ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

Transkript

1 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ Hafta Konu 1 Vektör Analizi 2 Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler 3 Elektrik Yükleri ve Alanlar 4 Elektriksel Akı ve Gauss Yasası 5 Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları 6 Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel Uygulamaları 7 Elektriksel Potansiyel 8 Enerji 9 Akım ve Akım Yoğunluğu 10 İletkenler ve Sınır Şartları 11 Dielektrikler ve Sınır Şartları 12 Kapasitör ve Uygulamaları 13 Laplace ve Poisson Denklemlerinin Çözüm Tahminleri 14 Görüntü Metodu

2 Vektör Analizi Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Skaler ve vektörel alanlar

3 Vektör Analizi Elektrik alan şiddeti (E) boş uzaydaki elektrostatik alanların açıklanabilmesi için gereken tek vektör olup birim test yüküne etkiyen elektrik kuvveti olarak tanımlanır. Elektrik akı yoğunluğu (D) malzeme ortamında elektrik alan çalışmasında kullanışlıdır. Manyetik akı yoğunluğu (B) boş uzayda manyeto statik (kararlı elektrik akımlarının etkisi) tartışmasında gereken tek vektördür ve belirli bir hızla hareket eden yük üzerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilişkilidir. Manyetik alan şiddeti (H) malzeme ortamında manyetik alan çalışmasında kullanışlıdır.

4 Vektörel Gösterim

5 Vektörel Gösterim Vektörel gösterim Skaler gösterimi Vektörel çarpımın üç adet skaler eşleniğine göre vektörel eşitliği daha iyi ifade ettiği görülmektedir.

6

7

8 Vektörlerde Toplama Çıkarma

9 İki vektörün nokta (skaler) çarpımı

10 İki vektörün nokta (skaler) çarpımı Nokta çarpımının bazı temel özellikleri

11 İki vektörün vektörel çarpımı Sağ El Kuralı

12 Vektörel çarpım

16

17 Karma çarpım

18 Karma çarpım

19 Sorular

20 Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler

21 Koordinat Sistemleri Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak ifade edilir. Uzayda çok sayıda dikgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada dikgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır. Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen (Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm yapmak mümkündür.

22 Koordinat Sistemleri

23 Kartezyen Koordinat Sistemi Koordinat eksenlerinin (çizgilerinin) DOĞRU şeklinde olduğu ortogonal (dikey) sistemlerdir. P(x,y,z) noktasını, eksenlere düşen kenar uzunlukları belirlemektedir.

24 Kartezyen Koordinat Sistemi

25 Kartezyen Koordinat Sistemi

26 Silindirik Koordinat Sistemi

29 Küresel Koordinat Sistemi Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r, θ ve ф' dir. Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir. r: Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır. θ: Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır. ф: Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü (ρ) arasındaki açıdır. Bu sistem, dünya üzerinde coğrafi konum belirlerken kullanılan sistemdir. Dünya' nın yüzeyi üzerinde her noktada yarıçap aynı olduğundan, sadece enlem ve boylam ile bir yer belirlenebilir.

30 Küresel Koordinat Sistemi

31 Küresel Koordinat Sistemi

32 Sorular (1)

33 Sorular (2)

34 Sorular (3)

35 Sorular(4)

36 Elektrik Yükleri ve Alanlar

37 Bu bölümde durgun yüklerden dolayı oluşan statik elektrik alanları (elektrostatik) işlenecektir. Statik elektrik alanları === Yük zamanla sabit Coulomb deneyleri sonucu yüklü iki parçacık arasındaki elektrik kuvvetinin Yüklerin çarpımı ile doğru orantılı, Yüklerin aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı, Yüklerin birbirini birleştiren hat boyunca yönlenmiş ve Aynı yükler için itici ve zıt yükler için çekici

38

39

40

41

42 ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Eğer bir yük diğerine doğru hareket ettirilirse Coulomb kanununa göre yükler tarafından etkiyen kuvvetin de ani olarak değişmesi gerekir. Bunun tersine görecelik teorisi bir yükün hareketi hakkındaki bilginin diğer yüke ulaşması için belli bir zaman alması gerektiğini zorunlu kılmaktadır. Bundan dolayı yükler üzerine etkiyen kuvvetlerin artışı ani olamaz böylece yük sistemleri ile ilgili enerji ve momentin geçici olarak denge dışı olacağı gösterilir. Cisimlerden kaçan (kaybolan) moment ve enerjinin hesaba katılması için etkileşen cisimlerin bulunduğu ortamda, alanın biçimini bozucu etki gösteren ekstra bir şeyin var olması gerekir. Bu yüzden, bir yük üzerine başka bir yükün varlığında etkiyen kuvvetin bir alan olarak tanımlanması oldukça kullanışlı olmaktadır.

