FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ-I

Transkript

1 FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ-I Bölüm 3. Örgü Titreşimleri: Termal, Akustik ve Optik Özellikler Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 1

2 Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 U 2n-1 U 2n U 2n+1 U 2n+2 U 2n+3 w A B C Normal kip frekansları. A, iki atom zıt fazda titreşir, kütle merkezi durgundur. B, M 1 titreşir, M 2 durgundur. C, M 2 titreşir, M 1 durgundur. л/ 2a 0 л / 2a л / a k Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 2

3 Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri Enine optik kip Titreşim genliği çok yüksektir! Enine akustik kip Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 3

4 Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 4

5 Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri Normal kip çözümü u n Aexp i k r wt k dalgaboyunu ve ilerleme yönünü belirler. A titreşim genliğini ve atomların titreşim yönünü belirler. A dalganın polarizasyonunu belirler: Boyuna A, k ya paralel Enine A, k ya dik Hareket denklemlerinde çözümü yerine yazarak 3x3 lük bir matris elde ederiz. 3 farklı dispersiyon ilişkisi (kök) 3 farklı dispersiyon eğrisi Tüm dallar akustik (orijinden geçiyor) Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 5

6 Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri 3-boyutta dispersiyon ilişkisi belirli bir k-yönü için çizilmiştir. Farklı bir doğrultuda çizilmesi ile yeni bir dispersiyon ilişkisi elde edilir. Al: dispersiyon eğrisi [100] ve [110] doğrultuları için Ge: dispersiyon eğrisi [100] ve [111] doğrultuları için Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 6

7 Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda ([100], [110] gibi) ise dalgalar saf boyuna/saf enine dallar 2x enine & 1x boyuna EA (TA): enine akustik, BA (LA): boyuna akustik k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda değilse dalgalar saf boyuna/saf enine karışık karakterde yüksek simetri doğrultusunda iki enine dal üst üste gelir: dallar dejeneredir. Dispersiyon eğrisinin dejenereliği ve polarizasyonu KRİSTAL SİMETRİSİ ne bağlı Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 7

8 k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut) Üç boyutlu örgünün dispersiyon ilişkisi Periyodik olma özelliği: 1.BB ne bakmamız yeterli!!! Yansıma (inversiyon) simetrisi: Tümü gerçek örgünün simetrisinden kaynaklanıyor!!! j w w j w w k k G k w j j k w k j j: ilgilenilen dal G: ters örgü vektörü Bu simetrilere ek olarak gerçek örgü başka simetriye sahipse (ör. Dönme) dispersiyon ilişkisi o simetriyi de sağlar. Örneğin, kübik kristallerde w j k da kübik simetriye sahiptir. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 8

9 k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut) FCC örgü yapısına sahip Al nin 1.BB Periyodik, inversiyon ve dönme simetrileri görülüyor. Dispersiyon eğrisinin 1.BB ndeki sadece küçük bir kısmını elde etmemiz yeterli, çünkü diğer kısımları simetri sayesinde türetebiliriz. Kübik kristalde, 1.BB nin 1/48 ini elde etmek yeterli! (Kübik dönme grubunun 48 elemanı var: GRUP TEORİ) Al nin 1.BB nde frekans konturları (contour) Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 9

10 Bir Örgünün Durum Yoğunluğu Bir boyutlu örgü için genel durum yoğunluğu bağıntısı g w L 1 dw dk Bir boyutlu örgünün durum yoğunluğu Sürekli durum: k w v s g w L v s Kesikli (ayrık) durum: sinka 2 w w m g 2 L aw m w cos ka 2 1 w>w m durumunda g(w) kaybolur. 1.BB dışındaki bir bölgeye karşılık gelir. Eğrinin altındaki alan = kiplerin sayısı (N) Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 10

11 Bir Örgünün Durum Yoğunluğu Üç boyutlu örgünün durum yoğunluğunu bulmak için bir boyutlu duruma benzer şekilde. j.nci dalı ele alalım: frekansı ile arasındaki konturları çizelim. w j k w w j k w dw k y k x Bu yüzeyler arasında kalan kiplerin sayısı = g j w g j w dw : j.nci dalın durum yoğunluğu Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 11

