SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
|
|
- Berker Jamaković
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan sınırlarda ise kendisi ve normal doğrultuda türevi bilinen fonksiyonun bulunmasıdır. Hacım kuvvetlerinin sabit olması halinde düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme problemi F F F Bölgede ( x y) F x x y y df Sınırda Qt () s () dn F M s şeklinde yazılır. Burada M(s) ifadesi, sınırda alınan bir başlangıç noktasından itibaren sınır kuvvetlerini sınır üzerindeki noktalara göre momentidir. Q t (s) ise sınır kuvvetlerinin, teğetin pozitif yönü eğrinin artım yönü ile aynı olmak üzere, teğet üzerinde izdüşümleridir. Yukarıda verilen problem diferansiyel denge denklemi ayrıklaştırılarak bir cebirsel denklem dönüştürülerek sayısal olarak çözülür. Denklemin ayrıklaştırılmasında temel düşünce türevler yerine fonksiyon değerlerinin kullanılmasıdır. Bu ayrıklaştırılma sonunda fonksiyon değerlerine; yani F değerlerine bağlı bir cebrik denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülerek nokta nokta F değerleri bulunur. F değerleri bulunduktan sonra sayısal olarak türev değerleri yazılarak σ x,σ y,τ xy gerilmeleri bulunur.
2 Elastisite Sayısal türev bağıntıları: Ayrıklaştırma için bölge üzerinde şekilde görüldüğü gibi ağ alalım. İki bağımsız değişkenli fonksiyon u ve bağımsız değişkenler x, y olsunlar. Bu fonksiyonun x i ve y noktasındaki değerini ui, u( xi, y) (11.78) Şekil 11.1 ile gösterelim. u(x,y) fonksiyonu, şekil 11.1 de görüldüğü gibi, serbest değişkenleri x ve y gibi eşit aralıklarla sıralanan bir ağ üzerinde verilsin. Şekilde ağ üzerindeki noktaların indisleri görülmektedir. x i ve y noktası civarında u i+1, ve u i1, değerleri, u ( x) u ( x) u ( x) u i1, i, u u x R (11.79) x! x 3! x 4! x u ( x) u ( x) u ( x) u ui1, ui, x R (11.80) x! x 3! x 4! x u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında x e göre kısmi türevi, u/x, yukarıda verilen birinci bağıntıdan veya ikinci bağıntıdan veya birinci ile ikinci bağıntının birbirinden çıkartılmasından aşağıda verilen üç ayrı şekilde elde edilir (Not yukarıdaki denklemlerin sağ tarafındaki terimlerden ikisi kullanılmış üçüncü terim hata mertebesini vermektedir).
3 Sonlu Farklar 3 u ui1, u i, O( x) x x u ui, u i1, O( x) x x u ui1, u i1, O[( x) ] x x (11.81) Bu türevlerden birincisi ileriye doğru, ikincisi geriye doğru ve üçüncüsü ise merkezi farklar formunda yazılmıştır. Benzer şekilde; u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında y e göre kısmi türevi, u/y, aşağıda verildiği şekilde bulunur. u u u i, 1 i, O y u y u ( y) u i, i, 1 O y y ( y) u ui, 1 u i, 1 O([ y] ) y y (11.8) İkinci türev ise (11.79) ile (11.80) bağıntılarının birbirleri ile toplanmasından aşağıda verilen şekilde bulunur. u x u u u i1, i, i1, O x ( x) [( ) ] (11.83) Fonksiyonun y e göre ikinci kısmi türevi, benzer şekilde, aşağıda verildiği gibi bulunur. u y u u u i, 1 i, i, 1 O y ( y) [( ) ] (11.84) Karışık türev ise, (11.8) da verilen birinci türevin merkezi fark bağıntısı kullanılarak aşağıda verilen şekilde bulunur.