43 ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Yükü çevreleyen uzayda her yerde bir elektrik alanı veya elektrik alan şiddetinin var olduğu söylenebilir. E uzayda bir noktadaki elektrik alan şiddeti ise bu noktada q yüküne etkiyen kuvvet: q nokta yükünden dolayı P noktasındaki elektrik alan şiddetinin ifadesi:

44 ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Elektrik alan çizgileri Bir pozitif yükten çıkıp bir negatif yükte son bulurlar Bir pozitif yükten ayrılan veya bir negatif yüke ulaşan alan çizgilerinin sayısı yük miktarıyla orantılıdır. Asla birbirlerini kesmezler

45 İki Levha Arasındaki Elektrik Alan Şiddeti

46 Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar Manyetik alan hareket eden elektrik yükleri tarafından, zamanla değişen elektrik alanlardan veya temel parçacıklar tarafından içsel olarak üretilir. Zamana göre değişen bir elektrik alan (mesela hareketli bir yüklü parçacık nedeniyle) yerel manyetik alana sebep olur.

47 Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar Manyetik alan çizgileri kapalı eğrilerdir. Bir başka deyişle manyetik alan çizgilerinin başlangıcı ve sonu yoktur. Oysa elektriksel alan çizgileri artı işaretli yüklerden çıkıp eksi işaretli yüklerde son bulmaktadır. Elektrik kuvveti, her zaman elektrik alanına paralel, buna karşın manyetik kuvvet manyetik alana dik olarak etkir.

48

49

50 Örnek: 24 μc yük değerine sahip bir cisim düzgün 610 N/C elektrik alanın içerisinde havada asılı durmaktadır. Cismin kütlesini hesaplayınız.

51 Elektriksel Akı ve Gauss Yasası

52 Elektriksel Akı Statik Elektrik, tabiatta birbirinden farklı veya aynı, iletken veya yalıtkan iki maddenin temas etmesi ve sonra ayrılması veya sürtünme işlemi sonucunda, bu iki cisim arasında pozitif ve negatif elektronların serbest bırakılması ve işaretlerinin değişmesi sonucunda oluşur. Statik yükün voltajı çok fazla olmasına karşın, akımı çok zayıftır. Maddeler birbirleriyle temas halinde olduğu sürece aralarında temas yüzeyi boyunca elektron transferi olur. İki maddenin temasının kesilmesi durumunda aralarındaki sınır tabakası ortadan kalkar ve maddelerden birinde negatif yük fazlalığı (negatif yüklenme) diğerinde ise elektron azlığı (pozitif yüklenme) meydana gelir. Oluşan bu iki ayrı yük birbirlerini çeker ve arada bulunan hava gibi yalıtkan olan bir ortam boyunca ark (kıvılcım) yaparak boşalır ve yük farklarını dengelerler.

53 Elektriksel Akı Yük veya yükler kapalı bir hacim içerisine alındıklarında, bu kapalı alandan dışarı veya içeri doğru elektrik alan çizgileri düşünülebilir.

54 Elektriksel Akı Alan çizgileri birbirine yakın olduğunda E büyük, uzak olduğunda küçüktür. Alan çizgileri bir artı yükten çıkıp bir eksi yükte son bulmalıdır. Alan çizgilerinin sayısı yük miktarıyla orantılıdır. İki alan çizgisi birbirini kesmez.

55 Elektriksel Akı Elektrik akısı, bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. Çok küçük bir da alanındaki elektrik akısı şu şekilde hesaplanır: Burada E yüzeye dik olan elektrik alanıdır. Bir S yüzeyinden geçen elektrik akısı da alanlarının toplanmasıyla elde edilir: Elektrik alanı vektörüyle, da vektörü arasında skaler çarpım olduğundan manyetik akının büyüklüğü şu şekilde yazılır:

56 Elektriksel Akı

57 Elektriksel Akı- Soru

58 Gauss Kanunu

59 Noktasal Yükte Gauss Kanunu

60 Küresel Yükte Elektrik Alanı

61 Yük Dağılımları Noktasal, çizgisel, alana yayılan (düzlemsel), hacim içerisine yayılan yükler

62 Gauss Yasası Kullanılarak Hesaplanan Bazı Örneksel Elektrik Alanları

63 Sorular (1)

64 Sorular (2)

65 Sorular (3)

66 Sorular (4)

67 Sorular (5)

68 Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları

69 Diverjans Nedir Isındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının uzaksaması pozitif olacaktır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir. Vektör hesaplamada, diverjans (ıraksama, uzaksama, uzaklaşma) bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli (artı ya da eksi) bir sayıdır. Uzaksaması her yerde 0 olan vektör alanına selenoidal denir.

