Statik Manyetik Alan

Transkript

1 Statik Manyetik Alan Noktasal Yüke Etki eden Manyetik Kuvvet Akım Elemanına Etki Eden Manyetik Kuvvet Biot-Savart Kanunu

2 Statik Manyetik Alan Statik manyetik alan, sabit akımdan veya bir sürekli mıknatıstan kaynaklanabilir Bu bölümde sabit akımların oluşturduğu manyetik alanlar incelenecektir.

3 E D Statik Elektrik Alan Elektrik Alan Vektörü [V/m] Elektrik Akı Yoğunluğu (Deplasman Vektörü) [C/m 2 ] H B Statik Manyetik Alan Manyetik Alan Şiddeti [A/m] Manyetik akı yoğunluğu [Wb/m 2 ],[Tesla] veya [Gauss] 1Tesla= 10 4 Gauss Eğer ortam homojen ve izotropikse (yönden bağımsız) ise elektrik alan şiddeti ve deplasman vektörü arasında aşağıdaki ilişki vardır D. E Eğer ortam homojen ve izotropik (yönden bağımsız) ise manyetik alan şiddeti ve manyetik akı yoğunluğu vektörü arasında aşağıdaki ilişki vardır B = μ. H

4 Noktasal Yüke Etkiyen Manyetik Kuvvet Noktasal q yüküne B manyetik alanı içinde etki eden manyetik kuvvet: F B q[ v B] Manyetik kuvvetin yönü sağ el kuralı ile bulunur.

5

6 F m qv B z v v x î v y ĵ B B x î B y ĵ F î ĵ ˆk v x v y 0 B x B y 0 v y 0 B y 0 î 0 v x 0 B x ĵ v x v y B x B y ˆk y F î ĵ ˆk v x v y 0 B x B y 0 (v x B y B x v y ) ˆk k j i x

7 Pozitif yük, Manyetik Alan içerisinde Hareket Ediyor. B, sayfadan içeri doğru F v B F m qv B = qvbsin90 o Kuvvetin yönü, sağ el kuralı ile bulunur

8 Yüke etki eden kuvvet: 2 mv F B qvb r Dairesel yolun yarıçapı: r mv qb Açısal Hız: v r qb m Hareketin periyodu: T 2r 2 2m v qb

9 Örnek: Bir proton, 0.4 Tesla lık manyetik akı yoğunluğu içerisinde 21 cm yarıçaplı yörüngede hareket etmektedir. Protonun hızını ve frekansını bulunuz. x x x v x x r x x x 1 v qbr m v C (0.4T ) 0.21m kg v v 1.6 (0.4) m s m s m s 2 f qb 2m f C (0.4T ) (2) kg 1.6 (0.4) f (6.28) Hz Hz f Hz

10 Akım Elemanı Üzerine Etki Eden Kuvvet Manyetik alan içerisinde hareket etmekte olan yüklü parçacığa etki eden kuvvet bağıntısı iletkenlerdeki akım için kullanışlı olmadığından; akım elemanı üzerine etki eden kuvvet bağıntısı çıkartılacaktır. I = dq dt olduğu hatırlanıp ; dl= v. dt alınabilir. dt çekilip yukarıdaki denklemde yazılırsa; I = dq dl. v elde edilir.

11 Diğer taraftan, akımı akım yoğunluğu cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz. I = J. ds J = I ds = dq.v = ρ. v dl.ds v hızı ile hareket eden dq yük grubuna etki eden kuvvet aşağıdaki gibi bulunabilir. df=dq.v B df= dl. ds. ρ. v B df= J Bdv dq=ρ. dl. ds dv J F = v J Bdv

12 Üzerinden I şiddetinde akım geçmekte olan uzun bir tel için; df= dl. ds.j B df = I. dl B I F = Telin tümüne etki edecek olan manyetik kuvvet; (I. dl x B)=I tel (dl tel xb)

13 Amper in Kuvvet Kanunu Üzerinden akım geçen bir iletkenin çevresinde bir manyetik alan meydana gelir. Bu alana başka bir iletken sokulursa bunlar karşılıklı olarak birbirine etki ederler. Bu olay Amper tarafından deneysel olarak ispatlanmış ve şekildeki örnek için; F 21 = k. c1 c2 I 2. dl 2 (I 1. dl 1 R 21 ) R 21 3 eşitliği ile verilmiştir. k sabittir. k = μ 0 4π