4 4 Elastisite u u u 1 u u ( ) [( ) i, 1 ( ) i, 1] yx y x y x x u u u u u u xy yx 4xy i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 O x y [( ) ] (11.85) u fonksiyonunun x e göre üçüncü, dördüncü ve karışık türevlerinin hesaplanışı ve sonuçları aşağıda verilmiştir. Üçüncü Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x 3 i1, i1, 3 u ui, ui 1, ui 1, ui, O[( x) ] 3 3 x ( x) 3 u ui, ui, 1 ui, 1 ui, O[( y) ] (11.88) 3 3 y ( y) Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] xy x y x y y i1, i1, 3 u u u u u u u xy ( x)( y) (11.89) O[( x y) ] i1, 1 i1, i1, 1 i1, 1 i1, i1, 1 Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] yx y x yx x i, 1 i, 1 3 u u u u u u u yx ( y)( x) (11.90) O[( x y) ] i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i, 1 i1, 1
5 Sonlu Farklar 5 Dördüncü Türev 4 u u 1 u u u ( ) 4 ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x x i 1, i, i 1, 4 u ui, 4ui 1, 6ui, 4ui 1, ui, O[( x) ] 4 4 x ( x) 4 u ui, 4ui, 1 6ui, 4ui, 1 ui, O[( y) ] 4 4 y ( y) Karışık Türev (11.91) 4 u 1 u u u [ ] O [( x y ) ] y x ( y) x x x i i i, 1,, 1 u u u u u 4u u u u u y x ( x) ( y) (11.9) 4 i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, i, i1, i1, 1 i, 1 i1, 1 Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayıları hatırlamak ve bazı uygulamalarda yardımcı olması için aşağıda şekil 11. de verilen şablonlar kullanılır. Şablonlarda, tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türev) ilgili eksenin yönü önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde u/xy ve 3 u/x 3 türevinde gösterilmiştir.
6 6 Elastisite
7 Sonlu Farklar 7 Biharmonik denklemin ayrıklaştırılması: u u u ( u) u f( x, y) (15.188) 4 4 x x y y Yukarıda verilen biharmonik denklemin aşağıdaki şekilde görülen (i,) noktasında, türevleri yerine (11.91) ve (11.9) ile verilen türev bağıntıları diferansiyel denklemde yerlerine yazılarak ayrıklaştırılır. Ayrıklaştırma sonunda elde edilen bağıntıda x=y alınıp bağıntı düzenlendiğinde aşağıda verilen sonuç bulunur. 0u 8( u u u u ) ( u u u u ) i, i1, i1, i, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 u u u u ( x) 4 f (15.189) i, i, i, i, i, Yukarda verilen bağıntıda i indisi x doğrultusunu indisi ise y doğrultusunu kontrol etmektedir. Yukarıda verilen bağıntı yerine şekil de görülen şablon da kullanılabilir. Şablon aynı bağıntının şematik gösterimi olup kullanımı kolaydır. Şablon yukarıda verilen bağıntıdan elde edileceği gibi şekil 11. de verilen 4 u/x 4, 4 u/y 4 ve * 4 u/x y şablonlarını toplayarak da elde edilebilir.
8 8 Elastisite Sonlu fark denklemlerinin yazılması: Aşağıda verilen şekilde görüldüğü gibi biharmonik denklemin çözüleceği bölgede bir ağ teşkil edelim. Ağda M satır N kolon bulunsun. Bu durumda ağda M.N nokta bulunacak. Ağda üç tip nokta vardır.
9 Sonlu Farklar 9 a) Sınır noktaları: Bu noktalar sınırda bulunan noktalardır. Şekilde dikdörtgen ile gösterilmiş olup M+N-4 adettir. b) İç noktalar: Bu noktalar bölgenin içindedir. Şekilde daire ile gösterilmiş olup (N-)(M-) adettir. c) Dış noktalar: Bu noktalar bölgenin tamamen dışındadır. Şekilde üçgen ile gösterilmiştir. Gerektiğinde kullanılır. Tamamı kullanılmayabilir. Bunlar gerektiği kadar kullanılacağı için sayıları önemi değildir. Ayrıca bu noktalar dış bölgedeki noktalar olduğu için teorik olarak sayıları sonsuzdur. Şekilde belirli sayıda gösterilmiştir. Problemde sınırdaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri verildiğinden sadece iç noktalardaki değerleri bilinmiyor. Dolayısıyla problemdeki bilinmeyen sayısı (N-)(M-) dir. Kısaca, bilinmeyenlerin sayısı iç nokta sayısına eşittir. Sonlu fark denkleminde veya sonlu fark şablonunda görülen u i, noktasına pivot nokta adı verilir. Pivot nokta iç noktalara getirilerek sonlu fark denklemleri yazılır. Bu şekilde bilinmeyen sayısı kadar sonlu fark denklemi elde edilir. Bu denklemler çözülerek her noktada Airy gerilme fonksiyonun değerleri bulunur. Airy gerilme fonksiyonu nokta nokta bulunduktan sonra (i,) noktasında σ x,σ y,τ xy gerilmeleri F Fi, 1 Fi, Fi, 1 x y ( y) F Fi 1, Fi, Fi 1, y x ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy xy 4 x y bağıntıları ile bulunur.
