MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 1- GİRİŞ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1

2 Mühendislikte, herhangi bir fiziksel sistemin matematiksel modellenmesi sonucu elde edilen karmaşık veya analitik çözülemeyen denklemlerin çözümünde kullanılan nümerik yöntemler, son yıllarda özellikle bilgisayar alanındaki gelişmelere paralel olarak artmış ve sayısal analiz adıyla yeni bir bilim alanı haline gelmiştir. 2

3 Sayısal Analiz, verilen sayısal bilgilerden ve matematik modelden hareketle aranan sayısal sonuçların hesaplanmasına ait yöntemleri inceleyen ve geliştiren bir bilim dalıdır. Bu tanıma göre sayısal analizin işlevi Şekil 1.1. deki blok diyagramla gösterilebilir. Giriş bilgisi (DATA) Hesap Yöntemi (ALGORİTMA) Çıkış bilgisi (SONUÇ) Şekil 1.1 Sayısal analiz işleyiş şeması 3

4 SAYISAL ANALİZİN İLGİ ALANI Hata ve Hata analizi Lineer denklem takımlarının çözümü 4x 1 + 2x 2 5x 3 = 5 3x 1 + x 2 2x 3 = 3 2x 1 3x 2 + x 3 = 3 Non-lineer denklemlerin çözümü x 3 + 2x 2 5 sinx = 0 Non-lineer denklem sistemlerin çözümü x 2 + y 2 = 4 y + e x = 1 4

5 SAYISAL ANALİZİN İLGİ ALANI Sonlu farklar ve interpolasyon teknikleri Eğri uydurma ve regresyon analizi Sayısal türev Sayısal integrasyon Adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri Kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri Optimizasyon yöntemleri ve uygulamaları 5

6 REFERANS VE KAYNAKLAR Aktaş, Z., Sayısal Çözümleme, ODTÜ Yayınları,1984 Çağal, B., Sayısal Analiz, Birsen Yayınları,1992 Stevan C. Chapra, Raymond P., Numerical methods for engineers, 6th Ed. Tapramaz,R., Sayısal Çözümleme, Literatür Yayınları,2002 Gerald Recktenwald, Numerical Methods with MATLAB:Implementations and Applications, 2000, Prentice Hall Bayram, M, Numerik Analiz, Birsen Yayınevi,2009 Karagöz, İ., Sayısal Analiz ve Mühendislik Uygulamaları, Nobel,

7 MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ VE SAYISAL ANALİZ 1) Problemin tanımı 2) Fiziksel modelin oluşturulması 3) Matematik modelin oluşturulması 4) Çözümün varlığı ve tekliğinin analizi 5) Uygun bir yöntemle matematik modelin çözümü 6) Hata analizi 7

8 ÖRNEK V x 1 x 2 Şekil 1.2 Probleme ait otomobil ve yol şartları Bir otomobilin belli yol ve hız şartlarında maruz kalacağı salınımların genliği ve sönümlenme zamanının bulunması problemini ele alalım. 8

9 1. PROBLEMİN TANIMI Problemin tanımı aşamasında, eldeki veriler ve istenenler tam olarak ortaya konur. Problemde aracın düşey yöndeki titreşimlerin ve yalpalamanın istenmediği kabul edilirse bunların çözümü için gerekli olan aracın kütlesi, kütle merkezi, boyutları, lastik ve amortisör özellikleri gibi değerler yanında, yol özellikleri, aracın hızı ve rüzgar durumu gibi parametrelerin de verilmesi veya bilinmesi gerekir. 9

10 2. FİZİKSEL MODELİN OLUŞTURULMASI Gerçek sistemden hareketle, bazı kabuller altında fiziksel model oluşturulur. Şekil 1.3 te aracın fiziksel bir modeli oluşturulmuştur. x 1a x 2a m k 1 b 1 k 2 b 2 y 1 m 1t m 2t y 2 V k t1 k t2 x 1 yol x 2 Şekil 1.3 Probleme ait otomobilin iki boyutlu fiziksel modeli 10

11 3. MATEMATİK MODELİN OLUŞTURULMASI Bu fiziksel sisteme ait matematik modelin oluşturulması için mekaniğin temel korumun denklemlerinin uygulanması gerekir. Örnek olarak tekerlek ve aracın düşey yöndeki hareketi için yazılabilecek denklemlerden bazıları şu şekilde elde edilebilir. m t1 y 1 + b 1 y 1 + k 1 + k t1 y 1 = b 1 x 1a + k 1 x 1a + k t1 x 1 m t2 y 2 + b 2 y 2 + k 2 + k t2 y 2 = b 2 x 2a + k 2 x 2a + k t2 x 2 m l 2 l x 1a + m 1 l 2 l x 2a + b 1 x 1a + b 2 x 2a + k 1 x 1a + k 2 x 2a = b 1 y 1 + b 2 y 2 + k 1 y 1 + k 2 y 2 11

12 4. ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI VE TEKLİĞİNİN İNCELENMESİ Matematiksel modelin oluşturulmasından sonra yazılan denklemlerin çözümünün varlığı ve tekliğinin incelenmesi gerekir. Çözüm için, bilinmeyen parametre sayısı kadar denklem yazılmalı ve denklemler bağımsız ve tutarlı olmalıdır. 12

13 5. YÖNTEM SEÇİMİ Bu aşama, denklemlerin çözümü için uygun yöntem veya yöntemler seçimidir. Kullanılabilecek başlıca yöntemler bu derste verilecektir. x x 2a x 1a t Şekil 1.4 Probleme ait örnek çözüm sonucu 13

14 6. HATA ANALİZİ Son aşama hata analizidir. Örneğin aracın belli giriş verisi ve yol şartlarında gösterdiği salınım hareketleri Şekil 1.4 teki gibi olsun. Bu aşamada sonuçların çok kaba olarak mantıklı olup olmadığının incelenmesi yanında çok daha detaylı analizlerle sonuçlardaki hata oranlarının tespit edilmesi de mümkündür. 14

15 SONUÇ Model ve çözüm sonuçları doğru ise sonuçların değerlendirilmesi aşamasına geçilir. Bu aşamada araç süspansiyon sistemine ait yay ve sönüm elemanı katsayıları, geometrik boyutlar gibi bir çok parametrenin, belli yol şartlarında araç salınımlarını nasıl etkilediğini incelemek mümkündür. Ayrıca yol ve hız durumunun etkileri de incelenebilir. Bu incelemeler neticesi optimum değerlerin tespit edilmesi mümkün olur. 15