12 Bir Örgünün Durum Yoğunluğu Toplam durum yoğunluğu: g w j g j w Cu için toplam durum yoğunluğu (nötron saçılması deneyinden elde edilen) Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 12

13 Isı Sığası: Kesin Teori Isı sığası için Debye modeli lineer dispersiyon ilişkisi sadece BB nin merkezi yakınlarında doğrudur. Bu yaklaşım BB nin kenarlarında (sınırlarında) geçerli değildir. uzun dalgaboyu yaklaşımını ortadan kaldırıp, örgünün durum yoğunluğunu kullanarak ısı sığası için genel bir denklem yazmalıyız. örgü termal enerjisi: E w gw d w Sıcaklığa göre enerjinin türevi, ısı sığası: c v k w kt 2 w w exp kt exp 1 kt 2 g w d w Isı sığasını elde edebilmek için gerçek durum yoğunluğu fonksiyonunu (g(w)) yazmak gereklidir. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 13

14 Termal İletkenlik İki ucu farklı sıcaklıkta olan bir örnek. Isı akım yoğunluğu (Q), sıcaklık gradyenti ile orantılıdır (dt/dx): Q K T x K termal iletkenlik örnekteki ısı geçişinin bir ölçüsüdür Bir malzemeden ısı iletimi farklı şekillerde olur: Metallerde, ısı elektronlar (büyük kısmı) ve örgü dalgaları (fononlar) tarafından iletilir. Yalıtkanlarda, mobil elektronlar bulunmadığı için ısı fononlar tarafından iletilir. Burada, sadece fononlar tarafından iletimi ele alacağız. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 14

15 Termal İletkenlik Isının fononlar tarafından iletimini, fonon gazı oluşumu olarak düşünebiliriz. Fonon Gazı Hız yaklaşık olarak sabittir. Sayı ve enerji yoğunluğu sıcak uçta daha yüksektir. Isı akışı öncelikle fonon akışı ile olur. Sıcak uçta üretilen fononlar, soğuk uçta tüketilir. Gerçek Gaz Parçacık akışı yoktur. Ortalama enerji ve parçacık başına kinetik enerji sıcak uçta daha yüksektir, fakat, sayı yoğunluğu soğuk uçta fazladır. Basınç sabit olduğundan enerji yoğunluğu da sabittir. Isı akışı sadece çarpışmalarda bir parçacıktan diğerine kinetik enerji aktarımı ile olur. (Fonon gazında bu küçük bir etkidir.) sıcak soğuk sıcak soğuk

16 Termal İletkenlik İletim: Atomlar örneğin sol ucundan sağ ucuna doğru hareket ederler (T 2 T 1 ) Böylece, fonon konsantrasyonu sol uçta daha büyüktür ve fononlar sol uçtan sağa doğru akarlar. Gaz modelinin kullanılması, kinetik teoriyi uygulayabileceğimiz anlamına gelir: K 1 3 c v vl C v : birim hacimdeki ısı sığası v: parçacığın (fonon) hızı l: parçacığın (fonon) ortalama serbest yolu v ve l, BB nde doldurulmuş kipler üzerinden alınan ortalama nicelikler Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 16

17 Termal İletkenlik & Fonon ortalama serbest yolu Bazı örneklerin termal iletkenlikleri ve fonon ortalama serbest yollları K 1 3 c v vl Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 17

18 Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı Düşük sıcaklıklarda T 3 Yüksek sıcaklıklarda 3R K 1 3 c v vl Yaklaşık olarak ses hızına eşit, böylece sıcaklıktan bağımsız. l sıcaklığa güçlü bir şekilde bağlı l fononun iki ardışık çarpışması arasındaki ortalama uzaklık l değeri katıdaki çarpışma süreçleri incelenerek belirlenebilir Çarpışma Süreçleri 1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması 2. Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar) çarpışması 3. Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması? Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 18