10 10 Elastisite Sonlu fark denklemleri yazılırken pivot nokta olarak sınırın hemen yanındaki nokta alındığında şekil daki durum ortaya çıkar. Şekil da görüldüğü gibi, pivot nokta (P noktası) sınıra yakın olduğunda denklemlere bir sıra dış noktadaki fonksiyon değerleri girer. Bu durumda dış noktalar nedeni ile bilinmeyen sayısı artar. Bu bilinmeyenlerin hesabı için ek bağıntılara ihtiyaç vardır. Bu bağıntılar Airy gerilme fonksiyonun sınırdaki türevi ayrıklaştırılarak elde edilir. Şekil da görülen P 0 noktasında birinci türev merkezi farklar kullanılarak ayrıklaştırıldığında u up ( 1) up ( ) u ( P0) up ( 1) up ( ) x ( P0) x x x (15.195) bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı görülen kısmı türev -Q t (s) eşit olduğundan bilinmektedir. Dolayısıyla dış nokta değerleri iç nokta değerlerine bağlanmıştır. Sonuç olarak bilinmeyen sayısı kadar denklem elde edilir. Bu denklemler doğrusaldır.
11 Sonlu Farklar 11 Sonlu fark denkleminin çözümde kullanılan yöntemler: Sonlu fark denklemlerinin çözümünde kullanılan dolaysız yöntemler ile ardışık yaklaşım yöntemleri kısaca aşağıda karşılaştırılmıştır. Bilinmeyen sayısı az ise dolaysız yöntemlerden Gauss eliminasyon yöntemi uygulanır. Katsayılar matrisinin içinde fazla miktarda sıfır var ise bunlar Gauss eliminasyonda kaybolurlar. Bu sıfırları muhafaza etmek için en iyi yöntem ardışık yaklaşım yöntemidir. Ayrıca katsayılar matrisinin mertebesi büyük ise, örneğin 100 den fazla, ardışık yaklaşım yöntemi önerilir. Ayrıca ardışık yaklaşım yöntemi elektronik tablolarda düşük mertebeli matrisler için de uygun çözüm yöntemidir. Ardışık yaklaşım yöntemleri, (15.189) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılarak uygulanır. 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u ) ( x) f ] 4 i, i, i, i, i, Excel tablolarının kullanılması: Excel tablosunda, tablonun dairesel döngü özelliği kullanılarak biharmonik denklem ardışık yaklaşım ile kolay bir şekilde çözülür. Tabloya kontrol altında tutabilmek için bilinmeyenler çok fazla olmamalıdır. Excel tablolarında fark denklemleri çok kolay bir şekilde yazılır ve sonuçlar bir matris şeklinde elde edildiğinden yorumlanması da çok kolaydır. Excel tablolarının kullanımının esası, her ağ noktasına bir hücre karşı getirip bu hücrede aranan fonksiyonun değerini saklamaktır. Ardışık yaklaşımda aranan fonksiyonun değeri işlem sırasında bu hücrede değiştirilir. Hücrelerin dizilişi ağ noktalarının dizilişi ile aynıdır. İşlem sırası aşağıda verilmiştir: a) Excel tablosunda önce her ağ noktasına karşı gelen hücreler belirlenir. b) Sınır noktalarına karşı gelen hücrelerdeki değerler bellidir ve değerleri yerlerine yazılır.
