Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Transkript

1 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç değer formunda olan bu denklemlern analtk çözümü çoğu durumda mümkün değldr. İstenlen aklaşık çözümler elde etmek çn gelştrlen saısal öntemlern brn vea daa çoğunu brbrne bağlaan denkleme dferansel denklem denr. Bu denklemler ncelemenn başlıca üç amacı vardır: -Fzksel br olaın tanımlanmasını sağlaan dferansel denklemn bulunması - Dferansel denklemn analtk vea saısal çözümünün elde edlmes 3- Elde edlen çözümün orumlanması 3 4

2 6.4.7 Yalnız br bağımsız değşkene göre türev kapsaan br dferansel denkleme ad dferansel denklem denr. d dx İk vea daa fazla değşkene göre türevler kapsaan dferansel denkleme kısm dferansel denklem denr. VI Örnek: sn x üçüncü dereceden lneer ADD x dördüncü dereceden nonlneer ADD x e x üçüncü dereceden lneer ADD snx lnx knc dereceden nonlneer ADD 5 6 Müendslk Ugulamalarında Karşılaşılablecek örnekler: Ünform ük Müendslk Ugulamalarında Karşılaşılablecek örnekler: k x =(x) (t) F kuvvet 7 8

3 6.4.7 ADD çözümünde kullanılan öntemler:. Runge-Kutta Yöntemler a. Euler Yöntem b. Heun Yöntem. Katılık/çok adımlı öntemler 3. Sonlu farklar öntemle sınır değer problem Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: Ad dferansel denklemlern çözümünde ardımcı koşullar verlr. Bu koşullar, denklem çözerken ortaa çıkan ntegraln sabtlern esaplamak çn kullanılır. Koşullar, bağımsız değşkenn anı değer çn tanımlanmışsa başlangıç değer problem olarak fade edlr. 9 Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: Koşulların bağımsız değşkenn br tek noktasında değl de farklı noktalarında blndğ ugulamalarda mevcuttur. Bu değerler çoğunlukla br sstemn sınırlarında tanımlı olduğu çn, bu problemlere sınır değer problem denr. Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: T T a T X= T a X=L T > T olması durumunda T >T a 3

4 6.4.7 Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: Tamn öntemne alternatf olan en agın öntem onlu fark öntemdr. Bu teknklerde, sonlu bölünmüş farklar orjnal denklemdek türev kullanılır. Bölece, doğrusal br dferansel denklem, eşzamanlı cebrsel denklem setne dönüştürülür. Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: Bu bölümde ADD çözümü çn saısal türev formüller kullanılır. Saısal türev formülü ardımıla elde edlen eştlkler, Lneer Denklem Takımı (MATRİSLER) le çözülür. 3 4 Sonlu farklar öntemle sınır değer problem: Merkez sonlu bölünmüş fark formüller le türev: ' '' 5 Örnek: '' = ' 3x + 6x dferansel denklemnde nn x bağımsız değşkennde çözülmes çn Sonlu Farklar Yöntemn kullanarak dferansel denklemn çn gerekl olan denklem oluşturunuz. x==.5 Merkez farklar formüller: ' '' 6 4

5 6.4.7 '' ' 3 x 6 x Merkez fark formüllern, dferansel denklemde erne azılır: 3 6x =.5 olduğuna göre Eştlk düzenlenrse Örnek: '' = ' 3x + 6x dferansel denklemnn lg alanı aşağıdak gbdr: 3 x 4, =(x=3)=6.945, 4 =(x=4)=9.48, x==.5 Bu problemde, x=3.5, x=3.5, ve x= 3.75 tek değerlern Sonlu Farklar Yöntemle çözümü çn gerekl denklem takımını oluşturunuz. (Lneer Denklem Takımı) 7 8 Bu dferansel denklem çn gelştrlen eştlk ardımıla çözüm apılır: x =x =3. (x=3)= x + =x =3.5 x + =x =3.5 3 x +3 =x 3 = x +4 =x 4 =4. 4 (x=4)= = alınırsa x 6x x =3.5 se