19 Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı 1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması [fonon-fonon] Bir fonon kristalde diğer bir fononla karşılaştığında aralarındaki anharmonik etkileşime bağlı olarak saçılma gerçekleşir. Daha önceki konularda, fononların birbirinden bağımsız olduğu harmonik yaklaşım kullanılmıştı. Bu yaklaşım yetersizdir. Atomik yerdeğiştirmeler kayda değer derecede büyükse (yüksek sıcaklıklarda) fononların arasında anharmonik bir çiftlenim söz konusu olur. Böylece, fononlar arasında karşılıklı bir saçılma gerçekleşir. O halde, yüksek sıcaklıklarda, fonon-fonon çarpışmaları önemli hale gelir. Bu durumda, ortalama serbest yol (l) 1/T Yüksek T çarpışmaya katılan fonon sayısını artırır. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 19

20 Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı 2. Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar) çarpışması [fonon-hata] Kristaldeki safsızlıklar ve hatalarda fononların saçılmasına neden olur. Çünkü, bunlar örgünün periyodikliğini bozar ve serbestçe ilerleyen örgü dalgası kavramı bozulmuş olur. Örnek olarak; örgüdeki atomların kütlesinden büyük bir safsızlığın yerleştiğini düşünelim. Örgü dalgası bu safsızlıktan saçılacaktır. Kütle farkındaki artış, safsızlık yoğunluğunu artırır, saçılma artar, ortalama serbest yol azalır. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 20

21 Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı 3. Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması [boyut (geometrik) etkisi] Çok düşük sıcaklıklarda (<10K) fonon-fonon (çok az fonon var) ve fonon-hata (uyarılmış çok az fonon var, tümü uzun dalgaboylu) çarpışmaları etkisizdir. Saçılma gücü: çap/dalgaboyu [Uzun dalgaboyu saçılma az] Düşük sıcaklık bölgesinde, ana saçılma mekanizması örneğin dış sınırlarından saçılmadır. (Boyut etkisi) Bu mekanizma, uyarılmış fononların dalgaboyu örneğin boyutu ile karşılaştırıldığında çok büyük olduğu durumlarda etkindir. Bu durumda örneğin çapı, ortalama serbest yola (l) eşittir. Böylece l, sıcaklıktan bağımsızdır. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 21

22 Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı c v v l K Düşük sıcaklıklarda T 3 sabit sabit T 3 K 1 3 c v vl Yüksek sıcaklıklarda sabit sabit 1/T 1/T Boyut etkisi Fonon saçılması 1. Örnek kesit alanı: 1,23x0,91 mm 2. Örnek kesit alanı: 7,55x6,97 mm Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 22

23 Fonon-Fonon Çarpışması Normal (N) Etki k 1 ve k 2 dalga vektörlü fononların çarpışarak k 3 dalga vektörlü bir fonon oluşturduğunu düşünelim. Eğer k 3 BB içinde ise sistemin enerjisi ve momentumu korunur. w w w k k k w w w k k k Termal özdirenç = [Termal iletkenlik] -1 Fononların akışına ve böylece termal özdirence bir etkisi yoktur. Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 23

24 Fonon-Fonon Çarpışması Umklapp (U) Etkisi Eğer k 3 BB içinde değil ise k 3 BB ne taşınarak, fiziksel eşdeğeri k 4 elde edilir. Etkin fonon dalga vektörü k 4, k 1 ve k 2 ye zıt yöndedir. Momentum farkı örgünün kütle merkezine aktarılmıştır. k 3 k 4 G Bu süreç, fononun momentumunu değiştirmede çok etkindir ve yüksek sıcaklıklarda fononun ortalama serbest yolundan sorumludur. k 4 Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 24

25 Normal & Umklapp Etkisi Boyuna Enine w w a 0 Normal etki a k a 0 Umklapp etkisi a k Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 25