12 1 Elastisite c) Dış noktaların değerleri iç noktalara formül ile bağlanır. Her hangi bir dış noktanın değeri iç noktanın değerine u up ( 1) up ( ) x ( P0) up ( ) xqt x (15.195) formülü ile bağlanır. d) İç karşı gelen hücrelere ise başlangıç değerleri, genelde sıfır, yazılır. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 4 ( u u u u ) ( x) f ] i, i, i, i, i, bağıntısı formül olarak yazılır ve sonra bu formül bütün iç noktalara kopyalanır. Kopyalama işlemi bittikten sonra dairesel döngü çalışarak, hücrelerdeki değerleri ardışık yaklaşım ile hesaplayıp yerlerine yazar. Dairesel döngünün çalışabilmesi için Exel in, Araçlar, Seçenekler, Hesaplama menüsünde Yineleme düğmesine onay verilmiş olması gerekir. Ayrıca aynı menüde En büyük değişiklik kısmına yazılan sayı ile iki yinelenen değer arasında fark belirlenir; bu fark sağlanınca yineleme durur. Bu kısım ile istenilen hesap inceliği ayarlanır. Yine aynı menüde En fazla yineleme sayısı ile yineleme sayısına bir sınır konulur. Yineleme yeterli olmadığı takdirde, yineleme sayısı büyültülür veya F9 tuşuna basılarak tekrar aynı miktarda yineleme yaptırılır. Burada görüldüğü gibi denklemler formül olarak yazılmakta sonuçlar ise ilgili hücrelerde matrisi formunda elde edilmektedir.
13 Sonlu Farklar 13 e) Airy gerilme fonksiyonları nokta nokta hesaplandıktan sonra F x y F y x xy F F F i, 1 i, i, 1 ( y) F F F i1, i, i1, ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy 4 x y bağıntıları ile gerilmeler nokta nokta hesaplanır. Örnek Problem: Şekilde görülen levhayı düşey doğrultuda 10 aralığa yatay doğrultuda 4 aralığa ayıran ağı kullanarak levhadaki gerilmeleri sonlu farklar yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Şekilde görüldüğü gibi levhayı üzerinde aralıkları eşit ağ kuralım. Ağdaki sınır noktalar 1,, 8 olarak işaretlenmiştir. İç noktalar çarpı işaretleri ile dış noktalar ise daireler ile gösterilmiştir. Şekilde 8 sınır nokta ve 7 iç nokta bulunmaktadır. Başlangıç noktası olarak her hangi bir nokta şeçilebilir.
14 14 Elastisite Sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonun değerleri dış yüklerin noktalara göre momentleri alınarak aşağıda verilen şekilde bulunur: F 1 = F = F 3 = F 4 =F 5 = F 6 = F 7 =0 F 8 =p 0 a / F 9 =p 0 a F 10 =4p 0 a F 11 = F 1 =F 13 =F 14 =F 15 =F 16 =F 17 =F 18 =F 19 =F 0 =4p 0 a F 1 =p 0 a F =p 0 a / F 3 = F 4 = F 5 = F 6 =F 7 = F 8 = 0 Sınır noktalarında, Airy gerilme fonksiyonun normal doğrultudaki türevlerini değerleri aşağıda verilmiştir. 6,10,0 ve 4 noktalarında türevde süreksizlik olduğunda iki değer verilmiştir. 6 ve 4 noktalarında türev değerleri iki doğrultuda da sıfır olduğundan tek değer verilmiştir. 10 ve 0 noktasında iki türev değeri bulunduğundan ayrı ayrı verilmiştir. (df/dn) 1 = (df/dn) = (df/dn) 3 = (df/dn) 4 =(df/dn) 5 = (df/dn) 6 = (df/dn) 7 =0 (df/dn) 8 =(df/dn) 9 =0 (df/dn) 10 =(0,p 0 a) (df/dn) 11 =(df/dn) 1 =(df/dn) 13 =(df/dn) 14 =(df/dn) 15 =(df/dn) 16 =(df/dn) 17 = (df/dn) 18 =(df/dn) 19 =p 0 a (df/dn) 0 =(p 0 a,0) (df/dn) 1 =(df/dn) =(df/dn) 3 = (df/dn) 4 = (df/dn) 5 = (df/dn) 6 =(df/dn) 7 = (df/dn) 8 = 0
15 Sonlu Farklar 15 Sayısal hesaplar a=1 ve p 0 =1 alınarak yapılmıştır. Aşağıda verilen Excel tablosunda en altında ve en üst satırda nokta numaraları görülmektedir. Excel tablosuna önce sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonunun değerleri yazılır. İç noktalardaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri tabloda sıfır olarak yazılır. Bu noktalardaki değerler, ardışık yaklaşımla bulunacağı için ilk yaklaşımdaki değerleri sıfır alınmaktadır. Şekilde verilen tabloda sıfır değerleri görülmemektedir ,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 0,000,000,000 0,000 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, Dış noktaların hesabına gelince bu değerler formül olarak girilir. Dış noktaya karşı gelen iç noktanın değerine df/dn eklenecek (köşe noktalarda gelen noktalar sınır noktalardır). İç nokta değerleri başlangıçta sıfır alındığından tabloda görülen değerler sadece Δx(dF/dn) değerleridir. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u )] i, i, i, i, bağıntısı yazılır. Bu bağıntı diğer gözlere kopyalanır. Kopyalanma bittiğinde dairesel döngü çalışarak denklem takımını çözer sonuç aşağıda verilen tabloda görülmektedir. Tablonun altında diğer gerilmeleri hesaplayan tablolar bulunmaktadır. Bu tablolar Airy gerilmelerinin bulunduğu tablodan yararlanarak elde edilmiştir.