6 6.4.7 (x=3)= aşağıdak eştlkte erne azılırsa = alınırsa x 6x x =3.5 se =3 alınırsa x3 6x3 x =3.75 se (x=4)= 9.48 aşağıdak eştlkte erne azılırsa

7 6.4.7 O alde, oluşan lneer denklem takımı: Örnek: + x x = x ln(x) dferansel denklemne at sınır değerler aşağıdak gbdr: (x=) = ve (x=) = <x<, =.5 olduğuna göre Sonlu Farklar öntemn kullanarak dferansel denklemn saısal olarak çözünüz. ' 6 '' x ' x ln Dferansel denklem takımında merkez fark formüller erne azılır: =.5 olduğuna göre x ln 6 ln Eştlk düzenlenrse ln - x - =x - =. x =x =. (x=) = x + =x =.5 x + =x =.5 3 x +3 =x 3 =.75 4 x +4 =x 4 =. 4 (x=)= 7 8 7

8 ln = alınırsa 6 x 3 6 x x lnx x x =.5 se ln Eştlkte değşkenn cnsnden fade etmek çn lere doğru sonlu bölünmüş fark formülü kullanılır: ' = ' Eştlkte değşken erne konursa ln = alınırsa 6 x 3 6 x x lnx x x =.5 se ln

9 ln =3 alınırsa 6 x3 3 6 x3 4 x3 lnx3 x3 x 3 =.75 se ln (x=) = ukarıdak eştlkte erne azılırsa Aşağıdak saısal türev formüller elde edlmştr: O alde, oluşan lneer denklem takımı:

10 6.4.7 Oluşan lneer denklem takımının çözümü: Oluşan lneer denklem takımının çözümü: (/.5)*S S (/9.875)*S 3 S 3 Sıfır apalım Oluşan lneer denklem takımının çözümü: Oluşan lneer denklem takımının çözümü: S +.375*S S S +9.5*S 3 S

11 6.4.7 Oluşan lneer denklem takımının çözümü: Örnek: =-x +x-+- + dferansel denklemnn lg alanı aşağıdak gbdr: x, =(x=)=.5853, =(x=)=.4597, 5 =(x=)=3.97, x==. Problem saısal olarak çözünüz. ' '' ''' 3 4 ''' Merkez fark formüllern, dferansel denklemde erne azılır: =. olduğuna göre 5.5 x x vea '' ' x x Eştlk düzenlenrse: x =x =. =(x=)=.5853 =(x=)=.4597 x + =x =. x + =x =.4 3 x +3 =x 3 =.6 4 x +4 =x 4 =.8 5 x +5 =x 5 =. 5 =(x=)=

12 6.4.7 = alınırsa x x Burada -, cnsnden esaplanır: = alınırsa x x Burada -, cnsnden esaplanır: = alınırsa elde edlr. = alınırsa x x

13 6.4.7 =3 alınırsa x3 x =4 alınırsa x4 x blnmeen olduğu çn bu denklem kullanılmaz 5 Gere doğru farklar formülü kullanılır: =4 alırsak ''' ''' ''' Merkez farklar formülü kullanılır: '' =4 alırsak 4 5 4''. 4' ' 5 ( 4 5) 4' '

14 6.4.7 Merkez farklar formülü kullanılır: ' =4 alırsak ' '.5( 5 ) 4' ''' '' ' Yukarıdak eştlğn en elde edlen, ve erne konursa Eştlk düzenlendğ zaman eştlğ elde edlr O alde, lneer denklem takımı elde edlr: Lneer denklem takımının çözümü se nv

15 6.4.7 Lneer denklem takımının çözümünü MATLABta apımı se 57.8x Ödev: 4 e.5 dferansel denklemnn lg alanı aşağıdak gbdr: x, =(x=)=, 4 =(x=)=.5, x==.5 değerlernn Sonlu Farklar Yöntemle çözümü çn gerekl denklem takımını oluşturunuz. (Lneer Denklem Takımı) ' 58 5