b. 252,34-tl c. 276,21-tl d. 285,78-tl e. 318,71-tl Cevap:c 39

40 ALIŞTIRMALAR 5. Bir bankadan tllik araba kredisi aldınız. Kredi beş yıllık (60 ay) ve tamamı amortize edilmekte. Kredinin nominal faiz oranı %12 ve ödemeler her ay sonunda yapılmakta. 30. ödemeyi yaptıktan sonra kalan toplam borcunuz ne olur? (Cevap 30. ay sonu itibarıyla kalan 30 ödemenin bugünkü değeri olur.) a ,17-tl b ,62-tl c ,50-tl d ,38-tl e ,03-tl Cevap:a 40