16 16 Elastisite 6,000 6,089 6,176 6,3 6,43 6,48 6,43 6,3 6,176 6,089 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000,089,000,089,176,3,43,48,43,3,176,089,000,089 0,699 0,500 0,699 0,863 0,950 0,986 0,995 0,986 0,950 0,863 0,699 0,500 0,699 0,089 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 0,089 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 x 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 1,000 0,780 0,65 0,547 0,515 0,507 0,515 0,547 0,65 0,780 1,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 y 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,398-0,035-0,078-0,051-0,07-0,018-0,07-0,051-0,078-0,035 0,398 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 xy 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,091 0,063 0,031 0,011 0,000-0,011-0,031-0,063-0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-0,091-0,063-0,031-0,011 0,000 0,011 0,031 0,063 0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.
HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem
DetaylıDİFERANSİYEL DENKLEMLER-2
DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
Detaylıp 2 p Üçgen levha eleman, düzlem şekil değiştirme durumu
Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu İstinat duvarı basınçlı uzun boru tünel ağırlık barajı gibi yapılar düzlem levha gibi davranırlar Uzun
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI
FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
DetaylıİKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıMUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ
www.sakarya.edu.tr MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr 1. DÜŞEY YÜKLÜ KİRİŞLER Cisimlerin mukavemeti konusunun esas problemi, herhangi bir yapıya uygulanan bir kuvvetin oluşturacağı gerilme
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıİÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
Detaylı5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi
5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıJFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
DetaylıUYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ
KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ Prof.Dr. Paşa YAYLA 2010 ÖNSÖZ Bu kitabın amacı öğrencilere elastisite teorisi ile ilgili teori ve formülasyonu
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıBÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıTabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method
Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Cilt 17, Sayı 1, 2011, Sayfa 51-62 Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
Detaylıİçindekiler 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 2 TEMEL YASALAR ve KORUNUM DENKLEMLERİ vii
1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sürekli Ortam Yaklaşımı..... 2 1.2.1 Bir Maddenin Moleküler ve Atomik Seviyeleri... 3 1.2.2 Sürekli Ortam İçin Sınırlamalar... 4 1.3 Laminar ve Türbülanslı
DetaylıDairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı
Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunozmen@yahoo.com Dairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı 1. Giriş Zemin taşıma gücü yeter derecede yüksek ya
DetaylıKATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
DetaylıGERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET
GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları
Detaylı23. Sistem denge denklemlerinin direkt kurulması
. Sistem denge denklemlerinin direkt kurulması. Sistem denge denklemlerinin direkt kurulması Sonlu elemanlar metodu el hesapları için değil, bilgisayarda yazılımlar ile kullanılması için geliştirilmiştir.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
DetaylıBir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı
Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların
DetaylıHiperstatik sistemlerin çözümünde, yer değiştirmelerin küçük olduğu ve gerilme - şekil değiştirme bağıntılarının lineer olduğu kabul edilmektedir.
