SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK"

Coskun Aykut
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr ÖZET Bu maalede, L, -boyutlu Lorentz uzayında timelie Mannheim eğri çiftleri tanımlandı ve bu eğri çiftlerinin birbirlerine göre eğrilileri ile torsiyonları arasındai bağıntılar verildi. Ayrıca verilen bir eğri çiftinin Mannheim eğri çifti olabilmesi için gere ve yeter şart elde edildi. Anahtar Kelimeler: Mannheim eğrileri, Lorentz uzayı Ams Classification: 5B0, 5M0, 5A5, 5A04 ON THE TIMELIKE MANNHEİM CURVE COUPLE IN TRIDIMENSIONAL LORENTZ SPACE L ABSTRACT In this paper, timelie mannheim curve couple was defined in -dimensional Lorentz sapace and the relations were given between the curvatures and torsions of these curves. Morever for a given curve couple the necessary ans sufficient conditions were obtained to become Mannheim curve couple. Key Wor: Mannheim Curves, Lorentz Space GİRİŞ Regüler eğrilerin diferensiyel geometrisi çalışılıren, eğriler arasında arşılılı bağıntıların ortaya çıması ço ilginç ve önemli bir problem olara bilinir. Bu yüzden birço geometrici eğrilerin özellile eğrilileri ve torsiyonları arasında bağıntılar elde etmeye çalıştılar. Böylece il 5

2 A.Z.AAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) olara 878 de Mannheim tarafından w sabit bağıntısı ile tanımlanan eğri sınıfı Mannheim eğrileri olara adlandırıldı. Daha sonra 965 de E, -boyutlu Ölid uzayında Riccati denlemleri yardımıyla Mannheim eğrileri için bazı teoremler verildi [6]. Son yıllarda Mannheim eğri çiftleri ve bu eğri çiftleri ile ilgili bağıntılar Orbay ve Liu tarafından çalışıldı [,4]. Bu maalede L, -boyutlu Lorentz uzayında timelie Mannheim eğri çiftleri ile ilgili bazı temel avramlara ve teoremlere yer verildi.. TEMEL KAVRAMLAR IR, -boyutlu Ölid uzayı, dx dx dx indefinit iç çarpımı ile -boyutlu Lorentz uzayı adını alır ve x, x, x L ile gösterilir. Burada L ün doğal oordinatlarıdır., indefinit iç çarpım olduğundan vetörü için aa, 0 ya da a 0 ise a ya spacelie vetör, aa, 0 ise a ya timelie vetör, aa, 0 ve a 0 ise a ya null vetör denir. Ayrıca verilir. Benzer şeilde, L de bir a vetörünün normu a a, a ile L dei eyfi bir s eğrisinin s hız a L vetörü timelie ise timelie eğri olara adlandırılır. s birim hızlı timelie bir eğri ise s, s dir. Diğer yandan, L dei herhangi a a, a, a ve b b, b, b vetörleri için a ve b vetörlerinin Lorentzian vetörel çarpımı e e e a b a a a a b a b, a b a b, a b a b. b b b () 6

3 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) olara tanımlanır. L, -boyutlu Lorentz uzayında timelie s eğrisi boyunca Frenet çatısı T, N, B olma üzere s timelie eğrisinin Frenet denlemleri aşağıdai gibidir. T 0 0 T N 0 N B 0 0 B () Burada TT,, NN,, BB,, TN, 0, TB, 0, NB, 0 dır []. Tanım.. i) Hiperboli açı: a ve b, L de ii timelie future pointing (ya da past pointing) vetör olsun. O zaman a, b a b cosh olaca şeilde bir te vetörleri arasındai hiperboli açı denir []. ii) Merezi açı: 0 reel sayısı vardır. Bu açıya a ve b L de bir timelie alt vetör uzayını geren spacelie vetörler a ve b olsun. O zaman a, b a b cosh olaca şeilde bir te merezi açı denir []. iii) Spacelie açı: 0 reel sayısı vardır. Bu açıya a ve b vetörleri arasındai L de bir spacelie alt vetör uzayını geren spacelie vetörler a ve b olsun. O zaman a, b a b cos olaca şeilde bir te spacelie açı denir []. 0 reel sayısı vardır. Bu açıya a ve b vetörleri arasındai iv) Lorentzian timelie açı: L de a spacelie bir vetör ve b timelie bir vetör olsun. O zaman a, b a b sinh olaca şeilde bir te 7

4 A.Z.AAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) 0 reel sayısı vardır. Bu açıya a ve b vetörleri arasındai Lorentzian timelie açı denir [].. L DE TİMELİKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ Bu bölümde -boyutlu Lorentz uzayındai timelie Mannheim eğri çifti tanıtılara, bu eğri çiftleri ile ilgili bazı arateristi özellilere yer verilmiştir. Tanım.. ve timelie uzay eğrilerinin s ve s notalarındai Frenet çatıları T, N, B ve T, N, B olsun. eğrisinin s notasındai B binormal doğrusu ile eğrisinin s notasındai N asli normal doğrusu çaışıyorsa,, çifti timelie Mannheim eğri çifti olara adlandırılır. ve timelie Mannheim eğri çiftinin teğetleri sırasıyla T ve T olsun. O zaman T ve T teğetleri arasındai açı olma üzere, T N B cosh sinh sinh cosh 0 T N B eşitlileri mevcuttur [5]. Teorem.. L dei timelie Mannheim eğri çiftinin arşılılı notaları arasındai uzalı sabittir. 8

