BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

Transkript

1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

2 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2

3 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3

4 Önermeler Önermeler Mantığı, basit ifadelerden mantıksal bağlaçları kullanarak yeni ifadeler türetmektir. Bazı Uygulamaları Sayısal elektronik devreler oluşturma Programlardaki koşulları ifade etme Veritabanı sorguları oluşturma Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 4

5 Önermeler Bir Öneme: basit olarak bir bildirim ifadesidir. Kesinlik vardır Bir önermenin 1 doğruluk değeri vardır. T true, F, false Bir anda yalnızca biri olabilir Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 5

6 Önermeler Önerme: doğru ya da yanlış denebilecek bir bildirim cümlesidir. Ara değeri dışlama kuralı: Bir önerme kısmen doğru ya da kısmen yanlış olamaz Çelişki kuralı: Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 6

7 Önermeler Örnek: (Önerme) Ay dünyanın çevresinde döner. Filler uçabilir = 11 Hava yağmurlu Ankara Türkiye nin başkentidir Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 7

8 Örnek: (Önerme değil) Kim O? Sadece yap! 1+2 Saat kaç? Ali topu at! x < 43 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 8

9 Önerme Değişkeni: Önermeler Önermeyi simgeleyen isim, Doğru (D) (1) ya da Yanlış (Y ) (0) değerlerini alabilir Önermelere harfler verilirken p den başlayıp ingilizce alfabesindeki sıraya göre harf verilir. p,q,r,s,t,u,v gibi Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 9

10 Önermeler Yalın Önerme: Yalnızca bir hüküm içeren önermedir. p: Kar yağıyor. q: Ankara da yaz aylarında hava çok soğuktur. p önermesinin doğruluk değeri 1, q önermesinin doğruluk değeri 0 dır. Yani, p önermesi doğru, q önermesine yanlış diyeceğiz. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 10

11 Önermeler Bileşik Önerme: Birden çok hüküm içeren önermedir. p: Antalya, Akdeniz bölgesindedir ve Rize, Karadeniz bölgesindedir. q: Bugün hava sıcak değildir veya ben üşüyorum. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 11

12 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 12

13 Önermeler Denk Önerme: Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önerme veya eşdeğer önerme denir. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 13

14 Önermeler Cebiri Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 14

15 Operatörler: Mantıksak operatörler de bir veya daha fazla operand alabilir. Aritmetik operatörlerden farklı olarak sayılarla değil, ifadelerin doğruluklarıyla ilgilenirler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 15

16 İşlemler: yeni önermeler elde etmek için: bir önerme değillenebilir bir veya birden fazla önerme mantıksal bağlaçlar ile birleştirilerek birleşik önermeler elde edilebilir yalın önermeler daha küçük birimlere bölünemez doğruluk tablosu: içerdiği yalın önermelerin olası bütün değerleri için birleşik önermenin sonucunu veren tablodur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 16

17 Bazı Popüler Mantıksal Operatörler Değil operatör NOT Unary(birli) Kesişim operatör AND Binary Ayrışım operatör OR Binary Özel-Ayrışım operatör XOR Binary Gerektirme operatör IMPLIES Binary İki koşullu operatör IFF Binary Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 17

18 Değil operatör NOT Unary(birli) Doğruluk Tablosu Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 18

19 Değil operatör NOT Unary(birli) p = «saçım kahverengi» p = «saçım kahverengi değil» p1: Ay dünyanın çevresinde dönmez. D: Yanlış p2: Filler uçamaz. Y : Doğru Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 19

20 Kesişim operatör AND Binary Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 20

21 Kesişim operatör AND Binary p = «öğlen salata yiyeceğim» q = «akşam et yiyeceğim» p q = «öğlen salata yiyeceğim ve akşam et yiyeceğim» p1 ^ p2: Ay dünyanın çevresinde döner ve filler uçabilir. D ^ Y : Yanlış Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 21

22 Ayrışım operatör OR Binary Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 22

23 Ayrışım operatör OR Binary p = «arabamın kötü bir motoru var» q = «arabamın kötü bir karbüratörü var» p q = «arabamın kötü bir motoru var veya arabamın kötü bir karbüratörü var» p1 p2: ay dünyanın çevresinde döner veya filler uçabilir. D Y : Doğru Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 23