70 Diverjans Nedir

71 Soru (1)

72 Soru (2)

73 Hatırlatma

74 Hatırlatma Hacmin Türevi Alanın Türevi Vektörün Türevi Alan Vektör Nokta Diverjans bulurken bir vektör alanının kısmi türevini alarak vektör buluyoruz

75 Diverjans İşareti

76 Selenoidal Diverjans

77 Diverjans Uygulamaları-1

81 6-Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel Uygulamaları

82 Yüklü Parçacığın Sapması Elektrostatik alanların en yaygın uygulamalarından biri elektron veya proton gibi yüklü bir parçacığın yörüngesinin kontrol edilmesi için saptırılmasıdır. Katot ışınlı osiloskop, mürekkepli-jet yazıcı ve hız seçici gibi aygıtlar bu prensibe dayanmaktadır. Yüklü parçacığın sapması bir çift paralel plaka arasındaki potansiyel fark korunarak yapılır. u x hızı ile x yönünde hareket eden m kütleli ve q yükü ile yüklü bir parçacığı dikkate alalım. t=0 zamanında yüklü parçacık V o potansiyel farkında tutulan paralel levha çifti arasındaki bölgeye girer.

83 Yüklü Parçacığın Sapması Hız=İlk hız + ivme zaman V = V0 + a t

84 Yüklü Parçacığın Sapması

85 Yüklü Parçacığın Sapması- Örnek

86 KATOT IŞINLI OSİLOSKOP Katot ışınlı osiloskop un temel özellikleri; tüp camdan yapılmış ve içi tamamen boşaltılmıştır. Isıtıcı bir flaman ile ısıtıldığında katot elektron yayar. Bu elektronlar daha sonra katota göre birkaç yüz voltluk bir potansiyelde tutulan anoda doğru hızlandırılır. Küçük bir deliğe sahip olan anot, içinden ince bir elektron ışınının geçmesine izin verir. Hızlanmış elektronlar bundan önceki kısımda tartışılana benzer bir davranışla hem yatay ve hem de dikey boyutlarda saptırılabilecekleri bir bölgeye girerler. Son olarak elektron ışını bir cisim (fosfor) ile kaplanmış görünür ışık yayan ekranın iç yüzeyine bombardıman edilir.

87 KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

91 MÜREKKEPLİ YAZICI

92 MÜREKKEPLİ YAZICI

93 MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI

97 7- Elektrik Potansiyeli

98 Elektrik Potansiyeli

102 Elektrik Alanda Yapılan İş

103 Elektrik Alanda Yapılan İş

104 Nokta Yükün Elektrik Potansiyeli

105 Soru-1

106 Soru-2

107 Soru-3

108 Soru-4

109 Soru-4

110 Soru-5

111 Soru-6

112 Soru-7

113 Soru-8

114 Soru-8

115 Hatırlatma---- Sınavda verilecek formül ve değerler

116 8-Enerji

117 Enerji

118 Enerji

119 Enerji

120 Soru-1

121 Soru-2

122 Soru-3

123 Soru-4

124 Enerji

125 Enerji

126 Enerji

127 Enerji

128 Enerji

129 Enerji

130 Enerji

131 Enerji

132 Enerji

133 Enerji

134 Enerji

135 9- Akım ve Akım Yoğunluğu

136 Akım ve Akım Yoğunluğu

137 İletkenlik

138 Direnç

139 Akım Tabakası Yoğunluğu

140 Soru-1

141 Soru-2

142 Soru-3

143 Soru-4

144 Soru-5

145 Sorular

146 10-İletkenler, Yalıtkanlar ve Sınır Şartları

147 İletkenler ve Sınır Şartları

154 Soru-1

155 Soru-1

156 Soru-2

157 Soru-2

158 Kutuplanma (P) ve Bağıl Geçirgenlik (εr)

162 Dielektriğin Ayırma Yüzeyinde Sınır Koşulları

163 Dielektriğin Ayırma Yüzeyinde Sınır Koşulları

164 11- Kapasitör ve Uygulamaları

165 Kapasitör ve Uygulamaları

168 Çok Katmanlı Dielektrikli Kondansatörler

171 Kondansatörlerde Biriken Enerji

172 Sabit Gerilim Durumunda D ve E

173 Sabit Gerilim Durumunda D ve E

174 Soru-1

175 Soru-1

176 Soru-2

177 Sorular

178 12-Laplace ve Poisson Denklemlerinin Çözüm Tahminleri

179 Laplace ve Poisson Denklemleri

180 Laplace ve Poisson Denklemleri

181 Soru-1

182 Soru-2

183 Soru-3

184 Soru-5 Eş merkezli tam dairesel iki silindir arasındaki bölgede, r = 1 mm'de V = 0 ve r = 20 mm'de V = 150 V olmak üzere, potansiyel fonksiyonunu ve elektrik alan şiddetini bulunuz.

185 Soru-5

186 Soru-6

187 Soru-7

188 Soru-8

189 Soru-9