14 ε 0 = 1 36π10 9 [F/m] μ 0 = 4π10 7 [H/m] Boşluğun dielektrik katsayısı Boşluğun manyetik geçirgenlik katsayısı Işık Hızı c = 1 μ 0.ε 0 = 1 4π10 7. = [m/sn] 1 36π10 9

15 Üzerinden Akım Geçen İletkenin Manyetik Alanı Manyetik alan içindeki, üzerindeki I akımı geçen tele etkiyen kuvvet aşağıdaki gibi tanımlanmıştı. df = I. dl B İki iletkenin Amper in kuvvet kanunu uyarınca uyguladıkları kuvvet ise aşağıdaki gibi yazılabilir. İki eşitlik karşılaştırıldığında; yazılabilir. df 21 = μ 0 4π. I 2. dl 2 (I 1. dl 1 R 21 ) R 21 3 I. dl 2 db 1 = μ 0 4π. I 2. dl 2 (I 1. dl 1 R 21 ) 3 R 21

16 Biot-Savart Kanunu I. dl 2 db 1 = μ 0 4π. I 2. dl 2 (I 1. dl 1 R 21 ) 3 R 21 Herhandi bir I. dl akım elemanının R kadar uzağında meydana getireceği manyetik akı yoğunluğu Biot-Savart kanunu olarak bilinen aşağıdaki denklemle hesaplanabilir; db = μ 0 4π. I.dl R R 3 = μ 0 4π. (I.dl ı R) R 2 ı R : R doğrultusundaki birim vektördür

17 Akım Elemanının Manyetik Alanı dl ır R P Üzerinden akım geçen bir telin çevresinde meydana getireceği manyetik akı yoğunluğu vektörü aşağıdaki formül ile hesaplanır. I B = μ 0 4π. c (I. dl ır) R 2

18 Örnek Z ekseni boyunca uzanan bir tel üzerinden I şiddetinde akım akmaktadır. z=-a ve z=+a arasında uzanan iletken parçasının meydana getireceği manyetik akı yoğunluğu vektörünü bulunuz. P(r, Φ, z) z a I. dz. ı z z α 2 α ır z y α 1 r x -a I

19 db = μ 0 4π. (I.dl ı R) R 2 = μ 0 4π. I.dz.sinα [r 2 + z z 2 ]. ı φ a B = db z = a = μ 0 4π a I. dz. sinα [r 2 + z z 2 ]. ı φ a z z = r. cotα B = μ 0.I 4πr dönüşümü yapılırsa; a z = a sinα. dα. ıφ= μ 0.I 4πr (cosα 1 cosα 2 ). ıφ B = μ 0.I 4πr (cosα 1 cosα 2 ). ıφ B = μ 0.I 2πr ı φ

20 Örnek Üzerinden I büyüklüğünde akım geçmekte olan a yarıçaplı iletken halkanın ekseni üzerindeki noktalar için manyetik akı yoğunluğu vektörünü bulunuz. db = μ 0 4π. (I. dl ı R) r 2 dl db x = db. cos B x = db. cos = μ 0. I 4π dl. cosθ x 2 + R 2 B x = μ 0. I. R 4π(x 2 +R 2 ) 3/2 dl x=0 için B = μ 0. I 2. R B x = μ 0. I. R 2 2. (x 2 +R 2 ) 3/2 2πR

21 Kapalı, düzlemsel bir akım devresinin sınırladığı yüzeyin alanı S ve bu devreden geçen akım şiddeti I ise, S.I çarpanına akım devresinin manyetik momenti denir. m = S. I. ın Manyetik moment tanımını, bir önceki örnekte bulduğumuz eşitlikte kullanabiliriz. B = μ 0. I 2. R B = μ 0. I. π. R 2 2. π. R 3 S B = μ 0. m 2. π. R 3

22 Örnek Üzerinden I büyüklüğünde akım geçmekte olan telin O noktasında oluşturacağı manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. db = μ 0 4π. (I. dl ı R) R 2 ı r dl db = μ 0. I 4π. dl R 2 B = μ 0. I 4πR 2 0 dl= μ 0. I 4πR 2 0 R. d= μ 0. I. 4πR