24 Özel-Ayrışım operatör XOR Binary Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 24

25 Özel-Ayrışım operatör XOR Binary p = «bu dersten A alacağım» q = «bu dersi bırakacağım» p q = «ya bu dersten A alacağım ya da bu dersi bırakacağım» (İKİSİ BİRDEN DEĞİL) p1 p2: ya ay dünyanın çevresinde döner ya da filler uçabilir. D Y : Doğru Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 25

26 Özel-Ayrışım operatör XOR Binary NOT: Türkçe kafanızı karıştırmasın Türkçedeki «veya» kafanızı karıştırabilir Bu dersteki «veya» kapsamak anlamına gelir Ali yazardır veya şarkıcıdır - Ali erkektir veya bayandır - 26

27 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) Gerektirme p q ifadesi: p gerektirir q. Yani: p doğru ise q doğrudur. p doğru değilse q doğru da olabilir yanlış da olabilir Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 27

28 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) p: öncül q: sonuç okunuşları: p ise q p, q için yeterli q, p için gerekli p V q Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 28

29 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) Örnek: p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2 p7: Güneş dünyanın çevresinde döner. p4 p5: 3, 8 den küçükse 3, 14 den küçüktür. D D: Doğru Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 29

30 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) Örnek: p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2 p7: Güneş dünyanın çevresinde döner. p4 p6: 3, 8 den küçükse 3, 2 den küçüktür. D Y: Yanlış Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 30

31 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) Örnek: p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2 p7: Güneş dünyanın çevresinde döner. p2: filler uçabilir p2 p7: Filler uçabilirse güneş dünyanın çevresinde döner Y D: Doğru Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 31

32 Gerektirme operatör IMPLIES Binary (Koşullu Bağlaç) Örnek: Eğer bu ders biterse, yarın güneş doğacak. True or False? Salı haftanın bir günü ise, ben bir penguenim True or False? 1+1=6 ise, Bush halen başkandır True or False? Eğer ay peynirden yapılmışsa, Ben Bill Gates ten daha zenginim. True or False? Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 32

33 İkikoşullu operator IFF Binary (Karşılıklı Koşullu Bağlaç) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 33

34 İkikoşullu operator IFF Binary (Karşılıklı Koşullu Bağlaç) Ancak ve ancak Gerek ve yeter şart p = bütün sınavlardan tam puan alırsan ve bütün ödevleri yaparsan q = bu dersten A+ alabilirsin p q = Ancak ve ancak bütün sınavlardan tam puan alırsan ve bütün ödevleri yaparsan bu dersten A+ alabilirsin Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 34

35 İkikoşullu operator IFF Binary (Karşılıklı Koşullu Bağlaç) p q doğruluk tablosunda p ve q aynı değerlere sahiptir. Doğruluk tablosu Xor un tersidir. Yani, p q ile (p q) aynı şey. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 35

36 Öncelik Sırası ^ 3. V gruplama sırasını değiştirmek için parantez kullanılır Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 36

37 Öncelik Sırası «Eski bir arkadaşımı gördüm, büyümüş veya çökmüştü» = f (g s) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 37

38 Özet Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 38

39 Örnek p= dün gece yağmur yağdı q= dün gece fıskiyeler çalıştı r= bu sabah çimenler ıslaktı Aşağıdaki ifadeleri Türkçe olarak söyleyin p = «dün gece yağmur yağmadı» r p =«bu sabah çimenler ıslaktı ve dün gece yağmur yağmadı» r p q =«bu sabah çimenler ıslak değildi veya dün gece yağmur yağdı veya dün gece fıskiyeler çalıştı» Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 39

40 Ödev 1 s: Filiz gezmeye çıkar. t: Mehtap var. u: Kar yağıyor. Aşağıdaki ifadelerin anlamlarını yazınız? Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 40

41 Ödev 2 Aşağıdaki ifadeler için; a) Önerme olanları ve olmayanları ayırınız? b) Önerme olanların doğruluk değerlerini bulunuz? c) Önermelerden birbirine denk olanları belirtiniz? d) Bu önermelerden birbirine denk olmayanları belirtiniz? Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 41

42 Ödev 3 Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz; Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 42

43 Ödev 4 Aşağıdaki önermeler arasında birbirine denk olanları belirleyiniz; Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 43