1. HİPERSTATİK SİSTEMLER 1.1. Giriş Bir sistemin hesabının amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini belirlemektir. İzostatik sistemlerde, yalnız
DetaylıHEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA
HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA Hedef ara komutu bir fonksiyonun tersinin bulunmasında kullanılır. Hedef ara işlemi, y=f(x) gibi bir fonksiyonda y değeri verildiğinde x değerinin bulunmasıdır. Bu işlem,
DetaylıMATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7
MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve
Detaylı(, ) = + + yönünde yer değiştirme fonksiyonu
. Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu. Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu Çok katlı yapılardaki deprem perdeleri ve yüksek kirişler düzlem levha gibi davranır. Sağdaki şekilde bir levha sistem
DetaylıAÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,
DetaylıBekleme Hattı Teorisi
Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov
DetaylıMukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Kirişlerin Yer Değiştirmesi Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9.1 Giriş
DetaylıGÜZ DÖNEMİ ARASINAV SORULARI. 1. Sayısal çözümleme ve fonksiyonu tanımlayarak kullanıldığı alanları kısaca açıklayınız?
MAK 05 SAYISAL ÇÖZÜMLEME S Ü L E Y M A N D E M Ġ R E L Ü N Ġ V E R S Ġ T E S Ġ M Ü H E N D Ġ S L Ġ K F A K Ü L T E S Ġ M A K Ġ N A M Ü H E N D Ġ S L Ġ Ğ Ġ B Ö L Ü M Ü I. öğretim II. öğretim A şubesi B
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıDoğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk
Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
Detaylıδ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir.
A-36 malzemeden çelik çubuk, şekil a gösterildiği iki kademeli olarak üretilmiştir. AB ve BC kesitleri sırasıyla A = 600 mm ve A = 1200 mm dir. A serbest ucunun ve B nin C ye göre yer değiştirmesini belirleyiniz.
DetaylıMUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti
Detaylıdir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.
SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
DetaylıTablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu
BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıAlan Hesapları. Şekil 14. Üç kenarı belli üçgen alanı
lan Hesapları lan hesabının doğruluğu alım şekline ve istenile hassasiyet derecesine göre değişir. lan hesapları üç kısma ayrılmıştır. Ölçü değerlerine göre alan hesabı Ölçü ve plan değerlerine göre alan
DetaylıYAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM
YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx
Detaylı8.SINIF CEBirsel ifadeler
KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen
DetaylıAçı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır.
çı Yöntemi Kuvvet ve -oment yöntemlerinde, ilave denklemleri zorlamaların sistem üzerinde oluşturduğu deformasyonların sistemde oluşturulan suni serbestliklerden dolayı oluşan deformasyonlardan ne kadar
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıYapı Sistemlerinin Hesabı İçin. Matris Metotları. Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL Bahar Yarıyılı
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 05-06 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL BÖLÜM VIII HAREKET DENKLEMİ ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER SERBEST TİTREŞİMLER Bu bölümün hazırlanmasında
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı
DetaylıKarabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)
KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıElektronik Tablolar ile Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 1
İMO Teknik Dergi, 2004 3235-3248, Yazı 217 Elektronik Tablolar ile Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 1 Günay ÖZMEN * ÖZ Bilimsel ve teknik problemlerin pek çoğunda karşılaşılan "Kısmi Diferansiyel
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıKAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)
KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili
DetaylıBİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ
BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,
Detaylı25. SEM2015 programı kullanımı
25. SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile
DetaylıBÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM
BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini
DetaylıTEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı7. Kafes sistem sayısal örnekleri
7. Kafes sistem sayısal örnekleri 7. Düzlem kafes sistem sayısal örneği Şekil 7. deki kafes sistem elastisite modülü.. 5 N/mm olan çelik borulardan imal edilmiştir. a noktasındaki kuvvetlerinden oluşan:
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıSTATİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ
STATİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI, ALAN ATALET YARIÇAPI
DetaylıDers 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı
Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı Elastik malzemelerde gerilim, gerilimin deformasyon hızı ile bağlantılı olduğu ağdalı (viskoz) malzemelerin aksine, deformasyonla çizgisel olarak bağlantılıdır.
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
Detaylı36. Basit kuvvet metodu
36. Basit kuvvet metodu Basit kuvvet metodu hakkında çok kısa bilgi verilecektir. Basit kuvvet metodunda hiperstatik bilinmeyenlerinin hesaplanmasına, dolayısıyla buna ait denklem sisteminin kurulmasına
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıMADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ
Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı
İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı Vahid Ferecov Rafet Akdeniz Namık Kemal Üniversitesi, Çorlu Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Detaylı