5 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) İspat: Şeil. Şeil. den, s s s B s () dir. () denleminin s ye göre türevi alınır ve () denlemi ullanılırsa, T T N B (4) elde edilir. Burada timelie Mannheim eğrilerin tanımından, N ve B nin lineer bağımlılığı göz önüne alınara, T, B 0 yazılabilir. Böylece (4) denleminden, sabit. elde edilir. Diğer yandan ii nota arasındai uzalı fonsiyonundan d s, s s s B sabit dır. 9

6 A.Z.AAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) Teorem.., timelie Mannheim eğri çifti olaca şeilde L de bir timelie eğrisi mevcuttur. İspat. N ve B lineer bağımlı olduğundan () denleminden N (5) dir. O halde Teorem. den sabit olma üzere bütün değerleri için bir timelie eğrisi mevcuttur. Teorem.. L de, bir timelie Mannheim eğri çifti olsun. O zaman timelie eğrisinin torsiyonu şelindedir. İspat. (4) denlemindei nın sabit olduğu göz önüne alınırsa, T T N (6) denlemi elde edilir. ve timelie eğrilerinin arşılılı notalarındai T ve T timelie vetörleri arasındai açı olma üzere T cosh T sinh N B sinh T cosh N (7) dir. O halde (6) ve (7) denlemleri göz önünde bulundurulara cosh, sinh (8) elde edilir. 40

7 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) Ayrıca (5) denleminin s ye göre türevi alınıp, () denlemi ve Teorem. ullanılara, T T B (9) bulunur. Ayrıca (7) denleminden, T cosh T sinh B N sinh T cosh B (0) yazılabilir. O halde (9) ve (0) denlemleri yardımıyla cosh, sinh () elde edilir. Bu son denlemlerden cosh, sinh () dır. Böylece () denleminden, elde edilir. Sonuç.., iilisi L de timelie Mannheim eğri çifti olsun. O zaman timelie Mannheim eğrilerinin arşılılı notalarındai ve torsiyonlarının çarpımı sabit değildir. Yani, Shell teoremi timelie Mannheim eğriler için geçerli değildir. Teorem. ün ispatından elde edilen sinh alınırsa, aşağıdai sonuç olayca görülebilir. denlemi ele Sonuç..,, L de timelie Mannheim eğri çifti ise ve torsiyonları zıt işaretlidir. 4

8 A.Z.AAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) Teorem.4.,, L de timelie Mannheim eğri çifti olsun. ın eğrili ve torsiyonu arasında bağıntısı mevcuttur. Burada ve sıfırdan farlı reel sayılardır. İspat. () denlemi göz önüne alınırsa, cosh sinh elde edilir. Bu denlem düzenlenir ve coth seçilirse, bulunur. Sonuç..,, L de timelie Mannheim eğri çifti olsun. O zaman sabit atsayılı ve, eğrili ve torsiyonu arasında lineer bir bağıntı mevcuttur. Yani, timelie Mannheim eğriler için Bertrand teoremi geçerlidir. Teorem.5.,, L de timelie Mannheim eğri çifti olsun. ve timelie eğrilerinin eğrilileri ve torsiyonları için aşağıdai denlemler mevcuttur: d i., sinh cosh, ii. 4

9 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) iii. sinh, iv. cosh. İspat. TT, cosh denleminin s ye göre türevi alınara, N, T T, N sinh d bulunur. Ayrıca N ve B nin lineer bağımlı olduları göz önüne alınır, () ve (0) denlemleri ullanılırsa, d ifadesine ulaşılır. Benzer şeilde N, N 0, BT, 0 ve BB, 0 denlemleri göz önüne alınara, ispatın i. şıındai metotla teoremin ii., iii. ve iv. şıları sırasıyla elde edilebilir. Teorem.5 in iii. ve iv. den aşağıdai sonuç verilebilir. Sonuç.4., timelie Mannheim eğri çifti olsun. Bu durumda timelie eğrisinin torsiyonu ile timelie eğrisinin torsiyonu ve eğriliği arasında bağıntısı vardır. 4

10 A.Z.AAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) Teorem.6. L dei bir timelie eğrinin, timelie Mannheim eğri olması için gere ve yeter şart eğriliğinin ve torsiyonunun eşitliğini sağlamasıdır. Burada sıfırdan farlı bir sabittir. İspat. Teorem. göz önüne alınıp, (5) denleminin s a göre türevi alınırsa, T T T B () denlemi elde edilir. O halde () denleminin s a göre türevi alınara, d s N T N T B N (4) bulunur. N ve B nin lineer bağımlı olduğu göz önüne alınara, (4) denlemi B ile iç çarpım yapılırsa, elde edilir. KAYNAKLAR [] B. O Neill, Semi Riemannian geometry with applications to relativity, New Yor: Academic Press, 98. [] H. Liu, F. Wang Mannheim Partner Curves in -space, J. Geom., Vol. 88(-), 0-6, 008. [] K. İlarslan, E. Nesovıc Timelie and Null Normal Curves in Minowsi Space 004. E, Indian J. Pure Appl. Math., Vol. 5(7), , 44

11 SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) [4] K. Orbay, E. Kasap On Mannheim Partner Curves in International Journal of Physical Sciences, Vol.4 (5), 6-64, 009. E, [5] M. Kazaz, M. Önder, Mannheim Offsets of Timelie Ruled Surfaces in Minowsi -space R, eprint/arxiv: v. [6] R. Blum, A Remarable Class of Mannheim-Curves, Canad. Math. Bull., Vol. 9(), -8,

Benzer belgeler

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik